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Lösung einer Gleichung
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Andy Grzybowski
2018-07-15 16:22:49 UTC
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Hallo zusammen,

folgende Gleichung

x² = 8x + 5

Wie kann ich diese lösen? Könnt Ihr mir den Rechenweg aufzeigen?

Vielen Dank!

Andy
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Am Wochenende bin ich ein Mofa. Halb Mensch, halb Sofa.
Christian Gollwitzer
2018-07-15 16:33:34 UTC
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Post by Andy Grzybowski
folgende Gleichung
x² = 8x + 5
Wie kann ich diese lösen? Könnt Ihr mir den Rechenweg aufzeigen?
Bringe alles auf eine Seite, so dass die Gleichung aussieht wie

a*x^2+b*x+c = 0

Dann benutze die Formel für quadratische Gleichungen ("Mitternachtsformel")
https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung

Christian
Detlef Müller
2018-07-15 18:25:50 UTC
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Post by Andy Grzybowski
Hallo zusammen,
folgende Gleichung
x² = 8x + 5
Wie kann ich diese lösen? Könnt Ihr mir den Rechenweg aufzeigen?
Christian hat ja schon gezeigt, wie man vorgeht, um das
"Werkzeug" der "Mitternachtsformel" ansetzen zu können, ein
pragmatischer Weg um zur Lösung zu kommen.

Andere bevorzugen die "p-q-Formel" oder die "quadratische
Ergänzung" ... irgendwo braucht man einen über elementare
Termumformung hinaus gehenden Trick (sonst dreht man sich
bei der Umformerei im Kreis).

Beispielrechnung für "quadratische Ergänzung", bei der die
Binomische Formel (x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 bzw.
(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2 (nachrechnen!) benutzt wird:

x^2 = 6x + 1 | -6x
x^2 - 6x = 1 | +9 ("Ergänzung", a=-3, a^2=9)
x^2 - 6x + 9 = 10 | Binomische Formel "rückwärts"
(x-3)^2 = 10 | Quadratwurzel ergibt 2 Lösungen:

x-3 = sqrt(10) oder |
x-3 = -sqrt(10) | +3

x = 3 + sqrt(10) oder x = 3 - sqrt(10)

Analog geht das auch mit Deiner Ursprungsgleichung.

Interessanterweise kenne ich Leute mit abgeschlossenem
Mathe-Grundstudium, die stets quadratische Ergänzung machen,
also im Grunde bei jeder Gleichung die "p-q-Formel" neu
herleiten.

Die ersten drei Schritte sind der Trick, um ein einfaches
Quadrat zu erhalten, dessen Lösungen man durch Ziehen der
Wurzel leicht finden kann.

Spätestens nachdem ich 3 mal eine Gleichung der Art
x^2 + px + q = 0
derart gelöst habe, weiß ich aber sowieso, was am
Ende heraus kommt und überspringe die Trickserei
einfach.
Wer so weit ist, hat die "p-q-Formel" nicht nur (nebenbei) auswendig
gelernt, sondern auch verstanden (und wird sie deshalb auch so schnell
nicht wieder vergessen).

Der Charme dieser (erst mal umständlich anmutenden) Methode:
Die Quadratische Ergänzung (QE) an sich ist oft nützlich, um Terme
zu vereinfachen - wenn man die QE geübt hat, kann sie auch an ganz
anderen Betrachtungen zu Diensten sein.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Jens Kallup
2018-07-16 11:29:52 UTC
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Post by Detlef Müller
zu vereinfachen - wenn man die QE geübt hat, kann sie auch an ganz
anderen Betrachtungen zu Diensten sein.
Dreieck's Berechnungen?
Wendelin Uez
2018-07-27 17:23:34 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Detlef Müller
zu vereinfachen - wenn man die QE geübt hat, kann sie auch an ganz
anderen Betrachtungen zu Diensten sein.
Dreieck's Berechnungen?
Wenn du in den Berechnungen ebenfalls willkürlich Operanden etc. einstreust
würde ich das gar nicht erst versuchen.

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