Discussion:
Vollständige injektive Zerlegung von Funktionen?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-07-28 22:03:53 UTC
Permalink
Raw Message
Hallo.

1.)
Kann jede Funktion vollständig in injektive Einschränkungen zerlegt werden?

2.)
Wenn ja, hat dann jede dieser injektiven Einschränkungen eine
Umkehrfunktion?

Danke.
Hans CraueI
2018-07-28 22:40:46 UTC
Permalink
Raw Message
IV schrieb
Post by IV
1.)
Kann jede Funktion vollständig in injektive Einschränkungen zerlegt werden?
Man kann fuer jede Funktion eine vollstaendige Zerlegung des
Definitionsbereichs so angeben, dass die Einschraenkungen der
Funktion auf die Teilmengen dieser Zerlegung injektiv sind.
Das ist ziemlich banal.
Die Frage wird dann nicht mehr ganz so einfach, wenn man
endliche bzw. abzaehlbare Zerlegungen des Definitionsbereichs
der Funktion haben will.
Es geht offenbar dann nicht, wenn es Elemente des Wertebereichs
gibt, deren Urbild nicht endlich bzw. nicht abzaehlbar ist.
Post by IV
2.)
Wenn ja, hat dann jede dieser injektiven Einschränkungen eine
Umkehrfunktion?
Jede injektive Funktion hat eine auf dem Bild der Funktion
definierte Umkehrfunktion.
Das trifft insbesondere in dem Fall zu, dass die injektive
Funktion durch eine geeignete Einschraenkung einer beliebigen
Funktion erhalten wurde.

Hans
Carlo XYZ
2018-07-29 05:05:54 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans CraueI
1.)
Kann jede Funktion vollst�ndig in injektive Einschr�nkungen zerlegt werden?
Man kann fuer jede Funktion eine vollstaendige Zerlegung des
Definitionsbereichs so angeben, dass die Einschraenkungen der
Funktion auf die Teilmengen dieser Zerlegung injektiv sind.
Das ist ziemlich banal.
Und geht kanonisch, indem z.B. der Definitionsbereich
in Einermengen zerlegt wird. Oder in die Mengen der
Urbilder der Elemente des Bildbereichs.
Post by Hans CraueI
Die Frage wird dann nicht mehr ganz so einfach, wenn man
endliche bzw. abzaehlbare Zerlegungen des Definitionsbereichs
der Funktion haben will.
Es geht offenbar dann nicht, wenn es Elemente des Wertebereichs
gibt, deren Urbild nicht endlich bzw. nicht abzaehlbar ist.
Wieso nicht? Zur Größe der Zerlegung wurde nichts gefordert.
Post by Hans CraueI
2.)
Wenn ja, hat dann jede dieser injektiven Einschr�nkungen eine
Umkehrfunktion?
Jede injektive Funktion hat eine auf dem Bild der Funktion
definierte Umkehrfunktion.
Das trifft insbesondere in dem Fall zu, dass die injektive
Funktion durch eine geeignete Einschraenkung einer beliebigen
Funktion erhalten wurde.
Ja.

Der OP sollte ernst nehmen, was ihm seit Jahren angeraten wird.
Carlo XYZ
2018-07-29 06:53:43 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans CraueI
Kann jede Funktion vollst�ndig in injektive Einschr�nkungen zerlegt werden?
Man kann fuer jede Funktion eine vollstaendige Zerlegung des
Definitionsbereichs so angeben, dass die Einschraenkungen der
Funktion auf die Teilmengen dieser Zerlegung injektiv sind.
Kanonisch, indem der Urbildbereich in Einermengen zerlegt wird.
Post by Hans CraueI
Die Frage wird dann nicht mehr ganz so einfach, wenn man
endliche bzw. abzaehlbare Zerlegungen des Definitionsbereichs
der Funktion haben will.
Es geht offenbar dann nicht, wenn es Elemente des Wertebereichs
gibt, deren Urbild nicht endlich bzw. nicht abzaehlbar ist.
Aber nicht "genau dann". Die exakten Kriterien sind für
endliche bzw. abzählbare Zerlegungen: Der Urbildbereich
ist endlich (bzw. abzählbar).
IV
2018-07-29 10:43:51 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans CraueI
1.) Kann jede Funktion vollständig in injektive Einschränkungen zerlegt
werden?
Man kann fuer jede Funktion eine vollstaendige Zerlegung des
Definitionsbereichs so angeben, dass die Einschraenkungen der Funktion auf
die Teilmengen dieser Zerlegung injektiv sind.
Ich nehme das als Antwort mit. Danke.
Post by Hans CraueI
2.)
Wenn ja, hat dann jede dieser injektiven Einschränkungen eine
Umkehrfunktion?
Jede injektive Funktion hat eine auf dem Bild der Funktion definierte
Umkehrfunktion.
Das trifft insbesondere in dem Fall zu, dass die injektive Funktion durch
eine geeignete Einschraenkung einer beliebigen Funktion erhalten wurde.
Solche Umkehrfunktion der Einschränkung einer Funktion F ist auf einem
'Abschnitt'(?) des Definitionsbereiches der Funktion F definiert. Dazu, wie
man solche Umkehrfunktionen nennt und definiert soll es weitergehen im
Thread über 'abschnittsweise' definierte Umkehrfunktionen.
Danke.
Carlo XYZ
2018-07-29 10:59:50 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Ich nehme das als Antwort mit. Danke.
...
Danke.
Bringst du bitte mal deine Zitierebenen in Ordung?
Du antwortetest auf Hans Crauel, nicht auf mich.
IV
2018-07-29 11:31:03 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlo XYZ
Post by IV
Ich nehme das als Antwort mit. Danke.
...
Danke.
Bringst du bitte mal deine Zitierebenen in Ordung?
Du antwortetest auf Hans Crauel, nicht auf mich.
Oh, Entschuldigung. Ich hatte das extra so gemacht, weil ich auch Deine
Antwort in meinen Dank einbeziehen wollte.
Du hast recht. Ich hätte oben schreiben sollen "Hans Crauel schrieb:". Nun
geht's aber nicht mehr zu ändern.
Carlo XYZ
2018-07-29 13:22:35 UTC
Permalink
Raw Message
Nun geht's aber nicht mehr zu ändern.
Nein. Zumal das aber öfter vorkommt bei dir,
geht's, dass du künftig besser aufpasst.
H0Iger SchuIz
2018-07-29 14:25:04 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Solche Umkehrfunktion der Einschränkung einer Funktion F ist auf einem
'Abschnitt'(?) des Definitionsbereiches der Funktion F definiert. Dazu, wie
man solche Umkehrfunktionen nennt und definiert soll es weitergehen im
Thread über 'abschnittsweise' definierte Umkehrfunktionen.
Danke.
Bei der Gelegenheit kannst du dann mal erklären, was ein Abschnitt sein
soll.

hs
IV
2018-07-29 12:02:47 UTC
Permalink
Raw Message
"Hans CraueI" schrieb im Newsbeitrag news:pjirde$r27$***@dont-email.me...
Jetzt bräuchte ich noch einen mathematischen Satz, daß jede Umkehrrelation
einer Funktion vollständig in partielle Umkehrfunktionen zerlegt werden
kann.
In dem mathematischen Satz soll aber nicht von Umkehrrelationen die Rede
sein, sondern von der Funktion, für die die Umkehrrelation in die partiellen
Umkehrfunktionen zerlegt wird. Ich kann mich wie immer nicht korrekt
ausdrücken: Ich weiß nicht, ob eine Funktion zerlegt werden kann, oder nur
ihr Definitionsbereich oder ihre Bildmenge.
Der Satz soll aber wieder möglichst einfach sein, so daß auch Laien ihn
durchschauen können, wenn sie die Definitionen der im Satz verwendeten
Begriffe nachschlagen bzw. genannt bekommen haben.

Wenn ich diesen mathematichen Satz hätte, könnte ich das "lokale
Umkehrfunktion" in meinem Satz 4 in der Pdf-Datei endlich ersetzen durch
"partielle Umkehrfunktion", und damit wäre H0Igers für mich anfangs lange
Zeit unverständliche Kritik, daß die lokalen Umkehrfunktionen des Satzes
existieren müssen, geheilt.
Wie immer vielen Dank auch dafür.
(Warum aber ist das nicht von Euch gekommen?)
H0Iger SchuIz
2018-07-30 12:54:35 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Jetzt bräuchte ich noch einen mathematischen Satz, daß jede Umkehrrelation
einer Funktion vollständig in partielle Umkehrfunktionen zerlegt werden
kann.
In dem mathematischen Satz soll aber nicht von Umkehrrelationen die Rede
sein, sondern von der Funktion, für die die Umkehrrelation in die partiellen
Umkehrfunktionen zerlegt wird. Ich kann mich wie immer nicht korrekt
ausdrücken: Ich weiß nicht, ob eine Funktion zerlegt werden kann, oder nur
ihr Definitionsbereich oder ihre Bildmenge.
Der Satz soll aber wieder möglichst einfach sein,
Das ist sogar trivial. Wähle eine einlementige Teilmenge des
Definitionsbereichs als Definitonsbereich und deren Bild als
Wertebereich. Schon erhältst du eine bijketive Funktion.

Sei also f : D-> W eine Funktion, dann ist für alle d \in D die Funktion

f_d : {d} -> {f(d)}, d |-> f(d)

bijektiv. Ihre Umkehrfunktion ist offensichtlich

f_d^-1: {f(d)} -> {d}, f(d) |-> d


Allerdings, da diese einlementige Mengen keinerleie Struktur haben,
bleibt auch von der Struktur der Funktion nichts über. Es macht wenig
bis keinen Sinn, solche Funktionen zu betrachten.

Deshalb betrachtet man ja lieber Teilmengen mit Struktur, wie z.b. die
Umgebungen bei den lokalen Umkehrfunktionen. Wenn man aber über die
betrachteten gar nichts voraussetzt, kommen auch nur recht allgemeine
Erkenntnisse bei 'rum.

Betrachte z.B. mal eine konstante Funktion oder die charakteristische
Funktion der rationalen Zahlen

1, falls x \in Q
\chi_Q: R -> R, x |->
0, sonst

Auch hier kann man, wie oben erklärt, punktweise Umkehrfunktionen
definieren. Warum aber sollte man die betrachten wollen? Wozu sind die
nütze?

hs
IV
2018-07-30 13:13:30 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Jetzt bräuchte ich noch einen mathematischen Satz, daß jede
Umkehrrelation einer Funktion vollständig in partielle Umkehrfunktionen
zerlegt werden kann.
In dem mathematischen Satz soll aber nicht von Umkehrrelationen die Rede
sein, sondern von der Funktion, für die die Umkehrrelation in die
partiellen Umkehrfunktionen zerlegt wird. Ich kann mich wie immer nicht
korrekt ausdrücken: Ich weiß nicht, ob eine Funktion zerlegt werden kann,
oder nur ihr Definitionsbereich oder ihre Bildmenge.
Der Satz soll aber wieder möglichst einfach sein,
Das ist sogar trivial. ...
Allerdings, da diese einlementige Mengen keinerlei Struktur haben, bleibt
auch von der Struktur der Funktion nichts über. Es macht wenig bis keinen
Sinn, solche Funktionen zu betrachten.
...
Auch hier kann man, wie oben erklärt, punktweise Umkehrfunktionen
definieren. Warum aber sollte man die betrachten wollen? Wozu sind die
nütze?
Eine Definition ist nur dann sinnvoll, wenn mindestens ein so definiertes
Objekt existiert.
Es geht nicht unbedingt darum, die definierten Objekte zu betrachten.
Aussagen zu deren Existenz können auch genügen.

Hier einige meiner Entwurfsrahmen (Gedankensplitter), noch unausgereift:

Existenzlemma fü partielle Umkehrfunktionen:
Jede Umkehrrelation einer Funktion kann vollständig in partielle
Umkehrfunktionen zerlegt werden.
Jede surjektive Funktion hat mindestens eine partielle Umkehrfunktion.

Existenzlemma für lokale Umkehrfunktionen:
Jede Umkehrrelation einer surjektiven Funktion mit einem Definitionsbereich
der keine einelementige Zusammenhangskomponente hat kann vollständig in
partielle Umkehrfunktionen zerlegt werden.
Jede surjektive Funktion mit einem Definitionsbereich der keine
einelementige Zusammenhangskomponente hat, hat mindestens eine lokale
Umkehrfunktion.

Ich brauche diese 'Sätze' damit ich in meinem "Struktursatz für partielle
Umkehrfunktionen zusammengesetzter Funktionen einer Variablen" nicht die
Existenz lokaler Umkehrfunktionen der Gliedfunktionen voraussetzen muß.
Leider konnte ich diese 'Sätze' noch nirgendwoanders lesen.
H0Iger SchuIz
2018-07-30 13:30:04 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Jede surjektive Funktion mit einem Definitionsbereich der keine
einelementige Zusammenhangskomponente hat, hat mindestens eine lokale
Umkehrfunktion.
Dann hat die charakteristische
Funktion der rationalen Zahlen

1, falls x \in Q
\chi_Q: R -> {0,1}, x |->
0, sonst

eine lokale Umkehrfunktion (Zumindest wenn man R mit Standardtopologie
betrachtet)? Da muss man noch nicht mal die Stetigkeit der Funktion
fordern? Alle Achtung.
Post by IV
Leider konnte ich diese 'Sätze' noch nirgendwoanders lesen.
Warum wohl?

hs

Loading...