Udo
2017-04-04 08:32:39 UTC
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Hallo,Raw Message
in einem Lehrbuch fand ich folgende Übungsaufgabe, bei der ich mich irgendwie dumm angestellt habe:
Beweisen Sie über vollständige Induktion, dass gilt
2*n ≤ 2^n für n ∊ ℕ
Also zeige ich
(1) Gültigkeit für n=1: 2*1 = 2^1 ist OK.
(2) Die Ungleichung gelte für irgendein k (Induktionsannahme)
2*k ≤ 2^k
(3) Für (k+1) gilt dann, von der rechten Seite ausgehend
2^(k+1) = 2^k * 2
Und mit der Induktionsannahme (2^k ≥ 2*k) wird die rechte Seite kleiner,
wenn ich 2^k durch 2*k ersetze, also
2^(k+1) ≥ 2*k *2
2^(k+1) ≥ 4*k
2^(k+1) ≥ 2k + 2k
2^(k+1) ≥ 2(k + 2)
Da k > 0 und k ∊ ℕ wird die rechte Seite noch kleiner, wenn ich statt
(k+2) den Term (k+1) setze.
Also:
2^(k+1) ≥ 2(k +1)
was sich auch ergibt, wenn ich (k+1) in die Ungleichung bei (2)
direkt einsetze.
Ist diese Beweisführung mathematisch korrekt? Darf man so argumentieren oder mache ich da irgendwo einen Fehler?
(Mir kommt der Schritt, wo ich (k+2) einfach durch (k+1) ersetze irgendwie nicht ganz geheuer vor).
Danke und Grüße
Udo