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Spiegelei: 1/x und -x
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Rainer Rosenthal
2017-05-21 21:11:49 UTC
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Bei der Funktionseigenschaft

f(1/x) = -f(x)

wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.

Jetzt würde mich mal interessieren, welche Funktionen dieser Art
Ihr kennt. Und natürlich werde ich meine auch bald nennen.

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Andreas Leitgeb
2017-05-21 21:25:46 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.
Wenn ich nicht grad einen totalen Denkfehler habe, müsste doch
auch (u o log)(x) für eine beliebige ungerade Funktion die gleiche
Eigenschaft haben. mit u: x|->0 gäbs dann auch einen nicht-logarithmischen
Trivialfall...

Ein weiterer log-freier Trivialfall wäre dann eine Art Stufenfunktion,
die bei -1 und 1 den Wert 0 hat, und dazwischen C und ausserhalb -C.
Post by Rainer Rosenthal
Jetzt würde mich mal interessieren, welche Funktionen dieser Art
Ihr kennt. Und natürlich werde ich meine auch bald nennen.
Schon gespannt ob's nicht-trivial auch ohne log geht...
Andreas Leitgeb
2017-05-21 21:41:02 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.
Wenn ich nicht grad einen totalen Denkfehler habe, müsste doch
auch (u o log)(x) für eine beliebige ungerade Funktion die gleiche
Eigenschaft haben. mit u: x|->0 gäbs dann auch einen nicht-logarithmischen
Trivialfall...
Ein weiterer log-freier Trivialfall wäre dann eine Art Stufenfunktion,
die bei -1 und 1 den Wert 0 hat, und dazwischen C und ausserhalb -C.
Das war aber nun zumindest doch ein kleiner Denkfehler, denn diese
Stufenfunktion ist ja quasi oben schon abgedeckt, mit u(x) := -C*signum(x)
Post by Andreas Leitgeb
Post by Rainer Rosenthal
Jetzt würde mich mal interessieren, welche Funktionen dieser Art
Ihr kennt. Und natürlich werde ich meine auch bald nennen.
Schon gespannt ob's nicht-trivial auch ohne log geht...
Andreas Leitgeb
2017-05-21 22:03:58 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by Andreas Leitgeb
Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.
Wenn ich nicht grad einen totalen Denkfehler habe, müsste doch
auch (u o log)(x) für eine beliebige ungerade Funktion die gleiche
Eigenschaft haben. mit u: x|->0 gäbs dann auch einen nicht-logarithmischen
Trivialfall...
Ein weiterer log-freier Trivialfall wäre dann eine Art Stufenfunktion,
die bei -1 und 1 den Wert 0 hat, und dazwischen C und ausserhalb -C.
Das war aber nun zumindest doch ein kleiner Denkfehler, denn diese
Stufenfunktion ist ja quasi oben schon abgedeckt, mit u(x) := -C*signum(x)
Ah, ich sag mal: auch bei den rationalen Funktionen wird man mitunter fündig :-)
Ralf Goertz
2017-05-22 08:06:25 UTC
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Am Sun, 21 May 2017 22:03:58 -0000 (UTC)
Post by Andreas Leitgeb
Ah, ich sag mal: auch bei den rationalen Funktionen wird man mitunter fündig :-)
Okay, mit dem Hinweis kann man arbeiten. Sei f(x)=p(x)/q(x) mit
Polynomen p und q. Aus der gegebenen Bedingung folgt:

p(1/x)/q(1/x)=-p(x)/q(x), also -p(1/x)*q(x)=p(x)*q(1/x). (*)

Man sieht leicht, dass p und q gleichen Grades sein müssen, ich fange
mal mit Grad 1 an, also p(x)=ax+b und q(x)=cx+d. Ausmultiplizieren und
Koeffizientenvergleich von (*) ergibt die Bedingungen ad=-bc und ac=-bd,
was letztlich darauf führt, dass d=-1 und a=b=c=1 eine Lösung ist.
Folglich sollte f=(x+1)/(x-1) funktionieren, was es auch tut. Und
tatsächlich erinnere ich mich, an irgendein Seminar, wo die Eigenschaft
aus dem OP von f(x)=(x+1)/(x-1) mal eine Rolle gespielt hat.

Ob es mit höheren Graden als 1 funktioniert, hab ich jetzt nicht
ausprobiert.
Andreas Leitgeb
2017-05-22 09:41:19 UTC
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Post by Ralf Goertz
Am Sun, 21 May 2017 22:03:58 -0000 (UTC)
Post by Andreas Leitgeb
Ah, ich sag mal: auch bei den rationalen Funktionen wird man mitunter fündig :-)
Okay, mit dem Hinweis kann man arbeiten. Sei f(x)=p(x)/q(x) mit
Mein Ansatz war da etwas primitiver: die einfachste rationale
Funktion, die bei 1/x statt x ein negatives Vorzeichen wirft,
ist: x - 1/x und darüber kann man dann wieder jede beliebige
ungerade Funktion "drüberstülpen", von mir aus auch den sinus.
Post by Ralf Goertz
Ob es mit höheren Graden als 1 funktioniert, hab ich jetzt nicht
ausprobiert.
Da jede ungerade Potenzfunktion eben ungerade ist, wird es wohl
mit (x-1/x)^99 auch klappen. Wenn man gerade Potenzen will,
muss man halt noch ein geeignetes Signum dazumultiplizieren...
Ralf Goertz
2017-05-22 12:34:29 UTC
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Am Mon, 22 May 2017 09:41:19 -0000 (UTC)
Post by Andreas Leitgeb
Post by Ralf Goertz
Am Sun, 21 May 2017 22:03:58 -0000 (UTC)
Post by Andreas Leitgeb
Ah, ich sag mal: auch bei den rationalen Funktionen wird man mitunter fündig :-)
Okay, mit dem Hinweis kann man arbeiten. Sei f(x)=p(x)/q(x) mit
Mein Ansatz war da etwas primitiver: die einfachste rationale
Funktion, die bei 1/x statt x ein negatives Vorzeichen wirft,
ist: x - 1/x und darüber kann man dann wieder jede beliebige
ungerade Funktion "drüberstülpen", von mir aus auch den sinus.
Also als primitiver würde ich den Ansatz jetzt nicht bezeichnen. Vor
allem straft er mich Lügen, denn x-1/x=(x²-1)/x zeigt, dass meine
Behauptung, p und q müssten denselben Grad haben, falsch ist. Da es mir
nur plausibel vorkam, ich aber nicht gleich einen Beweis gesehen hatte,
benutzte ich die in solchen Fällen ja wohl häufiger gesehene
Formulierung „wie man leicht sieht“.

Wenn ich mich nur an den Zusammenhang erinnern könnte, in dem ich diese
Funktionen (auch Deine) gesehen habe. Irgendwie war da was mit
nichttrivialen endlichen Gruppen rationaler Funktionen bezüglich
Komposition…
Andreas Leitgeb
2017-05-22 15:13:01 UTC
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Post by Ralf Goertz
Post by Andreas Leitgeb
Post by Ralf Goertz
Post by Andreas Leitgeb
Ah, ich sag mal: auch bei den rationalen Funktionen wird man mitunter fündig :-)
Okay, mit dem Hinweis kann man arbeiten. Sei f(x)=p(x)/q(x) mit
Mein Ansatz war da etwas primitiver: die einfachste rationale
Funktion, die bei 1/x statt x ein negatives Vorzeichen wirft,
ist: x - 1/x und darüber kann man dann wieder jede beliebige
ungerade Funktion "drüberstülpen", von mir aus auch den sinus.
Also als primitiver würde ich den Ansatz jetzt nicht bezeichnen.
"Primitiver" in dem Sinne, dass ich sie nicht hergeleitet habe,
sondern sie nach einem "Heureka!"-Ruf aus den Fingern gesogen habe.
Post by Ralf Goertz
Vor allem straft er mich Lügen, denn x-1/x=(x²-1)/x zeigt, dass meine
Behauptung, p und q müssten denselben Grad haben, falsch ist.
Naja, nennen wir's halt einen "off-by-1" Fehler ;-)
Der wäre bei weiterer Beschäftigung dann wohl noch aufgefallen,
und das Ergebnis wäre ein systematischer Lösungsweg gewesen ...
Post by Ralf Goertz
Wenn ich mich nur an den Zusammenhang erinnern könnte, in dem ich diese
Funktionen (auch Deine) gesehen habe. Irgendwie war da was mit
nichttrivialen endlichen Gruppen rationaler Funktionen bezüglich
Komposition…
Jens Kallup
2017-05-22 00:38:17 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
machmer mal ne gagelei ... :-o

nehmer mal an, wir ham 2 Eier E1 und E2.
Nun sind ja Eier elliptisch.
Diesen Sachverhalt nennen wir mal Menge alle Punkte p.
Wir nehmen mal an, daß das Huhn exact die gleichen Eier
ausgekakkert hat und die Summe beider konstant ist:
___ ___
E1p + E2p

Da wir nun aber 2 Eier im Tigel haben, besteht eine Art
Differenz zwischen dem Abstand der beiden Eigelb.

diese Differenz ist ebenfalls konstant, so dass diese:
___ ___
E1p - E2p beträgt.

Jetzt klingelt die Nachbarin an der Tür, und will mit uns
Frühstück essen. Wir haben aber nur 2 Eier - also teilen
wir diese in der Mitte.
Wir könnten ja herkommen und sagen, gut, jetzt haben wir
4 Eier - oder eine 2x2 = 4 Matrix.

Aber uns interessiert nicht die Summe, sondern das Produkt
als solches, wobei auch das Produkt konstant konstant ist.
___ ___
E1p * E2p

Wir setzen dazu:

E1 = (-1, 0) und
E2 = ( 1, 0)

die -1 beschreibt dabei die linke Seite des Tigels, die 0 das Ei.
die 1 beschreibt dabei die rechte Seite ...

Da wir mit log rechnen = zehner-Basis
Achtung, rechte Seite von E1 = 0:

log_10(sqrt((x + 1)^2 + y^2)) = 0 ==> -sqrt(-y^2 + 1) -1 // links
oder sqrt(-y^2 + 1) -1 // rechts

log_10(sqrt((x - 1)^2 + y^2)) = 0 ==> -sqrt(-y^2 + 1) +1 // rechts
oder sqrt(-y^2 + 1) +1 // links

und weiter geht die gagellei:

setzmer das dann in eine Matrix E1 mal E2 sowie den Vector (-1,1):

( -1 , 0 ) * ( -1 ) = ( 1, 0 ) <--- minus mal minus = plus !!
( 1 , 0 ) * ( 1 ) = ( 1, 0 )

und wie wir sehen, erhalten wir ein Spiegelei.
Rainer der war gut.
man kann es wenden wie man will... recht oder links - links oder rechts,
wie rum kam das Ei? :-)

Gruß
Jens
Ralf Goertz
2017-05-22 06:54:43 UTC
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Am Sun, 21 May 2017 23:11:49 +0200
Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.
Jetzt würde mich mal interessieren, welche Funktionen dieser Art Ihr
kennt. Und natürlich werde ich meine auch bald nennen.
Hm, da weder Definitions- noch Wertebereich angegeben wurden, wie wäre
es mit jeder Funktion auf IF*_2 mit demselben Wertebereich? Gilt das als
trivial?
Helmut Richter
2017-05-22 13:11:26 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Bei der Funktionseigenschaft
f(1/x) = -f(x)
wäre mir bis heute Nachmittag spontan lediglich die
Funktion f(x) = log(x) eingefallen, aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ist mir eine ganz andere Funktion f mit
dieser Eigenschaft über den Weg gelaufen.
Jetzt würde mich mal interessieren, welche Funktionen dieser Art
Ihr kennt. Und natürlich werde ich meine auch bald nennen.
Sei g im offenen Intervall (-1,1) eine beliebige reellwertige Funktion.

Hat dann nicht die Funktion

/ g(x) für |x| < 1
f(x) = < 0 für |x| = 1
\ -g(1/x) für |x| > 1

auf den reellen Zahlen die geforderte Eigenschaft?
--
Helmut Richter
Martin Vaeth
2017-05-22 13:32:26 UTC
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Post by Helmut Richter
Post by Rainer Rosenthal
f(1/x) = -f(x)
Hat dann nicht die Funktion
/ g(x) für |x| < 1
f(x) = < 0 für |x| = 1
\ -g(1/x) für |x| > 1
auf den reellen Zahlen die geforderte Eigenschaft?
Für x aus R ist das trivialerweise notwendig und hinreichend.
Aber man kann davon ausgehen, dass Rainer nur bei 1 analytische
Funktionen suchte (bzw. solche, die höchstens bei 1 eine isolierte
Singularität haben), denn sonst wäre die Frage unter seinem Niveau
gewesen...
Rainer Rosenthal
2017-05-22 14:44:38 UTC
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Post by Martin Vaeth
denn sonst wäre die Frage unter seinem Niveau
gewesen...
Herzlichen Dank für die Blumen!
Aber noch herzlicheren Dank für die interessanten Zuschriften,
bei denen auch die von mir betrachtete Funktion bereits genannt
worden war. Ich melde mich bald zu dem Thema, wenn ich alles
gelesen und vielleicht selbst noch was Neues gefunden habe.

Es ist tatsächlich so, dass ich auf diese Funktionseigenschaft
gestoßen war, die so log-like aussieht, und dass ich gerne wissen
wollte, was es noch so gibt.

Gruß und Dank an alle Einsender,
Rainer
Roland Franzius
2017-05-24 06:32:23 UTC
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Post by Martin Vaeth
Post by Helmut Richter
Post by Rainer Rosenthal
f(1/x) = -f(x)
Hat dann nicht die Funktion
/ g(x) für |x| < 1
f(x) = < 0 für |x| = 1
\ -g(1/x) für |x| > 1
auf den reellen Zahlen die geforderte Eigenschaft?
Für x aus R ist das trivialerweise notwendig und hinreichend.
Aber man kann davon ausgehen, dass Rainer nur bei 1 analytische
Funktionen suchte (bzw. solche, die höchstens bei 1 eine isolierte
Singularität haben), denn sonst wäre die Frage unter seinem Niveau
gewesen...
Funktionentheorie mit reellen Funktionen macht bekanntlich wenig Sinn
wegen der Möglichkeit, unendlich oft differenzierbare Funktionen mit
kompakten Trägern zu realisieren. Damit lassen sich lokale
Funktionsstückchen beliebig kombinieren, bis es passt, ist also eine Art
Puzzle für Fortgeschrittene.

Für komplexe Funktionen ist die gegebene Bedingung eine Symmetrie der
Spiegelung am Einheitskreis

f(r e^(i phi)) = - f(e^(-i (phi mod 2p)/r)

f(z) = g(z) - g(1/z)
f(1/z) = g(1/z) -g(z)=-f(z)
--
Roland Franzius
Rainer Rosenthal
2017-05-26 10:16:24 UTC
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Post by Roland Franzius
Post by Rainer Rosenthal
f(1/x) = -f(x)
Für komplexe Funktionen ist die gegebene Bedingung eine Symmetrie der
Spiegelung am Einheitskreis
f(r e^(i phi)) = - f(e^(-i (phi mod 2p)/r)
f(z) = g(z) - g(1/z)
f(1/z) = g(1/z) -g(z)=-f(z)
Prima, aus genau dem Umfeld habe ich diese Eigenschaft geholt.
Wie ich anfangs schrieb: "aber da mich die Trapezaufgabe
noch nicht losgelassen hat, ..."
Das Fortsetzungs-Posting wird darum wohl auch den Namen
"Trapezaufgabe zieht Kreise" heißen.

Gruß,
RR

Martin Vaeth
2017-05-22 13:23:22 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
f(1/x) = -f(x)
Die Voraussetzung besagt, dass g(z):=f(e^z) bei 0 ungerade ist.
Also ist f(x) = g(log x) mit irgendeiner bei 0 ungeraden Funktion g
notwendig und hinreichend.

Falls man f analytisch bei 1 haben will (oder höchstens mit einer
isolierten Singularität bei 1) muss natürlich g zusätzlich
analytisch in 0 sein (oder höchstens eine isolierte Singularität
bei 0 haben).
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