Discussion:
Unmöglichkeit algebraischer Umformung beweisen? II
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-03-10 00:06:58 UTC
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Hallo,

ich benötige Eure Hilfe.

f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck

ln(e^f1(z) + e^f2(z))

nicht so vereinfacht werden kann, daß f1(z) und/oder f2(z) nicht mehr
enthalten ist?

Kann hierzu Van der Waerdens Aussage in "Einführung in die Algebraische
Geometrie" herangezogen werden: "Algebraisch unabhängige Elemente kann man
wie Unbestimmte behandeln, da ihre algebraischen Eigenschaften dieselben
sind." (Google Books:
https://books.google.de/books?id=yw-hBgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q=%22Algebraisch%20unabh%C3%A4ngige%22&f=false)?

Gibt es andere Literaturstellen oder Beweise für Van der Waerdens Aussage?

(Bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen Dank.
H0Iger SchuIz
2018-03-10 14:41:44 UTC
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Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Mehr weiß amn über diese Funktionen nicht. Haben die vielleicht auch
Definitions- und Wertebereiche? Wenn ich das richtig sehe, ist es bei
"algebraischer (Un)abhängigkeit" gut zu wissen, in welchem Körper man
überhaupt hantiert, oder?

hs
IV
2018-03-10 16:54:18 UTC
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Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Mehr weiß man über diese Funktionen nicht. Haben die vielleicht auch
Definitions- und Wertebereiche? Wenn ich das richtig sehe, ist es bei
"algebraischer (Un)abhängigkeit" gut zu wissen, in welchem Körper man
überhaupt hantiert, oder?
Mehr weiß man über diese Funktionen nicht.
H0Iger SchuIz
2018-03-12 11:22:38 UTC
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Raw Message
Mehr weiß man über diese Funktionen nicht.
Dann verstehe ich noch nicht mal, ob die "algebraische Unabhängigkeit"
Sinn macht. Da muss man doch wohl eine algebraische Struktur zu Grunde
legen, die sich auch in den Definitions- und Wertebereichen der
betrachteten Funktionen irgendwie wiederfinden sollte.

hs
IV
2018-03-12 19:40:16 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
ln(e^f1(z) + e^f2(z))
nicht so vereinfacht werden kann, daß f1(z) und/oder f2(z) nicht mehr
enthalten ist?
Mehr weiß man über diese Funktionen nicht. Haben die vielleicht auch
Definitions- und Wertebereiche? Wenn ich das richtig sehe, ist es bei
"algebraischer (Un)abhängigkeit" gut zu wissen, in welchem Körper man
überhaupt hantiert, oder?
Post by H0Iger SchuIz
Mehr weiß man über diese Funktionen nicht.
Dann verstehe ich noch nicht mal, ob die "algebraische Unabhängigkeit"
Sinn macht. Da muss man doch wohl eine algebraische Struktur zu Grunde
legen, die sich auch in den Definitions- und Wertebereichen der
betrachteten Funktionen irgendwie wiederfinden sollte.
Natürlich hast Du recht: den Begriff "algebraische Unabhängigkeit" an sich
gibt es nicht - es gibt nur "algebraische Unabhängigkeit über einem
gegebenen Körper".
Ein recht allgemeiner sinnvoller Körper für f1(z) und f2(z) im Ausdruck oben
ist \mathbb{C}.
Wenn f1(z) und f2(z) über \mathbb{C} algebraisch sind, dann sind sie auch
über allen Unterkörpern von \mathbb{C} algebraisch unabhängig.
Detlef Müller
2018-03-10 20:38:29 UTC
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Raw Message
Hallo, IV,
Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
                    ln(e^f1(z) + e^f2(z))
nicht so vereinfacht werden kann, daß f1(z) und/oder f2(z) nicht mehr
enthalten ist?
Nehmen wir als Grundring mal den Körper IQ der rationalen
Zahlen.

Algebraisch unabhängig heißt dann doch, daß es kein Polynome
p aus dem Polynomring IQ(X,Y) gibt, so daß
p(f1,f2) = 0 (*)
gilt (also Einsetzen der Funktionen in das Polynom p für
die Unbestimmten ergibt die 0-Funktion).

Wählen wir
f1(z):=log(z^2) und f2(z):=log(4-z^2)
(definiert auf dem Intervall (0,2))
und angenommen, f1 und f2 wären algebraisch abhängig,
so gäbe es ein Polynom p aus IQ(X,Y), das (*) erfüllt,
also insbesondere (setze z=1)

p(log(1),log(3))=p(0,log(3))=0

und damit wäre log(3) als Nullstelle des Polynoms
p(0,Y) aus IQ(Y) algebraisch über IQ,
was nach de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl nicht
der Fall ist.

Bis hier ist gezeigt: Die Funktionen f1:=log(z^2) und
f2:=log(4-z^2) sind algebraisch unabhängig über IQ.

Nun ist

ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(z^2+4-z^2) = ln(4)

eine konstante Funktion, d.h. es gibt eine Vereinfachung,
in der weder f1 noch f2 "auftauchen".
Post by IV
[...]
Entweder habe ich bei der Konstruktion irgend etwas falsch
gemacht, oder der Satz ist falsch.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Torn Rumero DeBrak
2018-03-10 23:01:01 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
Hallo, IV,
Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
                     ln(e^f1(z) + e^f2(z))
nicht so vereinfacht werden kann, daß f1(z) und/oder f2(z) nicht mehr
enthalten ist?
Nehmen wir als Grundring mal den Körper IQ der rationalen
Zahlen.
Algebraisch unabhängig heißt dann doch, daß es kein Polynome
p aus dem Polynomring IQ(X,Y) gibt, so daß
 p(f1,f2) = 0 (*)
gilt (also Einsetzen der Funktionen in das Polynom p für
die Unbestimmten ergibt die 0-Funktion).
Wählen wir
 f1(z):=log(z^2) und f2(z):=log(4-z^2)
(definiert auf dem Intervall (0,2))
und angenommen, f1 und f2 wären algebraisch abhängig,
so gäbe es ein Polynom p aus IQ(X,Y), das (*) erfüllt,
also insbesondere (setze z=1)
 p(log(1),log(3))=p(0,log(3))=0
und damit wäre log(3) als Nullstelle des Polynoms
p(0,Y) aus IQ(Y) algebraisch über IQ,
Hier liegt der Hase begraben: p(0,Y) kann das identische
Nullpolynom sein, so daß die Argumentation nicht greift.
Post by Detlef Müller
was nach de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl nicht
der Fall ist.
Bis hier ist gezeigt: Die Funktionen f1:=log(z^2) und
f2:=log(4-z^2) sind algebraisch unabhängig über IQ.
Nun ist
 ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(z^2+4-z^2) = ln(4)
eine konstante Funktion, d.h. es gibt eine Vereinfachung,
in der weder f1 noch f2 "auftauchen".
Post by IV
[...]
Entweder habe ich bei der Konstruktion irgend etwas falsch
gemacht, oder der Satz ist falsch.
s. o.
Post by Detlef Müller
Gruß,
  Detlef
Aloha
Detlef Müller
2018-03-11 02:56:19 UTC
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Raw Message
Hallo, Torn,
[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Post by IV
f1 und f2 seien voneinander algebraisch unabhängige Funktionen.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
                     ln(e^f1(z) + e^f2(z))
nicht so vereinfacht werden kann, daß f1(z) und/oder f2(z) nicht mehr
enthalten ist?
Nehmen wir als Grundring mal den Körper IQ der rationalen
Zahlen.
Algebraisch unabhängig heißt dann doch, daß es kein Polynom
p aus dem Polynomring IQ(X,Y) gibt, so daß
  p(f1,f2) = 0 (*)
gilt (also Einsetzen der Funktionen in das Polynom p für
die Unbestimmten ergibt die 0-Funktion).
Wählen wir
  f1(z):=log(z^2) und f2(z):=log(4-z^2)
(definiert auf dem Intervall (0,2))
und angenommen, f1 und f2 wären algebraisch abhängig,
so gäbe es ein Polynom p aus IQ(X,Y), das (*) erfüllt,
also insbesondere (setze z=1)
  p(log(1),log(3))=p(0,log(3))=0
und damit wäre log(3) als Nullstelle des Polynoms
p(0,Y) aus IQ(Y) algebraisch über IQ,
Hier liegt der Hase begraben: p(0,Y) kann das identische
Nullpolynom sein, so daß die Argumentation nicht greift.
In der Tat, da ist eine Lücke!

Allerdings ist, falls p(0,Y) das Nullpolynom ist, auch
P(X,Y) = X^k*f(X,Y) für ein f aus IQ[X,Y], k>=1, da ja
wenn p(X,Y)= summe[a_{j,k}*X^jY^k] mit a_{j,k} aus IQ ist,
alle Terme der Gestalt a_{0,k}*X^0*Y^k verschwinden müssen.
Wäre f(X,Y) eine Einheit, also ein q ungleich 0 aus IQ, so folgte
0 = P(f1,f2) = q*f1 und damit f1 = 0, was nicht der
Fall ist.
Somit ist dann p reduzibel in IQ[X,Y].
Stellt sich die Frage, ob man sich auf irreduzible Polynome
beschränken kann (für die Definition von "Algebraisch
unabhängige Funktionen") ...
Wenn p = p1*p2, (p1,p2 in IQ[X,Y] nicht konstant) ist, könnte
ja unser Definitionsbereich (0,2) in zwei Teilmengen T1 und
T2 zerfallen, so daß
- p1(f1(z),f2(z)) für z aus T1 konstant 0 ist,
- p2(f1(z),f2(z)) für z aus T2 konstant 0 ist,
aber
- weder p1 noch p2 auf ganz (0,2) verschwinden.

Für unser f1 und f2 und p1=X^k (wobei wir k maximal wählen, s.d.
p2(0,Y) nicht das Nullpolynom ist) würde daß heißen, daß
T2={1} ist und p2(f1(z),f2(z)) auf (0,2) ohne {1}
konstant 0 sein müsste.
Weiter muß ja auch p(f1(sqrt(3)),f2(sqrt(3))=p(log(3),0)=0
sein.
Das geht analog nur, wenn p einen Faktor Y^l, l>0 abspaltet,
und wir hätten p2(X,Y)= Y^l*p3(X,Y) - ansonsten wäre ja log(3)
algebraisch. Wählen wir wieder l maximal, erhalten wir
p=X^k*Y^l*p3 und p3(f1(z),f2(z)) müsste auf (0,2) ohne {1,sqrt(3)}
konstant 0 sein.
Dann müsste die Menge
G={(log(z^2),log(4-z^2)) | z aus (0,2) ohne {1,sqrt(3)}}
Teilmenge einer affinen Varietät, nämlich dem Nullstellengebilde
von p3 sein ...
G kann auch als
y=log(4-e^x)=x+log(4e^(-x)-1), x aus dem Intervall (-unendlich, log(4))
beschrieben werden - da kann ich nur sagen, daß ich den starken
Verdacht habe, daß daraus p3=0 folgt, bin aber in algebraischer
Geometrie gerade nicht fit genug bin, das zu beweisen (die
Idee wäre, daß G eben keine affine Varietät ist und so
unendlich viele unabhängige Nullstellen von p(X,Y) im IR^2
liefert).

Natürlich könnte ich auch völlig daneben liegen und
zu log(z^2) und log(4-z^2) gibt es doch ein nicht konstantes
Polynom mit p(log(z^2), log(4-z^2)) = 0.

Gruß,
Detlef

[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Aloha
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
IV
2018-03-12 21:19:59 UTC
Permalink
Raw Message
Bis hier ist gezeigt: Die Funktionen f1:=log(z^2) und f2:=log(4-z^2) sind
algebraisch unabhängig über IQ.
Natürlich könnte ich auch völlig daneben liegen und zu log(z^2) und
log(4-z^2) gibt es doch ein nicht konstantes Polynom mit p(log(z^2),
log(4-z^2)) = 0.
Sind denn ln(z^2) und ln(4-z^2) über \mathbb{C} algebraisch unabhängig
voneinander? Ich weiß es nicht.
Ich habe keinen Körper angegeben, über dem die beiden Funktionen f1 und f2
algebraisch unabhängig sein sollen. Ich meine damit, daß der allgemeinste
mögliche Körper gewählt werden soll.
Dein Beispiel läßt mich aber vermuten, daß in meinem Problem die
algebraische Unabhängigkeit über dem Körper der Elementaren Funktionen
(Wikipedia en: Elementary function) gemeint ist.
Zwischen f1 und f2 soll keine Algebraische Funktion bestehen: es soll keine
algebraische Funktionen A1 und A2 geben für die f2 = A1 \circ f1 oder f1 =
A2 \circ f2 ist.
H0Iger SchuIz
2018-03-13 06:01:00 UTC
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Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich weöcher Verknüpfungen
soll das ein Körper sein?

hs
IV
2018-03-13 17:59:59 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich welcher Verknüpfungen
soll das ein Körper sein?
Ritt 1925: "The elementary functions are understood here to be those which
are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations
and taking exponentials and logarithms."
Bezüglich der algebraischen Operationen (Wikipedia en: Algebraic operation
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_operation).
H0Iger SchuIz
2018-03-13 19:41:06 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich welcher Verknüpfungen
soll das ein Körper sein?
Ritt 1925: "The elementary functions are understood here to be those which
are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations
and taking exponentials and logarithms."
Bezüglich der algebraischen Operationen (Wikipedia en: Algebraic operation
https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_operation).
Das ist keine Antwort auf die gestellte Frage. So kann man keine Aussage
darüber machen, ob ein Körper vorliegt.

hs
IV
2018-03-13 20:37:49 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen (Wikipedia en: Elementary function)
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich welcher
Verknüpfungen soll das ein Körper sein?
Bezüglich der algebraischen Operationen (Wikipedia en: Algebraic
operation https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_operation).
Das ist keine Antwort auf die gestellte Frage. So kann man keine Aussage
darüber machen, ob ein Körper vorliegt.
Das steckt alles in dem Satz hier drin: "The elementary functions are
understood here to be those which are obtained in a finite number of steps
by performing algebraic operations and taking exponentials and logarithms."
[Ritt 1925]
Die Elementaren Funktionen bilden einen Körper.
Er wird aus seinem Konstantenkörper, den Komplexen Zahlen, durch
algebraische, exponentielle und logarithmische Körpererweiterungen erzeugt.
Er ist abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division ohne Nenner 0.
(Nun hast Du mich wieder aufs mathematische Glatteis gezwungen und hast
sicher wieder viel Gelegenheit, meine unmathematische, unpräzise/falsche
Ausdrucksweise zu kritisieren.)
H0Iger SchuIz
2018-03-14 18:10:22 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen (Wikipedia en: Elementary function)
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich welcher
Verknüpfungen soll das ein Körper sein?
Bezüglich der algebraischen Operationen (Wikipedia en: Algebraic
operation https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_operation).
Das ist keine Antwort auf die gestellte Frage. So kann man keine Aussage
darüber machen, ob ein Körper vorliegt.
Das steckt alles in dem Satz hier drin: "The elementary functions are
understood here to be those which are obtained in a finite number of steps
by performing algebraic operations and taking exponentials and logarithms."
[Ritt 1925]
Die Elementaren Funktionen bilden einen Körper.
Er wird aus seinem Konstantenkörper, den Komplexen Zahlen, durch
algebraische, exponentielle und logarithmische Körpererweiterungen erzeugt.
Er ist abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division ohne Nenner 0.
Das ist immer noch keine Antwort auf die Frage. Zu einem Körper gehören
aber nunmal neben einer Menge noch zwei Verknüpfungen (und zwei neutrale
Elemente). Wenn man die nicht benennen kann, ist die Aussage, das ein
Körper vorliege, sinnlos.
Post by IV
(Nun hast Du mich wieder aufs mathematische Glatteis gezwungen und hast
sicher wieder viel Gelegenheit, meine unmathematische, unpräzise/falsche
Ausdrucksweise zu kritisieren.)
Pfft. Wozu sollte ich? Ich würde nur gerne verstehen, worum es geht.

hs
IV
2018-03-14 21:25:03 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen (Wikipedia en: Elementary function)
Bevor hier wieder was geschlabbert wird, bezüglich welcher
Verknüpfungen soll das ein Körper sein?
Bezüglich der algebraischen Operationen (Wikipedia en: Algebraic
operation https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_operation).
Das ist keine Antwort auf die gestellte Frage. So kann man keine Aussage
darüber machen, ob ein Körper vorliegt.
Das steckt alles in dem Satz hier drin: "The elementary functions are
understood here to be those which are obtained in a finite number of
steps by performing algebraic operations and taking exponentials and
logarithms." [Ritt 1925]
Die Elementaren Funktionen bilden einen Körper.
Er wird aus seinem Konstantenkörper, den Komplexen Zahlen, durch
algebraische, exponentielle und logarithmische Körpererweiterungen erzeugt.
Er ist abgeschlossen bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und
Division ohne Nenner 0.
Das ist immer noch keine Antwort auf die Frage. Zu einem Körper gehören
aber nunmal neben einer Menge noch zwei Verknüpfungen (und zwei neutrale
Elemente). Wenn man die nicht benennen kann, ist die Aussage, das ein
Körper vorliege, sinnlos.
(Ich weiß nicht, ob Du nicht siehst daß das ein Körper ist, ob Du
bezweifelst daß das ein Körper ist, oder ob Du willst daß ich beweise daß
das ein Körper ist.)
Verknüpfungen: Addition und Multiplikation
Neutrale Elemente: 0 und 1
Post by H0Iger SchuIz
Ich würde nur gerne verstehen, worum es geht.
Wirklich? Ich muß die Problemstellung ändern, fürchte aber, daß das Problem
dann hier zu weit führt und hier von Euch nicht gelöst werden kann (Es ist
Neuland.). Weiter morgen in einem anderen Thread (Teil III).
H0Iger SchuIz
2018-03-15 06:32:27 UTC
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Raw Message
Post by IV
daß ich beweise daß
das ein Körper ist.
Quellenangabe reicht.

hs
IV
2018-03-15 18:13:44 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Quellenangabe reicht
Davenport J. H.: What Might “Understand a Function” Mean? In: Kauers, M. u.
a.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. 14th Symposium, Calculemus
2007, 6th International Conference, MKM 2007, Hagenberg, Austria, June
27-30, 2007. Proceedings
https://www.semanticscholar.org/paper/What-Might-%22Understand-a-Function%22-Mean%3F-Davenport/3b2f16e35f86d53bc75429e8431e0a453e9af3e4
"Definition 3. Let K be a field of functions in R --> R (or C --> C). f(x),
a function from R --> R (or C --> C) is said to be an elementary (resp.
Liouvillian) function if it lies in some elementary (resp. Liouvillian)
extension K(θ1, . . .θn) of K."

Khovanskii, A.: Topological Galois Theory. Solvability and Unsolvability of
Equations in Finite Terms. Springer 2014b
Google Books:
https://books.google.de/books?id=u_3HBAAAQBAJ&pg=PA13&lpg=PA13&dq=%22class+of+elementary+functions+if+and+only+if%22&source=bl&ots=k2J0YYuWSW&sig=LsszeUe0Vb8o7fLQzJJtrl9OgmA&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwiGp83q7u7ZAhUE66QKHWzID4UQ6AEIJzAA#v=onepage&q=%22class%20of%20elementary%20functions%20if%20and%20only%20if%22&f=false
"Theorem 1.6 A function of one complex variable (possibly multivalued)
belongs to:
1. The class of elementary functions if and only if it belongs to some
elementary extension of the field of all rational functions of one variable"
IV
2018-03-17 20:53:19 UTC
Permalink
Raw Message
"IV" schrieb im Newsbeitrag news:p8ed53$jhg$***@news.albasani.net...

Van der Waerden, B. L.: Algebra:
https://books.google.de/books?id=UM-1BgAAQBAJ&pg=PA50&lpg=PA50&dq=Funktionenk%C3%B6rper&source=bl&ots=-jON7sRE67&sig=NauDcTlTfXl_dB7l8ihSS6wFkDU&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwinsa74s_PZAhWjxVkKHQTtClUQ6AEIvwEwHg#v=onepage&q=Funktionenk%C3%B6rper&f=false
"Unter einem rationalen Funktionenkörper verstehen wir den Körper
K(t_1,...,t_r) der rationalen Funktionen der Unbestimmten t_1,...,t_r.
Unter einem algebraiaschen Funktionenkörper verstehen wir irgend eine
algebraische Erweiterung des rationalen Funktionenkörpers K(t_1,...,t_r).
Die Elemente eines solchen Körpers heißen algebraische Funktionen von
t_1,...,t_r."
Torn Rumero DeBrak
2018-03-18 22:20:56 UTC
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Post by IV
https://books.google.de/books?id=UM-1BgAAQBAJ&pg=PA50&lpg=PA50&dq=Funktionenk%C3%B6rper&source=bl&ots=-jON7sRE67&sig=NauDcTlTfXl_dB7l8ihSS6wFkDU&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwinsa74s_PZAhWjxVkKHQTtClUQ6AEIvwEwHg#v=onepage&q=Funktionenk%C3%B6rper&f=false
"Unter einem rationalen Funktionenkörper verstehen wir den Körper
K(t_1,...,t_r) der rationalen Funktionen der Unbestimmten t_1,...,t_r.
Unter einem algebraiaschen Funktionenkörper verstehen wir irgend eine
algebraische Erweiterung des rationalen Funktionenkörpers K(t_1,...,t_r).
Die Elemente eines solchen Körpers heißen algebraische Funktionen von
t_1,...,t_r."
Du beharrst immer auf einer "urtümlichen" Notation, die nicht auf dem
halbwegs aktuellen Stand der Mathematik beruht. Deshalb

a) verstehst du wohl die alte Semantik nicht
b) verstehen die Mitleser deine Fehlbenutzung dieser
Begriffe noch weniger.

Es ist zwar nicht meine Absicht, hier einen modernen Algebrakurs zu
halten, hier aber folgende Bemerkungen:

Eine Funktion f: A -> B, x |-> f(x), ordnet jedem Element x aus A
einen Funktionswert f(x) aus B zu.

Ein Polynom in einer Unbestimmten X ist ein formaler Ausdruck, der
als
n
---
f(X) = \ a_i X^i
/
---
i=0

mit bestimmten Rechenregeln geschrieben werden kann, wobei die a_i
Elemente aus einem kommutativen Körper sind (eventuell nur Ring, aber
Körpereigenschaften machen das Rechnen einfacher) und das Symbol X NICHT
zu diesem Körper gehört.

Beispiele:

Ab jetzt sei der Körper Z/2Z als Grundkörper gewählt,
d.h. die Menge {0, 1} mit den Rechenregeln
0+0 = 1+1 = 0,
0+1 = 1+0 = 1,
0*0 = 0*1 = 1*0 = 0,
1*1 = 1
a*(b*c) = (a*b)*c
a*(b+c)=a*b + a*c für a,b,c e Z/2Z

Wir nehmen die Funktion f: Z/2Z -> Z/2Z, x |-> 1*x*x + 1*x .
Für diese Funktion f gilt nun f(0) = f(1) = 0, d.h.
sie ist auf Z/2Z die konstante Nullfunktion, denn für
jedes Element aus dem Definitionsbereich Z/2Z stimmen beide
Funktionen (f und die Nullfunktion) überein.
Die Menge der Funktionen { (f, Z/2Z, Z/2Z) } aus Z/2Z bilden deshalb
keinen Körper bezüglich der Operationen + und *, da es zu f keine
inverse Funktion gibt. Du kannst ja einmal die 4 möglichen Funktionen
auflisten.


Jetzt zu Polynomen.
Sei f(X)=1*X*X + 1*X ein Polynom in der Unbestimmten X über dem Körper
Z/2Z.
Dann ist dieses Polynom f(X) beileibe NICHT das konstante Nullpolynom
0*X^0 auf diesem Körper, denn beide unterscheiden sich in den
Koeffizienten vor den Potenzen der Unbestimmten X.

Deshalb kann man auch bezüglich der Multiplikation bei den rationalen
Funktionen (= Quotienten von Polynomen) ein multiplikativ Inverses bilden:

f^(-1)(X) = 1/(X*X + X)

Diese rationalen Funktionen bilden dann einen Körper.

Du darfst jetzt aber in diesen Quotienten-Polynomen nicht die
Unbestimmte X durch konkrete Zahlenwerte aus dem Körper ersetzen,
um z.B. den Wert an einer Stelle zu berechnen. Das geht dann in der
Regel bei rationalen Funktionen an den Nullstellen des Nennerpolynoms
schief.


Ich hoffe, das hat dir zum Verständnis weiter geholfen. Bitte bediene
dich hier im Folgenden einer präziseren Sprechweise und werfe nicht
inkompatible Begriffe durcheinander.

Aloha
Carlos Naplos
2018-03-18 22:28:54 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
wobei die a_i
Elemente aus einem kommutativen Körper sind
Gibt es auch nicht kommutative Körper?
Torn Rumero DeBrak
2018-03-19 22:19:02 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Post by Torn Rumero DeBrak
wobei die a_i
Elemente aus einem kommutativen Körper sind
Gibt es auch nicht kommutative Körper?
Natürlich nicht. Es sollte nur unterstreichen, dass, wenn
man einen Ring benutzt (wie ich im Nachsatz geschrieben habe),
man für die a_i Elemente nehmen muss, die mit allen anderen Elementen
aus dem Ring kommutieren, was ja im Körper immer der Fall ist.

Aloha
Torn Rumero DeBrak
2018-03-19 22:26:02 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Post by Torn Rumero DeBrak
wobei die a_i
Elemente aus einem kommutativen Körper sind
Gibt es auch nicht kommutative Körper?
Laut Wikipedia sollen einige Autoren einen Körper
ohne die Kommutativität definieren, so dass diese dann
explizit kommutative Körper und nicht-kommutative Körper
unterscheiden.
Ich kenne da nur den Begriff des Schiefkörpers, wenn keine
Kommutativität vorliegt.

Aloha
Carlos Naplos
2018-03-20 00:28:22 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Carlos Naplos
Post by Torn Rumero DeBrak
wobei die a_i
Elemente aus einem kommutativen Körper sind
Gibt es auch nicht kommutative Körper?
Laut Wikipedia sollen einige Autoren einen Körper
ohne die Kommutativität definieren, so dass diese dann
explizit kommutative Körper und nicht-kommutative Körper
unterscheiden.
Z.B. hier: http://www.informatik.uni-bremen.de/~gamst/KommKoerper.pdf
Post by Torn Rumero DeBrak
Ich kenne da nur den Begriff des Schiefkörpers, wenn keine
Kommutativität vorliegt.
So kenne ich das auch.

Es gibt noch den Fastkörper. "Er verallgemeinert den Begriff
Schiefkörper insofern, als nur eines der Distributivgesetze gefordert
wird." (ebenfalls Wikipedia)

Gruß CN
IV
2018-03-19 18:56:05 UTC
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Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
https://books.google.de/books?id=UM-1BgAAQBAJ&pg=PA50&lpg=PA50&dq=Funktionenk%C3%B6rper&source=bl&ots=-jON7sRE67&sig=NauDcTlTfXl_dB7l8ihSS6wFkDU&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwinsa74s_PZAhWjxVkKHQTtClUQ6AEIvwEwHg#v=onepage&q=Funktionenk%C3%B6rper&f=false
"Unter einem rationalen Funktionenkörper verstehen wir den Körper
K(t_1,...,t_r) der rationalen Funktionen der Unbestimmten t_1,...,t_r.
Unter einem algebraischen Funktionenkörper verstehen wir irgend eine
algebraische Erweiterung des rationalen Funktionenkörpers K(t_1,...,t_r).
Die Elemente eines solchen Körpers heißen algebraische Funktionen von
t_1,...,t_r."
Du beharrst immer auf einer "urtümlichen" Notation, die nicht auf dem
halbwegs aktuellen Stand der Mathematik beruht. Deshalb
a) verstehst du wohl die alte Semantik nicht
b) verstehen die Mitleser deine Fehlbenutzung dieser Begriffe noch
weniger.
Kannst Du bitte noch kurz angeben, welche Notation Du mit "urtümlich"
meinst? Ich weiß doch gar nicht was Du meinst. Meinst Du die Notation von
Van der Waerden? Oder meinst Du die unpräzise "physikalische" Sprechweise
"die Funktion y = f(x)"? Da ich oben aus Literaturstellen zitiere, mußte ich
natürlich die veralteten Notationen zitieren.
Und mit der alten Notation verstehe ich die alte Semantik nicht?
Post by Torn Rumero DeBrak
Die Menge der Funktionen ... bilden deshalb keinen Körper bezüglich der
Operationen + und *, da es zu f keine inverse Funktion gibt.
Als inverse Funktion wird üblicherweise die Umkehrfunktion bezeichnet, oder?
Du meinst "kein inverses Element", oder?

Bei mir geht es um rationale, algebraische oder elementare Funktionen der
Elementaren Algebra, also um Funktionen D \subseteq \mathbb{R} -->
\mathbb{R} oder D \subseteq \mathbb{C} --> \mathbb{C}. Diese werden in der
Abstrakten Algebra als rationale, algebraische bzw. elementare Funktionen
über \mathbb{R} oder \mathbb{C} behandelt.
Post by Torn Rumero DeBrak
Diese rationalen Funktionen bilden dann einen Körper.
Du darfst jetzt aber in diesen Quotienten-Polynomen nicht die Unbestimmte
X durch konkrete Zahlenwerte aus dem Körper ersetzen, um z.B. den Wert an
einer Stelle zu berechnen. Das geht dann in der Regel bei rationalen
Funktionen an den Nullstellen des Nennerpolynoms schief.
Ich verstehe auch hier nicht was Du meinst. Auch die Funktion f mit f: x
\mapsto f(x) = 1/x ist eine rationale Funktion, auch sie ist für x = 0 nicht
definiert. Trotzdem kann man sie sowohl in der Elementaren Algebra als auch
in der Abstrakten Algebra behandeln.
Es geht um Abstrakte Algebra: die konkreten Koeffizientenkörper (bei mir
\mathbb{R} oder \mathbb{C}) können berücksichtigt werden, müssen aber nicht,
und die Definitionsbereiche der Funktionen brauchen ebensowenig
berücksichtigt werden. Siehe meine Literaturstellen oben.
Post by Torn Rumero DeBrak
Ich hoffe, das hat dir zum Verständnis weiter geholfen. Bitte bediene dich
hier im Folgenden einer präziseren Sprechweise und werfe nicht
inkompatible Begriffe durcheinander.
Kannst Du bitte noch kurz angeben, welche inkompatiblen Begriffe ich
durcheinandergeworfen habe? Ich weiß doch gar nicht was Du meinst.
Torn Rumero DeBrak
2018-03-19 22:43:38 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
https://books.google.de/books?id=UM-1BgAAQBAJ&pg=PA50&lpg=PA50&dq=Funktionenk%C3%B6rper&source=bl&ots=-jON7sRE67&sig=NauDcTlTfXl_dB7l8ihSS6wFkDU&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwinsa74s_PZAhWjxVkKHQTtClUQ6AEIvwEwHg#v=onepage&q=Funktionenk%C3%B6rper&f=false
"Unter einem rationalen Funktionenkörper verstehen wir den Körper
K(t_1,...,t_r) der rationalen Funktionen der Unbestimmten t_1,...,t_r.
Unter einem algebraischen Funktionenkörper verstehen wir irgend eine
algebraische Erweiterung des rationalen Funktionenkörpers
K(t_1,...,t_r).
Die Elemente eines solchen Körpers heißen algebraische Funktionen von
t_1,...,t_r."
Du beharrst immer auf einer "urtümlichen" Notation, die nicht auf dem
halbwegs aktuellen Stand der Mathematik beruht. Deshalb
a) verstehst du wohl die alte Semantik nicht
b) verstehen die Mitleser deine Fehlbenutzung dieser Begriffe noch
weniger.
Kannst Du bitte noch kurz angeben, welche Notation Du mit "urtümlich"
meinst? Ich weiß doch gar nicht was Du meinst. Meinst Du die Notation
von Van der Waerden? Oder meinst Du die unpräzise "physikalische"
Sprechweise "die Funktion y = f(x)"? Da ich oben aus Literaturstellen
zitiere, mußte ich natürlich die veralteten Notationen zitieren.
Und mit der alten Notation verstehe ich die alte Semantik nicht?
Post by Torn Rumero DeBrak
Die Menge der Funktionen ... bilden deshalb keinen Körper bezüglich
der Operationen + und *, da es zu f keine inverse Funktion gibt.
Als inverse Funktion wird üblicherweise die Umkehrfunktion bezeichnet,
oder? Du meinst "kein inverses Element", oder?
Bei mir geht es um rationale, algebraische oder elementare Funktionen
der Elementaren Algebra, also um Funktionen D \subseteq \mathbb{R} -->
\mathbb{R} oder D \subseteq \mathbb{C} --> \mathbb{C}. Diese werden in
Und das ist es nicht, siehe unten. Bei die geht es NICHT um Funktionen,
da du auch immer auf die Angabe des Definitionsbereichs verzichtest.
Post by IV
der Abstrakten Algebra als rationale, algebraische bzw. elementare
Funktionen über \mathbb{R} oder \mathbb{C} behandelt.
Post by Torn Rumero DeBrak
Diese rationalen Funktionen bilden dann einen Körper.
Du darfst jetzt aber in diesen Quotienten-Polynomen nicht die
Unbestimmte X durch konkrete Zahlenwerte aus dem Körper ersetzen, um
z.B. den Wert an einer Stelle zu berechnen. Das geht dann in der Regel
bei rationalen Funktionen an den Nullstellen des Nennerpolynoms schief.
Ich verstehe auch hier nicht was Du meinst. Auch die Funktion f mit f: x
\mapsto f(x) = 1/x ist eine rationale Funktion, auch sie ist für x = 0
nicht definiert. Trotzdem kann man sie sowohl in der Elementaren Algebra
als auch in der Abstrakten Algebra behandeln.
Es geht um Abstrakte Algebra: die konkreten Koeffizientenkörper (bei mir
\mathbb{R} oder \mathbb{C}) können berücksichtigt werden, müssen aber
nicht, und die Definitionsbereiche der Funktionen brauchen ebensowenig
berücksichtigt werden. Siehe meine Literaturstellen oben.
Post by Torn Rumero DeBrak
Ich hoffe, das hat dir zum Verständnis weiter geholfen. Bitte bediene
dich hier im Folgenden einer präziseren Sprechweise und werfe nicht
inkompatible Begriffe durcheinander.
Kannst Du bitte noch kurz angeben, welche inkompatiblen Begriffe ich
durcheinandergeworfen habe? Ich weiß doch gar nicht was Du meinst.
Platt ausgedrückt: "rationale Funktionen" sind keine Funktionen, sondern
Quotienten von Polynomen, d.h. von formalen Ausdrücken mit nicht im
Koeffizientenkörper vorkommenden Symbolen. Das wird im modernen
Schriftwechsel dadurch unterstrichen, dass für Funktionen das Argument
x,y oder z.B. z ist, in Polynomen aber Symbole X, X_i verwendet werden.

Deshalb meine ich, dass in deinen Artikeln du immer x oder z mit einem
Polynomsymbol verwechselst und in deinem Schriftverkehr auch nicht
konsequent unterscheidest.

Aus diesem Grund wurden die großgeschriebenen Symbole eingeführt.

Wieder ein anderes Thema wären Polynomfunktionen P(x) mit Argumenten x
aus dem Koeffizientenkörper, die aber einen Definitionsbereich brauchen.

Du sihst also, man muss bei den verwendeten Begriffen genau
unterscheiden. In der Schulmathematik wird darauf meistens verzichtet.




Aloha
IV
2018-03-20 21:10:14 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Die Menge der Funktionen ... bilden deshalb keinen Körper bezüglich der
Operationen + und *, da es zu f keine inverse Funktion gibt.
Platt ausgedrückt: "rationale Funktionen" sind keine Funktionen, sondern
Quotienten von Polynomen, d.h. von formalen Ausdrücken mit nicht im
Koeffizientenkörper vorkommenden Symbolen. Das wird im modernen
Schriftwechsel dadurch unterstrichen, dass für Funktionen das Argument x,y
oder z.B. z ist, in Polynomen aber Symbole X, X_i verwendet werden.
Deshalb meine ich, dass in deinen Artikeln du immer x oder z mit einem
Polynomsymbol verwechselst und in deinem Schriftverkehr auch nicht
konsequent unterscheidest.
Aus diesem Grund wurden die großgeschriebenen Symbole eingeführt.
Vielen Dank für den Hinweis mit dem Unterschied zwischen großem und kleinem
X. Ich hatte mir diesen Unterschied zwar schon länger gedacht, aber noch
nichts dazu nachgelesen.
Ich wüßte nicht, daß ich einen Term geschrieben habe in dem eine algebraisch
Unbestimmte (großes X) hätte geschrieben werden müssen, denn ich habe doch
noch gar keine Körper-Ausdrücke behandelt.
Mein Eindruck ist, daß man die Funktionenklassen der Analysis und der
Elementaren Algebra (die mit kleinem x) in der Abstrakten Algebra als Körper
(mit großem X) behandeln kann. Und die modernen Literaturstellen, z. B. die
in news:p8ed53$jhg$***@news.albasani.net,
zeigen, daß man die dadurch gewonnenen Aussagen dann wieder auf die
Funktionen (die mit kleinem x) anwenden kann.
IV
2018-03-21 18:27:21 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Davenport J. H.: What Might “Understand a Function” Mean? In: Kauers, M.
u. a.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. 14th Symposium,
Calculemus 2007, 6th International Conference, MKM 2007, Hagenberg,
Austria, June 27-30, 2007. Proceedings
https://www.semanticscholar.org/paper/What-Might-%22Understand-a-Function%22-Mean%3F-Davenport/3b2f16e35f86d53bc75429e8431e0a453e9af3e4
"Definition 3. Let K be a field of functions in R --> R (or C --> C).
f(x), a function from R --> R (or C --> C) is said to be an elementary
(resp. Liouvillian) function if it lies in some elementary (resp.
Liouvillian) extension K(θ1, . . .θn) of K."
Könnt Ihr mir bitte helfen, ich weiß nicht wo ich das nachlesen kann.
Sind diese Methoden der Abstrakten Algebra (oder Differentialalgebra)
wirklich nur auf Funktionen mit dem Definitionsbereich R bzw. C anwendbar?
Oder kann man sie auch auf Funktionen mit nichtdiskretem oder zumindest
offenem Definitionsbereich D \subseteq R bzw. D \subseteq C anwenden?
Martin Vaeth
2018-03-21 21:30:37 UTC
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Raw Message
Post by IV
Könnt Ihr mir bitte helfen
Zunächst mal: Lass Dich von den kleinkarierten Postings hier
nicht ins Bockshorn jagen. _Selbstverständlich_ bilden die
elementaren Funktionen bei jeder der gängigen Definitionen
von "elementar" einen Körper. Anscheindend haben viele Poster
hier noch nie etwas vom Körper der meromorphen Funktionen gehört o.ä.
Und natürlich ist es Pipifax, ob man dabei formale Variablen klein
oder großschreibt oder sie mit x oder X oder z bezeichnet.

Wir hatten das doch schon mal vor ein paar Monaten/Jahren(?)
diskutiert: In einer der klassischen Definitionen (war es Rosenblum?)
hat man es nur mit analytischen Funktionen zu tun, und da genügt es,
einen Funktionskeim in irgendeinem Punkt zu kennen - man braucht da
also den Definitionsbereich gar nicht zu diskutieren (die sind immer
offen und dicht, wenn man beim Logarithmus - oder ggf. für andere
Stammfunktionen elementarer Funktionen - jeweils einen geeigneten
Zweig ausnimmt).

Wenn man in R arbeitet und die Wurzelfunktion auch in 0 definieren
will, wird es kompliziert, und deswegen wird das Problem meist
vermieden, indem man es dann auf abstrakte Algebra verschiebt.
Ob es da stets eine zufriedenstellende Definition gibt, wird ja
auch in dem von Dir zitierten Paper verschwiegen.
Jenes Paper ist m.E. ziemlicher Müll: Abgesehen davon, dass es außer
Trivialbeispielen praktisch keinen Inhalt hat, wird nicht einmal
Post by IV
Funktionen mit dem Definitionsbereich R bzw. C anwendbar?
Der Definitionsbereich "ganz" R bzw. C ist gerade problematisch,
weil man dann eben gerade keinen Körper mehr erhielte (denn
bereits die gebrochen-rationalen Funktionen haben natürlich Pole).
Deswegen erlaubt das Paper ja zumindest in einer Fußnote isolierte
Singularitäten, auch wenn in den Beispielen mit den Branch-Cuts
natürlich viel mehr als _isolierte_ Singularitäten eingeführt werden:
Das ist eben gerade das Problem bei der Wurzelfunktion/Logarithmus,
dass die 0 _keine_ isolierte Singularität ist. Natürlich geht das
Paper auf diesen offensichtlichen Widerspruch zwischen Definition
und Beispielen mit keinem Wort ein, was mich zur genannten
Kritik veranlasst.
IV
2018-03-22 21:36:59 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen, Definitionsbereiche
In einer der klassischen Definitionen (war es Rosenblum?) hat man es nur
mit analytischen Funktionen zu tun, und da genügt es ...
Nicht Rosenblum und nicht Kornblum, sondern Rosenlicht und Ritt.
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen, Definitionsbereiche
Sind diese Methoden der Abstrakten Algebra (oder Differentialalgebra)
wirklich nur auf Funktionen mit dem Definitionsbereich R bzw. C anwendbar?
Oder kann man sie auch auf Funktionen mit nichtdiskretem oder zumindest
offenem Definitionsbereich D \subseteq R bzw. D \subseteq C anwenden?
_Selbstverständlich_ bilden die elementaren Funktionen bei jeder der
gängigen Definitionen von "elementar" einen Körper.
...
Körper der meromorphen Funktionen
Ah ja, diese Definition der Definitionsbereiche und der Addition und
Multiplikation ist die von mir gesuchte Verbindung zwischen den Funktionen
der Analysis und Elementaren Algebra und denen der Abstrakten Algebra
(Differentialalgebra). Und die meromorphen Funktionen bilden auch auf einem
Gebiet einen Körper.
Und Risch und Rosenlicht sprechen das auch an - und jetzt verstehe ich auch,
warum überhaupt sie von meromorphen Funktionen sprechen.
Vielen Dank dafür!

Rosenlicht, M.: On the explicit solvability of certain transcendental
equations. Publications math\'ematiques de l'IH\'ES 36 (1969) 15-22
https://eudml.org/journal/10225
Ob es da stets eine zufriedenstellende Definition gibt, wird ja auch in
dem von Dir zitierten Paper verschwiegen.
Jenes Paper ist m.E. ziemlicher Müll: Abgesehen davon, dass es außer
Trivialbeispielen praktisch keinen Inhalt hat, wird nicht einmal deren
Konsistenz thematisiert
Davenports Artikel 'What Might “Understand a Function” Mean?' ist eine
schöne, anschauliche Einführung. Wir Nichtmathematiker brauchen sowas. (Von
Mathematikern bekommt man nicht immer verständliche Antworten.)
Mag sein, daß nicht alles in Davenports Artikel vollständig ist, aber es
werden einige Konzepte auch für Laien verständlich dargestellt. (Es ist auch
nur ein Computeralgebra-Tagungsbeitrag, kein mathemaischer Fachartikel.)
Jens Kallup
2018-03-15 11:47:15 UTC
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Raw Message
Für römisch Nummer 5:

ich weiss ja nicht, warum hier immer wieder mal die Theromen,
die irgendwer mal vor 100 Jahren in Englisch aufgestellt hat.

Sollte man sich vielleicht Informationen im Deutschen Raum
beschaffen, anstelle zu versuchen, Texte zu re-implementieren?

Mein Englisch ist auch kein Hohes Niveau, aber ich kann sagen,
daß manch einer Text gar eine andere Bedeutung hat ...

Bevor hier von Körpern und dergleichen gesprochen wird, sollte
eine einheitliche Basis gesetzt werden.
Ich weiss, daß die wenigen hier darauf bedacht sind von Null
auf einzusteigen oder gar auf elementare Mathematik abzusteigen;
bin halt auch kein Experte, so daß ich Dir einmal eine
Zusammenstellung geben möchte.
Sie kann von den anderen ggf. überpflogen werden, aber für Deiner
Einer wohl interssant sein könnte ...

Was ist ein Term?
Ein Term ist eine mathematische Zeichenreihe, die aus einer oder
mehreren Zahlen oder gar als Variable besteht.
Ein Term enthält *keine* Beziehungszeichen wie: =, <, >, etc...

Beispiele für Terme:

/
8 : 2 oder:/ 8
: ---- = 4 <-- vereinfacht
8 / 2 oder:\ 2
\

a^2 + b^2

83a + 123b - xz


Terme wie: 6 + x = 10 oder 7 > 3 ...
sind keine Terme!

* Gleichartige Terme liegen vor, wenn diese zum Beispiel die
gleichen Variablen aufweisen.
Sind die Variablen unterschiedlich, sind die Terme nicht als
gleichartig zu behandeln.

Beispiel: 7x oder 42x oder 9x

* Terme, die nicht gleichartig sind werden unterschiedloch behandelt,
man kann sie dann als eigenständige Gruppe ansehen:
231a oder: xy oder: 8cd

* gleichwertige Terme sind Terme, die einen gleichen Wert aufweisen:

* 4 \cdot 4 und 8 \cdot 2 sind gleichwertig, da beide Werte
als Ergebnis 16 aufweisen.

* 8 + a und a + 8 sind ebenfalls gleichwertig

Man kann Terme umformen:

x + x + x = 3x

2y + 3y + 1y = 6y

oder:

2xy + 3xy - xy = 4xy

Randnotiz:
----------
* Variablen sind keine Konstanten!
* Konstanten werden üblich auf Null / 0 gesetzt.
* Variablen, die keine Zahl an deren Anfang aufweisen werden als
eine Einheit, bzw. als _eine_ _wertmässige_ Einheit behandelt.

zum Beispiel: x steht für die Einheit: 1 * x = 1x

man denkt sich die 1, damit einfach mehr Platz auf seinen Rechen-
papier hat. Man beachte aber auch die Rechenoperatoren !!!
Nicht zu vergessen, die Einheit-Bezeichung mit angeben !
So würde zum Beispiel der Umformungs-Term:

x + x + x = 3x
1 * x + 1 * x + 1 * x = 3x zum Einstieg kann man sich auch
eine einfache Addition Vorstellen:
1 + 1 + 1 = 3

Terme kann man Zusammenfassen:

6xy + 2xy = 8xy
=>
6 * x * y + 2 * x * y = 8 * x * y
6 * 1 * 1 + 2 * 1 * 1 = 8 * 1 * 1
6 + 2 = 8

an Stelle der 1 für die Variablen, können unterschhiedliche Zahlen
eingesetzt werden: zum Beispiel x = 2, y = 3.
Ich hoffe, die verwendete 1 irretiert nicht so sehr :-)

Terme können auch Potenzen enthalten, die ebenfalls umgeformt werden
können:

2x²y³ + 4x²y³ = 6x²y³
=>
2 * x² * y³ + 4 * x² * y³ = 6 * x² * y³
2 * 2² * 3³ + 4 * 2² * 3³ = 6 * 2² * 3³
2 * 4 * 27 + 4 * 4 * 27 = 6 * 4 * 27
8 * 27 + 16 * 27 = 24 * 27
216 + 432 = 648
648 = 648

Aus Termen können auch Gleichungen nach x aufgelöst werden:

8 * 3 + x = 34
24 + x = 34 | um das x zu erhalten, wird die 24 subtrahiert
x = 10 | was auf der einen Seite gerechnet wird, muss
| auf der gegenüberliegende Seite (r/l) angewandt
| werden.

das war noch Stoff der siebten 7 Klasse.
Ein etwas Höheres Mathe-Term-Umformung:

+--------------------+--------------------+
| | |
o o o
-2sin(x) * cos²(x) - sin(x) + sin³(x) | - sin(x)

Lemma A := sin²(c) = 1 - cos²(x)

= sin(x) * (-2cos²(x) - A)
= sin(x) * (-3cos²(x))

= -3sin(x) * cos²(x)


Ordnung einer Gruppe ist die Mächtigkeit (Kardinalität)
|G| der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe
oder kurz *Gruppenordnung*.
Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.

Ein Ring ist eine Menge R mit zwei binären Verknüpfungen:
plus (+) und minus (-), so daß gilt:

* (R, +) ist eine abelsche Gruppe
* (R, -) ist eine Halbgruppe


Was ist ein mathematischer "algebraischer" Körper?
= Struktur, in der +, -, *, div angewandt werden kann
= Definition:
Ein Tripel (K,+,-) mit Menge K und zwei binären Verknüpfungen
(plus und minus) ist dann ein Körper, wenn folgendes Erfüllt ist:

(K,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutral Element 0
(K\{0},-) ... mit neutral Element 1

Was sind geometrische Körper?
= ist eine dreidimensionale Figur, die durch ihre Oberfläche beschrieben
werden kann


Was ist eine Funktion?
= eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Menge A
(Definitionsbereich) *eindeutig*
*ein* Element y in einer Menge B (Wertebereich) zuordnet.

Beispiel: f(x) = sin(x) mit T = 2pi


Was sind Quadratische Funktionen / Gleichungen?

* Gleichungen haben die Form:

y = ax² + bx + c

Beispiele wären:

y = 3x² + 2x + 3
y = 4x²

* PQ-Formel

x² + px + q = 0

x_1, x_2 = -(p/2) +- sqrt( (p/2)² - q )

Rechenbeispiel:

3x² + 9x + 5 = -1 | + 1
3x² + 9x + 6 = 0 | div 3
x² + 3x + 2 = 0
o o
| |
= =
p q

p = 3
q = 2


x_1, x_2 = -(3/2) +- sqrt( (3/2)² - 2 )
x_1, x_2 = -1,5 +- sqrt( 2,25 - 2 )
x_1, x_2 = -1,5 +- 0,5

x_1 = -1,5 + 0,5 | x_2 = -1,5 - 0,5
x_1 = -1,0 | x_2 = -2

Lösung:

x_1 = -1
x_2 = -2

In vielen Texten kann man folgende schreibweise einer Funktion
antreffen:

f(x) = 3 , was nichts anderes bedeutet als: y = 3, das heißt:
y = 3 , y ist 3 zugeordnet.

y ist hier nicht näher beschrieben, so daß y einen Wert auf der
Y-Achse eines Graphen, oder y = Katze zugeordnet werden kann,
wobei dann es wahrscheinlicher ist, das man k = Katze verwendet,
falls ein Katalog oder Register von Katzen(namen) erstellt werden
soll.

Hoffe das Hilft erstmal weiter.
Wenn Fragen sind, immer her damit.

Gruß, Jens
Torn Rumero DeBrak
2018-03-17 19:05:52 UTC
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Raw Message
Am 15.03.2018 um 12:47 schrieb Jens Kallup:
...
Üblicherweise nimmt man als Zeichen für die zweite Verknüpfung das "*",
da das "-" als "Vorzeichen" für das bezüglich "+" inverse Element
verwendet wird.
Post by Jens Kallup
* (R, +) ist eine abelsche Gruppe
* (R, -) ist eine Halbgruppe
Es muss heißen:
(R\{0}, *) ist eine Halbgruppe, wobei 0 das neutrale Element aus
(R, +) ist.
Post by Jens Kallup
Was ist ein mathematischer "algebraischer" Körper?
= Struktur, in der +, -, *, div angewandt werden kann
  Ein Tripel (K,+,-) mit Menge K und zwei binären Verknüpfungen
s.o. Tripel (K, +, *)
Post by Jens Kallup
  (K,+)      ist eine abelsche Gruppe mit neutral Element 0
  (K\{0},-)   ...                     mit neutral Element 1
(K\{0}, *)

...
Post by Jens Kallup
Was ist eine Funktion?
= eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Menge A
  (Definitionsbereich) *eindeutig*
  *ein* Element y in einer Menge B (Wertebereich) zuordnet.
  Beispiel:  f(x) = sin(x)  mit  T = 2pi
Was ist hier T und warum braucht man das?
Ausserdem muss es

f = sin

und nicht f(x) = sin(x) heißen, den f(x) ist nicht die
Funktion sondern der Wert der Funktion f an der Argumentstelle x.

Überlege einmal, wann zwei Funktionen f und g gleich sind.
Das ist nicht dasselbe, wie f(x) = g(x), was ja die Schnittpunkte
der Funktionen f und g wären.

Übliche Definition von Funktionsgleichheit:
f = g, wenn für ALLE Argumente x aus dem GEMEINSAMEN Definitionsbereich
von f und g die Gleichung f(x) = g(x) gilt.


...
Post by Jens Kallup
In vielen Texten kann man folgende schreibweise einer Funktion
  y  = 3  , y ist 3 zugeordnet.
Also wenn diese Schreibweise irgendwo auftaucht, dann ist es nie
die Schreibweise für eine Funktion, sondern für den Funktionswert
der Funktion an der Stelle x. (Warum sollte, wie in deinem obigen Text,
x oder y da eine Bedeutung haben?)

Etwas anderes wäre die Schreibweise

f = 3

was bedeutet, dass die Funktion f die konstante Funktion ist, die
für alle ihre Argumente den Funktionswert 3 liefert.

Aloha
Jens Kallup
2018-03-17 22:30:11 UTC
Permalink
Raw Message
Etwas anderes wÀre die Schreibweise
    f = 3
was bedeutet, dass die Funktion f die konstante Funktion ist, die
fÃŒr alle ihre Argumente den Funktionswert 3 liefert.
Hallo Torn,

vielen Dank fÃŒr Deine Korrekturen.

Ich war eigentlich immer auf den Kenntnis-Stand, das es einaml
binÀre, und einmal uniÀre Operatoren gebe, die jeweils in einen Paar
auftretten.
Darunter +, -, *, /, sowie %
Als Beispiel:
a + b  oder  a - b  oder  a * b ...

Ok, als VerknÃŒpfung sollte es wohl eher angebracht gewesen sein, das ich
von Operanden und Operatoren, die zusammen ein Paar bilden, schreiben
sollte.
Weil, VerknÌpfung hört sich irgendwie wie Relational Dingends an.

Dann gibt es ja noch logische Operatoren wie <, >, =, !=
Beispiele:
a < b,  a != b ...

Boolsche Operatoren: AND, OR, NOR, NOT, XOR

gleiches fÌr bitweisen Operator mit variableer/statischer Bit-LÀnge

Einige Programmiersprachen besitzen auch einen tenÀren Operator, der
als Alias bzw. verkÌrzte Schreibweise:  WENN DANN SONST Verwendung
findet.
Der GNU C Compiler kann das zum Beispiel.

Letzend end's ist es egal ob da nun - oder * verwendet wird.
Ein Ring bleibt ein Ring.
Das kann sich manifestieren, indem 2 Komponenten zusammen gelegt werden.
Egal in welchen Bereich:
Elektronik: viele Bauteile sind Heute in einer Einheit untergebracht,
wofÃŒr man
noch vor 30 Jahren klobige Röhren brauchte.
Oder bei den Tierreich: Zur Fortpflanzung werden mÀnnchen und frauchen
gebracht ...

Was man vielleicht erlÀutern sollte, wenn man von einen Ring schreibt oder
redet, ist folgendes: Ein Ring brauch nicht unbedingt rund zu sein. So passt
zum Beispiel in einen Ring nur eine bestimmte Menge einer Einheit.
Will man weiter mit mehr Einheiten arbeiten, muss der Ring erweiter werden.
Alle Ringe bilden dann zu Grunde liegende Gruppen.
In der Form von 2 schließt 1 mit ein (zum Beispiel).

Das mit den Funktionwert, ja Schande ÃŒber mein Haupt ;-)

Was ich aber nicht dabei verstehe ist folgendes:
Mir wurde in der Schule beigebracht, das Funktionen als Graphen dargestellt
werden können - egal ob nun konstant, quadratisch ...
Ein Funktionswert f ist ein - ich sag jetzt mal: ein Punkt im
Koordinatengitter,
der angibt, zu welcher Zeit eine Funktion (zum Beispiel: Ich fahre mit
den Rad
den Weg x, um zu einer bestimmten Zeit angekommen zu sein) einen Wert
liefert bzw. resultiert.

Das mit dem T habe ich vorausgesetzt, dass es sich hier um eine Periode bzw.
periodisch wiederholdende Sinus-Funktion handelt.
Kannst Du nun die ZusammenhÀnge sehen?
T = Periode in Kontext mit Sinus?

Was bei f = sin nicht unbedingt gleich hervor gehen kann.
Ich kann da nur das f als Funktionswert erkennen, und sin als Sinus.
Aber welchen Wert hat dann sin? zu welcher Zeit?

Die allgemeine Sinusfunktion schreibt man ja so:


$$f(x) = a \cdot sin(bx + c)$$

was dieser Schreibweise entspricht:

$$f(x) = a \cdot sin[b \cdot (x + \frac{c}{b})]$$

Hierbei sind $$a, b, c$$ Parameter $$\in \mathbb{R}$$

Der Wert $$\frac{c}{b}$$  entspricht dann eine Phasenverschiebung.

Daher möchte ich Dich um RÌckmeldung bitten.

Das was da als letztes auftritt nennt sich evtl. "Konstante Funktion?"
Eventuell Mathe fÃŒr Klasse 2, in der gelehrt wird, dass das Licht sich
mit konstanter Geschwindigkeit ausbreitet.
Vielleicht ist dies ja auch wieder ÃŒberholt durch neueste Forschungen?

Gruß
Jens
--
Was nicht programmiert werden kann, wird gelötet.
Programmieren ist Arbeit.
Carlos Naplos
2018-03-18 00:57:01 UTC
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Am 17.03.2018 um 23:30 schrieb Jens Kallup:
...
Post by Jens Kallup
Letzend end's ist es egal ob da nun - oder * verwendet wird.
Ein Ring bleibt ein Ring.
Name ist Schall und Rauch. Natürlich.
Aber wenn Du das Zeichen "-" statt dem üblichen "*" oder "∙",
gelegentlich auch "×" verwendest, was verwendest Du dann für das
additive Inverse, das üblicherweise mit dem "Minus"zeichen markiert wird?

http://www.deutschunddeutlich.de/contentLD/GD/GT67cTischistTisch.pdf

Kennst Du ein Beispiel für einen Ring?

Gruß CN
Jens Kallup
2018-03-18 01:25:57 UTC
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Post by Carlos Naplos
Kennst Du ein Beispiel für einen Ring?
Aus dem vorigen Post:

Was man vielleicht erläutern sollte, wenn man von einen Ring schreibt oder
redet, ist folgendes: Ein Ring brauch nicht unbedingt rund zu sein. So passt
zum Beispiel in einen Ring nur eine bestimmte Menge einer Einheit.
Will man weiter mit mehr Einheiten arbeiten, muss der Ring erweiter werden.
Alle Ringe bilden dann zu Grunde liegende Gruppen.
In der Form von 2 schließt 1 mit ein (zum Beispiel).

Wenn man in die Religion abstruddeln will:
Ein Ring = Ein Kreis = erst einer, dann sieben ...

Aber ok, hier habt Ihr recht.
Ich habe gerade nochmal die Lektüre befragt, und habe feststellen müssen,
dass ihr recht hattet mit * = \cdot .
Nun gut, manchmal denkt man nicht abstrakt, sondern zu Hoch und verliert den
Boden unter den Füßen leicht.

Daher, Tschuldigung.

Gruß
Jens
--
Was nicht programmiert werden kann, wird gelötet.
Programmieren ist Arbeit.
Carlos Naplos
2018-03-18 02:41:53 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Kennst Du ein Beispiel für einen Ring?
Das musst Du nicht noch einmal hierher kopieren, denn jeder kann sich
das vorige Posting anschauen. Und verständlicher wird es dadurch auch nicht.

Auch beantwortet es meine Frage nicht, ob Du ein Beispiel für einen Ring
kennst.

Die Frage, die ich Dir gestellt habe, weil Dein voriges Posting bei mir
den Eindruck erweckt hat, dass Du - wie fast alle Menschen - keinen
blassen Schimmer davon hast, was "Ring" in der Mathematik bedeutet.
Post by Jens Kallup
Aber ok, hier habt Ihr recht.
Danke, zu höheren Würden hat es bei mir nicht gereicht. Ein "Sie" ist in
der NG nicht üblich, ein schlichtes "Du" genügt.

Oder meintest Du "ihr"? Dann ergäbe sich die Frage, wer alles zu dem
"ihr" dazugehört.

Aber lassen wir das.


Weißt Du also, was ein Ring in der Mathematik ist?

Kennst Du ein Beispiel?

lg CN
Jens Kallup
2018-03-18 09:07:44 UTC
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Post by Carlos Naplos
Weißt Du also, was ein Ring in der Mathematik ist?
Kennst Du ein Beispiel?
Hui.
(S, +, *) ist eine *nichtleere* Menge S, auf der zwei innere
Verknüpfungen (+ und *) definiert sind.
Daraus ergeben sich die Axiome:
- (S, +)  was einer Halbgruppe entspricht.
- (S, *) siehe (S, +)
- linkseitige sowie rechtsseitige Distribution

Z ist ein kummutativer Ring mit 1, jedoch ist Z kein Körper.
Aber:
(R, +, *) ist ein kummutativer Ring mit Einselement

kummutativ = innere Verknüpfung auf Gruppenoid (G, *)
zum Beispiel:  a * b = b * a

Gruppenoid entspricht einer nichtleeren Menge G, in der eine
zweistellige, innere Verknüpfung definiert ist.
Das heißt: je 2 Elemente a und b aus G ist ein drittes Element a * b aus G
zugeordnet. Gleiches gilt für die Schreibweise +
Beispiel:  a + b.

Bei multiplikativer Schreibweise entspricht ein neutrales Element ein
Einselement. Man schreibt dafür 1 oder bei additiver Schreibweise 0.
Wobei 1 und 0 Symbole sind.

So etwas?
--
Was nicht programmiert werden kann, wird gelötet.
Programmieren ist Arbeit.
Carlos Naplos
2018-03-18 12:39:05 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Weißt Du also, was ein Ring in der Mathematik ist?
Kennst Du ein Beispiel?
Hui.
(S, +, *) ist eine *nichtleere* Menge S, auf der zwei innere
Verknüpfungen (+ und *) definiert sind.
- (S, +)  was einer Halbgruppe entspricht.
- (S, *) siehe (S, +)
- linkseitige sowie rechtsseitige Distribution
Das soll wohl eine Definition sein. Na ja.
Dazu kann ich Dir die Lektüre von "Das ist o.B.d.A. trivial!": eine
Gebrauchsanleitung zur Formulierung mathematischer Gedanken mit vielen
praktischen Tips für Studierende der Mathematik und Informatik von
Albrecht Beutelspacher empfehlen.
Post by Jens Kallup
Z ist ein kummutativer Ring mit 1, jedoch ist Z kein Körper.
Wenn Du mit "Z" die ganzen Zahlen meinst, hast Du recht.
Post by Jens Kallup
(R, +, *) ist ein kummutativer Ring mit Einselement
Wenn Du mit "R" die reellen Zahlen meinst, ist auch das richtig.
Post by Jens Kallup
kummutativ = innere Verknüpfung auf Gruppenoid (G, *)
Was ist "G"? "Gruppenoid" kenne ich auch in diesem Zusammenhang auch nicht.
Post by Jens Kallup
zum Beispiel:  a * b = b * a
Was sind "a" und "b"?
Post by Jens Kallup
Gruppenoid entspricht einer nichtleeren Menge G, in der eine
zweistellige, innere Verknüpfung definiert ist.
Das heißt: je 2 Elemente a und b aus G ist ein drittes Element a * b aus G
zugeordnet. Gleiches gilt für die Schreibweise +
Beispiel:  a + b.
Bei multiplikativer Schreibweise entspricht ein neutrales Element ein
Einselement. Man schreibt dafür 1 oder bei additiver Schreibweise 0.
Wobei 1 und 0 Symbole sind.
So etwas?
Des weiteren empfehle ich Dir, das Geschriebene in Deinen Postings vor
dem Versenden noch einmal genau durchzulesen und möglichst in kurzen,
grammatikalisch und orthografisch richtigen Sätzen der deutschen Sprache
zu schreiben. Das erleichtert das Lesen.
Mich nervt es zum Beispiel, wenn "das" und "dass" durcheinander geworfen
werden, denn solche Fehler erschweren das Lesen unnötigerweise.
Das gilt nicht nur für Dich.

Gruß CN
IV
2018-03-14 19:39:39 UTC
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Post by IV
Bis hier ist gezeigt: Die Funktionen f1:=log(z^2) und f2:=log(4-z^2) sind
algebraisch unabhängig über IQ.
Natürlich könnte ich auch völlig daneben liegen und zu log(z^2) und
log(4-z^2) gibt es doch ein nicht konstantes Polynom mit p(log(z^2),
log(4-z^2)) = 0.
Sind denn ln(z^2) und ln(4-z^2) über \mathbb{C} algebraisch unabhängig
voneinander? Ich weiß es nicht.
Ich habe keinen Körper angegeben, über dem die beiden Funktionen f1 und f2
algebraisch unabhängig sein sollen. Ich meine damit, daß der allgemeinste
mögliche Körper gewählt werden soll.
Dein Beispiel läßt mich aber vermuten, daß in meinem Problem die
algebraische Unabhängigkeit über dem Körper der Elementaren Funktionen
(Wikipedia en: Elementary function) gemeint ist.
Zwischen f1 und f2 soll keine Algebraische Funktion bestehen: es soll
keine algebraische Funktionen A1 und A2 geben für die f2 = A1 \circ f1
oder f1 = A2 \circ f2 ist.
Ich hatte mich genötigt gefühlt, Angaben über den zugrundeliegenden Körper
zu machen. Dabei habe ich wieder mal die die algebraische Funktion
Bestimmende algebraische Gleichung mit den algebraischen Funktionen selbst
verwechselt. Die Koeffizienten des Bestimmenden Polynoms sind Polynome in z
mit komplexen Koeffizienten, die Koeffizienten der durch dieses Bestimmende
Polynom definierten algebraischen Gleichung sind dagegen komplexe Zahlen.
Zwischen f1 und f2 soll keine algebraische Elementare Funktion existieren,
also keine algebraische Funktion mit komplexen Zahlen als Koeffizienten. f1
und f2 sollen also algebraisch unabhängig über \mathbb{C} sein.
H0Iger SchuIz
2018-03-12 11:22:38 UTC
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Post by Detlef Müller
Nehmen wir als Grundring mal den Körper IQ der rationalen
Zahlen.
Vielleicht ist jener gemeint, vielleicht auch nicht. Wir sollten
abwarten, es könnte sein, dass Hercule im Laufe des Threads noch vorher
verschwiegene Informationen preis gibt.

hs
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