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Injektionen, Surjektionen und die zornige Lemone
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Andreas Leitgeb
2018-09-06 10:26:21 UTC
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Angenommen, ich habe zwei Mengen A und B:

1) wenn es eine Bijektion von A nach B (und somit auch
umgekehrt) gibt, sind A und B per definitionem(?)
gleichmächtig.

2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.

3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.

Für "2)" schien es nach meiner internet-Recherche so, als
wäre Gleichmächtigkeit eigentlich nur auf Basis der Halb-
ordnung "nicht höhermächtig" ("A ist nicht höhermächtig als
B :<=> E f: f ist injektive Fkt von A nach B") definiert.
Demnach wäre "2)" dann "per definitionem" und "1)" ein
triviales Korrolar von "2)".

Jene Beweise, die ich im Netz für "3)" so gefunden habe,
verwendeten aber das Auswahlaxiom (und waren somit von
der zornigen Lemone abhängig - soviel zum Betreff).

Jetzt würde ich gerne wissen, ob 2) tatsächlich näher an der
offiziellen Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen dran
ist, und ob 3) auch ohne Abhängigkeit vom Auswahlaxiom
beweisbar wäre.
Helmut Richter
2018-09-06 10:34:03 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
1) wenn es eine Bijektion von A nach B (und somit auch
umgekehrt) gibt, sind A und B per definitionem(?)
gleichmächtig.
2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.
3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.
Für "2)" schien es nach meiner internet-Recherche so, als
wäre Gleichmächtigkeit eigentlich nur auf Basis der Halb-
ordnung "nicht höhermächtig" ("A ist nicht höhermächtig als
B :<=> E f: f ist injektive Fkt von A nach B") definiert.
Demnach wäre "2)" dann "per definitionem" und "1)" ein
triviales Korrolar von "2)".
Jene Beweise, die ich im Netz für "3)" so gefunden habe,
verwendeten aber das Auswahlaxiom (und waren somit von
der zornigen Lemone abhängig - soviel zum Betreff).
Jetzt würde ich gerne wissen, ob 2) tatsächlich näher an der
offiziellen Definition der Gleichmächtigkeit von Mengen dran
ist, und ob 3) auch ohne Abhängigkeit vom Auswahlaxiom
beweisbar wäre.
Die allwissende Wikipedia („Satz von Cantor-Bernstein-Schröder“) meint,
das sei mit dem Auswahlaxiom und damit auch mit dem Zornschen Lemma und
ähnlichen Sätzen wie dem Wohlordnungssatz äquivalent.
--
Helmut Richter
Helmut Richter
2018-09-06 18:34:23 UTC
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Post by Helmut Richter
Die allwissende Wikipedia („Satz von Cantor-Bernstein-Schröder“) meint,
das sei mit dem Auswahlaxiom und damit auch mit dem Zornschen Lemma und
ähnlichen Sätzen wie dem Wohlordnungssatz äquivalent.
Falsch. Diese Aussage bezog sich auf einen anderen Satz, wenn man genauer
liest. Der Satz von CBS hat einem AC-freien Beweis, also Kommando zurück.
Vielleicht gibt es mehrere Formulierungen davon, die nicht genau
äquivalent sind (A injektiv,
Helmut Richter
2018-09-06 18:41:02 UTC
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Post by Helmut Richter
Post by Helmut Richter
Die allwissende Wikipedia („Satz von Cantor-Bernstein-Schröder“) meint,
das sei mit dem Auswahlaxiom und damit auch mit dem Zornschen Lemma und
ähnlichen Sätzen wie dem Wohlordnungssatz äquivalent.
Falsch. Diese Aussage bezog sich auf einen anderen Satz, wenn man genauer
liest. Der Satz von CBS hat einem AC-freien Beweis, also Kommando zurück.
Vielleicht gibt es mehrere Formulierungen davon, die nicht genau
äquivalent sind (A injektiv,
Huch, versehentlich weggeschickt. Hätte werden sollen:

Falsch. Diese Aussage bezog sich auf einen anderen Satz, wenn man genauer
liest. Der Satz von CBS hat einem AC-freien Beweis, also Kommando zurück.
Vielleicht gibt es mehrere nicht-äquivalente Formulierungen des Satzes mit
den Voraussetzungen z.B.

– es gibt injektive A→B und B→A

– es gibt ein surjektives und ein injektives A→B

– es gibt Teilmengen A' von A und B' von B, so dass A' =~ B und B' =~ A

Mit dem AC sind die drei äquivalent, aber ohne?

--
Helmut Richter
Martin Vaeth
2018-09-06 15:05:09 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.
Das ist die Aussage des Satzes von Schröder-Bernstein.
Er kann ohne Auswahlaxiom bewiesen werden, aber obwohl der
Beweis elementar ist, ist er nicht ganz trivial.
Post by Andreas Leitgeb
Für "2)" schien es nach meiner internet-Recherche so, als
wäre Gleichmächtigkeit eigentlich nur auf Basis der Halb-
ordnung "nicht höhermächtig" ("A ist nicht höhermächtig als
B :<=> E f: f ist injektive Fkt von A nach B") definiert.
Jein: Es ist sinnvoll, "nicht höhermächtig" so zu definieren.
Den Begriff "gleichmächtig" definiert man aber üblicherweise
trotzdem über die Bijektion.
Post by Andreas Leitgeb
Demnach wäre "2)" dann "per definitionem"
Per definitionem heißt 2) zunächst nur, dass A nicht
höhermächtig ist als B und B nicht höhermächtig ist als A.
Natürlich *könnte* man A und B in diesem Fall z.B.
"semi-gleichmächtig" nennen.
Da die Relation "nicht höhermächtig" transitiv und
reflexiv ist, erhält man so rein algebraisch,
dass "semi-gleichmächtig" eine Äquivalenzrelation
und die Relation "nicht höhermächtig" eine wohldefinierte
Halbordnung auf den zugehörigen Äquivalenzklassen ist.

Der Satz von Schröder-Bernstein kann nun so gelesen werden,
dass "semi-gleichmächtig" genau das selbe ist wie "gleichmächtig",
und insbesondere die erwähnte Relation eine Halbordnung auf
den Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen ist.
(Tatsächlich ist Schröder-Bernstein nichts anderes als eine
Umformulierung der Antisymmetrie dieser Halbordnung, so dass
man an dieser Stelle also tatsächlich den Satz von
Schröder-Bernstein in seiner ganzen Pracht benötigt.)

Und bekanntlich ist diese Halbordnung genau dann eine
Ordnung, wenn man zu ZF das Auswahlaxiom hinzufügt.

Das sollte aber in jedem guten Lehrbuch der Mengenlehre stehen.
Post by Andreas Leitgeb
3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.
Jene Beweise, die ich im Netz für "3)" so gefunden habe,
verwendeten aber das Auswahlaxiom (und waren somit von
der zornigen Lemone abhängig - soviel zum Betreff).
Geht nicht ohne Auswahlaxiom:
https://mathoverflow.net/questions/65369/half-cantor-bernstein-without-choice
Andreas Leitgeb
2018-09-07 17:19:43 UTC
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Post by Martin Vaeth
Und bekanntlich ist diese Halbordnung genau dann eine
Ordnung, wenn man zu ZF das Auswahlaxiom hinzufügt.
Das sollte aber in jedem guten Lehrbuch der Mengenlehre stehen.
War mir nicht bekanntlich. D.h. es wäre äquivalent zum AC, dass
zu zwei Äquivalenzklassen (bzgl Gleichmächtigkeit) A,B stets A <= B
oder B <= A (oder eben beides, wenn A = B) gelten müsste?
Dann gäbe es also modelle in ZF ohne C, wo zwei verschiedene
Äquivalenzklassen bzgl Gleichmächtigkeit gar nicht vergleichbar
wären?
Martin Vaeth
2018-09-08 05:37:39 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by Martin Vaeth
Und bekanntlich ist diese Halbordnung genau dann eine
Ordnung, wenn man zu ZF das Auswahlaxiom hinzufügt.
Das sollte aber in jedem guten Lehrbuch der Mengenlehre stehen.
War mir nicht bekanntlich. D.h. es wäre äquivalent zum AC, dass
zu zwei Äquivalenzklassen (bzgl Gleichmächtigkeit) A,B stets A <= B
oder B <= A (oder eben beides, wenn A = B) gelten müsste?
Dann gäbe es also modelle in ZF ohne C, wo zwei verschiedene
Äquivalenzklassen bzgl Gleichmächtigkeit gar nicht vergleichbar
wären?
Ja. Jedes Modell mit einer Menge M ohne Wohlordnung tut es:
Der Satz von Hartogs (Helmut Richter hat die Originalarbeit
verlinkt, aber in modernen Lehrbüchern stehen lesbarere Beweise)
besagt, dass es (in ZF) möglich ist, eine wohlgeordnete
Menge W zu finden (heute würde man sagen: eine Ordinalzahl),
so dass M nicht echt mächtiger ist als W.
Wenn man hieraus schließen kann, dass es eine Injektion von M in
W gibt, kann man damit leicht eine Wohlordnung auf M definieren
und erhält den Widerspruch.
Carlo XYZ
2018-09-06 23:02:31 UTC
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Jetzt würde ich gerne wissen, ob [..]
3) auch ohne Abhängigkeit vom Auswahlaxiom
beweisbar wäre.
Man benötigt das AC, um von der Existenz einer Surjektion
von A nach B auf die Existenz einer Injektion von B nach A
zu schließen, weil man gerne aus den Urbildern von Elementen
von B jeweils ein A-Element auswählen würde (egal welches).

Diese Eigenschaft - Existenz von Rechtsinversen zu surjektiven
Funktionen - ist äquivalent zum AC. Damit lautet die Antwort
"nein". (Hat Martin Vaeth schon geschrieben, aber den von ihm
verlinkten mathoverflow-Artikel fand ich etwas irritierend.)
Martin Vaeth
2018-09-07 09:05:41 UTC
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Post by Carlo XYZ
Man benötigt das AC, um von der Existenz einer Surjektion
von A nach B auf die Existenz einer Injektion von B nach A
zu schließen
weil man gerne aus den Urbildern von Elementen
von B jeweils ein A-Element auswählen würde (egal welches).
Diese Eigenschaft - Existenz von Rechtsinversen zu surjektiven
Funktionen - ist äquivalent zum AC.
Letzteres ist zwar richtig, aber wenn man eine Surjektion
von A nach B hat, könnte es (in ZF ohne ohne AC) möglicherweise
passieren, dass zwar diese spezielle Surjektion keine
Rechtsinverse hat, aber dennoch eine *andere* Injektion
von B nach A existiert.
Post by Carlo XYZ
Hat Martin Vaeth schon geschrieben, aber den von ihm
verlinkten mathoverflow-Artikel fand ich etwas irritierend.
Nennen wir mal SurIn Deine obige Aussage
"Wenn es eine Surjektion A->B gibt, so auch eine Injektion B->A".
Dann scheint es ein offenes Problem zu sein, ob in ZF die
Implikation SurIn => AC gilt.

Auch aus den Argumenten aus dem mathoverflow-Artikel geht
letztlich nur hervor, dass SurIn in ZF alleine nicht
beweisbar ist (deswegen sind die Argumente dort auch so
knifflig). Es wäre also möglich, dass die Beweiskraft von
ZF+SurIn *echt* zwischen der von ZF und ZF+AC liegt.
Helmut Richter
2018-09-07 16:24:29 UTC
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Post by Martin Vaeth
Post by Carlo XYZ
Man benötigt das AC, um von der Existenz einer Surjektion
von A nach B auf die Existenz einer Injektion von B nach A
zu schließen
weil man gerne aus den Urbildern von Elementen
von B jeweils ein A-Element auswählen würde (egal welches).
Diese Eigenschaft - Existenz von Rechtsinversen zu surjektiven
Funktionen - ist äquivalent zum AC.
Letzteres ist zwar richtig, aber wenn man eine Surjektion
von A nach B hat, könnte es (in ZF ohne ohne AC) möglicherweise
passieren, dass zwar diese spezielle Surjektion keine
Rechtsinverse hat, aber dennoch eine *andere* Injektion
von B nach A existiert.
Post by Carlo XYZ
Hat Martin Vaeth schon geschrieben, aber den von ihm
verlinkten mathoverflow-Artikel fand ich etwas irritierend.
Nennen wir mal SurIn Deine obige Aussage
"Wenn es eine Surjektion A->B gibt, so auch eine Injektion B->A".
Dann scheint es ein offenes Problem zu sein, ob in ZF die
Implikation SurIn => AC gilt.
Auch aus den Argumenten aus dem mathoverflow-Artikel geht
letztlich nur hervor, dass SurIn in ZF alleine nicht
beweisbar ist (deswegen sind die Argumente dort auch so
knifflig). Es wäre also möglich, dass die Beweiskraft von
ZF+SurIn *echt* zwischen der von ZF und ZF+AC liegt.
Wie wärs mit
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0076?tify={%22pages%22:[452],%22view%22:%22thumbnails%22}

Das war der Satz, den ich mit dem CBS verwechselt habe, als ich
behauptete, man brauche für CBS das Auswahlaxiom.

Ich habe es nicht gründlich angeschaut, aber es sieht mir danach aus, als
könnte das weiterhelfen.
--
Helmut Richter
Martin Vaeth
2018-09-08 05:30:34 UTC
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Post by Helmut Richter
Post by Martin Vaeth
Auch aus den Argumenten aus dem mathoverflow-Artikel geht
letztlich nur hervor, dass SurIn in ZF alleine nicht
beweisbar ist (deswegen sind die Argumente dort auch so
knifflig). Es wäre also möglich, dass die Beweiskraft von
ZF+SurIn *echt* zwischen der von ZF und ZF+AC liegt.
Wie wärs mit
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0076?tify={%22pages%22:[452],%22view%22:%22thumbnails%22}
Der Satz, der dort gezeigt wird, ist der sog. "Satz von Hartogs",
der sich wohl in fast allen Lehrbüchern der Mengenlehre in
modernerer Formulierung findet.
Die entscheidende Voraussetzung, die man von diesem Satzes
für den Schluss auf AC benötigt, ist aber die Existenz
gewisser Injektionen, nicht von Surjektionen.
Martin Vaeth
2018-09-08 19:29:24 UTC
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Raw Message
Post by Martin Vaeth
Post by Helmut Richter
Post by Martin Vaeth
Auch aus den Argumenten aus dem mathoverflow-Artikel geht
letztlich nur hervor, dass SurIn in ZF alleine nicht
beweisbar ist (deswegen sind die Argumente dort auch so
knifflig). Es wäre also möglich, dass die Beweiskraft von
ZF+SurIn *echt* zwischen der von ZF und ZF+AC liegt.
Wie wärs mit
https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0076?tify={%22pages%22:[452],%22view%22:%22thumbnails%22}
Der Satz, der dort gezeigt wird, ist der sog. "Satz von Hartogs",
der sich wohl in fast allen Lehrbüchern der Mengenlehre in
modernerer Formulierung findet.
Die entscheidende Voraussetzung, die man von diesem Satzes
für den Schluss auf AC benötigt, ist aber die Existenz
gewisser Injektionen, nicht von Surjektionen.
Wie in den Büchern von Rubin oder Herrlich nachzulesen ist,
kann man mit dem Satz von Hartogs anders als gerade behauptet
bereits aus der Existenz gewisser Surjektionen auf AC schließen.
Genauer kann man mit dem Satz von Hartogs zeigen:
Wenn für je zwei nichtleere Mengen A,B eine Surjektion von
einer auf die andere existiert, so gilt AC. (Die Umkehrung
gilt natürlich aufgrund des Wohlordnungssatzes.)

Für das Problem, ob aus SurIn bereits AC folgt, scheint das
jedoch nicht weiterzuhelfen.
Carlo XYZ
2018-09-08 04:16:37 UTC
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Post by Martin Vaeth
Nennen wir mal SurIn Deine obige Aussage
"Wenn es eine Surjektion A->B gibt, so auch eine Injektion B->A".
Dann scheint es ein offenes Problem zu sein, ob in ZF die
Implikation SurIn => AC gilt.
Auch aus den Argumenten aus dem mathoverflow-Artikel geht
letztlich nur hervor, dass SurIn in ZF alleine nicht
beweisbar ist (deswegen sind die Argumente dort auch so
knifflig). Es wäre also möglich, dass die Beweiskraft von
ZF+SurIn *echt* zwischen der von ZF und ZF+AC liegt.
Faszinierend. Tante Google erzählt von einem ganzen Zoo von
Eigenschaften E, so dass ZF+E echt zwischen ZF und ZF+AC liegt;
aber ob SurIn eine davon ist, konnte ich nicht herausfinden.
Martin Vaeth
2018-09-08 06:16:45 UTC
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Post by Carlo XYZ
Post by Martin Vaeth
Nennen wir mal SurIn Deine obige Aussage
"Wenn es eine Surjektion A->B gibt, so auch eine Injektion B->A".
Dann scheint es ein offenes Problem zu sein, ob in ZF die
Implikation SurIn => AC gilt.
[...]
Faszinierend. Tante Google erzählt von einem ganzen Zoo von
Eigenschaften E, so dass ZF+E echt zwischen ZF und ZF+AC liegt;
aber ob SurIn eine davon ist, konnte ich nicht herausfinden.
Meine Intuition sagt, dass SurIn sehr nahe beim
"prime ideal theorem" PI liegt.
Wenn man einen Nichtstandard-Analysis-Beweis von SurIn wüsste,
könnte man diesen vermutlich zu einem Beweis
der Implikation PI => SurIn ausbauen.
Damit wüsste man dannn zumindest schon mal, dass SurIn
eine der angesprochenen Eigenschaften E ist.
Andreas Leitgeb
2018-09-07 17:05:43 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
1) wenn es eine Bijektion von A nach B (und somit auch
umgekehrt) gibt, sind A und B per definitionem(?)
gleichmächtig.
2) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine weitere
Injektion von B nach A gibt, müssten(?) A und B
eigentlich auch gleichmächtig sein.
3) wenn es eine Injektion von A nach B, und eine Surjektion
von A nach B gibt, müssten(?) A und B eigentlich auch
gleichmächtig sein.
Wow, danke an Martin, Carlo und Helmut!

Mein aktuelles Verständnis ist nun also, dass
wir 1) <====> 2) wegen Bernstein&co gesichert haben

Aus der surjektiven Funktion g kann man nur mit AC auf
eine rechtsinverse zu g schließen, die dann als Kandidat
für so eine injektion von B->A dient.

Möglicherweise könnte man auch aus der existenz einer
rechtsinversen für beliebiges surjektives g zurück auf AC
schließen, aber soweit kommen wir hier gar nicht. Wir
brauchen ja keine rechtsinverse zu g, sondern nur eine
beliebige retour-injektion.


Die eine Antwort auf mathoverflow scheint nun ein Beispiel für
Mengen A,B definieren zu wollen, wo es zu einem surjektiven g
keine injektion in die andere Richtung gäbe, aber ich steige
schon dort aus, wo es keine injektion von w_1 zu 2^w geben soll,
und sehe auch gar nicht, warum das konstruierte g überhaupt
surjektiv sein soll.


Dann nehme ich es mal als "offen" an, ob man über "nicht-höhere
Mächtigkeiten" argumentieren kann, dass es zu surjektiven
funktionen auch injektive in die andere richtung geben muss,
dass es aber AC braucht, wenn die injektive auch noch mit g
zusammenpassen (etwa als "rechtsinverse") soll.

Was meine Intuition in den Grundfesten erschüttern würde, wäre
eine surjektive Funktion von einer Menge A auf die Potenzmenge
von A :-)

Danke an alle.
Rainer Rosenthal
2018-09-07 17:36:21 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Was meine Intuition in den Grundfesten erschüttern würde, wäre
eine surjektive Funktion von einer Menge A auf die Potenzmenge
von A :-)
Das klappt schon nicht so recht, wenn A die leere Menge ist,
und es wird immer schwieriger, je größer die Menge ist.

Zum Glück gibt es im weiten Universum Gestalten, die die
Surjektion für möglich halten, wenn A unendlich groß ist.
Und zwar aus einem (allerdings zu) einfachen Grund:
"Wenn A unendlich ist, ist auch die Potenzmenge unendlich. Q.E.D."

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
Jens Kallup
2018-09-09 09:48:47 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Zum Glück gibt es im weiten Universum Gestalten, die die
Surjektion für möglich halten, wenn A unendlich groß ist.
"Wenn A unendlich ist, ist auch die Potenzmenge unendlich. Q.E.D."
Hallo Rainer,

aber was ist unendlich?
Ich habe die befürchtung, dass das Universum ausdünnt:
denn: wohin mit der Masse?

Und wenn das Universum eine Masse hat, also Menge M
besitzt, dann kann die Potentmenge höchstens M^(oo - 1)
sein.

Denn, in einen Körper (Universum) passt nur soviel rein,
wie es Volumen hat - oder?

Gruß, Jens
Carlos Naplos
2018-09-09 10:10:09 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Rainer Rosenthal
Zum Glück gibt es im weiten Universum Gestalten, die die
Surjektion für möglich halten, wenn A unendlich groß ist.
"Wenn A unendlich ist, ist auch die Potenzmenge unendlich. Q.E.D."
Hallo Rainer,
aber was ist unendlich?
Eine Menge M heißt unendlich, wenn eine injektive Abbildung der
natürlichen Zahlen nach M existiert.

Der Rest hat nichts mit Mathematik zu tun.

Gruß CN
Post by Jens Kallup
denn: wohin mit der Masse?
Und wenn das Universum eine Masse hat, also Menge M
besitzt, dann kann die Potentmenge höchstens M^(oo - 1)
sein.
Denn, in einen Körper (Universum) passt nur soviel rein,
wie es Volumen hat - oder?
Gruß, Jens
Jens Kallup
2018-09-09 10:48:38 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Eine Menge M heißt unendlich, wenn eine injektive Abbildung der
natürlichen Zahlen nach M existiert.
Der Rest hat nichts mit Mathematik zu tun.
Hallo Carlos,

siehe Andreas Posting: gibt es "offene Mengen"?
Sind das dann die Bilder von |N nach M "oben offen"?

Ich denke so an ältere Artikel hier, und die Thompson
Lampe...

Gruß, Jens
Carlos Naplos
2018-09-09 15:26:57 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Eine Menge M heißt unendlich, wenn eine injektive Abbildung der
natürlichen Zahlen nach M existiert.
Der Rest hat nichts mit Mathematik zu tun.
Hallo Carlos,
siehe Andreas Posting: gibt es "offene Mengen"?
Sind das dann die Bilder von |N nach M "oben offen"?
Das Posting finde ich nicht.
Ob eine Menge offen ist oder nicht hängt immer auch von der verwendeten
Topologie ab.
Post by Jens Kallup
Ich denke so an ältere Artikel hier, und die Thompson
Lampe...
???
Post by Jens Kallup
Gruß, Jens
Jens Kallup
2018-09-09 18:29:57 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Ich denke so an ältere Artikel hier, und die Thompson
Lampe...
???
ach, ich habe das verwechselt mit ein paar YouTube Videos.
Der Inhalt war:
- Überspringen von oo zur nächsten oo
- Thompson Lampe: Ein normale Lampe wird annähernd Null
(also Sekundentakt) Ein und Aus geschaltet, bis mann
dann nicht mehr erkennen kann, ob die Lampe Licht abgibt
oder nicht.
Das Resultat war eigentlich schon zu Erkennen: die Lampe
brennt nicht mehr.
Kann sein, dass hier die Quantenmechanik kommt, kein Plan.

Gruß, Jens

Martin Vaeth
2018-09-08 05:57:41 UTC
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Raw Message
Post by Andreas Leitgeb
Mein aktuelles Verständnis ist nun also, dass
wir 1) <====> 2) wegen Bernstein&co gesichert haben
Ja.
Post by Andreas Leitgeb
Aus der surjektiven Funktion g kann man nur mit AC auf
eine rechtsinverse zu g schließen, die dann als Kandidat
für so eine injektion von B->A dient.
Ja
Post by Andreas Leitgeb
Möglicherweise könnte man auch aus der existenz einer
rechtsinversen für beliebiges surjektives g zurück auf AC
schließen
Nicht nur möglicherweise.

, aber soweit kommen wir hier gar nicht. Wir
Post by Andreas Leitgeb
brauchen ja keine rechtsinverse zu g, sondern nur eine
beliebige retour-injektion.
Eben. Und es ist nicht klar, ob man aus der Existenz jeweils
einer solchen "retour-injektion" auf die Existenz einer
Rechtsinversen von g schließen kann.
Post by Andreas Leitgeb
aber ich steige
schon dort aus, wo es keine injektion von w_1 zu 2^w geben soll
So tief kenne ich mich da auch nicht aus, aber für Spezialisten
der Forcing-Technik ist die Existenz solcher Modelle von ZF
vermutlich eine Trivialität.
Post by Andreas Leitgeb
Was meine Intuition in den Grundfesten erschüttern würde, wäre
eine surjektive Funktion von einer Menge A auf die Potenzmenge
von A :-)
Der Simley deutet zwar an, dass Du das weißt, aber sicherheitshalber:
Cantors Diagonalargument zeigt, dass das nicht geht:
Y={x\in A:x \notin F(x)} liegt nicht im Bild von F:A->2^A
(denn ein x mit F(x)=Y kann weder in- noch außerhalb
von Y liegen). Das hat nichts mit AC zu tun.
Carlo XYZ
2018-09-08 15:34:50 UTC
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Raw Message
Post by Andreas Leitgeb
Was meine Intuition in den Grundfesten erschüttern würde, wäre
eine surjektive Funktion von einer Menge A auf die Potenzmenge
von A :-)
Jo. Das Argument hat mir schon immer sehr gefallen.

Ersetzt man 2^A durch A^2, sieht die Sache etwas anders aus:

<https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_theorem_about_choice>

Dazu gibt es eine lustige Geschichte (2. Absatz im Artikel).
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