Discussion:
Verbesserung Formulierung Ritts Struktursatz über elementar umkehrbare elementare Funktionen
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-07-20 15:45:24 UTC
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Raw Message
Hallo,

in "Überprüfung Struktursatz für Umkehrfunktion bijektiver zusammengesetzter
Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Hier ergeht die Warnung vor falschen Vorbildern. Warum möchtest du den
Stil kopieren. Formuliert Ritt besonders schön? Ich möchte auch anmerken,
dass ich in den vergangegnen 93 Jahren nicht nur die Sprache gewandelt
hat, sondern auch der Stil mathematischer Aufsätze nicht unerheblich.
Deshalb bitte ich Euch hiermit um Eure Mithilfe, den Satz von Ritt aus [Ritt
1925] (siehe unten) korrekt zu formulieren, zunächst in Deutsch.

[Ritt 1925]:
""
"If $F(z)$ and its inverse are both elementary, there exist $n$ functions
$\phi_{1}(z)$, $\phi_{2}(z)$, ..., $\phi_{n}(z)$, where each $\phi(z)$ with
an odd index is algebraic, and each $\phi(z)$ with an even index is either
$e^{z}$ or $\log\ z$, such that $F(z)=\phi_{n}\ \phi_{n-1}\ ...\ \phi_{2}\
\phi_{1}(z)$ each $\phi_{i}(z)$ $(i<n)$ being substituted for $z$ in
$\phi_{i+1}(z)$.")"

Meine wortwörtliche Übersetzung ins Deutsche:
Wenn $F$ und deren Umkehrfunktion beide elementar sind, dann existieren $n$
Funktionen $\phi_{1}$, $\phi_{2}$, ..., $\phi_{n}$, wo jedes $\phi$ mit
einem ungeraden Index algebraisch ist und jedes $\phi$ mit einem geraden
Index entweder $\exp$ oder $\ln$ ist, so dass $F=\phi_{n}\ \phi_{n-1}\ ...\
\phi_{2}\ \phi_{1}$, jedes $\phi_{i}(z)$ $(i<n)$ wird eingesetzt f\"ur $z$
in $\phi_{i+1}(z)$.

Und hier meine verbesserte Variante:
Wenn $F$ eine bijektive elementare Funktion ist, deren Umkehrfunktion eine
elementare Funktion ist, dann ist $F=f_{n}\circ f_{n-1}\circ\ ...\ \circ
f_{2}\circ f_{1}$, worin jedes $f$ mit einem ungeraden Index eine
algebraische Funktion ist und jedes $f$ mit einem geraden Index entweder
$\exp$ oder $\ln$.

1.)
Was ist besser: "Wenn $F$ eine bijektive elementare Funktion ist, deren
Umkehrfunktion eine elementare Funktion ist,", oder "Wenn $F$ und deren
Umkehrfunktion beide elementar sind,"?

2.)
Wie kann meine verbesserte Variante noch weiter verbessert werden?

Danke.


[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
IV
2018-07-20 15:56:30 UTC
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Raw Message
"IV" schrieb im Newsbeitrag news:pit03e$aec$***@news.albasani.net...
Ritt schreibt vorneweg: "The elementary functions are understood here to be
those which are obtained in a finite number of steps by performing algebraic
operations and taking exponentials and logarithms."

Ich finde Ritts Beginn des Satzes besonders schön, besonders kompakt und
ehrlich vielsagend: "If F(z) and its inverse are both elementary,".
Es hat mich einige Zeit gekostet, zu begreifen, daß mit "elementary"
elementare Funktionen gemeint sind. Aber nachdem ich das begriffen hatte,
fand ich seine Formulierung außerordentlich treffend.
H0Iger SchuIz
2018-07-20 17:16:23 UTC
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Post by IV
jedes $f$ mit einem ungeraden Index
Das finde ich auch bei Ritt schon unglücklich. $f$ hat keinen Index,
will soll der dann ungerade sein. $f_i$ hat sehr wohl einen Index, da
lann man zwischen gerade und ungerade unterscheiden. Die Idee, die
Schreibweise etwas reduzierter zu halten ist klar, aber formal ganz
sauber ist's dadurch nicht.
IV
2018-07-20 19:30:30 UTC
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Raw Message
Post by IV
jedes $f$ mit einem ungeraden Index
Das finde ich auch bei Ritt schon unglücklich. $f$ hat keinen Index, wie
soll der dann ungerade sein. $f_i$ hat sehr wohl einen Index, da kann man
zwischen gerade und ungerade unterscheiden. Die Idee, die Schreibweise
etwas reduzierter zu halten ist klar, aber formal ganz sauber ist's
dadurch nicht.
Ich finde das mit dem f ohne Index gerade schön: Nach kurzem Nachgrübeln ist
klar, was gemeint ist, es ist eindeutig, und es ist kurz und läßt sich
leicht merken.
Wenn man nun f_i schreibt, müßte man dann nicht auch noch hinschreiben was
denn i bedeuten soll, denn i taucht doch im Satz vorher gar nicht auf. Es
gibt kein f_i, aber es gibt f mit Indizes.

Gibt es sonst noch Verbesserungsvorschläge?
H0Iger SchuIz
2018-07-21 07:40:10 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by IV
jedes $f$ mit einem ungeraden Index
Das finde ich auch bei Ritt schon unglücklich. $f$ hat keinen Index, wie
soll der dann ungerade sein. $f_i$ hat sehr wohl einen Index, da kann man
zwischen gerade und ungerade unterscheiden. Die Idee, die Schreibweise
etwas reduzierter zu halten ist klar, aber formal ganz sauber ist's
dadurch nicht.
Ich finde das mit dem f ohne Index gerade schön: Nach kurzem Nachgrübeln
Wenn man über die Bedeutung der Symbole nachgübeln muss, ...

Naja, lassen wir das.
Post by IV
ist
klar, was gemeint ist, es ist eindeutig, und es ist kurz und läßt sich
leicht merken.
Wenn man nun f_i schreibt, müßte man dann nicht auch noch hinschreiben was
denn i bedeuten soll, denn i taucht doch im Satz vorher gar nicht auf.
In der Tat. Allerdings taucht auf f nicht auf.
Post by IV
Es
gibt kein f_i, aber es gibt f mit Indizes.
Häh?
H0Iger SchuIz
2018-07-22 12:35:17 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn man nun f_i schreibt, müßte man dann nicht auch noch hinschreiben was
denn i bedeuten soll, denn i taucht doch im Satz vorher gar nicht auf.
In der Tat. Allerdings taucht auf f nicht auf.
Tippfehler, statt dessen:

In der Tat. Allerdings taucht _auch_ f nicht auf.

hs

Jens Kallup
2018-07-21 08:24:35 UTC
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Hallo IV,

wenn dort steht: g1,
dann hat das Ganze die Bedeutung von g * 1,
was natürlich auch geschrieben werden kann als: 1 * g.

Das g1 hat einen historischen Hintergrund.
Von einen sehr alten Schachspieler habe ich die Regel:
erst den König nach links oder rechts

(wenn Rochade: König hat links und rechts freie Bahn,
wenn dieser noch nicht seine Position geändert wurde
und auf der jeweiligen Seite der/die Türme um 2 Felder
nach links/rechts, und der König um 1 Feld nach
links/rechts bewegt werden kann.

Soll heißen: wenn dort steht: g1 brauch nicht unbedingt
die 1 hingeschrieben werden. Diese 1 gilt als kleinste
Einheit und wird in vielen Neueren Büchern auch gerne
weggelassen.
So entspricht also: f_i = f_1 = g

Und wenn man folgende Konstrukte:

f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b

verwendet, sind beide gleichwertig, solange man sich auf
die gleichen Symbole einigt.
Aber dies müsste in der Präambel des jeweiligen Textes
stehen.

g steht meist als y-Koordinate, was dann in den tieferen
Mathe-Klassen als

| z := 0
f(x) = z | x := 0
f(y) = z | f(y) := f(g(z)) ; g1(z) := 1 * 0 := 0

Verwendung findet.
Ich hoffe das wird durch obige Formeln klarer.

Nun kannst Du sicherlich einen besseren Satz formulieren.

Hoffe gedient zu haben
Jens
IV
2018-07-21 10:41:59 UTC
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Post by Jens Kallup
wenn dort steht: g1,
dann hat das Ganze die Bedeutung von g * 1,
was natürlich auch geschrieben werden kann als: 1 * g.
g1 ist ein Symbol, ein Bezeichner.
Wenn 1g im Text nicht als Symbol/Bezeichner definiert ist, dann liegt die
Deutung als 1*g nahe. Wobei dann aber wohl 1 g zu schreiben wäre.
Weitere Kommentare dazu sind unnötig.
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