Discussion:
hinreichend UND notwendiges Kriterium für Extrema gefunden
(zu alt für eine Antwort)
Ernst
2017-07-10 19:43:46 UTC
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Raw Message
Hallo allerseits,
Unter bestimmten nicht allzu starken Voraussetzungen kann ich zeigen
(hoffentlich stimmt der Beweis), daß
f'(xe)=0 und f' macht an xe einen VZW äquivalent ist zu
xe ist ein relatives Extremum
Dazu benutze ich das so von mir bezeichnete Tiefpunkt-Monotonie-Lemma.
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr den Beweis kritisch prüfen würdet und
mir mitteilen könnt, ob er korrekt ist.

mfg
Ernst

=================================================================
Tiefpunkt-Monotonie-Lemma
Für alle auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] (mit a<b) definierten reellwertigen, stetigen Funktionen f, die einen Tiefpunkt (relatives Minimum) T(xT, f(xT)) mit xT Element von (a , b) besitzen, gilt:
Auf allen offenen Intervallen (xT , c) aus [xT , b] ist f nicht streng monoton fallend auf (xT , c).

Beweis:
Annahme:
f ist eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a , b] (mit a<b) definierte reellwertige, stetige Funktion und T(xT , f(xT)) ist Tiefpunkt (relatives Minimum) mit xT Element von (a , b) und (xT , xT + d) ist ein offenes Intervall aus [a , b] , auf dem f streng monoton fallend ist.

Ziel: Konstruiere eine Folge (x1, x1, x1, .. ) mit xn : = xT + d/n
(also lim_n-->00 xn = xT) und lim_n-->00 f(xn) != f(xT)
Es gilt:
Da f streng monoton fallend, gilt für n>=6:
f(xT + d/n) > f(xT + d/5) > f(xT + d/4)
Da T(xT , f(xT)) ein Tiefpunkt ist, folgt:
f(xT + d/4) >= f(xT), also insgesamt:
f(xT + d/n) > f(xT + d/5) > f(xT + d/4) >= f(xT), also:
f(xT + d/n) > f(xT + d/5) > f(xT), also:
lim_n-->00 f(xT+d/n) >= f(xT + d/5) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) != f(xT) , also
f ist unstetig an xT ==> Widerspruch.
Ernst
2017-07-11 17:07:47 UTC
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Raw Message
Hallo allerseits,
Hier das andere Lemma mit Beweis und ganz unten der Beweis des
Satzes über ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema.
Könnt ihr mir bitte mitteilen, ob diese Lemmata korrekt sind, bzw.
ob die Beweise fehlerfrei sind.
Ich bin mir nicht sicher, ob sich irgendwo noch ein Denkfehler befindet.
Für euer Feedback würde ich mich freuen.

mfg
Ernst

I)
+--------------------------+
+ Extremum-Monotonie Lemma +
+--------------------------+
Für alle auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierten reellwertigen,
stetigen Funktionen f gilt:
f hat keine relativen Extrema im offenen Intervall (a, b) ==>
f ist entweder monoton steigend oder f ist monoton fallend auf [a,b]

Beweis:
1)
Annahme: nicht (f ist entweder monoton steigend oder f ist monoton fallend)
Zeige: f hat mindestens ein relatives Extremum in (a,b)

2)
Wenn f in [a,b] nicht monoton ist, dann gibt es in [a,b] die Stellen x1 , x2 , x3 mit
a <= x1 < x2 < x3 <= b
wobei f(x1), f(x2), f(x3) nicht geordnet sind, d.h. es gilt nicht:
f(x1) <= f(x2) <= f (x3) oder f(x1) >= f(x2) >= f(x3)
Wenn die Folge ( f(x1), f(x2), f(x3)) nicht monoton fallend oder monoton steigend geordnet ist,
dann gibt es 2 Fälle: f(x1) < f(x2) > f(x3) oder f(x1) > f(x2) < f(x3)
Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt jede stetige Funktion auf einem
abgeschlossene Intervall [x1 , x3] das Maximum und Minimum innerhalb
(d.h. in einem offenen Intervall) des abgeschlossenen Intervalls [x1 , x3] an.
Da f(x1) < f(x2) > f(x3) oder f(x1) > f(x2) < f(x3) kann sich also das Maximum und das Minimum
nicht an einem der 2 Ränder x1 oder x3 befinden.
Also muß sich das Maximum oder das Minimum in (x1, x3) befinden.
Also gibt es ein relatives Extremum in (x1, x3) .
Da (x1, x3) Teilmenge von (a,b), gibt es also ein relatives Extremum in (a,b).
Widerspruch zur Voraussetzung!


II)
+------------------------------------------------------------+
+ Satz (hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema) +
+------------------------------------------------------------+
Für alle auf einem offenen Intervall (a ,b) definierten, mindestens einmal differenzierbaren, reellwertigen Funktionen f, die endlich viele Stellen mit
waagrechter Tangente besitzen, gilt:
T(xT , f(xT)) ist ein relatives Minimum in (a ,b) <==>
f'(xT) = 0 und f' macht an xT einen VZW von - nach +

Beweis:
"<=="
Bekannt aus der Analysis

"==>"
T(xT , f(xT)) ist ein relatives Minimum der Funktion f.
Nach Voraussetzung existiert ein Intervall (xT , xT + d) Teilmenge (a ,b), in dem es keine Stellen gibt mit f'(x) = 0
(man muß d eben entsprechend klein wählen!). Da f'(x) != 0 auf (xT , xT + d), gibt es keine relativen Extrema
in (xT , xT + d) .
Da f differenzierbar auf (a ,b) ist, ist deshalb auch noch f stetig auf
[xT , xT + d].

1)
Nach dem Extremum-Monotonie-Lemma ist dann f in dem Intervall (xT , xT + d) entweder monoton steigend
oder monoton fallend.
Also gilt dort für alle x : entweder f'(x) >= 0 oder f '(x) <= 0
Außerdem gilt für das Intervall (xT , xT + d) auch noch für alle x: f'(x) != 0
Also gilt in dem Intervall (xT , xT + d) für alle x :
entweder f'(x) > 0 oder f '(x) < 0
Nach dem Tiefpunkt-Monotonie-Lemma gilt aber nicht f'(x) < 0 auf dem
Intervall (xT , xT + d)
Also gilt dann in diesem Intervall: f'(x) > 0

2)
Analog kann man folgern, daß es ein Intervall (xT - d',xT) Teilmenge (a,b) gibt, so daß dort für alle x gilt: f'(x) < 0

3)
Da T(xT , f(yT)) ein relatives Minimum ist, muß gelten: f'(xT) = 0

4) Zusammenfassend gilt damit:
x Teilmenge (xT - d' , xT) ==> f '(x) < 0
x Teilmenge (xT , xT + d') ==> f '(x) > 0

also macht f' an xT einen VZW von – nach +

Bemerkung:
analog gilt ein entsprechendes Lemma für Hochpunkte.
Detlef Müller
2017-07-18 09:58:44 UTC
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Raw Message
Hallo, Ernst,

hatte ja gehofft, jemand anders nimmt sich noch der Sache an ...
bevor ich in den Urlaub abdüse, möchte ich noch kurz Deine
Gedanken kommentieren ...
Post by Ernst
Hallo allerseits,
Hier das andere Lemma mit Beweis und ganz unten der Beweis des
Satzes über ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema.
[...]
Post by Ernst
I)
+--------------------------+
+ Extremum-Monotonie Lemma +
+--------------------------+
Für alle auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] definierten reellwertigen,
f hat keine relativen Extrema im offenen Intervall (a, b) ==>
f ist entweder monoton steigend oder f ist monoton fallend auf [a,b]
[Durch Widerspruch. Bzw. "Indirekter Beweis" passte noch besser.]
Post by Ernst
1)
Annahme: nicht (f ist entweder monoton steigend oder f ist monoton fallend)
Zeige: f hat mindestens ein relatives Extremum in (a,b)
2)
Wenn f in [a,b] nicht monoton ist, dann gibt es in [a,b] die Stellen x1 , x2 , x3 mit
a <= x1 < x2 < x3 <= b
f(x1) <= f(x2) <= f (x3) oder f(x1) >= f(x2) >= f(x3)
Wenn die Folge ( f(x1), f(x2), f(x3)) nicht monoton fallend oder monoton steigend geordnet ist,
dann gibt es 2 Fälle: f(x1) < f(x2) > f(x3) oder f(x1) > f(x2) < f(x3)
Nach dem Satz vom Maximum und Minimum nimmt jede stetige Funktion auf einem
abgeschlossene Intervall [x1 , x3] das Maximum und Minimum innerhalb
(d.h. in einem offenen Intervall) des abgeschlossenen Intervalls [x1 , x3] an.
Da f(x1) < f(x2) > f(x3) oder f(x1) > f(x2) < f(x3) kann sich also das Maximum
und das Minimum nicht an einem der 2 Ränder x1 oder x3 befinden.
Also muß sich das Maximum oder das Minimum in (x1, x3) befinden.
Hier würde ich (weniger kompakt, aber wahrscheinlich für
ungeübte leichter nachzuvollziehen) so formulieren:
Falls f(x1) < f(x2) und f(x3) < f(x2) sind, sind x1 und x3 keine
Maximalstellen, weswegen eine Maximalstelle in (x1,x3) liegen muß.
Sind hingegen f(x1) > f(x2) und f(x3) > f(x2), so sind x1 und x2 keine
Minimalstellen und in (x1,x3) nimmt f ein Minimum an.
Post by Ernst
Also gibt es ein relatives Extremum in (x1, x3) .
Da (x1, x3) Teilmenge von (a,b), gibt es also ein relatives Extremum in (a,b).
Widerspruch zur Voraussetzung!
II)
+------------------------------------------------------------+
+ Satz (hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema) +
+------------------------------------------------------------+
Für alle auf einem offenen Intervall (a ,b) definierten, mindestens
einmal differenzierbaren, reellwertigen Funktionen f, die endlich
T(xT , f(xT)) ist ein relatives Minimum in (a ,b) <==>
f'(xT) = 0 und f' macht an xT einen VZW von - nach +
"<=="
Bekannt aus der Analysis
"==>"
T(xT , f(xT)) ist ein relatives Minimum der Funktion f.
Nach Voraussetzung existiert ein Intervall (xT , xT + d) Teilmenge (a ,b),
in dem es keine Stellen gibt mit f'(x) = 0
(man muß d eben entsprechend klein wählen!).
Anschaulich klar, Formal kann man von allen Nullstellen x_k ungleich
xT von f auf (a,b) eine mit minimalem Abstand eps von xT nehmen und
wählt d=eps/2.
Post by Ernst
Da f'(x) != 0 auf (xT , xT + d), gibt es keine relativen Extrema
in (xT , xT + d) .
Da f differenzierbar auf (a ,b) ist, ist
streiche: [... deshalb auch noch ...]
Post by Ernst
f stetig auf [xT , xT + d].
1)
Nach dem Extremum-Monotonie-Lemma ist dann f in dem Intervall (xT , xT + d)
entweder monoton steigend oder monoton fallend.
Also gilt dort für alle x : entweder f'(x) >= 0 oder f '(x) <= 0
Korrekt formuliert:
Auf (xT , xT + d) gilt
entweder: für alle x aus (xT , xT + d) ist f'(x)>= 0
oder: für alle x aus (xT , xT + d) ist f'(x)<= 0.
Das Grammatikalische zusammenziehen führt hier zu einer anderen,
nicht gemeinten (in IR) immer wahren Aussage.
Post by Ernst
Außerdem gilt für das Intervall (xT , xT + d) auch noch für alle x: f'(x) != 0
entweder f'(x) > 0 oder f '(x) < 0
s.O. Wir haben zwei mögliche Fälle
(i) für alle x aus (xT , xT + d) gilt f'(x) > 0
(ii) für alle x aus (xT , xT + d) gilt f'(x) < 0
Post by Ernst
Nach dem Tiefpunkt-Monotonie-Lemma gilt aber nicht f'(x) < 0 auf dem
Intervall (xT , xT + d)
(*) Genauer: Nach dem Lemma kann f auf dem Intervall nicht monoton
fallen, daher gilt nicht f'(x) < 0 für alle x aus (xT , xT + d).
Es gibt also ein x0 in (xT , xT + d) mit f'(x0) >= 0.
Post by Ernst
Also gilt dann in diesem Intervall: f'(x) > 0
(**) Weil wir uns im Fall (i) befinden müssen, da ja
ein x_0 in (xT , xT + d) mit f'(x0) >= 0 existiert.
Post by Ernst
2)
Analog kann man folgern, daß es ein Intervall (xT - d',xT) Teilmenge (a,b)
gibt, so daß dort für alle x gilt: f'(x) < 0
3)
Da T(xT , f(yT)) ein relatives Minimum ist, muß gelten: f'(xT) = 0
x Teilmenge (xT - d' , xT) ==> f '(x) < 0
x Teilmenge (xT , xT + d') ==> f '(x) > 0
also macht f' an xT einen VZW von – nach +
analog gilt ein entsprechendes Lemma für Hochpunkte.
Und wir haben das Vorzeichenwechselkriterium für eine leicht
eingeschränkte Klasse differenzierbarer Funktionen gezeigt,
sieht gut aus.
Ich vermute, für Schüler muss der Schluß von (*) zu
(**) besonders klar dargelegt werden, da kommt einiges
zusammen.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Detlef Müller
2017-07-11 18:06:26 UTC
Permalink
Raw Message
Am 10.07.2017 um 21:43 schrieb Ernst:
[...]
Post by Ernst
Dazu benutze ich das so von mir bezeichnete Tiefpunkt-Monotonie-Lemma.
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr den Beweis kritisch prüfen würdet und
mir mitteilen könnt, ob er korrekt ist.
mal schauen ...
Post by Ernst
mfg
Ernst
Tiefpunkt-Monotonie-Lemma
Für alle auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] (mit a<b) definierten reellwertigen,
stetigen Funktionen f, die einen Tiefpunkt (relatives Minimum) T(xT, f(xT)) mit
Auf allen offenen Intervallen (xT , c) aus [xT , b] ist f nicht streng monoton
fallend auf (xT , c).
Klar formuliert.
Angenehmer zu lesen ist es, wenn man auch "Beweis: Durch Widerspruch."
schreibt - das erkennt zwar "der geneigte Leser" schnell, aber wenn
anschließend das Stichwort "Annahme" fällt, weiß man gleich Bescheid und
überlegt nicht "Warum darf man das Annehmen, ist das ein ObdA oder so?".
Post by Ernst
f ist eine auf einem abgeschlossenen Intervall [a , b] (mit a<b) definierte
reellwertige, stetige Funktion und T(xT , f(xT)) ist Tiefpunkt (relatives Minimum)
mit xT Element von (a , b) und (xT , xT + d) ist ein offenes Intervall aus
[a , b] , auf dem f streng monoton fallend ist.
Hier soll wohl d zusätzlich so klein gewählt werden, daß
f(xT+t) mit 0<t<d/4 stets >= f(xT) ist, das geht, weil ja
xT ein lokales Minimum ist. Sollte man erwähnen, da später
damit argumentiert wird.
(Einfacher wird es, wenn man d gleich klein genug wählt,
dass das schon für 0<t<d der Fall ist).
Post by Ernst
Ziel: Konstruiere eine Folge (x1, x1, x1, .. ) mit xn : = xT + d/n
sicher ist (x1, x2, x3, .. ) gemeint.
Post by Ernst
(also lim_n-->00 xn = xT) und lim_n-->00 f(xn) != f(xT)
Das ist ein Beweisplan - für längere Beweise nützlich, hier imo
weniger, weil die ganze Beweisführung auf einen Blick erfasst
werden kann.
Also einfach machen:
"Wir betrachten die Folge xn : = xT + d/n ..."
Post by Ernst
f(xT + d/n) > f(xT + d/5) > f(xT + d/4)
Da T(xT , f(xT)) ein Tiefpunkt ist, ...
hier wird noch die Eigenschaft von d, die ich oben noch
dazu genommen habe verwendet (es muß ja kein absolutes
Minimum vorliegen).
Post by Ernst
lim_n-->00 f(xT+d/n) >= f(xT + d/5) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) != f(xT) , also
f ist unstetig an xT ==> Widerspruch.
Halte ich (mit der Ergänzung, was die Wahl von d betrifft)
für korrekt.
Die Idee lässt sich sicher mit wenig Aufwand eleganter umsetzen
(warum ausgerechnet n>=6?), aber das war ja nicht die
Frage :)
Soll es für einen Vortrag oder dergleichen sein, würde man
es natürlich noch trimmen müssen.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Ernst
2017-07-12 06:53:31 UTC
Permalink
Raw Message
Hallo Detlef,
Post by Detlef Müller
mal schauen ...
1)
Erst mal Tausend Dank für den Aufwand zur Prüfung des Beweises.

2)
Mich würde noch interessieren, ob auch die Behauptung und der Beweis:
"Satz (hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema)"
korrekt ist.
Wenn das so wäre, könnte dieser Satz in der Oberstufenmathematik
verwendet werden, denn bei den meisten Kurve (läßt mal mal
exotische Fälle wie oszillierende Kurven mit immer größer werdender
Frequenz bei Annäherung an einen bestimmten x-Wert oder Plateaus
außen vor) trifft es zu, daß sie nur endlich viele Stellen mit
waagrechter Tangente besitzen.

Die Schüler können bis jetzt ja nur so argumentieren:
f'(xT) = 0 und f' macht an xT einen VZW von - nach + ==>
T(xT , f(xT)) ist ein relatives Minimum in (a ,b)

aber nicht:
NICHT (f'(xT) = 0 und f' macht an xT einen VZW von - nach + ) ==>
T(xT , f(xT)) ist KEIN relatives Minimum in (a ,b)

Mit dem Satz:
"Satz (hinreichendes und notwendiges Kriterium für Extrema)"
wäre dies aber möglich!

mfg
Ernst
Jens Kallup
2017-07-11 22:10:33 UTC
Permalink
Raw Message
Hallo Ernst,

dieses Thema wurde ausreichend erkundet und niedergeschrieben.
Bei diesen Extremwert(problem) geht es dadrum, Prozesse zu
optimieren.
Sprich: Minimal-/Maximalaufwand: Weg, Zeit oder Material, Volumen.

Es wird also eine Funktion gesucht, die das Problem beschreibt,
bei der nur noch eine Variable übrig bleibt.
Die Funktion muss dann durch Lemmatas so gekürzt werden, dass wenn
mehrere Nebenbedingungen existieren nur noch eine Variable übrig
bleibt.

Wenn nach maximalen Volumen gefragt wird, ist die Hauptbedingung V =
Wemn nach minimaler Oberfläche gefragt wird, dann O =

Vorgehensweise:
1. Hauptbedingung aufstellen, Was soll maximiert/minimiert werden.
2. Rand- bzw. Nebenbedingung: Angabe im Text.
3. Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptbedingung
einsetzen => Zielfunktion.
4. Zielfunktion auf Extremstellen untersuchen.
5. Alle fehlenden Werte bestimmen -> Randwerte beachten!

Du scheinst Dich auf das Problem des "Punkt auf Graphen" zu beziehen.
Mit f(xe) = 0 also xe meinst Du da vielleicht f(x) und e als exponet-
ialfunktion, die im Koordinatensystem 2 Extrema haben kann:
y > 0 sowie
y < 0

In diesem Fall würde ich die Hauptbedingung aufstellen:
"Welche Koordinaten muss der Punkt P haben, damit der Flächeninhalt des
grau zu schraffierende Steigungsdreieck maximal ist.

Bei dieser Bedinung muss eine weitere Bedingung angenommen werden.
Und zwar, dass das Steigungsdreieck maximal 4,5 Einheiten besitzt, da
ich davon ausgehe, das Deine Frage in Richtung Neuronale Netze geht und
die Bedingung ein maximaler Fehler ist.

1
y| _ f(x) = -- x^2 + 4,5
| / 6
| /
| /
__| . <--- P(u | f(u))
| /|
| / |
f(u) | / |
__|/___|_________
|<- u <- x

Die Hauptbedingung ist also der Flächeninhalt des Dreiecks:

A = 0,5 * g * h

Die Nebenbedingung ist in diesem Fall das der Punkt P auf dem Funktions-
graphen liegen muss.

Dies ist eine nützliche Information, denn so können wir die Grundseite g
und die Höhe h in der Formel durch die Koordinaten von Persetzen:

Nebenbedingung:

g = u 1
h = f(u) = - - u^2 + 4,5
6

Anschließend die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und wir
erhalten die Zielfunktion:

1 ( 1 ) 1
A(u) = - * u * ( - - u^2 + 4,5 ) = - -- u^2 - 2,25u
2 ( 6 ) 12

Die Zielfunktion ist nur noch abhängig von der Unbekannten u.
Untersuchen wir die Funktion nun auf Extremstellen.

Die notwendige Bedinung:

1
A'(u) = - - u^2 - 2,25 = 0
4

liefert die beiden möglichen Extremstellen u_1 = 3 und u_2 = -3.
Die Prüfung, ob wirklich ein Maximum vorliegt, wird mit der zweiten
Ableitung gemacht und liefert:

A''(u_1 = -3) = -3/2 < 0

y-Koordinate von P: f(3) = 3

Der Punkt zur maximalen Fläche lautet dann P(3|3).
Post by Ernst
Unter bestimmten nicht allzu starken Voraussetzungen kann ich zeigen
(hoffentlich stimmt der Beweis), daß
f'(xe)=0 und f' macht an xe einen VZW äquivalent ist zu
xe ist ein relatives Extremum
Wie ich schon oben schrieb, möchtest Du ein neurales Netz??
Zu Deiner Schlußfolgerung bzw. dem etwas naive WOAUW Effekt kann ich Dir
dazu sagen, das es sehr schnell zu einen Schwellwertigen Fehlern führt,
wenn die Testdaten >= dem der Trainingsdaten sind.
Post by Ernst
Dazu benutze ich das so von mir bezeichnete Tiefpunkt-Monotonie-Lemma.
Damit meinst Du sicherlich die Sigmoid-Funktion, bei dem es:
gegen -oo > 0 > gegen +oo zu einen S-förmigen Graphen führt.
Post by Ernst
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr den Beweis kritisch prüfen würdet und
mir mitteilen könnt, ob er korrekt ist.
Nunja, öhhmm, würde sagen, Du hast soeben einen Schritt weiter mit in
Deinen Worten beschriebenen Weg in die neuronale Welt gefunden :-)
Post by Ernst
Ziel: Konstruiere eine Folge (x1, x1, x1, .. ) mit xn : = xT + d/n
(also lim_n-->00 xn = xT) und lim_n-->00 f(xn) != f(xT)
Als Folge würde man (x1, x2, ...) anehmen.
Ich für meinen Teil interpretiere es so, das Du verschiedene Zustände
(x_1, x_2, ... , x_n) mittels Schwellwertfunktion berechnen willst.
Also Optimierung von 6 Neuronen.
Schau Dir dazu mal die HMM Modelle an und experimentiere damit.
Post by Ernst
f(xT + d/n) > f(xT + d/5) > f(xT + d/4)
ehm, nicht ganz trival:
Bei Deiner Tiefpunkt beschreibung nehme ich mal an, das der minimalste
Fehler (als Punkt P in einen Graphen ausgedrückt für

lim_ -f(u) --> oo sowie
lim_ +f(u) --> oo

lim kann nie > +1 sein
lim erreicht != 0 nie (welches System ist schon 100% sicher?)
lim wird nie < -1 sein (mit Technik von Heute)

+y
|
|______ +1
0 |
-x _____\|_________ +x
|\
_____| 0 -1
|
-y |


Die obige Grafik schaut zwar nicht wie eine Sigmoid Funktion aus,
sondern mehr als hard limit, da die S-Funktion schöne Rundungen hat.

Den Rest hier will ich mal nicht kommentieren und bereite mich mal
auf Schlummermodus vor.

Grüße
Jens
Post by Ernst
lim_n-->00 f(xT+d/n) >= f(xT + d/5) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) > f(xT) , also
lim_n-->00 f(xT+d/n) != f(xT) , also
f ist unstetig an xT ==> Widerspruch.
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