Discussion:
Fünfeck
(zu alt für eine Antwort)
Manfred Ullrich
2018-05-02 18:30:22 UTC
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Bei der Frage, um wieviel ist die Gerade von Eck zur übernächsten Eck in einem regelmäßigem Fünfeck größer als die Mittelsenkrechte von einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke, ergab sich:
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?

Dank und Gruß
Manfred
Jens Kallup
2018-05-02 18:51:17 UTC
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Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
SQRT{4 * (1 * 1 - 1}
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - x * x / 4
SQRT{ 0 - 1 * 1 / 4
SQRT{ 1 / 4
SQRT{ 0.25 } = 0.5

+

SQRT{4 * (1 * 1 - 1)
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - 1 / 2 = 0.5 - SQRT(1 * 1 - 1)
+ - SQRT(0)^2 = 0
= 0.5 - 0
= 1.0

Gruß, Jens
Manfred Ullrich
2018-05-02 20:02:23 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
SQRT{4 * (1 * 1 - 1}
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - x * x / 4
SQRT{ 0 - 1 * 1 / 4
SQRT{ 1 / 4
SQRT{ 0.25 } = 0.5
+
SQRT{4 * (1 * 1 - 1)
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - 1 / 2 = 0.5 - SQRT(1 * 1 - 1)
+ - SQRT(0)^2 = 0
= 0.5 - 0
= 1.0
Gruß, Jens
Da kann man sich nur wundern.
M.
Christian Gollwitzer
2018-05-02 21:11:52 UTC
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Raw Message
Post by Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
SQRT{4 * (1 * 1 - 1}
....
Post by Manfred Ullrich
Da kann man sich nur wundern.
M.
Irgendwie scheint Jens zu glauben, dass man für "x" allgemein 1
einsetzen kann, außer es ist "konstant", dann setzt man 0 ein. Das zieht
sich durch seine seltsamen Antworten durch. Dass dabei i.d.R. nichts
Sinnvolles herauskommt, muss man ihm vielleicht mal klarmachen.

Christian
Jens Kallup
2018-05-03 12:40:15 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
SQRT{4 * (1 * 1 - 1}
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - x * x / 4
SQRT{ 0 - 1 * 1 / 4
SQRT{ 1 / 4
SQRT{ 0.25 } = 0.5
+
SQRT{4 * (1 * 1 - 1)
SQRT{4 * (1 - 1)
SQRT{4 * ( 0)
SQRT{ 0 - 1 / 2 = 0.5 - SQRT(1 * 1 - 1)
+ - SQRT(0)^2 = 0
= 0.5 - 0
= 1.0
Gruß, Jens
Da kann man sich nur wundern.
M.
irgend was nicht verstanden?
Nach dem Distributivgesetz ist:

x + x = x * (1 + 1)
= x * 2
= 2x

gleiches gilt für Multiplikation:

x * x = x * (1 * 1)
= x * 1
= 1x
= x
oder: = 1 => 1 * x


[x] zur Kenntnisnahme:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/8/terme1.htm

z3 = zzz oder: 3z = z * z * z = z^3 = 1 * 1 * 1 = 1^3 = 1
x5 = xxxxx ...

Jens
Carlos Naplos
2018-05-03 15:12:44 UTC
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Post by Jens Kallup
irgend was nicht verstanden?
In der Tat hast Du wohl etwas grundsätzliches nicht verstanden.
Post by Jens Kallup
x + x  =  x * (1 + 1)
       =  x *    2
       =         2x
Bis hierhin richtig.
Nein!
Post by Jens Kallup
x * x  =  x * (1 * 1)
       =  x *    1
       =         1x
       =  x
Das ist im Allgemeinen falsch.
Das siehst Du, wenn Du für x irgendetwas anderes als 1 einsetzt.
Post by Jens Kallup
oder:  =  1  =>  1 * x
Das sind völlig sinnlos hintereinander geschriebene Zeichen.
Post by Jens Kallup
    http://www.arndt-bruenner.de/mathe/8/terme1.htm
Lies mal das fett Gedruckte!
Da steht: x·x·x ist nicht gleich 3x


Gruß
CN
Jens Kallup
2018-05-03 17:08:05 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Lies mal das fett Gedruckte!
Da steht: x·x·x ist nicht gleich 3x
Da steht nichts Fett-gedrucktes, außer:

*Zusammenfassen gleichartiger Glieder*

andere Symbole als Buchstaben werden dort dargestell/
vorgestellt - mittels Herzchen.

Zitat:
Die fünf (einander gleichen) Herzen ♥ + ♥ + ♥ + ♥ + ♥ sind zusammen
soviel wie fünfmal ein solches Herz, also 5·♥ oder auch einfach 5♥.

Da steht also 5 * Herz, auch einfach 5Herz = 5 * Herz.

Abgebildet auf 2 Herzchen = 2 * Herrz = 1Herz * 1Herz

Um *eine* Lösung zu bekommen kann man auch:

2Herz 2 * Herz
----- = --------
2Herz 2 * Herz

schreiben.
2
Das Herz-Symbol kürzt sich weg, und übrig bleibt: --- = 1
2

Somit ergibt sich eine maximale Vereinfachung mit der Lösung 1.

Oder wie ist Eure Logik?

Jens
Torn Rumero DeBrak
2018-05-03 18:40:54 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Lies mal das fett Gedruckte!
Da steht: x·x·x ist nicht gleich 3x
*Zusammenfassen gleichartiger Glieder*
andere Symbole als Buchstaben werden dort dargestell/
vorgestellt - mittels Herzchen.
Die fünf (einander gleichen) Herzen ♥ + ♥ + ♥ + ♥ + ♥ sind zusammen
soviel wie fünfmal ein solches Herz, also 5·♥ oder auch einfach 5♥.
Da steht also 5 * Herz, auch einfach 5Herz = 5 * Herz.
Abgebildet auf 2 Herzchen = 2 * Herrz  = 1Herz * 1Herz
Richtig ist: 2 Herzchen = 2 * Herrz = 1Herz + 1Herz

Warum kannst du ein "+" nicht von einem "*" unterscheiden? Analphabetismus?
Eine Lösung von was?
Der Rest hat mit dem Anfang logisch keinen Zusammenhang.
Post by Jens Kallup
2Herz   2 * Herz
----- = --------
2Herz   2 * Herz
schreiben.
                                                   2
Das Herz-Symbol kürzt sich weg, und übrig bleibt: --- = 1
                                                   2
Somit ergibt sich eine maximale Vereinfachung mit der Lösung 1.
Oder wie ist Eure Logik?
Die richtige, und nicht deine Schwurbelogie.
Also noch ein Logigbuch muss auf die Liste, die DU lesen und verstehen
musst.
Post by Jens Kallup
Jens
Danke, JENSeits
Jens Kallup
2018-05-03 19:01:15 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Abgebildet auf 2 Herzchen = 2 * Herrz  = 1Herz * 1Herz
Richtig ist: 2 Herzchen = 2 * Herrz  = 1Herz + 1Herz
Warum kannst du ein "+" nicht von einem "*" unterscheiden? Analphabetismus?
irgendwie reden wir voneinander vorbei.
Oder ist das hier sowas wie eine Computerfreak-Sprache, die nur in die
andere Richtung verstanden werden kann?

Du schreibst (in den Wortlaut): Richtig ist:
2 Herz = 2 * Herz = 1Herz + 1Herz

ok, da stimme ich Dir zu.
Aber:

2 Herz = 1 Herz + 1 Herz
2 * Herz = 1 * Hert + 1 * Herz | ist dann das gleiche wie:
2 * Herz = 2 * Herz | oder:

dividiert:

2 * Herz
-------- = 1Herz
2 * Herz

oder nummerisch:

2 * Herz <-- 1 * Herz kürzt sich mit/durch
--------
2 * Herz <-- 1 * Herz

daraus wird:

2 / 2 = 1

oder symbolisch ausgedrück

1 * 1Herz / 1 * 1Herz = 1 * 1Herz oder einfach 1Herz.

Da man nun aber bekanntlich einzeln stehende Symbole, die mit einer
nummerischen 1 gekennzeichnet sind, um auszudrücken, dass dort *nur*
1 Element untersucht/berechnet werden soll, weglassen kann, wird
lediglich das Objekt oder das Symbol angegeben.

Weiters gebe ich Dir auch Recht, dass unterschiedliche zusammen
hängende Symbole eine andere Bedeutung einnehmen als ein einzelnes
Symbol.

Aber dann zu schreiben, das Dein Gegenüber Doof sei, ist nicht sehr
schön.
Vielmehr hätte es gereicht, wenn Du: "Man muss zwei Betrachtungsweisen
untersuchen" - oder so ähnlich - formulierst.

Denn, ich gebe Dir hier zum dritten mal Recht, dass einmal Du und
einmal ich auf der richtigen Linie stehen?
Post by Jens Kallup
Oder wie ist Eure Logik?
Die richtige, und nicht deine Schwurbelogie.
Also noch ein Logigbuch muss auf die Liste, die DU lesen und verstehen
musst.
naja, ich will mir mal was verkneipfen.
Post by Jens Kallup
Jens
Danke, JENSeits
Jens !
Torn Rumero DeBrak
2018-05-04 15:49:25 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Jens Kallup
Abgebildet auf 2 Herzchen = 2 * Herrz  = 1Herz * 1Herz
Richtig ist: 2 Herzchen = 2 * Herrz  = 1Herz + 1Herz
Warum kannst du ein "+" nicht von einem "*" unterscheiden?
Analphabetismus?
irgendwie reden wir voneinander vorbei.
Oder ist das hier sowas wie eine Computerfreak-Sprache, die nur in die
andere Richtung verstanden werden kann?
Welche Richtung meinst du? Und ja, der Symbolismus der Mathematik ist
eine auf festen Regeln beruhende Sprache, die du wohl noch lernen musst.
Post by Jens Kallup
2 Herz = 2 * Herz = 1Herz + 1Herz
ok, da stimme ich Dir zu.
2   Herz = 1   Herz + 1   Herz
nur falls Herz != 0 ist!
Post by Jens Kallup
2 * Herz
--------  =  1Herz
2 * Herz
Falsch. Es ist

2 * Herz
-------- = 1 (und nicht 1Herz), falls Herz != 0 ist
2 * Herz

Ich glaube du machst zu viele Schreibfehler.
Post by Jens Kallup
2 * Herz   <-- 1 * Herz  kürzt sich mit/durch
--------
2 * Herz   <-- 1 * Herz
2 / 2  =  1
oder symbolisch ausgedrück
Was heiß "symbolisch ausgedrückt"? War dein Text davor nicht
symbolisch ausgedrückt? DEINE Sprache scheint etwas verwirrt zu sein.
Post by Jens Kallup
1 * 1Herz / 1 * 1Herz = 1 * 1Herz oder einfach 1Herz.
Neeeeeeeee.

1 * 1Herz / 1 * 1Herz = 1 / 1 = 1, und sonst nix (falls Herz != 0).
Kein Herzchen rechts von "=". Ich nehme einmal an, dass die
zusammenhängende Zeichenfolge "1Herz" keine Variable sein soll,
oder steht es für "1 * Herz" bzw. "1 Herz", und du hast das "*"
oder ein " " vergessen? Das ist mir in deinem originalen Posting nicht
aufgefallen.

Der weitere unverständliche Text wurde entsorgt.
Bitte lies deine Texte auf Fehler, bevor du sie verschickst, sonst
kann man nur raten, was du meinst.
Jens Kallup
2018-05-04 17:14:45 UTC
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Hallo Torn, oder wars IV ?

egal, irgend wer hat hier mal ein Posting hinterlassen,
bei dem es um Zeichensätze geht.
IV hat auch ein Projekt vor sich, bei dem ich glaub, das
dies nur zusammen aufgestellt werden kann.

Konkret geht es um eine Platform, unter der man selbst-
ändig lernen, und sich mit Mitgliedern austauschen kann.

Dieses Projekt finde ich gut!
Zumal es auch mir hilft, in Mathe wieder einzusteigen.

Dazu habe ich begonnen, eine Art NewsReader gebastelt,
der aber noch vervollständigt werden muss.
Er basiert auf eine Client/Server Anwendung, die ich mit
Qt5.10 und C++ erstellt habe.

Für einen Einblick und erste Tests, habe ich (unser) Projekt
auf:

http://www.firmen-ring.info/projects/mathnews/

gelegt.

Dort findet Ihr 2 Linux Archive, die qtlib + mathnews enthält.
Ich habe das eigentliche Programm und die libs getrennt, da ich
mal denke, daß die libs nix geändert wird.

Ok, Ihr könnt Feedback geben.

Gruß, Jens
Carlos Naplos
2018-05-03 19:59:32 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Lies mal das fett Gedruckte!
Da steht: x·x·x ist nicht gleich 3x
Da steht nichts Fett-gedrucktes
Doch, da steht fett gedruckt: *x·x·x ist nicht gleich 3x*
Jens Kallup
2018-05-03 20:29:50 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlos Naplos
Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Lies mal das fett Gedruckte!
Da steht: x·x·x ist nicht gleich 3x
Da steht nichts Fett-gedrucktes
Doch, da steht fett gedruckt: *x·x·x ist nicht gleich 3x*
ok, Punkt für Dich.
Aber, da steht noch was weiteres:

.. in diesem Fall nicht von "drei x", sondern von "x mal x mal x" oder
besser von "x hoch drei" zu reden und zu denken!

was soviel bedeutet wie:

1x * 1x * 1x = x^3
1 * 1 * 1 = 1^3

einfach aus dem Sachverhalt heraus, wenn ich 1 Apfel habe,
und drei Leute (also 3(Apfel)Leute ) wollen 1 Apfel,
kann ich keine weitere Äpfel ausgeben.

Es sei denn, ich habe 3 Äpfel und 3 Leute, dann kann jeder
1 Apfel bekommen:

1AL + 1AL + 1AL = 3AL

wenn man nun wieder auf 1AL kommen möchte, dann dividiert man gleiche
Symbole/Objekte auf jeder Seite der Rechnung:

1AL + 1AL + 1AL = 3AL
---------------------
3AL = 1AL <-- also für 3AL je 1AL

das ist aber symbolisch, nummerisch würde nun 1AL abspalten, also:

3AL 1AL_2 1AL_1 * 1AL_2 1 * 1 1AL
----- = ----- => ------------- = ------- = ----- = 1
1AL_1 1AL_3 1AL_3 1 1AL

nachdem man nun 1 errechnet hat, kann man nun
wieder auf die Ausgangsgleichung kommen - 1 Apfel für je 3 AL

nummerisch:

3AL = 1 | dividiert durch 1
3 1
--- = ---
1 1

wieder X-Rechnung: 1 * 1 / 1 = 1
also

3 3
--------- = ---
1 * 1 = 3
----- = 1
1

oder anders gedacht 3AL^3 (symbolisch)
oder anders gedacht 1*1^3 (nummerisch)

Jens
Jens Kallup
2018-05-03 20:35:00 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
oder anders gedacht 3AL^3 (symbolisch)
oder anders gedacht 1*1^3 (nummerisch)
sollte heißen:

oder anders gedacht 3AL^3 (symbolisch)
oder anders gedacht 3*1^3 (nummerisch)

Jens
Dieter Heidorn
2018-05-04 09:53:04 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by Carlos Naplos
Doch, da steht fett gedruckt: *x·x·x ist nicht gleich 3x*
.. in diesem Fall nicht von "drei x", sondern von "x mal x mal x" oder
besser von "x hoch drei" zu reden und zu denken!
1x * 1x * 1x = x^3
Das ist so weit richtig, da die Multiplikation mit 1 keine Änderung
bewirkt.
Post by Jens Kallup
1 * 1 * 1 = 1^3
Das ist nur richtig, wenn du x = 1 setzt. Tatsächlich steht x aber für
eine beliebige reelle Zahl. Für z.B. x = 2,3 ist dann

2,3 * 2,3 * 2,3 = 2,3^3.

Nun habe ich mehrfach bei dir gesehen, dass du eine weitere Division
Post by Jens Kallup
2 Herzchen = 2 * Herz = 1Herz * 1Herz
2Herz 2 * Herz
----- = --------
2Herz 2 * Herz
schreiben.
2
Das Herz-Symbol kürzt sich weg, und übrig bleibt: --- = 1
2
Somit ergibt sich eine maximale Vereinfachung mit der Lösung 1.
Bei der Vereinfachung von Termen, um die es hier geht, wird aber nicht
dividiert, sondern es werden gleichartige Glieder zusammengefasst:

ursprünglicher Term = umgeformter Term
--------------------------------------
x * x * x = x^3
a + 2a + 3b + 2b = 3a + 5b
3a + 4a = 7a
2x + 4 - x + 5 = x + 9

Links und rechts vom Gleichheitszeichen steht jeweils das gleiche, es
sieht nur anders aus. Die "maximale Vereinfachung" ist das, was auf der
rechten Seite steht. Ende.

Wenn du dennoch "linke Seite durch rechte Seite" bildest, ergibt sich
_immer_ 1, da beide Seiten den gleichen Term darstellen. Diese Division
stellt aber keine Vereinfachung des ursprünglichen Terms dar.

Dieter Heidorn
Torn Rumero DeBrak
2018-05-03 16:59:48 UTC
Permalink
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...
Post by Jens Kallup
irgend was nicht verstanden?
x + x  =  x * (1 + 1)
       =  x *    2
       =         2x
OK
Post by Jens Kallup
x * x  =  x * (1 * 1)
Diese Gleichung ist schon falsch. Der Rest kann also auf die Müllhalde.
Post by Jens Kallup
       =  x *    1
       =         1x
       =  x
oder:  =  1  =>  1 * x
Du meinst sicher

x * x = x^1 * x^1
= x ^ (1 + 1)
= x ^ 2


Ein Algebrabuch für Anfänger wäre für dich zum Durcharbeiten angemessen.
Jens Kallup
2018-05-03 17:16:51 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Du meinst sicher
x * x = x^1 * x^1
      = x ^ (1 + 1)
      = x ^ 2
Ein Algebrabuch für Anfänger wäre für dich zum Durcharbeiten angemessen.
Aber auch hier gilt:

1 * 1 = x^1 * x^1
1 * 1 = 1^1 * x^1
1 = 1^2
= 1

ok, den Geniestreich zu machen, dass man x := 0 setzt
ist wohl das gegenteilige sinnmäßige.

Jens
Torn Rumero DeBrak
2018-05-03 18:47:14 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Torn Rumero DeBrak
Du meinst sicher
x * x = x^1 * x^1
       = x ^ (1 + 1)
       = x ^ 2
Ein Algebrabuch für Anfänger wäre für dich zum Durcharbeiten angemessen.
1 * 1 = x^1 * x^1
Neeeeeee, das gilt hier nicht, denn es ist keine Gleichung,
die man nach x AUFLÖSEN soll, sondern eine Identität für
positive reelle Zahlen.

Es gilt hingegen
1 * 1 = 1^1 * 1^1 oder auch
2 * 2 = 2^1 * 2^1 oder
3 * 3 = 3^1 * 3^ 1 oder
...

Schreib dir hinter die Ohren: DU SOLLST KEINEN TEXT FÄLSCHEN.
Wenn du ein x einsetzt, dann bitte überall.
Post by Jens Kallup
1 * 1 = 1^1 * x^1
  1   = 1^2
      = 1
Das muss reiner Zufall sein, oder glaubst du obige Gleichungen
wirklich?
Post by Jens Kallup
ok, den Geniestreich zu machen, dass man x := 0 setzt
ist wohl das gegenteilige sinnmäßige.
Wareum sollte jemand - außer DIR - so etwas tun?
Post by Jens Kallup
Jens ,der Fälscher
Jens Kallup
2018-05-03 19:13:31 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Neeeeeee, das gilt hier nicht, denn es ist keine Gleichung,
die man nach x AUFLÖSEN soll, sondern eine Identität für
positive reelle Zahlen.
Es gilt hingegen
1 * 1 = 1^1 * 1^1  oder auch
sag ich doch.
Das ist dann (neben 0) die *kleinste ganzahlige Vereinfachung*.
Wie Du feststellen konntest oder als mehrfach ausgebildeter
Matheloge auf dem Schirm bringen solltest, ist, das ich

x := 1 angenommen habe - deshalt auch die Schreibweise:

x * x
1 * 1
Post by Torn Rumero DeBrak
2 * 2 = 2^1 * 2^1 oder
3 * 3 = 3^1 * 3^ 1  oder
...
Schreib dir hinter die Ohren: DU SOLLST KEINEN TEXT FÄLSCHEN.
Wenn du ein x einsetzt, dann bitte überall.
sag mal im ernst: Wie bist Du mit Mathe betucht?
Ich will Euch hier nichts unterstellen, aber irgendwie wollt
Ihr hier Greenhorns irgend was einreden, damit die kleinen klein
bleiben?

Ich mein, Ihr habt in gewisser maßen Recht,
aber in einr öffentlichen Plattform daß so preiszugeben, *hust*.
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Jens Kallup
1 * 1 = 1^1 * x^1
   1   = 1^2
       = 1
sorry das x^1 da oben sollte 1^1 lauten.
Post by Torn Rumero DeBrak
Das muss reiner Zufall sein, oder glaubst du obige Gleichungen
wirklich?
Das ist kein Zufall, das ist Mathe Logik.
Warum man erkennen sollte das x^1 auch 1^1 lauten kann, hab ich
ja schon geschrieben.
Mene jütte, hier ist es ja schlimmer als in der Informatik-Ecke,
wo man Programmiert und der Compiler nicht versteht, was x^1 ist.
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Jens Kallup
Jens ,der Fälscher
nä, der aufständige :-D
Christian Gollwitzer
2018-05-04 04:48:27 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Torn Rumero DeBrak
Neeeeeee, das gilt hier nicht, denn es ist keine Gleichung,
die man nach x AUFLÖSEN soll, sondern eine Identität für
positive reelle Zahlen.
Es gilt hingegen
1 * 1 = 1^1 * 1^1  oder auch
sag ich doch.
Das ist dann (neben 0) die *kleinste ganzahlige Vereinfachung*.
Wie Du feststellen konntest oder als mehrfach ausgebildeter
Matheloge auf dem Schirm bringen solltest, ist, das ich
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.

Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.

Christian
H0Iger SchuIz
2018-05-04 06:28:44 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Christian Gollwitzer
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.
Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.
Und es macht auch keinen Sinn, erstmal gar nicht diese "Annahme" zu
erwähnen, und diese dann als Ausrede zu bringen, wenn jemand einen
Fehler anmerkt.

Es ist völlig sinnlos, mit Jens zu diskutieren, da er ohnehin nicht auf
das eingeht, was man ihm erzählt. Er sabbelt dann einfach irgend etwas
anderes, macht andere "Annahmen" etc. Dass er fachlich überfordert ist,
weil er noch nicht mal die Grundrechenarten kennt, tritt sogar noch in
den Hintergrund.

hs
Jens Kallup
2018-05-04 12:36:30 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Christian Gollwitzer
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.
Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.
eigentlich mache ich das nicht alleine so.
Viele andere Mathelogen machen das genauso, da vor geraumer Zeit
mal sich gedanken gemacht hat, und ein Regelwerk aufgeschrieben
hat.
Vermutlich hieß der Adam Rieß.

Wenn das keinen Sinn macht - warum wurde dies so Manifestiert?
Warum werden konstante Symbole auf 0 gesetzt?
Torn Rumero DeBrak
2018-05-04 16:07:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Christian Gollwitzer
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.
Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.
eigentlich mache ich das nicht alleine so.
zum Beispiel?
Post by Jens Kallup
Viele andere Mathelogen machen das genauso, da vor geraumer Zeit
"Viele" wird immer dann von Leuten gebraucht, wenn sie
kein konkretes Wissen über ihre Behauptungen vorweisen
können, nur um ein Gegenargument scheinbar mit dem Mehrheitsprinzip
zu verhindern. FAKE NEWS.

Nach dir ist "Viele" = 1
Post by Jens Kallup
mal sich gedanken gemacht hat, und ein Regelwerk aufgeschrieben
hat.
Vermutlich hieß der Adam Rieß.
Dann solltest du dich an das Regelwerk halten.
Post by Jens Kallup
Wenn das keinen Sinn macht - warum wurde dies so Manifestiert?
Wer behauptest, dass es keinen Sinn macht.
Post by Jens Kallup
Warum werden konstante Symbole auf 0 gesetzt?
und wer macht in der Mathematik generell so etwas, dass
konstante Symbole auf 0 gesetzt werden?
H0Iger SchuIz
2018-05-04 16:32:21 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Christian Gollwitzer
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.
Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.
eigentlich mache ich das nicht alleine so.
Viele andere Mathelogen machen das genauso,
Mag sein. Mathematiker aber bevorzugen korrekte Umformungsschritte.
Post by Jens Kallup
da vor geraumer Zeit
mal sich gedanken gemacht hat, und ein Regelwerk aufgeschrieben
hat.
Vermutlich hieß der Adam Rieß.
Ich bezweifle, dass der etwas zum Umgang mit Variablen geschrieben hat.
Aber Jens kann gerne mal die betreffende Stelle zitieren.
Post by Jens Kallup
Wenn das keinen Sinn macht - warum wurde dies so Manifestiert?
Der Quatsch, den Jens machst, wurde halt nirgends manifestiert.
Post by Jens Kallup
Warum werden konstante Symbole auf 0 gesetzt?
Außer Jens macht das niemand. Die Frage erübrigt sich.

hs
Christian Gollwitzer
2018-05-04 19:12:59 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Christian Gollwitzer
Und warum machst Du das, dass Du x:=1 annimmst? In der ursprünglichen
Aufgabe - x ist unbekannt, eine beliebige Zahl - macht das überhaupt
keinen Sinn.
Insbesondere dann nicht, wenn man eine Gleichung auflösen soll.
eigentlich mache ich das nicht alleine so.
Doch! Genau darauf wollte ich hinweisen. Daher kommt bei Deinen
Rechnungen auch nichts Sinnvolles heraus.
Post by Jens Kallup
Wenn das keinen Sinn macht - warum wurde dies so Manifestiert?
Warum werden konstante Symbole auf 0 gesetzt?
Wo hast Du das her, dass "konstante Symbole auf 0 gesetzte werden"? Das
ist genauso falsch wie die Annahme, dass x generell mit 1 gleichzusetzen
sei. Solange Du das versuchst, funktionieren Deine Rechnungen nicht, und
Du wirst Dich immer wundern dass Dich keiner versteht.

Christian
H0Iger SchuIz
2018-05-04 06:28:44 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Mene jütte, hier ist es ja schlimmer als in der Informatik-Ecke,
wo man Programmiert und der Compiler nicht versteht, was x^1 ist.
Und? Wie teilst du dem Compiler deine zusätzlichen, nachträglichen
"Annahmen" mit?

hs
Torn Rumero DeBrak
2018-05-04 15:59:50 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Torn Rumero DeBrak
Neeeeeee, das gilt hier nicht, denn es ist keine Gleichung,
die man nach x AUFLÖSEN soll, sondern eine Identität für
positive reelle Zahlen.
Es gilt hingegen
1 * 1 = 1^1 * 1^1  oder auch
sag ich doch.
Das ist dann (neben 0) die *kleinste ganzahlige Vereinfachung*.
Wie Du feststellen konntest oder als mehrfach ausgebildeter
Matheloge auf dem Schirm bringen solltest, ist, das ich
Diese Annahme ist durch keine Logik begründet, deshalb sind
deine daraus abgeleiteten Folgerungen ohne explizite Angabe, dass du
x := 1 voraussetzt, falsch.
Post by Jens Kallup
x * x
1 * 1
Man würde schreiben:

Für x := 1 gilt x * x = 1 * 1.
^^^^^^^^^^^ ist wichtig. Ohne "Für x := 1" als vorausgehende Definition,
ist der Rest falsch.
Post by Jens Kallup
Post by Torn Rumero DeBrak
2 * 2 = 2^1 * 2^1 oder
3 * 3 = 3^1 * 3^ 1  oder
...
Schreib dir hinter die Ohren: DU SOLLST KEINEN TEXT FÄLSCHEN.
Wenn du ein x einsetzt, dann bitte überall.
sag mal im ernst: Wie bist Du mit Mathe betucht?
Schulniveau, aber du scheinst wirklich Defizite zu haben.
Post by Jens Kallup
Ich will Euch hier nichts unterstellen, aber irgendwie wollt
Ihr hier Greenhorns irgend was einreden, damit die kleinen klein
bleiben?
Werde doch einmal konkret.
Post by Jens Kallup
Ich mein, Ihr habt in gewisser maßen Recht,
aber in einr öffentlichen Plattform daß so preiszugeben, *hust*.
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Jens Kallup
1 * 1 = 1^1 * x^1
   1   = 1^2
       = 1
sorry das x^1 da oben sollte 1^1 lauten.
Sagt ich doch: Deine Schreibfehler verhindern eine sinnvolle
Kommunikation, von den Denkfehlere ganz zu schweigen.
Post by Jens Kallup
Post by Torn Rumero DeBrak
Das muss reiner Zufall sein, oder glaubst du obige Gleichungen
wirklich?
Das ist kein Zufall, das ist Mathe Logik.
Warum man erkennen sollte das x^1 auch 1^1 lauten kann, hab ich
ja schon geschrieben.
Nein, warum sollte man das tun?
x^1 lautet x^1, und nicht auch noch etwas anderes.
Post by Jens Kallup
Mene jütte, hier ist es ja schlimmer als in der Informatik-Ecke,
wo man Programmiert und der Compiler nicht versteht, was x^1 ist.
Was beklagst du eigentlich (was ist "es") ? Dein eigenes Unvermögen oder
deine Verständnislosigkeit.
Martin Vaeth
2018-05-04 08:15:57 UTC
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Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen
Sieht auch schwierig aus. Vermutlich eine Gleichung 4.-8. Grades
oder noch höher. Zum Lösen gibt es vermutlich nur den Ansatz,
jeweils eine Wurzel auf eine Seite zu bringen und dann beide
Seiten zu quadrieren und das zu wiederholen, bis alle Wurzeln
weg sind (am Ende muss man natürlich die durch das Quadrieren
entstandenen zusätzlichen Lösungen verwerfen).
Konkret: Die Gleichung hat die Gestalt
sqrt A + sqrt B = 1
(wobei A und B Abkürzungen für die entsprechenden
Teilausdrücke sind). Einen Term - etwa A - auf die
rechte Seite bringen und Quadrieren führt zu
B = 1 - 2 sqrt A + A
Jetzt z.B. den Term mit sqrt A wieder auf eine Seite
und quadrieren. Oder vielleicht ist es auch klüger,
erst die Formel für B einzusetzen und die Wurzel in
diesem Ausdruck auf eine Seite zu bringen und durch
Quadrieren loszuwerden. Dann muss man ähnlich die
verbleibende Wurzel loswerden.
Du kannst nur hoffen, dass sich bei geschicktem Vorgehen
möglichst früh möglichst viele Terme wegheben.
Ansonsten landest Du - wenn ich mich nicht verzählt habe -
bei einer Polynomgleichung 8. Grades
(nach einer vermutlich möglichen Substitution y=x²).
Wenn dann nicht weitere offensichtliche Tricks funktionieren
(etwa Subsitution mit einem "geschickten" Polynom 2. oder
4. Grades) oder das Polynom "offensichtliche" Nullstellen hat
(die vermutlich alle durch das Quadrieren hinzukamen),
sieht es mit expliziter Lösbarkeit mau aus.
Jens Kallup
2018-05-04 15:03:30 UTC
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Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen
man merke sich: von innen nach außen.
Also alles was am weitesten im inneren ist, wird zuerst und
allmälig nach außen berechnet.

Dazu formt man sich zur Vereinfachung Terme an:

1. Term: (x/2 - sqrt(x^2 - 1))^2 = ?

daraus wird: (x/2 - ([x + 1] * [x - 1])^2 = ?

daraus wird: (x/2 - [x*x + 1x + x*1 - 1*1]^2 = ?

zusammen: (x/2 - [x^2 + x + x - 1]^2 = ?

wir rechnen wieder von innen nach außen und bringen alles nach
rechts:

(x^2 + 2x - 1) = 1 + 1 - 2x | +1
x^2 = 2 - 2x | beide Seiten addieren
x^2 + 2x = 2 - 2x + 2x |
x^2 + 2x = 2 | beide Seiten subtrahieren
(x^2 + 2x - 2)^2 = 0

für a := 1, b := 2, c := -2

-2 +- sqrt(2^2 - 4 * 1(-2)
x1,x2 = --------------------------
2 * 1

x1 = sqrt(3) - 1 = x
x2 = -1 - sqrt(3) = x

x1 = x/2 = +1 + sqrt(3) | multipliziert mit 2
x2 = x/2 = -1 - sqrt(3)

Lösung T1.1:
x1 = 2x/2 = 2 * 1 + 2*sqrt(3) = x
x1 = = 2 + 2*sqrt(3) = x

Lösung T1.2:
x2 = 2x/2 = -2 * 1 - 2*sqrt(3) = x
x2 = -2 - 2*sqrt(3) = x


Term 1 liefert also 2 Lösungen
x1 = = 2 + 2*sqrt(3) = x
x2 = -2 - 2*sqrt(3) = x


auf zum nächsten Term:

2. Term:

sqrt( 4 * (x² - 1 = x
4x^2 - 1*4 = x^2
4x^2 - 4 = x^2

Lösung T2:
x1 = (2*sqrt(3)) / 3 = x




Lemma A1) T2 - T1.1 = A1

(2*sqrt(3)) / 3 = 1.1547
- 2 * 1 + 2*sqrt(3) = 5.4641
--------------------------------
= = -4.3094


Lemma A2) T2 - T1.2 = A2

(2*sqrt(3)) / 3 = 1.1547
- -2 - 2*sqrt(3) = -5.4644
--------------------------------
= = 6.6191


3. Term:
sqrt( 4(x² - 1) - x^2/4) = sqrt((15x^2)/4 - 4)) = x
4 * (1 * 4) - 1 - x^2/4 =
16 - 1 - x^2/4 =
15 - 1 * x^2/4 = sqrt(15x^2 / 4) - 4)) = x

x = (4*sqrt(11)) / 11



Lemma B1) T3 + T1.1 = B1

(4*sqrt(11)) / 11 = 1.2061
+ -4.3094 = -4.3094
-------------------------------
= = -3.1033

Lemma B2) T3 + T1.2 = B2

6.6191
+ -3.1033
----------
= 3.5158

Nun kann man sich eine Lösung aussuchen???
merkwürdiges Ding.
mach ich das was falsch?

Jens
Torn Rumero DeBrak
2018-05-04 16:13:02 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen
man merke sich: von innen nach außen.
Also alles was am weitesten im inneren ist, wird zuerst und
allmälig nach außen berechnet.
1. Term:      (x/2 - sqrt(x^2 - 1))^2 = ?
daraus wird:  (x/2 - ([x + 1] * [x - 1])^2 = ?
daraus wird:  (x/2 - [x*x + 1x + x*1 - 1*1]^2 = ?
zusammen:     (x/2 - [x^2 + x + x - 1]^2 = ?
Also "daraus wird:" gib es nicht in der Mathematik. Es heisst

(x/2 - sqrt(x^2 - 1))^2 = (x/2 - sqrt([x + 1] * [x - 1]))^2

Bitte die Wurzel und Klammer nicht unterdrücken.

Der Rest von dir ist folglich falsch.
Post by Jens Kallup
wir rechnen wieder von innen nach außen und bringen alles nach
(x^2 + 2x - 1)   = 1 + 1 - 2x  | +1
 x^2             = 2 - 2x      | beide Seiten addieren
 x^2 + 2x        = 2 - 2x + 2x |
 x^2 + 2x        = 2           | beide Seiten subtrahieren
(x^2 + 2x - 2)^2 = 0
für a := 1, b := 2, c := -2
        -2 +- sqrt(2^2 - 4 * 1(-2)
x1,x2 = --------------------------
                  2 * 1
x1 = sqrt(3) - 1   =  x
x2 = -1 - sqrt(3)  =  x
x1 =  x/2 = +1 + sqrt(3)   | multipliziert mit 2
x2 =  x/2 = -1 - sqrt(3)
x1 = 2x/2 =  2 * 1 + 2*sqrt(3) = x
x1 =      =  2     + 2*sqrt(3) = x
x2 = 2x/2 = -2 * 1 - 2*sqrt(3) = x
x2 =        -2     - 2*sqrt(3) = x
Term 1 liefert also 2 Lösungen
x1 =      =  2     + 2*sqrt(3) = x
x2 =        -2     - 2*sqrt(3) = x
sqrt( 4 * (x² - 1  = x
      4x^2 - 1*4   = x^2
      4x^2 -   4   = x^2
x1 =  (2*sqrt(3)) / 3 = x
Lemma A1) T2 - T1.1 = A1
  (2*sqrt(3)) / 3     =  1.1547
- 2 * 1 + 2*sqrt(3)   =  5.4641
--------------------------------
=                     = -4.3094
Lemma A2) T2 - T1.2 = A2
  (2*sqrt(3)) / 3     =  1.1547
- -2 - 2*sqrt(3)      = -5.4644
--------------------------------
=                     =  6.6191
sqrt( 4(x² - 1) - x^2/4)          = sqrt((15x^2)/4 - 4))  = x
      4 * (1 * 4) - 1 -     x^2/4 =
           16     - 1 -     x^2/4 =
           15         - 1 * x^2/4 = sqrt(15x^2 / 4) - 4)) = x
x = (4*sqrt(11)) / 11
Lemma B1) T3 + T1.1 = B1
  (4*sqrt(11)) / 11  =  1.2061
+ -4.3094            = -4.3094
-------------------------------
=                    = -3.1033
Lemma B2) T3 + T1.2 = B2
   6.6191
+ -3.1033
----------
=  3.5158
Nun kann man sich eine Lösung aussuchen???
merkwürdiges Ding.
mach ich das was falsch?
Jens
Dieter Heidorn
2018-05-04 16:19:31 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen
man merke sich: von innen nach außen.
Also alles was am weitesten im inneren ist, wird zuerst und
allmälig nach außen berechnet.
1. Term: (x/2 - sqrt(x^2 - 1))^2 = ?
daraus wird: (x/2 - ([x + 1] * [x - 1])^2 = ?
Das ist nicht richtig - du hast die Wurzel vergessen:

[ x/2 - sqrt(x-1) ]^2 = [ x/2 - sqrt( (x+1)(x-1) ) ]^2 (*)
--- ---------------
Abkürzung: a - b
Post by Jens Kallup
daraus wird: (x/2 - [x*x + 1x + x*1 - 1*1]^2 = ?
Nein. Wenn du den korrekten Term ausquadrierst, ergibt sich:

(a - b)^2 = a^2 - 2 * a * b + b^2

= (x/2)^2 - 2 * x/2 * sqrt( (x+1)(x-1) ) + (x+1)(x-1)

= (x/2)^2 - x * sqrt( (x+1)(x-1) ) + x^2 - 1
Post by Jens Kallup
zusammen: (x/2 - [x^2 + x + x - 1]^2 = ?
wir rechnen wieder von innen nach außen und bringen alles nach
(x^2 + 2x - 1) = 1 + 1 - 2x
Wenn das richtig wäre, dann müsste beim Einsetzen eines Wertes für die
linke Seite mit der rechten Seite übereinstimmen. Nehmen wir als
Beispiel 3, und setzen es an Stelle von x ein:

x^2 + 2x - 1 = 1 + 1 - 2x

3^2 + 2*3 - 1 = 1 + 2 - 2*3

9 + 6 - 1 = 1 + 2 - 6

14 =/= -3

Deine Umformung ist also falsch.

Den Rest deiner Formelgymnastik ist nach diesen anfänglichen Fehlern
natürlich auch nicht richtig.
Post by Jens Kallup
mach ich da was falsch?
Ich würde sagen: du machst nichts richtig...

Dieter Heidorn
H0Iger SchuIz
2018-05-04 16:32:21 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
SQRT{4(x?-1) -x?/4} + SQRT{4(x?-1) - [x/2 - SQRT(x?-1)]?} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen
man merke sich: von innen nach außen.
Also alles was am weitesten im inneren ist, wird zuerst und
allmälig nach außen berechnet.
1. Term: (x/2 - sqrt(x^2 - 1))^2 = ?
Was soll das bedeuten?
Post by Jens Kallup
(x/2 - ([x + 1] * [x - 1])^2 = ?
Hier fehlt 'ne schließende Klammer. Und wo ist die Wurzel hin?
Post by Jens Kallup
daraus wird: (x/2 - [x*x + 1x + x*1 - 1*1]^2 = ?
Hier fehlt immer noch 'ne Klammer. In der eckigen Klammer stimmen die
Vorzeichen nicht.
Was soll das bedeuten?
Post by Jens Kallup
(x/2 - [x^2 + x + x - 1]^2 = ?
Es fehlt immer noch eine Klammer.
Post by Jens Kallup
wir rechnen wieder von innen nach außen und bringen alles nach
(x^2 + 2x - 1) = 1 + 1 - 2x
Unklar. Was ist das für eine Gleichung? Woher kommt die? Warum soll die
betrachtet werden.

| +1
Post by Jens Kallup
x^2 = 2 - 2x
Beide Seite falsch. Es müsste

x^2 + 2x = 3 - 2x

heißen.

| beide Seiten addieren

Was soll das bedeuten? Scheint mir keine Äquivalenzumformung zu sein.
Post by Jens Kallup
x^2 + 2x = 2 - 2x + 2x |
Woher kommt jetzt diese Gleichung?

Keinen Bock mehr. Das ist alles wirrer Scheiß. Das meiste ist die
nachvollziehbar, der Rest ist falsch.


[...]
Post by Jens Kallup
mach ich das was falsch?
Alles.

hs
Andreas J. Bittner
2018-05-04 13:42:08 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
Wolfram alpha ist Dein Freund

<http://www.wolframalpha.com/input/?i=SQRT%7B4(x²-1)+-x²%2F4%7D+%2B+SQRT%7B4(x²-1)+-+%5Bx%2F2+-+SQRT(x²-1)%5D²%7D+%3D+1>

X1 = - 2 / sqrt (3)

X2 = sqrt( 2 - 2 / sqrt(5) )

Viele Grüße
Andreas
Manfred Ullrich
2018-05-04 16:23:43 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Andreas J. Bittner
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
Wolfram alpha ist Dein Freund
<http://www.wolframalpha.com/input/?i=SQRT%7B4(x²-1)+-x²%2F4%7D+%2B+SQRT%7B4(x²-1)+-+%5Bx%2F2+-+SQRT(x²-1)%5D²%7D+%3D+1>
X1 = - 2 / sqrt (3)
X2 = sqrt( 2 - 2 / sqrt(5) )
Viele Grüße
Andreas
Hallo Andreas,
jawohl, Dein X2 ist die Lösung, nämlich eben derselbe Wert wie 1/sin72°,
was man mit Winkelfunktionen recht leicht hinkriegt.
Braucht man tatsächlich Wolfram dazu?
Gruß Manfred
Detlef Müller
2018-05-04 15:17:12 UTC
Permalink
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Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
Wenn man in der Gleichung erst den Term mit der inneren Wurzel
isoliert, quadriert, dann die zwei einfachen wurzeln auf eine
Seite bringt, quadriert und schließlich die eine verbleibende
Wurzel isoliert und wieder quadriert, erhält man die
Polynomgleichung:

60*x^6 - 320*x^4 + 512*x^2 - 256 = 0

(Dies wurde mit freundlicher Unterstützung des CAS
"Sage" bestimmt, welchem ich obige Schritte quasi
diktiert habe).

Das Polynom links faktorisiert (auch hier war das CAS
hilfreich) zu:

4*(5*x^4 - 20*x^2 + 16)*(3*x^2 - 4)

der Faktor 3*x^2 - 4 führt auf die möglichen Nullstellen
x = sqrt(4/3), x=-sqrt(4/3), von denen

x1=-sqrt(4/3)

die Ursprungsgleichung erfüllt.

5*x^4 - 20*x^2 + 16 ist rein quadratisch und
führt auf die möglichen Nullstellen
x = -sqrt(2+2/5*sqrt(5)),
x = sqrt(2+2/5*sqrt(5)),
x =-sqrt(2-2/5*sqrt(5)),
x = sqrt(2-2/5*sqrt(5))

Von denen einzig

x2=sqrt(2 -2/5*sqrt(5)))

die Ursprungsgleichung erfüllt, das ist wohl in der Tat 1/sin(72°).

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Manfred Ullrich
2018-05-04 17:50:05 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
Wenn man in der Gleichung erst den Term mit der inneren Wurzel
isoliert, quadriert, dann die zwei einfachen wurzeln auf eine
Seite bringt, quadriert und schließlich die eine verbleibende
Wurzel isoliert und wieder quadriert, erhält man die
60*x^6 - 320*x^4 + 512*x^2 - 256 = 0
(Dies wurde mit freundlicher Unterstützung des CAS
"Sage" bestimmt, welchem ich obige Schritte quasi
diktiert habe).
Das Polynom links faktorisiert (auch hier war das CAS
4*(5*x^4 - 20*x^2 + 16)*(3*x^2 - 4)
der Faktor 3*x^2 - 4 führt auf die möglichen Nullstellen
x = sqrt(4/3), x=-sqrt(4/3), von denen
x1=-sqrt(4/3)
die Ursprungsgleichung erfüllt.
5*x^4 - 20*x^2 + 16 ist rein quadratisch und
führt auf die möglichen Nullstellen
x = -sqrt(2+2/5*sqrt(5)),
x = sqrt(2+2/5*sqrt(5)),
x =-sqrt(2-2/5*sqrt(5)),
x = sqrt(2-2/5*sqrt(5))
Von denen einzig
x2=sqrt(2 -2/5*sqrt(5)))
die Ursprungsgleichung erfüllt, das ist wohl in der Tat 1/sin(72°).
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Hallo Detlef,
das ist ja ganz schön kompliziert und tröstet mich, dass ich es nicht selbst herausgekriegt habe.
Gruß, Manfred
Detlef Müller
2018-05-05 10:24:13 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Manfred Ullrich
Post by Detlef Müller
Post by Manfred Ullrich
Bei der Frage, um wieviel ist die Gerade von Eck zur übernächsten Eck in einem
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
[...]
die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
An der Stelle sehen wir eine Wurzelgleichung ...
Hier hat Martin schon den Plan zum Lösen so einer Wurzelgleichung
gesagt, zu meinen Zeiten hat man das noch in der Schule gelernt
(habe nicht den Eindruck, daß das heute noch passiert).
Post by Manfred Ullrich
Post by Detlef Müller
Wenn man in der Gleichung erst den Term mit der inneren Wurzel
isoliert, quadriert, dann die zwei einfachen wurzeln auf eine
Seite bringt, quadriert und schließlich die eine verbleibende
Wurzel isoliert und wieder quadriert, erhält man die
Diese Rechnungen erzeugen dann wenigstens ein Polynom, jedes
Quadrieren verdoppelt den Grad, wodurch Martin auch die obere
Grenze 8 für den Grad des entstehenden Polynoms sagen konnte.
Post by Manfred Ullrich
Post by Detlef Müller
60*x^6 - 320*x^4 + 512*x^2 - 256 = 0
(Dies wurde mit freundlicher Unterstützung des CAS
"Sage" bestimmt, welchem ich obige Schritte quasi
diktiert habe).
Hier übrigens ein Beispiel, das zeigt, daß ein CAS eben
nicht die Schulbildung überflüssig macht ... wenngleich hier
noch keine tiefe Mathematik betrieben wurde, mit Geduld und
sorgfältigem Rechnen käme man auch von Hand (mit binomischer
Formel und einfacher Termumformung) darauf - ich bin
mir aber sicher, mir wären dabei ab und zu Rechenfehler
unterlaufen :)
Post by Manfred Ullrich
Post by Detlef Müller
Das Polynom links faktorisiert (auch hier war das CAS
4*(5*x^4 - 20*x^2 + 16)*(3*x^2 - 4)
Das ist der Trickreiche Teil ... ist der Grad >=5, verlässt
einen langsam die Hoffnung auf eine Lösung die mit einfachen
Wurzeln darstellbar ist.
Allerdings war ja Deine Zusatzinformation bekannt, daß sicher
eine Nullstelle, 1/sin(72°) existiert - wenn bekannt ist, daß
diese Zahl sich durch Wurzeln darstellen lässt, macht das wieder
Hoffnung.
Von Hand würde man erst einmal x^2 substituieren und ist praktischer
weise beim Grad 3 angelangt ... die Nullstelle 4/3 lässt sich
durch "Raten einer rationalen Nullstelle" finden (Nenner teilt
den Koeffizienten der höchsten Potenz, Zähler das absolute
Glied - natürlich klammert man erst einmal den ggT aus).
Hat man so glücklich eine Nullstelle gefunden kommt man durch
Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung und alles
ist gut.
Ohne Glück wären für den Grad 3 der letzte Rettungsanker
die "Cardanischen Formeln" ... die allerdings ziemlich gruselig
sind.
Post by Manfred Ullrich
Post by Detlef Müller
[...]
das ist ja ganz schön kompliziert und tröstet mich, dass ich es nicht
selbst herausgekriegt habe.
Ja, ohne Rechner-Unterstützung hätte ich wohl auch auf halbem Wege
keine Lust mehr gehabt :)
Immerhin springt dabei ein Nachweis dafür heraus, daß sin(72°) durch
Wurzelziehen darstellbar ist ... wobei daß das vermutlich auch
einfacher ginge.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Helmut Richter
2018-05-05 11:10:01 UTC
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Post by Detlef Müller
Ja, ohne Rechner-Unterstützung hätte ich wohl auch auf halbem Wege
keine Lust mehr gehabt :)
Immerhin springt dabei ein Nachweis dafür heraus, daß sin(72°) durch
Wurzelziehen darstellbar ist ... wobei daß das vermutlich auch
einfacher ginge.
Ich bin auch nicht davon überzeugt, dass die angegebene Gleichung die
einfachstmögliche ist. Wie wäre es, wenn man ausnutzt, dass die Ecken
des gleichseitigen Fünfecks die komplexen Nullstellen von z^5 = 1 sind
und die Nullstelle z=1 schon bekannt ist (Kreisteilungspolynom). Ich
war und bin aber zu faul dazu, das durchzuziehen.

In meiner Formelsammlung habe ich einen handschriftlichen Eintrag von
mir gefunden, der da lautet:

72° : cos 2π/5 = (-1 + √5)/4 = sin π/10

Obs wahr ist, rechne ich jetzt auch nicht nach.

--
Helmut Richter
Detlef Müller
2018-05-05 11:34:51 UTC
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Raw Message
[...]
Post by Helmut Richter
Ich bin auch nicht davon überzeugt, dass die angegebene Gleichung die
einfachstmögliche ist. Wie wäre es, wenn man ausnutzt, dass die Ecken
des gleichseitigen Fünfecks die komplexen Nullstellen von z^5 = 1 sind
und die Nullstelle z=1 schon bekannt ist (Kreisteilungspolynom). Ich
war und bin aber zu faul dazu, das durchzuziehen.
Unter

http://www.math-only-math.com/exact-value-of-sin-72-degree.html

hat das jemand einigermaßen elementar, aber trickreich
ausgerechnet.

Das 5-te Kreisteilungspolynom ist X^4+x^3+x^2+x+1, also auch schon
vom Grad 4 ...
Post by Helmut Richter
In meiner Formelsammlung habe ich einen handschriftlichen Eintrag von
72° : cos 2π/5 = (-1 + √5)/4 = sin π/10
Obs wahr ist, rechne ich jetzt auch nicht nach.
Ein Kollege sagte bei solchen Sachen mal "Das mache ich mal,
wenn ich deprimiert genug bin ..."
So Sachen, in die man sich schön verpusseln kann, wenn man was
wichtigeres vor sich herschiebt :)

Gruß,
Detlef
Post by Helmut Richter
--
Helmut Richter
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Helmut Richter
2018-05-05 12:00:28 UTC
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Post by Detlef Müller
Das 5-te Kreisteilungspolynom ist X^4+x^3+x^2+x+1, also auch schon
vom Grad 4 ...
... aber mit dem n-ten Koeffizienten jeweils gleich dem (4-n)-ten, und da
hilft nach einer alten Bauernregel immer eine Substitution u = x² + 1

u² = x^4 + 2x² + 1

hier also

u² + u - 1 = x^4 + x³ + x² + x + 1

und die linke Seite lässt sich nach u auflösen.

Der Bronstein liefert das fertige Ergebnis, verrät aber nicht, wie man
draufkommt.
Post by Detlef Müller
Post by Helmut Richter
Obs wahr ist, rechne ich jetzt auch nicht nach.
Ein Kollege sagte bei solchen Sachen mal "Das mache ich mal,
wenn ich deprimiert genug bin ..."
So Sachen, in die man sich schön verpusseln kann, wenn man was
wichtigeres vor sich herschiebt :)
Ich fühle mich voll erwischt.

--
Helmut Richter
Helmut Richter
2018-05-05 22:12:10 UTC
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Post by Helmut Richter
... aber mit dem n-ten Koeffizienten jeweils gleich dem (4-n)-ten, und da
hilft nach einer alten Bauernregel immer eine Substitution u = x² + 1
u² = x^4 + 2x² + 1
hier also
u² + u - 1 = x^4 + x³ + x² + x + 1
und die linke Seite lässt sich nach u auflösen.
Nein, da ist irgendwo der Wurm drin. Aber so ähnlich wars. Muss noch
einmal nachdenken. Aber heute abend (?!) nicht mehr.

--
Helmut Richter
Helmut Richter
2018-05-07 13:43:17 UTC
Permalink
Raw Message
Date: Sun, 6 May 2018 00:12:10 +0200
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Fünfeck
Post by Helmut Richter
... aber mit dem n-ten Koeffizienten jeweils gleich dem (4-n)-ten, und da
hilft nach einer alten Bauernregel immer eine Substitution u = x² + 1
u² = x^4 + 2x² + 1
hier also
u² + u - 1 = x^4 + x³ + x² + x + 1
und die linke Seite lässt sich nach u auflösen.
Nein, da ist irgendwo der Wurm drin. Aber so ähnlich wars. Muss noch
einmal nachdenken. Aber heute abend (?!) nicht mehr.
Neuer Versuch (die Ähnlichkeit zum alten ist nicht offensichtlich, besteht
aber):

Für ein (komplexes) Polynom vom Grad n ohne mehrfache Nullstellen sind die
beiden Aussagen äquivalent:

– Die Koeffizienten sind symmetrisch, d.h. a[i] = a[n-i] für i = 0, ..., n

– Ist z Nullstelle, so auch 1/z

Beweisidee (d.h. so müssts gehen, wenn ich nicht schon wieder einen Wurm
drin hab):

Ist z = ±1 Nullstelle, so lässt sich das Polynom durch (x ∓ 1) teilen und
beide Eigenschaften bleiben erhalten.

Für andere Nullstellen z lässt sich das Polynom genauso durch (x-z)(x-1/z)
teilen. []


Damit zerfällt ein solches Polynom in lauter quadratische Polynome dieser
Gestalt. Diese zusammenmultiplizieren und Koeffizientenvergleich sollte die
Lösung bringen. Sorry, ich habe wenig Zeit und kanns nicht richtig
fertigmachen – bei Interesse vielleicht später.

--
Helmut Richter
Valentin Schmidt
2018-05-08 08:10:41 UTC
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Post by Manfred Ullrich
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
Es gelang mir nicht, diese Gleichung nach x aufzulösen, obwohl ich weiß, dass die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
Kann jemand helfen?
Hallo Manfred,

deine Gleichung ist von Anfang an zu kompliziert, es lässt sich aus der
Aufgabenstellung aber mit einfachen Mitteln folgende Lösung für das
gesuchte Verhältnis v herleiten:

v = 2 sin(54°) / sqrt(4 sin(54°)² - 1/4)

Wenn du das ausrechnest, erhälst du 1,05146222..., und das entspricht
dem von dir angegebenem Wert 1/sin72°.

Obige Formel lässt sich durch bisschen angewandte Trigonometrie und die
Kenntniss herleiten, dass die Summe aller Innenwinkel in einem
gleichseitigen n-Eck gleich (n-2) * 180° ist, der Innenwinkel bei einem
5-eck also 3 * 180° / 5 = 108° ist.

Und dieses (n-2) * 180° ergibt sich daraus, dass ein n-eck in n-2
Dreiecke zerlegt werden kann, einzige Vorausetzung ist dann also die
Kenntniss, dass die Summe der Innenwinkel in einem 3-eck immer 180° ergibt.

Valentin
Valentin Schmidt
2018-05-08 08:25:18 UTC
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Post by Valentin Schmidt
Obige Formel lässt sich durch bisschen angewandte Trigonometrie und die
Kenntniss herleiten, dass die Summe aller Innenwinkel in einem
gleichseitigen n-Eck gleich (n-2) * 180° ist, der Innenwinkel bei einem
5-eck also 3 * 180° / 5 = 108° ist.
ps: in diesem Absatz stand das "gleichseitig" an der falschen Stelle:
die Summe aller Innenwinkel ist für *beliebige* n-Ecke gleich
(n-2) * 180°.

Bei einem gleichseitigen n-Eck sind aber außerdem noch alle n
Innenwinkel gleich groß, wodurch sich für diesen Innenwinkel dann
(n-2) * 180° / n ergibt.
Valentin Schmidt
2018-05-08 08:34:36 UTC
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Post by Valentin Schmidt
Post by Valentin Schmidt
Obige Formel lässt sich durch bisschen angewandte Trigonometrie und die
Kenntniss herleiten, dass die Summe aller Innenwinkel in einem
gleichseitigen n-Eck gleich (n-2) * 180° ist, der Innenwinkel bei einem
5-eck also 3 * 180° / 5 = 108° ist.
die Summe aller Innenwinkel ist für *beliebige* n-Ecke gleich
(n-2) * 180°.
Bei einem gleichseitigen n-Eck sind aber außerdem noch alle n
Innenwinkel gleich groß, wodurch sich für diesen Innenwinkel dann
(n-2) * 180° / n ergibt.
Oops, immernoch falsch: ich meinte nicht "gleichseitig", sondern
"gleichwinklig", bitte Wort in vorherigen Aussagen entsprechend
ersetzen, dann stimmt endlich alles ;)

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