Discussion:
Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete gültig?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2017-06-04 23:21:18 UTC
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Hallo,

der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete. Gilt
die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?

Wenn nein, warum nicht?

Danke.
Tom Bola
2017-06-05 00:02:26 UTC
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Post by IV
Hallo,
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete. Gilt
die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Ich rate mal ja, weil die Aussage für die Komplemente gilt:

Zitat aus Wiki https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz:

Seien
K {\displaystyle K}
und
L {\displaystyle L}
homöomorphe kompakte Teilmengen des
R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
. Dann haben die Komplemente
R n ∖ K {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}
und
R n ∖ L {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus L}
dieselbe Anzahl von Wegkomponenten.
Martin Vaeth
2017-06-05 02:18:12 UTC
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Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Was ist ein abgeschlossenes Gebiet?

Die topologische Dimension ist unter Homöomorphismen jedenfalls invariant.
Der (sehr tiefliegende) Teilmengensatz der Dimensionstheorie besagt:
Ist M Teilmenge von X (und hat X gewisse Trennungseigenschaften), so ist
die topologische Dimension von M nicht größer als die von X.
Benutzt man nun, dass R^n die topologische Dimension n hat (also nach
dem Teilmengensatz auch jede nichtleere offene Teilmenge von R^n),
so kann man beispielsweise leicht einen Invarianzsatz der Dimension
für alle Teilmengen formulieren, die zwischen einem Gebiet und dessen
Abschluss liegen.
Roland Franzius
2017-06-05 07:23:26 UTC
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Post by IV
Hallo,
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn nein, warum nicht?
Invarianz unter was?

Zb bei Abbildungen des Einheitsintervalls auf das Einheitsquadrat?

https://duckduckgo.com/?q=map+unit+intervall+unit+square&t=ffsb&ia=web

Sagen wir mal so:
Es ist ausgeprochen mathematikfern, Fragen zu stellen, ohne die exakten
Voraussetzungen eines angedachten Satzes wenigstens umrißweise zu
formulieren.

Sonst bekommt man Antworten wie
"Ja oder nein oder in einem anderen Universum, je nachdem."

Die Sätze der Topologie beziehen sich auf die Kategorie stetiger
Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, die auf offenen Mengen,
insbesondere der offenen Umgebungen von Punkten gegründet sind.

Die meisten Fragen bezüglich Mannigfaltigkeiten mit einem Stück Rand
(komplett abgeschlossen ist da nur eine seltener Spezialfall) kann man
nur dann vernünftig beantworten, wenn der Rand mitsamt der
Mannigfaltikeit in eine umfassende offene Umgebung topologisch
einbettbar ist.

Immerhin gibt es die Klasse der kompakten Mannigfaltigkeiten ohne Rand
wie Spären, Tori etc, da ist die gesamte Menge dann sowohl offen wie
abgeschlossen.

Und selbst da versagt zuweilen die topologische Vorstellungskraft, die
nach einem bekannten Satz nicht von einem Potential abgeleitet werden kann:

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere
--
Roland Franzius
Detlef Müller
2017-06-05 08:51:01 UTC
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Post by IV
Hallo,
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann
die Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten,
also ja.

Sollte damit einfach eine beliebige abgeschlossene Teilmenge gemeint
sein, dann natürlich nicht.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
IV
2017-06-05 12:09:07 UTC
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Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete. Gilt
die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Aber ich will doch nicht die Einschränkung der Abbildung auf die offene
Teilmenge betrachten, sondern wissen, ob der Satz von der
Dimensionsinvarianz auch auf abgeschlossene Gebiete verallgemeinerbar ist
oder nicht.

Soll ich mit dem Stichwort "Fun-Theorie" recherchieren, oder meinst Du mit
"Fun-Theorie" die "Funktionentheorie"?
Detlef Müller
2017-06-05 19:00:01 UTC
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Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten,
also ja.
Aber ich will doch nicht die Einschränkung der Abbildung auf die offene
Teilmenge betrachten, sondern wissen, ob der Satz von der
Dimensionsinvarianz auch auf abgeschlossene Gebiete verallgemeinerbar
ist oder nicht.
Wie lautet dann genau Der Satz von der Invarianz der Dimension,
den Du meinst, etwa
"Sei U eine nicht leere offene Teilmenge des R^n und V eine nicht leere
offene Teilmenge des R^m uns sind U und V homöomorph, so ist n=m"
aus https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz
?

In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung
"offen" nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen
Satz durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine
offene Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den
bekannten Satz für offene Teilmengen zurück führen (mit dem selben
Ergebnis "n=m").

Aber wenn Du das nicht willst, dann kannst Du es
natürlich auch lassen :)

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
IV
2017-06-05 20:09:39 UTC
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Raw Message
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wie lautet dann genau Der Satz von der Invarianz der Dimension, den Du
meinst, etwa "Sei U eine nicht leere offene Teilmenge des R^n und V eine
nicht leere offene Teilmenge des R^m uns sind U und V homöomorph, so ist
n=m" aus https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz?
Ja.
In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung "offen"
nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen Satz durch
Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge von
U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den bekannten Satz für offene
Teilmengen zurück führen (mit dem selben Ergebnis "n=m").
Aber wenn Du das nicht willst, dann kannst Du es natürlich auch lassen :)
Ich weiß nicht was Du mir sagen willst. Ich möchte doch wissen, ob man den
Brouwerschen Satz von der Dimensionsinvarianz wie Du ihn oben zitiert hast,
also den mit den offenen Teilmengen, auch auf abgeschlossene Gebiete
verallgemeinern kann.
Detlef Müller
2017-06-05 21:32:57 UTC
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Raw Message
[...]
Post by IV
meinst, etwa "Sei U eine nicht leere offene Teilmenge des R^n und V
eine nicht leere offene Teilmenge des R^m uns sind U und V homöomorph,
so ist n=m" aus
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz?
Ja.
In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung
"offen" nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen Satz
durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine offene
Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den bekannten
Satz für offene Teilmengen zurück führen (mit dem selben Ergebnis "n=m").
Aber wenn Du das nicht willst, dann kannst Du es natürlich auch lassen :)
Ich weiß nicht was Du mir sagen willst.
Daß (mit der von Dir gelieferten Definition für ein abgeschlossenes
Gebiet) die Bedingung "offen" durch die Bedingung "ein abgeschlossenes
Gebiet" ersetzt werden kann, und auch dann die Folgerung "m=n" gilt.

Da der neue Satz (2) (mit "abgeschlossene Gebiete" statt "offene
Teilmengen") sich wieder auf Mengen mit ganz speziellen Eigenschaften
bezieht, kann man sich fragen, warum es sich um eine Verallgemeinerung
des Ursprünglichen Satzes (1) handeln soll.

Eine Verallgemeinerung wäre (3) "Seien U aus R^n,V aus R^m Teilmengen,
enthalte U eine im R^n offene, nicht leere Teilmenge dann gilt:
ist U homöomorph zu V dann ist n=m",
denn der ursprüngliche Satz (1) ist ein Spezialfall
dieses neuen Satzes ist: jede offene, nicht leere Menge enthält nämlich
eine offene, nicht leere Menge (nämlich sich selbst).
Sind die Voraussetzungen von (1) erfüllt, sind also automatisch auch
die Voraussetzungen von (3) erfüllt.

Das trifft für (2) nicht zu, da offene Mengen im Allgemeinen keine
abgeschlossenen Mengen sind. Der von Dir gemeinte Satz (2) ist somit
keine Verallgemeinerung von (1).
Post by IV
Ich möchte doch wissen, ob man
den Brouwerschen Satz von der Dimensionsinvarianz wie Du ihn oben
zitiert hast, also den mit den offenen Teilmengen, auch auf
abgeschlossene Gebiete verallgemeinern kann.
Die Aussage (2) stimmt (sie ist wie (1) ein Spezialfall von(3)),
ist aber keine Verallgemeinerung (wie z.B. (3)).

Die kleine Spitze "das Du das auch lassen kannst, wenn Dir danach
ist", bedeutet daß Du frei bist, alle Versuche, Dich auf den
richtigen Weg zu lenken mit "Ich will gar nicht gehen sondern
getragen werden - schließlich bin ich kein Mathematiker"
abzuwatschen.
Ob das die Anwesenden sonderlich motiviert mit(?) zu tüfteln,
ist natürlich eine andere Frage.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Martin Vaeth
2017-06-06 06:35:58 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung
"offen" nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen
Satz durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine
offene Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den
bekannten Satz für offene Teilmengen zurück führen (mit dem selben
Ergebnis "n=m").
So einfach ist das nicht: Bevor man die Gleichheit der Dimension
kennt, weiß man zunächst nicht, dass das Bild des Inneren offen
im Bildraum ist. (Es wäre ja zunächst denkbar, dass die Dimension
des Raums, in dem f(U) enthalten ist, größer ist, und das Bild
alleine durch das Bild des Randes irgendwie im Bildraum "aufgeblasen"
wird. Natürlich geht das nicht, aber genau das ist nachzuweisen...)

Die einfachste präzise Argumentation ist m.E. die Benutzung des
Teilmengensatzes der topologischen Dimension, die ich in einem
anderen Posting gegeben habe.
Damit bekommt man dann gleich den allgemeineren Satz heraus,
den Du später angedeutet hast:

Sind U und V homöomorphe Teilmengen von n- bzw. m-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten (C^0 und Hausdorff), die beide mindestens
einen inneren Punkt enthalten, so ist n=m.

Der entscheidende Punkt ist, dass man eben nicht _voraussetzen_
muss, dass der gegebene Homöomorphismus das Innere der Mengen
jeweils auf offene Mengen abbildet (das bekommt man natürlich
später frei Haus geliefert, sobald man erst einmal m=n weiss).

Ich sehe nicht, wie man das beweisen sollte, ohne den Teilmengensatz
für die topologische Dimension zu benutzen (oder zumindest wichtige
Teile davon implizit mitzubeweisen).

Andererseits: Für _abgeschlossene_ Teilmengen ist der Teilmengensatz
trivial, so dass sich der Spezialfall das obigen Satzes
(wenn U und V beide abgeschlossen sind), möglicherweise auch ziemlich
elementar einsehen lässt, ohne auf die topologische Dimension
zurückzugreifen. Ich sehe im Moment trotzdem keinen eleganten Beweis
selbst für diesen Spezialfall...
Detlef Müller
2017-06-06 10:31:19 UTC
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Raw Message
Post by Martin Vaeth
Post by Detlef Müller
In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung
"offen" nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen
Satz durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine
offene Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den
bekannten Satz für offene Teilmengen zurück führen (mit dem selben
Ergebnis "n=m").
So einfach ist das nicht: Bevor man die Gleichheit der Dimension
kennt, weiß man zunächst nicht, dass das Bild des Inneren offen
im Bildraum ist.
Ja, da hatte ich auch etwas gegrübelt, weswegen ich es so vage
("scheint mir ...") formuliert habe.
Das folgende hatte ich nur vage überlegt und nicht
ausformuliert:

Es ist auch V ein "abgeschlossenes Gebiet", was nach
IV's Definition bedeutet, V ist Abschluß einer im R^m offenen
Menge. Dann enthält eine in V offene nicht leere Menge V_0 immer
auch innere Punkte von V und damit eine im R^m offenen (nicht leere)
Teilmenge V_1 von V_0, die nur innere Punkt von V enthält (da
das ein wichtiges Detail ist führe ich es weiter unten noch einmal
genauer aus).

Betrachten eine (bzg. der TR-Topologie von U) offene
(nicht leere) Teilmenge U_0 von U, dann haben wir nach dem selben
Argument auch eine im R^n offene nicht leere Teilmenge U_1 von
U_0, die nur innere Punkte von U_0 enthält.
Sei nun f unser Homöomorphismus U-->V.
Dann ist V_0 := f(U_1) offen in V, es gibt dann eine nicht leere,
im R^m offene Teilmenge V_1 in V_0=f(U_1).
Deren Urbild U_2 := f^(-1)(V_1) ist (als Urbild einer offenen Menge)
offen in U und Teilmenge von U_1.

Da U_1 selbst schon offen im R^n ist stimmen für Teilmengen von U_1
aber Teilraumtopologie von U und die Topologie des R^n überein und
U_2 ist auch offen im R^n.
Somit wurden zwei offene, homöomorphe Teilmengen U_2 im R^n
und V_1=f(U_2) im R^m gefunden.
Post by Martin Vaeth
[...]
Der entscheidende Punkt ist, dass man eben nicht _voraussetzen_
muss, dass der gegebene Homöomorphismus das Innere der Mengen
jeweils auf offene Mengen abbildet (das bekommt man natürlich
später frei Haus geliefert, sobald man erst einmal m=n weiss).
In der tat wissen wir a priori für das Bild einer offenen Menge
nur, daß es auch in der Teilraumtopologie offen sein muß.
Post by Martin Vaeth
Ich sehe nicht, wie man das beweisen sollte, ohne den Teilmengensatz
für die topologische Dimension zu benutzen (oder zumindest wichtige
Teile davon implizit mitzubeweisen).
Der Kniff ist hier, die Informationen über V heranzuziehen, nämlich,
daß wir wissen, daß in V offene Mengen immer auch eine gewisse "Dicke"
im R^m haben müssen.
Denn V ist der Abschluß einer in R^m offenen Menge W.

Ist V0 in V offen und nicht leer, etwa mit v in V0,
so ist V0 = U geschnitten mit V für eine in R^m offenen
Menge U (Definition der Teilraum-Topologie).
Da v im Rand von W liegt, ist W geschnitten mit U (was wegen
v in U eine offene Umgebung von v ist) nicht leer.
W geschnitten mit U liegt aber ganz in V und ist offen
im R^m.
Post by Martin Vaeth
Andererseits: Für _abgeschlossene_ Teilmengen ist der Teilmengensatz
trivial, so dass sich der Spezialfall das obigen Satzes
(wenn U und V beide abgeschlossen sind), möglicherweise auch ziemlich
elementar einsehen lässt, ohne auf die topologische Dimension
zurückzugreifen. Ich sehe im Moment trotzdem keinen eleganten Beweis
selbst für diesen Spezialfall...
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Martin Vaeth
2017-06-06 13:49:38 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by Detlef Müller
Satz durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine
offene Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den
[...]
Post by Detlef Müller
Somit wurden zwei offene, homöomorphe Teilmengen U_2 im R^n
und V_1=f(U_2) im R^m gefunden.
Schönes Argument!
Das funktioniert, weil Du vorher U_2 noch einmal "ausgedünnt" hast.
Ich hatte zunächst verstanden, dass Du U_2 als das Innere von U wählen
willst; für diese Wahl kann man vermutlich nicht mehr elementar argumentieren
(obwohl es im Nachhinein dann trotzdem stimmt, aber dazu benutzt man eben
letztlich Borsuk/Dimensionssatz als starkes Geschütz.)
Post by Detlef Müller
Der Kniff ist hier, die Informationen über V heranzuziehen, nämlich,
daß wir wissen, daß in V offene Mengen immer auch eine gewisse "Dicke"
im R^m haben müssen.
Umso überraschender ist, dass das Argument mit der topologischen
Dimension zeigt, dass der Sachverhalt auch ohne diese Zusatzinformation
richtig ist, d.h. selbst dannn, wenn V nur eine kleine Kugel enthält
und ansonsten "lokal dünn" aber trotzdem "groß" ist. (Als Bild für den
Rest habe ich eine flächenfüllende Kurve im Hinterkopf. Der Clou ist eben,
dass wir hier so nebenbei mitbeweisen müssen, dass eine solche Kurve nicht
von einem _Homöoorphisms_ der Kreislinie stammen kann.)

Vermutlich ist der letzte Absatz schwer zu verstehen: Letztlich versuche ich
ja, hier eine Situation zu beschreiben, die es nicht geben kann (auch wenn
man das eben elementar vermutlich nicht so einfach einsehen kann).
IV
2017-06-06 20:43:42 UTC
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Raw Message
"Detlef M�ller" schrieb im Newsbeitrag news:oh609n$rmc$***@gwaiyur.mb-net.net...
Gibt es den von mir gewünschten Satz (Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten) nun, oder nicht, bzw. ist er gültig, oder nicht?

(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir selber beweisen, wo
doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der Invarianz der Dimension (für
beliebig große Dimension) so sehr schwer sein soll?)
Martin hatte hier in einer anderen Diskussion geschrieben, daß der Beweis
über den Antipodensatz von Borsuk-Ulam läuft.
H0Iger SchuIz
2017-06-07 06:07:18 UTC
Permalink
Raw Message
Hallo Jürgen,
Post by IV
Gibt es den von mir gewünschten Satz (Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten) nun, oder nicht, bzw. ist er gültig, oder nicht?
Na, mal wieder mit der Abarbeitung des Auftrags durch dein Personal
nicht zufrieden? Da muss doch mal wieder gemeckert werden, oder?


1. In der Mathematik wünscht man sich keine Sätze.

2. Vielleicht formulieren Sie mal den, um den es da gehen soll. Dann
weiß man auch wprüber man redet.
Post by IV
(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir selber beweisen, wo
doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der Invarianz der Dimension (für
beliebig große Dimension) so sehr schwer sein soll?)
Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: man wird keine Mathematik
betreiben können, ohne sich mit Mathematik zu beschäftigen. Der
Unterschied zwischen eine Nichtmathematiker und einem Mathematiker ist
die Ausbildung. Das kann auch Selbststudium sein.

Viel Erfolg.

hs
IV
2017-06-07 16:21:55 UTC
Permalink
Raw Message
"H0Iger SchuIz" schrieb im Newsbeitrag
Post by IV
Gibt es den von mir gewünschten Satz (Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten) nun, oder nicht, bzw. ist er gültig, oder nicht?
Na, mal wieder mit der Abarbeitung des Auftrags durch dein Personal nicht
zufrieden? Da muss doch mal wieder gemeckert werden, oder?
Antwort 1: Man wird doch wohl noch nachfragen dürfen.
Antwort 2: (Off-Topic: Nö, muß nicht. Ohne Deine Kommentare könnten wir ohne
Meckern bei der Sache bleiben.)
Antwort 3: (Off-Topic: Meckern? Die Interpretation eines Textes hängt leider
immer auch vom Leser und dessen Grundeinstellung ab.)
Antwort 4: (Off-Topic: Man wird doch wohl noch nachfragen dürfen. Eine
Diskussion besteht nun mal aus Fragen, Antworten und Nachfragen.)
Antwort 5: (Off-Topic: Auf die Schnelle ist für mich nicht ersichtlich,
welche der beiden hier aufgeworfenen Fragen Detlef und Martin diskutieren.
Deshalb meine wie immer sachliche, höfliche, nur gut gemeinte, ehrliche
Nachfrage. Du verwechselst meine Ausdauer mit Renitenz.)
1. In der Mathematik wünscht man sich keine Sätze.
(Off-Topic: Ich verstehe auch diese Äußerung nicht. Ist sie nun ernst
gemeint, oder nicht? Da ich mich in Eurem Fach nicht auskenne, besteht die
Gefahr, daß ich das Ernstgemeinte für Spaß halte, und den Spaß für Ernst.)
Post by IV
(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir gewünschten Satz
selber beweisen, wo doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der
Invarianz der Dimension (für beliebig große Dimension) so sehr schwer
sein soll?)
Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: man wird keine Mathematik
betreiben können, ohne sich mit Mathematik zu beschäftigen. Der
Unterschied zwischen eine Nichtmathematiker und einem Mathematiker ist die
Ausbildung. Das kann auch Selbststudium sein.
Das ist wahr und richtig, und alle hier wissen das.
Du verlangst wirklich von mir, daß ich den Brouwerschen Satz von der
Invarianz der Dimension, dessen Beweis laut Martin so sehr kompliziert ist
und der nicht durch einen einfacheren Beweis zu ersetzen ist, beweise und
dann auch noch auf andere Voraussetzungen erweitere?
H0Iger SchuIz
2017-06-07 19:20:10 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
"H0Iger SchuIz" schrieb im Newsbeitrag
Post by H0Iger SchuIz
1. In der Mathematik wünscht man sich keine Sätze.
(Off-Topic: Ich verstehe auch diese Äußerung nicht.
Ja, das steht zu befürchten.
Post by IV
Ist sie nun ernst
gemeint, oder nicht? Da ich mich in Eurem Fach nicht auskenne, besteht die
Gefahr, daß ich das Ernstgemeinte für Spaß halte, und den Spaß für Ernst.)
Ist dir schn mal untergekommen, dass sich ein Mathematiker einen Satz
wünscht?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir gewünschten Satz
selber beweisen, wo doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der
Invarianz der Dimension (für beliebig große Dimension) so sehr schwer
sein soll?)
Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: man wird keine Mathematik
betreiben können, ohne sich mit Mathematik zu beschäftigen. Der
Unterschied zwischen eine Nichtmathematiker und einem Mathematiker ist die
Ausbildung. Das kann auch Selbststudium sein.
Das ist wahr und richtig, und alle hier wissen das.
Du verlangst wirklich von mir,
Nein, ich verlange gar nichts, insbesondere nicht von Ihnen. Mein Tipp
wäre halt, sich mit den Inhalten zu beschäftigen. Muss man aber auch
nicht. Man kann auch warten, bis die Wünsche in Erfüllung gehen.

hs
IV
2017-06-07 16:36:00 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Gibt es den von mir gewünschten Satz (Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten) nun, oder nicht, bzw. ist er gültig, oder nicht?
(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir selber beweisen, wo
doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der Invarianz der Dimension
(für beliebig große Dimension) so sehr schwer sein soll?)
Martin hatte hier in einer anderen Diskussion geschrieben, daß der Beweis
über den Antipodensatz von Borsuk-Ulam läuft.
... Sätze.
2. Vielleicht formulieren Sie mal den, um den es da gehen soll. Dann weiß
man auch worüber man redet.
(Off-Topic: Vielleicht hätte man das besser anders formulieren sollen. So,
daß einem auch eine gutmeinende Interpretation offenbleibt.)

Dabei hatte ich den "Satz von der Invarianz der Dimension" extra in
Wikipedia verlinkt, damit man diesen wichtigen Satz schnell findet und nicht
aneinander vorbeiredet:
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz_von_der_Invarianz_der_Dimension
Gilt ein entsprechender Satz auch für abgeschlossene Teilmengen des R^n oder
für kompakte Teilmengen des R^n?
(Off-Topic: Bisher weiß ich noch nicht mal, was kompakte Mengen sein
sollen - es gibt mehrere verschiedene Definitionen.)
H0Iger SchuIz
2017-06-07 19:20:11 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Gibt es den von mir gewünschten Satz (Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten) nun, oder nicht, bzw. ist er gültig, oder nicht?
(Wie soll ich als Nichtmathematiker denn den von mir selber beweisen, wo
doch der Beweis des Brouwerschen Satzes von der Invarianz der Dimension
(für beliebig große Dimension) so sehr schwer sein soll?)
Martin hatte hier in einer anderen Diskussion geschrieben, daß der Beweis
über den Antipodensatz von Borsuk-Ulam läuft.
... Sätze.
2. Vielleicht formulieren Sie mal den, um den es da gehen soll. Dann weiß
man auch worüber man redet.
(Off-Topic: Vielleicht hätte man das besser anders formulieren sollen. So,
daß einem auch eine gutmeinende Interpretation offenbleibt.)
Dabei hatte ich den "Satz von der Invarianz der Dimension" extra in
Wikipedia verlinkt,
Der steht doch aber nicht zur Diskussion, oder?
Post by IV
damit man diesen wichtigen Satz schnell findet und nicht
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz
_von_der_Invarianz_der_Dimension
Gilt ein entsprechender Satz auch für abgeschlossene Teilmengen des R^n oder
für kompakte Teilmengen des R^n?
Was denn nun? Zunächst war von abgeschlossenen Gebieten die Rede, nun
von abgeschlossenen Mengen, dann wahlweise aber auch von kompakten
Mengen. Wie wäre es, wenn Sie den Satz, um den es hier gehen soll,
einfach mal aufschreiben.
Post by IV
(Off-Topic: Bisher weiß ich noch nicht mal, was kompakte Mengen sein
sollen - es gibt mehrere verschiedene Definitionen.)
Ich kenne nur die, in der jede offene Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung enthält. Welche davon verschiedene haben Sie noch
gefunden?

hs
IV
2017-06-07 20:36:16 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
... Sätze.
2. Vielleicht formulieren Sie mal den, um den es da gehen soll. Dann
weiß man auch worüber man redet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz
_von_der_Invarianz_der_Dimension
Wie wäre es, wenn Sie den Satz, um den es hier gehen soll, einfach mal
aufschreiben.
Aus dem Wikipedia-Artikel oben:
Satz von der Invarianz der Dimension (Brouwer):
Sei \emptyset <> U eine offene Teilmenge des R^n und sei \emptyset <> V eine
offene Teilmenge des R^m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.

Gelten auch die analogen Sätze für abgeschlossene Gebiete oder für kompakte
Gebiete?
Sei \emptyset <> U ein abgeschlossenes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V
ein abgeschlossenes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Sei \emptyset <> U ein kompaktes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V ein
kompaktes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
H0Iger SchuIz
2017-06-10 10:03:03 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Sei \emptyset <> U ein abgeschlossenes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V
ein abgeschlossenes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Sei \emptyset <> U ein kompaktes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V ein
kompaktes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Sind dass jetzt zwei Sätze? Kann man das auch nachvollziehbar
aufschreiben?

Die Relation "<>" für Mengen kenne ich nicht.

hs
Torn Rumero DeBrak
2017-06-10 20:56:36 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene
Gebiete. Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene
Gebiete?
... Sätze.
2. Vielleicht formulieren Sie mal den, um den es da gehen soll. Dann
weiß man auch worüber man redet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz
_von_der_Invarianz_der_Dimension
Wie wäre es, wenn Sie den Satz, um den es hier gehen soll, einfach mal
aufschreiben.
Sei \emptyset <> U eine offene Teilmenge des R^n und sei \emptyset <> V
eine offene Teilmenge des R^m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Gelten auch die analogen Sätze für abgeschlossene Gebiete oder für
kompakte Gebiete?
Sei \emptyset <> U ein abgeschlossenes Gebiet des R^n und sei \emptyset
<> V ein abgeschlossenes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so
gilt n = m.
Sei \emptyset <> U ein kompaktes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V
ein kompaktes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Gegenfrage:

Haben Sie ein konkretes Beispiel mit konkreten abgeschlossenen Gebieten,
die einen Hinweis geben, daß so eine Erweiterung des Satzes möglich wäre?

Wenn ja, dann geben Sie das Beispiel bitte hier an.
Wenn nein, auf welcher Grundlage erwarten Sie dann eine
Erweiterung des Satzes?

Wenn es reines Wunschdenken ist, dann sind sie in der Mathematik nicht
am richtigen Ort. Man phantasiert in der Mathematik nicht herum,
sondern betreibt Forschung auf Grund von vorhandenen Beispielen und
versucht, diese durch Sätze zu allgemeinen Aussagen zu erweitern.
Ohne ein Basisbeispiel sind Ihre ganzen Annahmen zu Erweiterungen
Schall und Rauch und entbehren jeglicher Grundlage.
IV
2017-06-11 09:38:57 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn nein, warum nicht?
Sei \emptyset <> U eine offene Teilmenge des R^n und sei \emptyset <> V
eine offene Teilmenge des R^m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Gelten auch die analogen Sätze für abgeschlossene Gebiete oder für
Sei \emptyset <> U ein abgeschlossenes Gebiet des R^n und sei \emptyset
<> V ein abgeschlossenes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so
gilt n = m.
Sei \emptyset <> U ein kompaktes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V
ein kompaktes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Haben Sie ein konkretes Beispiel mit konkreten abgeschlossenen Gebieten,
die einen Hinweis geben, daß so eine Erweiterung des Satzes möglich wäre?
Nein.
Post by Torn Rumero DeBrak
Wenn ja, dann geben Sie das Beispiel bitte hier an.
Wenn nein, auf welcher Grundlage erwarten Sie dann eine Erweiterung des
Satzes?
Wenn es reines Wunschdenken ist, dann sind sie in der Mathematik nicht am
richtigen Ort. Man phantasiert in der Mathematik nicht herum, sondern
betreibt Forschung auf Grund von vorhandenen Beispielen und versucht,
diese durch Sätze zu allgemeinen Aussagen zu erweitern.
Ohne ein Basisbeispiel sind Ihre ganzen Annahmen zu Erweiterungen Schall
und Rauch und entbehren jeglicher Grundlage.
(Bitte bedenken Sie, daß ich kein Teilnehmer Ihrer Mathematik-Seminare bin,
die Sie entsprechend traktieren können und müssen, und dass ich das nie sein
werde.)
Zur Lösung einer Reihe bestimmter Problemstellungen in ihren Fächern
benötigen Nichtmathematiker die Antwort auf die Frage, ob die Invarianz der
Dimension allgemein auch auf dem Rand ganz oder teilweise geschlossener
nichtleerer Gebiete gilt.
Da dies eine mathematische zu sein scheint, sollte sie von Mathematikern
beantwortbar sein.

Ich versuche mich als Mathematiker, obwohl ich das nicht gelernt habe, und
deshalb jeder Versuch, über die erlernten relativ einfachen Grundlagen
hinauszugehen, unweigerlich neue Fehler verursachen muss:
Ein Beispiel:
f: die Funktion x^(1/2) für x reell von x= 1 bis 2
f: [1,4] --> [1,2] x [-1,-2], x \mapsto (-sqrt(x), +sqrt(x))
Keine Ahnung ob die Notation des Wertebereichs richtig ist.
IV
2017-06-11 09:41:29 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
f: die Funktion x^(1/2) für x reell von x= 1 bis 2
f: [1,4] --> [1,2] x [-1,-2], x \mapsto (-sqrt(x), +sqrt(x))
Keine Ahnung ob die Notation des Wertebereichs richtig ist.
Huch, schon wieder ein Fehler!
Korrektur:
f: für x reell von x= 1 bis 4
IV
2017-06-11 09:44:57 UTC
Permalink
Raw Message
Ein Beispiel: ...
Huch, huch. Und noch ein Fehler.
Jetzt das ganze Beispiel nochmal korrigiert:
Ein Beispiel:
f: die Funktion x^(1/2) für x reell von x= 1 bis 4
f: [1,4] --> [-1,-2] x [1,2], x \mapsto (-sqrt(x), +sqrt(x))
Keine Ahnung ob die Art der Notation für den Wertebereich richtig ist.
H0Iger SchuIz
2017-06-11 10:14:38 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn nein, warum nicht?
Sei \emptyset <> U eine offene Teilmenge des R^n und sei \emptyset <> V
eine offene Teilmenge des R^m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Gelten auch die analogen Sätze für abgeschlossene Gebiete oder für
Sei \emptyset <> U ein abgeschlossenes Gebiet des R^n und sei \emptyset
<> V ein abgeschlossenes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so
gilt n = m.
Sei \emptyset <> U ein kompaktes Gebiet des R^n und sei \emptyset <> V
ein kompaktes Gebiet des R^ m. Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Haben Sie ein konkretes Beispiel mit konkreten abgeschlossenen Gebieten,
die einen Hinweis geben, daß so eine Erweiterung des Satzes möglich wäre?
Nein.
Post by Torn Rumero DeBrak
Wenn ja, dann geben Sie das Beispiel bitte hier an.
Wenn nein, auf welcher Grundlage erwarten Sie dann eine Erweiterung des
Satzes?
Wenn es reines Wunschdenken ist, dann sind sie in der Mathematik nicht am
richtigen Ort. Man phantasiert in der Mathematik nicht herum, sondern
betreibt Forschung auf Grund von vorhandenen Beispielen und versucht,
diese durch Sätze zu allgemeinen Aussagen zu erweitern.
Ohne ein Basisbeispiel sind Ihre ganzen Annahmen zu Erweiterungen Schall
und Rauch und entbehren jeglicher Grundlage.
(Bitte bedenken Sie, daß ich kein Teilnehmer Ihrer Mathematik-Seminare bin,
die Sie entsprechend traktieren können
Komische Vorstellung von Mathematik-Seminaren. So sehen sie dann aus,
die Phantasien eines Ahnuhngslosen: Seminarteilnehmer werden
"traktiert". Nee, in Wirklichkeit sind die da, um etwas zu lernen. Das
behagt vielleicht nicht jedem, so dass er auf derartig absurde Ideen
kommt.
Post by IV
und müssen, und dass ich das nie sein
werde.)
Ja, das ist wohl das Problem. Allerdings gubt es natürlich noch andere
Möglichkeiten, Mathematik zu lernen. "Ich will nicht" zu sagen, gehört
nicht dazu.
Post by IV
Zur Lösung einer Reihe bestimmter Problemstellungen in ihren Fächern
benötigen Nichtmathematiker
Mir dünkt, der Plural könnte hier unangemessen sein. Wer außer Jürgen
benötigt dass denn noch?
Post by IV
die Antwort auf die Frage, ob die Invarianz der
Dimension allgemein auch auf dem Rand ganz oder teilweise geschlossener
nichtleerer Gebiete gilt.
Da dies eine mathematische zu sein scheint, sollte sie von Mathematikern
beantwortbar sein.
Dazu hat es auch Antworten und Hinweise gegeben. Und nu?
Post by IV
Ich versuche mich als Mathematiker,
Meister Yoda sagt, es gibt kein Versuchen. "Tu' oder tu's nicht". Es
gibt also nur die Möglichkeien sich mit Mathematik zu beschäften -- dann
aber richtig -- oder es bleiben zu lassen. Ihr Versuch besteht darin,
den Bären der Erkenntnis zu waschen, ohne sein Fell nass zu machen (und
sich selbst die Finger schmutzig).
Post by IV
obwohl ich das nicht gelernt habe, und
deshalb jeder Versuch, über die erlernten relativ einfachen Grundlagen
Wofür.
Post by IV
f: die Funktion x^(1/2) für x reell von x= 1 bis 2
Der Satzbau ist schräg, da muss man sich über Mathematik schon keine
Gedanken machen. Aber: x^(1/2) ist keine Funktion, sondern ein Term. "x=
1 bis 2" verstehe ich nicht, weil ich nicht weiß, wie der Operator "bis"
definiert ist.

Kommt jetzt das zweite Beispiel?
Post by IV
f: [1,4] --> [1,2] x [-1,-2], x \mapsto (-sqrt(x), +sqrt(x))
Oder warum taucht hier auch f auf?

Sie sollten sich zunächst darum kümmern, die "einfachen Grundlagen" zu
erlernen.
Post by IV
Keine Ahnung ob die Notation des Wertebereichs richtig ist.
Kommt darauf an, was Sie ausdrücken möchten. Syntaktisch geht das so
durch.

hs
IV
2017-06-11 11:16:14 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
die Antwort auf die Frage, ob die Invarianz der Dimension allgemein auch
auf dem Rand ganz oder teilweise geschlossener nichtleerer Gebiete gilt.
Da dies eine mathematische zu sein scheint, sollte sie von Mathematikern
beantwortbar sein.
Dazu hat es auch Antworten und Hinweise gegeben. Und nu?
Detlef hatte die Antwort bereits gegeben. Da es dazu weitere Diskussionen
zwischen Martin und Detlef gab, hatte ich noch einmal nachgefragt und mich
Detlefs Antwort versichert.
Da Detlefs Antwort nicht präzise ist, kann ich mich in einer Publikation
leider doch nicht darauf beziehen.
Dann forderte Herr Schulz die genaue Formulierung des Satzes, der eingangs
bereits genannt war.
Und Torn forderte ein konkretes Beispiel.
Vor einigen Tagen habe ich gesehen, daß ich den Satz von der Invarianz der
Dimension (Wikipedia: Satz von der Invarianz der Dimension) für die Lösung
meiner Problemstellung nun doch nicht benötige, weil elementare Funktionen
Funktionen genau einer Variablen sind und die Umkehrfunktion jeder elementar
umkehrbaren Funktion wieder eine elementare Funktion sein muss, also eine
Funktion genau einer Variablen.

Vielen Dank wieder an alle.
H0Iger SchuIz
2017-06-11 11:29:10 UTC
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Raw Message
Post by IV
Vor einigen Tagen habe ich gesehen, daß ich den Satz von der Invarianz der
Dimension (Wikipedia: Satz von der Invarianz der Dimension) für die Lösung
meiner Problemstellung nun doch nicht benötige,
Also viel Lärm um nichts. Wenn Sie vor "einigen Tagen" schon wussten,
dass Sie auf dem falschen Dampfer angeheuert haben, wirkt es etwas
komisch, dass Sie gestern noch einen neuen Thread zu diesem Satz
gestartet haben.

Da Sie aber ohnhin nicht wissen, wovon Sie da schreiben, muss man da
wohl drüber wech sehen.

hs
IV
2017-06-11 11:59:36 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Vor einigen Tagen habe ich gesehen, daß ich den Satz von der Invarianz
der Dimension (Wikipedia: Satz von der Invarianz der Dimension) für die
Lösung meiner Problemstellung nun doch nicht benötige
Also viel Lärm um nichts. Wenn Sie vor "einigen Tagen" schon wussten, dass
Sie auf dem falschen Dampfer angeheuert haben, wirkt es etwas komisch,
dass Sie gestern noch einen neuen Thread zu diesem Satz gestartet haben.
Da Sie aber ohnhin nicht wissen, wovon Sie da schreiben, muss man da wohl
drüber wech sehen.
Muss ich eigentlich auf jede Ihrer Anfeindungen antworten? Mir scheint diese
bereits vorher gestellte Frage nach der Invarianz der Dimension bei
abgeschlossenen Gebieten doch ziemlich interessant und wichtig zu sein, und
außerdem haben Sie immer wieder weitere Fragen und Forderungen
nachgeliefert, weshalb ich mich allein schon deshalb aus Höflichkeit dafür
entschieden hatte, die Diskussion hier weiterzuführen und sie nicht
abzubrechen.
H0Iger SchuIz
2017-06-11 12:17:37 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
Vor einigen Tagen habe ich gesehen, daß ich den Satz von der Invarianz
der Dimension (Wikipedia: Satz von der Invarianz der Dimension) für die
Lösung meiner Problemstellung nun doch nicht benötige
Also viel Lärm um nichts. Wenn Sie vor "einigen Tagen" schon wussten, dass
Sie auf dem falschen Dampfer angeheuert haben, wirkt es etwas komisch,
dass Sie gestern noch einen neuen Thread zu diesem Satz gestartet haben.
Da Sie aber ohnhin nicht wissen, wovon Sie da schreiben, muss man da wohl
drüber wech sehen.
Muss ich eigentlich auf jede Ihrer Anfeindungen antworten?
Ja, unbedingt! Pflicht!
Post by IV
Mir scheint
Es scheint so einiges.

hs
IV
2017-06-07 20:42:39 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
(Bisher weiß ich noch nicht mal, was kompakte Mengen sein sollen - es
gibt mehrere verschiedene Definitionen.)
Ich kenne nur die, in der jede offene Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung enthält. Welche davon verschiedene haben Sie noch
gefunden?
https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter_Raum
"Eine Teilmenge des euklidischen Raums R^n heißt kompakt, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist."
Ich denke, ich werde diese Definition nehmen.

"Eine Teilmenge M {\displaystyle M} M eines topologischen Raums ( X ,
) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} (X,{\mathcal {T}}) heißt kompakt,
wenn jede offene Überdeckung
M ⊆ ⋃ i ∈ I U i mit U i ∈ T {\displaystyle M\subseteq \bigcup
_{i\in I}U_{i}\quad {\textrm {mit}}\quad U_{i}\in {\mathcal {T}}}
M\subseteq \bigcup _{{i\in I}}U_{i}\quad {\textrm {mit}}\quad U_{i}\in
{\mathcal {T}}
eine endliche Teilüberdeckung M ⊆ U i 1 ∪ U i 2 ∪ ⋯ ∪ U i n mit
i 1 , … , i n ∈ I {\displaystyle M\subseteq U_{i_{1}}\cup
U_{i_{2}}\cup \dotsb \cup U_{i_{n}}{\text{ mit }}i_{1},\dotsc ,i_{n}\in I}
M\subseteq U_{{i_{1}}}\cup U_{{i_{2}}}\cup \dotsb \cup U_{{i_{n}}}{\text{
mit }}i_{1},\dotsc ,i_{n}\in I besitzt."
"Einige Autoren wie beispielsweise Nicolas Bourbaki[1]:105 verwenden für die
hier definierte Eigenschaft den Begriff quasikompakt und reservieren den
Begriff kompakt für kompakte Hausdorff-Räume; das ist durch die französische
Prägung, sie ist insbesondere in der algebraischen Geometrie üblich. Manche
Autoren nennen die Kompaktheit zur klareren Abgrenzung von der
Folgenkompaktheit auch Überdeckungskompaktheit."
Ich denke, ich werde die Definition ganz oben nehmen.
H0Iger SchuIz
2017-06-09 07:04:22 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
(Bisher weiß ich noch nicht mal, was kompakte Mengen sein sollen - es
gibt mehrere verschiedene Definitionen.)
Ich kenne nur die, in der jede offene Überdeckung eine endliche
Teilüberdeckung enthält. Welche davon verschiedene haben Sie noch
gefunden?
https://de.wikipedia.org/wiki/Kompakter_Raum
"Eine Teilmenge des euklidischen Raums R^n heißt kompakt, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist."
Dieser Sonderfall ist für Euklid'sche Räume äquivalent zur o. g.
Definition.
Post by IV
Ich denke, ich werde diese Definition nehmen.
Je nachdem, wo man die Eigenschaft braucht, kann es sinnvoll sein, die
andere Beschreibung zu verwenden.

hs
IV
2017-06-06 21:08:39 UTC
Permalink
Raw Message
"Detlef M�ller" schrieb im Newsbeitrag news:oh609n$rmc$***@gwaiyur.mb-net.net...
Redet Ihr hier noch darüber, ob der von mir gewünschte Satz von der
Invarianz der Dimension für abgeschlossene Gebiete gültig ist oder nicht,
oder darüber, ob sich aus diesem Satz durch Einschränkung auf eine offene
Teilmenge des R^n der Brouwersche Satz von der Invarianz der Dimension
ergibt?

In meiner Diskussion "Invariance of domain also for closed domains?" in
sci.math bekam ich die Antwort, daß die Invarianz der Dimension für kompakte
Mengen gültig sei.
Detlef Müller
2017-06-07 19:07:54 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Redet Ihr hier noch darüber, ob der von mir gewünschte Satz von der
Invarianz der Dimension für abgeschlossene Gebiete gültig ist oder
nicht, oder darüber, ob sich aus diesem Satz durch Einschränkung auf
eine offene Teilmenge des R^n der Brouwersche Satz von der Invarianz der
Dimension ergibt?
Ich hatte den Beweis für Deinen Wunschsatz etwas ausgebaut,
was noch einen kleinen Kniff erforderte und Martin hat
angemerkt, daß die Bedingung "abgeschlossene Teilmenge"
zumindest für das Bild des homöomorphismus wohl noch
gelockert werden kann.
Post by IV
In meiner Diskussion "Invariance of domain also for closed domains?" in
sci.math bekam ich die Antwort, daß die Invarianz der Dimension für
kompakte Mengen gültig sei.
Wird da wirklich behauptet:
wenn K im R^n und L im R^m kompakte Mengen
sind und K homöomorph zu L ist, dann ist n=m?

Das glaube ich nicht: Einzelne Punkte sind sicherlich
kompakt und als kompakte Mengen homöomorph zueinander,
dann würde sich der Satz vereinfachen zu "für je zwei
Vektorräume R^n und R^m gilt n=m".

Entweder wird da eine andere Behauptung gezeigt
(Übersetzungsproblem?), oder jemand will Dich
veräppeln.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
IV
2017-06-07 20:24:21 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
In meiner Diskussion "Invariance of domain also for closed domains?" in
sci.math bekam ich die Antwort, daß die Invarianz der Dimension für
kompakte Mengen gültig sei.
wenn K im R^n und L im R^m kompakte Mengen sind und K homöomorph zu L ist,
dann ist n=m?
für K und L abgeschlossene, kompakte (beschränkte) Gebiete (the closed
domain happens to be compact (bounded))
Carlo XYZ
2017-06-08 06:08:43 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Entweder wird da eine andere Behauptung gezeigt
(Übersetzungsproblem?), oder jemand will Dich veräppeln.
Aber nein. Es ist nur so, dass Monsieur den geneigten Leser mit
verschiedenen Fischkesseln bzw. Schuhpaaren verwirrt: "invariance
of domain" für Angelsachsen, "Invarianz der Dimension" für Sachsen.
IV
2017-06-10 09:50:50 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Entweder wird da eine andere Behauptung gezeigt
Aber nein. Es ist nur so, dass ... (er) den geneigten Leser mit
verschiedenen ... verwirrt: "invariance of domain" für Angelsachsen,
"Invarianz der Dimension" für Sachsen.
Oh, danke für den Hinweis.
Anders als in der deutschen Wikipedia springt die englische Wikipedia bei
Eingabe von "invariance of dimension" zu "invariance of domain". Den
Unterschied hatte ich dann gar nicht bemerkt.
Entschuldigung.
Aber der Satz von der Invarianz der Dimension soll aus dem Satz von der
Invarianz offener Teilmengen des R^n folgen.
H0Iger SchuIz
2017-06-10 10:03:03 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
In meiner Diskussion "Invariance of domain also for closed domains?" in
sci.math bekam ich die Antwort, daß die Invarianz der Dimension für kompakte
Mengen gültig sei.
Damit wäre das doch geklärt. Sonst noch was?

hs
Hans CraueI
2017-06-08 00:31:29 UTC
Permalink
Raw Message
Detlef MÃŒller schrieb
Post by Detlef Müller
"Detlef Müller" schrieb
Post by Detlef Müller
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten,
also ja.
Aber ich will doch nicht die Einschränkung der Abbildung auf die offene
Teilmenge betrachten, sondern wissen, ob der Satz von der
Dimensionsinvarianz auch auf abgeschlossene Gebiete verallgemeinerbar
ist oder nicht.
Wie lautet dann genau Der Satz von der Invarianz der Dimension,
den Du meinst, etwa
"Sei U eine nicht leere offene Teilmenge des R^n und V eine nicht leere
offene Teilmenge des R^m uns sind U und V homöomorph, so ist n=m"
aus https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz?
In dem Fall scheint mir, wenn man für U und V statt der Bedingung
"offen" nun "abgeschlossenes Gebiet" nimmt, kann man diesen neuen
Satz durch Einschränken des zugehörigen Homöomorphismus auf eine
offene Teilmenge von U (und Betrachten von f(U) statt V) auf den
bekannten Satz für offene Teilmengen zurück führen (mit dem selben
Ergebnis "n=m").
Es kommt halt darauf an, was man unter "abgeschlossenes Gebiet"
versteht. Wenn man unter "abgeschlossenes Gebiet" den `Abschluss
eines Gebiets' versteht (was man dann auch besser so bezeichnen
sollte), ist die Aussage wahr.

Eine andere Lesart von "abgeschlossenes Gebiet" faellt mir nicht
ein. Versteht man darunter nur `abgeschlossene Menge', ist die
Aussage natuerlich falsch, wie schon mehrfach festgestellt.
Aber warum sollte man "abgeschlossenes Gebiet" sagen, wenn man
"abgeschlossene Menge" meint?

Hans
Roland Franzius
2017-06-06 05:11:13 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten,
also ja.
Aber ich will doch nicht die Einschränkung der Abbildung auf die offene
Teilmenge betrachten, sondern wissen, ob der Satz von der
Dimensionsinvarianz auch auf abgeschlossene Gebiete verallgemeinerbar
ist oder nicht.
Kannst getrost davon ausgehen, dass "Sätze nicht verallgemeinerbar
sind". Ein mathematischer Satz pflegt genau zu umreißen, unter welchen
Bedingungen er gilt. Verletzt man eine einzige Voraussetzung auch nur am
Rande, ist er in der Allgemeinheit der Aussage falsch, weil es dann
mindestens ein Gegenbeipiel bekannt ist.

Nimm das einfachst denkbare nichttriviale Sätzchen: Alle Primzahlen >2
sind ungerade.

Gilt das auch für alle Primzahlen? Nein.

Trotzdem ist der Kern der Aussage des Satzes "meistens" richtig für
individuell angenehme Bedeutungen von "meistens" für Physiker,
Ingenieure und BWLer.

Das zugrundeliegende Prinzip der Gemeinde im jeweiligen Gebiet
kompetenter Mathematiker ist ja, dass ein Satz regelmäßig in den hundert
Jahren nach seiner Entdeckung auf eineseits auf jegliche Erweiterbarkeit
der Aussage, also Reduktion der Voraussetzungen, und andererseits auf
weitere Eingrenzung der Voraussetzunge beim Auftreten neuer
Modellklassen abgeklopft worden ist.

Dergleichen geschieht täglich in Übungsaufgaben und Seminaren während
des Studiums, zuweilen unter Beteiligung des nächsten aufsteigenden
Sterns der Mathematik.
--
Roland Franzius
IV
2017-06-11 12:25:33 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete. Gilt
die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Sollte damit einfach eine beliebige abgeschlossene Teilmenge gemeint sein,
dann natürlich nicht.
Abgeschlossenes Gebiet:
Otto Greuel, Horst Kadner: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen.
Springer 1990, Seite 20 (siehe z. B. Google Books)
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch, 2008, Seite 122
...

Da mir die nötigen Begriffe der Topologie und Homologietheorie nichts sagen,
wollte ich schon den elementareren Beweis von Sperner heranziehen und
erweitern:
Sperner, Emanuel: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des
Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, 265-272.
Aber auch das erwies sich als für mich unmögliches Unterfangen, weil ich
selbst die dafür nötigen Begriffe nicht kenne.
Ich habe jetzt das Rudiment eines Beweises gefunden: Can we prove invariance
of dimension directly from the Jordan-Brouwer separation theorem?
(https://math.stackexchange.com/questions/1870550/can-we-prove-invariance-of-dimension-directly-from-the-jordan-brouwer-separation).
Aber selbst da weiß ich nicht, warum man da die Funktion zerlegen darf.
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathemtiker, hochmathematische Probleme
lösen oder gar beweisen zu wollen.
Hans Crauel
2017-06-11 18:46:33 UTC
Permalink
Raw Message
IV schrieb
"Detlef Müller" schrieb
Post by Detlef Müller
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Sollte damit einfach eine beliebige abgeschlossene Teilmenge gemeint sein,
dann natürlich nicht.
Otto Greuel, Horst Kadner: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen.
Springer 1990, Seite 20 (siehe z. B. Google Books)
Die dortige Definition laesst sich nun wirklich einfach
wiedergeben. Mir ist nicht nachvollziehbar, warum das nicht
erfolgt. Sie lautet:

| Definition 2.4: Jede ebene Punktmenge, die nur aus inneren
| Punkten besteht und zusammenhaengend ist, nennt man *Gebiet*.
| Nimmt man die Randpunkte von G zur Punktmenge G hinzu, dann
| erhaelt man ein *abgeschlossenes Gebiet* oder einen *Bereich*.

Dort wird unter einem "abgeschlossenen Gebiet" also der Abschluss
eines (dort allerdings nur ebenen) Gebiets verstanden.
Das ist, wie schon einmal gesagt, m.E. keine besonders glueckliche
Begriffsbildung. "Abschluss eines Gebiets" ist nicht nennenswert
laenger, dafuer aber wesentlich genauer.

Eine Anmerkung zur Quelle: Diese stammt aus der Reihe "Mathematik
fuer Ingenieure, Naturwissenschaftler, Oekonomen, Landwirte".
Das ist keine Mathematik-Literatur, sondern eine - solide und
eher auf Kochrezepte in Anwendungen ausgerichtete - Reihe fuer
die Ausbildung in den genannten Studiengaengen.

Die dort gegebene Definition von "Gebiet" als "ebene Punktmenge"
ist wesentlich weniger allgemein als die, wie sie etwa in
<https://de.wikipedia.org/wiki/Gebiet_%28Mathematik%29>
zu finden ist.
Man kann natuerlich auch allgemein den `Abschluss eines Gebiets'
als "abgeschlossenes Gebiet" bezeichnen. Fuer "abgeschlossene
Gebiete" im Sinne von Greuel/Kadner - ebenso wie allgemeiner dann,
wenn "abgeschlossenes Gebiet" fuer `Abschluss eines Gebiets'
stehen soll - ist die Sache dann klar.
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik.
Harri Deutsch, 2008, Seite 122
Da habe ich nicht nachgesehen; das ist vorrangig eine
Formelsammlung. Wird der Begriff dort genauso wie in Greuel/Kadner
eingefuehrt? Wobei: zwei Quellenangaben mit unterschiedlichen
Definitionen eines Begriffs als Quelle fuer *eine* Begriffsbildung
anzugeben waere schon recht eigenartig.

Hans
IV
2017-06-11 20:26:41 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by Martin Vaeth
abgeschlossenes Gebiet
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist)
Otto Greuel, Horst Kadner: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen.
Springer 1990, Seite 20 (siehe z. B. Google Books)
Die dortige Definition laesst sich nun wirklich einfach wiedergeben. Mir
ist nicht nachvollziehbar, warum das nicht erfolgt. Sie lautet: ...
Die dortige Definition erfolgt in dem gegebenen Link.
Dort wird unter einem "abgeschlossenen Gebiet" also der Abschluss eines
(dort allerdings nur ebenen) Gebiets verstanden. Das ist, wie schon einmal
gesagt, m.E. keine besonders glueckliche Begriffsbildung. "Abschluss eines
Gebiets" ist nicht nennenswert laenger, dafuer aber wesentlich genauer.
Dazu müßte man ersteinmal den Begriff Abschluß kennen. Und dessen Definition
in "Wikipedia: Abgeschlossene Hülle" als kleinste abgeschlossene Obermenge
ist für den Nichtmathematiker auch in keiner Weise verständlich.
Eine Anmerkung zur Quelle: Diese stammt aus der Reihe "Mathematik fuer
Ingenieure, Naturwissenschaftler, Oekonomen, Landwirte". Das ist keine
Mathematik-Literatur, sondern eine - solide und eher auf Kochrezepte in
Anwendungen ausgerichtete - Reihe fuer die Ausbildung in den genannten
Studiengaengen.
Einen anderen Link hatte ich auf die Schnelle nicht gefunden.
Post by IV
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch, 2008, Seite 122
das ist vorrangig eine Formelsammlung.
Kann man so sehen, muß man aber nicht.
Wird der Begriff dort genauso wie in Greuel/Kadner eingefuehrt?
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol. Harri Deutsch, 2008:
Leider habe ich keinen Link findne können.
Seite 121:
"2.18.2.1 Definitionsbereich einer durch eine Menge gegebenen Funktion
Eine offene zusammenhängende Punktmenge wird Gebiet genannt. Wenn der Rand
in ein Gebiet einbezogen ist, dann handelt es sich um ein abgeschlossenes
Gebiet, ist dies nicht der Fall, und und soll der Anschluß des Randes
besonders betont werden, dann wird vom offenen Gebiet gesprochen."
Seite 122: graphische Darstellung eines beschränkten abgeschlossenen
Gebietes und eines unbeschränkten abgeschlossenen Gebietes
H0Iger SchuIz
2017-06-12 08:47:26 UTC
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Post by IV
Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by Martin Vaeth
abgeschlossenes Gebiet
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist)
Otto Greuel, Horst Kadner: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen.
Springer 1990, Seite 20 (siehe z. B. Google Books)
Die dortige Definition laesst sich nun wirklich einfach wiedergeben. Mir
ist nicht nachvollziehbar, warum das nicht erfolgt. Sie lautet: ...
Die dortige Definition erfolgt in dem gegebenen Link.
Mit "Link" ist dann hier wohl gemeint, dass man sich bei Google Books
etwas 'raussuchen darf. Ja, praktisch. Ich verstehe Hans aber so, dass
angemessen wäre, diese Definition einfach zu zitieren.
Post by IV
Dort wird unter einem "abgeschlossenen Gebiet" also der Abschluss eines
(dort allerdings nur ebenen) Gebiets verstanden. Das ist, wie schon einmal
gesagt, m.E. keine besonders glueckliche Begriffsbildung. "Abschluss eines
Gebiets" ist nicht nennenswert laenger, dafuer aber wesentlich genauer.
Dazu müßte man ersteinmal den Begriff Abschluß kennen. Und dessen Definition
in "Wikipedia: Abgeschlossene Hülle" als kleinste abgeschlossene Obermenge
ist für den Nichtmathematiker auch in keiner Weise verständlich.
Das muss sie auch nicht sein. Wozu auch? Warum sollten Nichtmathematiker
so etwas verstehen können, wollen oder sollen?

Abgesehen davon, braucht's das in der Tiefe nicht. Hans' Anmerkung war,
dass der Begriff "abgeschlossenes Gebiet" unglücklich gewählt ist. Da
Gebiete als offen definiert sind, klingt das etwas nach "rundem
Quadrat". Wer aber verstanden hat, was so ein "abgeschlossenes Gebiet"
sein soll, wird das unter einem anderen Begriff auch verstehen.

Dass "Gebiet mit Abschluss" er bessere Begriff ist, kann man den
Fachleuten einfach mal glauben.
Post by IV
Post by IV
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch, 2008, Seite 122
das ist vorrangig eine Formelsammlung.
Kann man so sehen, muß man aber nicht.
Hauptsache, man hat etwas zum Widersprechen. Den ganzen Tag lamantieren,
dass man kein Mathematiker sei, und dann jede fachliche oder
meta-fachliche Anmerkung eine Profis mit "Ja, aber ..." quittieren.
Weder konsequent noch elegant.

Als was würden Sie denn dieses Buch sehen? Als Lehrbuch? Dann wundert's
nicht, dass Sie nicht voran kommen.

hs
H0Iger SchuIz
2017-06-12 10:50:39 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Abgesehen davon, braucht's das in der Tiefe nicht. Hans' Anmerkung war,
dass der Begriff "abgeschlossenes Gebiet" unglücklich gewählt ist. Da
Gebiete als offen definiert sind, klingt das etwas nach "rundem
Quadrat". Wer aber verstanden hat, was so ein "abgeschlossenes Gebiet"
sein soll, wird das unter einem anderen Begriff auch verstehen.
PS: Begriffe wie "offen", "abgeschlossen", "Abschluss" oder
"abgeschlossene Hülle" tauchen im Mathematikstudiummspätestens im ersten
Semester auf. Die rangieren also relativ weit unten.

hs
IV
2017-06-12 19:03:58 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch, 2008, Seite 122
das ist vorrangig eine Formelsammlung.
Kann man so sehen, muß man aber nicht.
Als was würden Sie denn dieses Buch sehen?
Weil ich gefragt wurde:
"Formelsammlung" ist nicht passend. Das Werk enthält nicht nur Formeln, es
enthält auch die entsprechenden Definitionen, Sätze und Zusammenhänge.
H0Iger SchuIz
2017-06-12 19:16:20 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Bronstein/Mühlig/Semendjajew/Musiol: Taschenbuch der Mathematik. Harri
Deutsch, 2008, Seite 122
das ist vorrangig eine Formelsammlung.
Kann man so sehen, muß man aber nicht.
Als was würden Sie denn dieses Buch sehen?
"Formelsammlung" ist nicht passend. Das Werk enthält nicht nur Formeln, es
enthält auch die entsprechenden Definitionen, Sätze und Zusammenhänge.
Ein solcherartiges Nachschlagewerk beliebt man auch dann als
Formelsammlung zu titulieren, wenn es nicht nur Formeln enthält. Im
Wesentlichen fehlt jeglivher didaktischer Zugang. Somit richtet sich
eine solche Sammlung also an Leute, die das, was da drinsteht im Prinzip
schon wissen.

hs
IV
2017-06-12 19:27:36 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
"Formelsammlung" ist nicht passend. Das Werk enthält nicht nur Formeln,
es enthält auch die entsprechenden Definitionen, Sätze und Zusammenhänge.
Ein solcherartiges Nachschlagewerk beliebt man auch dann als
Formelsammlung zu titulieren, wenn es nicht nur Formeln enthält.
Wie ich schon schrieb: "Kann man so sehen, muß man aber nicht."
Post by H0Iger SchuIz
Im Wesentlichen fehlt jeglicher didaktischer Zugang. Somit richtet sich
eine solche Sammlung also an Leute, die das, was da drinsteht im Prinzip
schon wissen.
Wie immer haben Sie auch damit recht. Ich wüßte nicht, daß jemand das
bestreitet.
H0Iger SchuIz
2017-06-12 19:58:33 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
"Formelsammlung" ist nicht passend. Das Werk enthält nicht nur Formeln,
es enthält auch die entsprechenden Definitionen, Sätze und Zusammenhänge.
Ein solcherartiges Nachschlagewerk beliebt man auch dann als
Formelsammlung zu titulieren, wenn es nicht nur Formeln enthält.
Wie ich schon schrieb: "Kann man so sehen, muß man aber nicht."
Blabla.

hs
IV
2017-06-12 20:21:24 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Ein solcherartiges Nachschlagewerk beliebt man auch dann als
Formelsammlung zu titulieren, wenn es nicht nur Formeln enthält.
Wie ich schon schrieb: "Kann man so sehen, muß man aber nicht."
Blabla.
Antwort 1: Kann man so sehen, muß man aber nicht.
Antwort 2: Blabla.
Nu is aber gut.
IV
2017-06-11 20:31:42 UTC
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Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische Probleme
lösen oder gar beweisen zu wollen.
Gemeint ist: Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker,
hochmathematische Probleme ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen
oder gar beweisen zu wollen.
Roland Franzius
2017-06-12 15:14:44 UTC
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Post by IV
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische
Probleme lösen oder gar beweisen zu wollen.
Gemeint ist: Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker,
hochmathematische Probleme ohne die Hilfe von Mathematikern alleine
lösen oder gar beweisen zu wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich Probleme
von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu referieren,
wie man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das Verfahren hat sich
in der Mathematik nicht so bewährt.
--
Roland Franzius
IV
2017-06-12 18:57:00 UTC
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Post by Roland Franzius
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische Probleme
ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen oder gar beweisen zu
wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich Probleme
von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu referieren, wie
man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das Verfahren hat sich in
der Mathematik nicht so bewährt.
Deshalb strebe ich ja auch eine Z u s a m m e n a r b e i t an.
(Da bringt jeder das ein was er kann - nicht mehr und nicht weniger.)
H0Iger SchuIz
2017-06-12 19:16:21 UTC
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Post by IV
Post by Roland Franzius
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische Probleme
ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen oder gar beweisen zu
wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich Probleme
von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu referieren, wie
man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das Verfahren hat sich in
der Mathematik nicht so bewährt.
Deshalb strebe ich ja auch eine Z u s a m m e n a r b e i t an.
(Da bringt jeder das ein was er kann - nicht mehr und nicht weniger.)
Und was bringt derjenige ein, der vom Thema gar keine Ahnung hat?

Eine Methode der von Roland klassifizierten Personen ist es, den anderen
glauben zu machen, man arbeite ja zusammen. Der eine trägt dann die
Steine, der andere die Verantwortung.

Viel Erfolg.

hs
IV
2017-06-12 19:31:54 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by Roland Franzius
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische
Probleme ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen oder gar
beweisen zu wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich Probleme
von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu referieren,
wie man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das Verfahren hat sich
in der Mathematik nicht so bewährt.
Deshalb strebe ich ja auch eine Z u s a m m e n a r b e i t an.
(Da bringt jeder das ein was er kann - nicht mehr und nicht weniger.)
Und was bringt derjenige ein, der vom Thema gar keine Ahnung hat?
Eine Methode der von Roland klassifizierten Personen ist es, den anderen
glauben zu machen, man arbeite ja zusammen. Der eine trägt dann die
Steine, der andere die Verantwortung.
Da reden wir also wie so oft hier auch diesmal wieder von verschiedenen
Dingen.
PeterSchneider
2017-06-13 07:48:46 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by Roland Franzius
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische
Probleme ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen oder gar
beweisen zu wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich
Probleme von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu
referieren, wie man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das
Verfahren hat sich in der Mathematik nicht so bewährt.
Deshalb strebe ich ja auch eine Z u s a m m e n a r b e i t an.
(Da bringt jeder das ein was er kann - nicht mehr und nicht weniger.)
Und was bringt derjenige ein, der vom Thema gar keine Ahnung hat?
Eine Methode der von Roland klassifizierten Personen ist es, den
anderen glauben zu machen, man arbeite ja zusammen. Der eine trägt
dann die Steine, der andere die Verantwortung.
Da reden wir also wie so oft hier auch diesmal wieder von verschiedenen
Dingen.
Du fällst hier immer wieder auf, dass du hier völlig unausgegorene,
Fragen stellst (oft genug ist selbst die Notation mangelhaft), dessen
Text du irgendwo abgeschrieben, aber nicht verstanden hast, wirfst
unreflektiert mit Links um dich und erwartest von allen hier frech, dass
sie dir alles haarklein erklären, ohne dass du was an eigener Mühe
investierst.
Lass es bleiben, du nervst nur.
IV
2017-06-13 18:55:11 UTC
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Raw Message
Du fällst hier immer wieder auf, dass du hier völlig unausgegorene, Fragen
stellst (oft genug ist selbst die Notation mangelhaft), dessen Text du
irgendwo abgeschrieben, aber nicht verstanden hast, wirfst unreflektiert
mit Links um dich und erwartest von allen hier frech, dass sie dir alles
haarklein erklären, ohne dass du was an eigener Mühe investierst.
Lass es bleiben, du nervst nur.
(off-topic: Aber ich hatte doch extra geschrieben: Laßt es bleiben - Ihr
werdet hier nur genervt.)
(off-topic: Ich weiß. Wenn ich die Notation und die Begriffe könnte, dann
wären die von mir genannten mathematischen Problemstellungen keine.)
(off-topic: Im übrigen arten die Diskussionen hier immer aus, weil bestimmte
Leute jedes meiner umgangssprachlich gemeinten Wörter mathematisch
auseinandernehmen - und zwar in einem beinahe "rüden" Ton. Da ich ein
höflicher Mensch bin, versuche ich natürlich, auf fast alle diese Fragen zu
antworten, und das provoziert dann wieder weitere Fettnäpfchen und Anwürfe.)
(off-topic: Da das hier ein mathematisches Diskussionsforum nicht nur für
Mathematikstudenten und Mathematiker ist, also auch ein Frage-Antwort-Forum,
sei es mir erlaubt, hier mathematische Probleme und Fragen zu stellen. Da
ich kein Mathematiker bin, sind meine Begriffe logischerweise oft (meistens)
unscharf und meine Notation nicht korrekt. Weshalb ich möglichst vermeide,
etwas mathematisch korrekt formulieren zu wollen. Wer nur mit mathematisch
korrekt formulierten Aufgaben oder nur mit Studentenaufgaben klarkommt, der
möge den Diskussionen fernbleiben, da er hier nur genervt wird. (Das Forum
ist ja auch ohne mich bestens besucht, oder?))
(off-topic: Ich erwarte hier nicht frech, daß mir alles haarklein erklärt
wird, ohne dass ich etwas an eigener Mühe investiere. Nur, um bei der Lösung
der Problemstellungen voranzukommen, benötige ich höhermathematische
Stichwörter. Ich frage doch erst, nachdem ich meine Mathematikbücher, das
Internet und die darüber erreichbare mathematische Fachliteratur konsultiert
habe. Erst wenn ich die benötigten Begriffe, Sätze und Stichwörter dort
nicht gefunden habe oder sie widersprüchlich sind, frage ich hier. Ich
erwarte hier jedoch nichts.)
(off-topic: Ich sollte auf die dauernden Anwürfe bestimmter Leute hier nicht
mehr reagieren. Meistens führen sie ja vom Thema weg und gehören deshalb in
neue Threads.)
PeterSchneider
2017-06-14 08:45:38 UTC
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Post by PeterSchneider
Du fällst hier immer wieder auf, dass du hier völlig unausgegorene,
Fragen stellst (oft genug ist selbst die Notation mangelhaft), dessen
Text du irgendwo abgeschrieben, aber nicht verstanden hast, wirfst
unreflektiert mit Links um dich und erwartest von allen hier frech,
dass sie dir alles haarklein erklären, ohne dass du was an eigener
Mühe investierst.
Lass es bleiben, du nervst nur.
(off-topic: Aber ich hatte doch extra geschrieben: Laßt es bleiben - Ihr > werdet hier nur genervt.)
(off-topic: Ich weiß. Wenn ich die Notation und die Begriffe könnte,
dann wären die von mir genannten mathematischen Problemstellungen keine.)
Das ist aber eine Grundlage für das gegenseitige Verstehen, wenn es
daran hapert führt das zu sinnlosen Diskussionen (wie hier immer zu sehen)
(off-topic: Im übrigen arten die Diskussionen hier immer aus, weil
bestimmte Leute jedes meiner umgangssprachlich gemeinten Wörter
mathematisch auseinandernehmen - und zwar in einem beinahe "rüden" Ton.
Da ich ein höflicher Mensch bin, versuche ich natürlich, auf fast alle
diese Fragen zu antworten, und das provoziert dann wieder weitere
Fettnäpfchen und Anwürfe.)
Das liegt daran, dass du dich mit Themen befasst, die deinen Horizont
weit übersteigen. Das merkt man doch! Hinweise, die diese Leute dir
diesbezüglich geben, ignorierst du penetrant!
(off-topic: Da das hier ein mathematisches Diskussionsforum nicht nur
für Mathematikstudenten und Mathematiker ist, also auch ein
Frage-Antwort-Forum, sei es mir erlaubt, hier mathematische Probleme und
Fragen zu stellen. Da ich kein Mathematiker bin, sind meine Begriffe
logischerweise oft (meistens) unscharf und meine Notation nicht korrekt.
Weshalb ich möglichst vermeide, etwas mathematisch korrekt formulieren
zu wollen. Wer nur mit mathematisch korrekt formulierten Aufgaben oder
nur mit Studentenaufgaben klarkommt, der möge den Diskussionen
fernbleiben, da er hier nur genervt wird. (Das Forum ist ja auch ohne
mich bestens besucht, oder?))
Dann solltest du dich nicht versteigen und mit der elementaren Algebra
anfangen!
(off-topic: Ich erwarte hier nicht frech, daß mir alles haarklein
erklärt wird, ohne dass ich etwas an eigener Mühe investiere. Nur, um
bei der Lösung der Problemstellungen voranzukommen, benötige ich
höhermathematische Stichwörter. Ich frage doch erst, nachdem ich meine
Mathematikbücher, das Internet und die darüber erreichbare mathematische
Fachliteratur konsultiert habe. Erst wenn ich die benötigten Begriffe,
Sätze und Stichwörter dort nicht gefunden habe oder sie widersprüchlich
sind, frage ich hier. Ich erwarte hier jedoch nichts.)
(off-topic: Ich sollte auf die dauernden Anwürfe bestimmter Leute hier
nicht mehr reagieren. Meistens führen sie ja vom Thema weg und gehören
deshalb in neue Threads.)
Es reicht ja, wenn du sie liest und danach handelst <:-)
H0Iger SchuIz
2017-06-19 16:02:52 UTC
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Post by IV
(off-topic: Ich weiß. Wenn ich die Notation und die Begriffe könnte, dann
wären die von mir genannten mathematischen Problemstellungen keine.)
Naja. Die Notwendigkeit der Verwendung einer geeignete Fachsprache
impliziert nicht, dass die richtigen Begriffe schon ausreichen
Post by IV
(off-topic: Im übrigen arten die Diskussionen hier immer aus, weil bestimmte
Leute jedes meiner umgangssprachlich gemeinten Wörter mathematisch
auseinandernehmen - und zwar in einem beinahe "rüden" Ton.
Die "Diskussionen" arten wohl eher deshlab aus, weil Jürgen immer
irgendwelche Meta-Diskussionen vom zaun bricht, in denen er nicht
genehmes Diskussionsverhalten zu tadeln versucht.
Post by IV
Da ich ein
höflicher Mensch bin,
Woran soll man das erkennen können?
Post by IV
versuche ich natürlich, auf fast alle diese Fragen zu
antworten, und das provoziert dann wieder weitere Fettnäpfchen und Anwürfe.)
Letztendlich läuft das auf zwei Fälle hinaus. Entweder der Fragesteller
nimmt die Ratschläge und Hinweise an, so dass er die Fachsprache lernt,
oder er verweigert sich dem und die fachliche Kommunikation bleibt
unmöglich.
Post by IV
(off-topic: Da das hier ein mathematisches Diskussionsforum nicht nur für
Mathematikstudenten und Mathematiker ist, also auch ein Frage-Antwort-Forum,
sei es mir erlaubt, hier mathematische Probleme und Fragen zu stellen.
Ja, und?
Post by IV
Da
ich kein Mathematiker bin, sind meine Begriffe logischerweise oft (meistens)
unscharf und meine Notation nicht korrekt.
Ja, siehe oben.
Post by IV
Weshalb ich möglichst vermeide,
etwas mathematisch korrekt formulieren zu wollen.
Klingt nach dem zweiten der oben beschriebenen Fälle.
Post by IV
Wer nur mit mathematisch
korrekt formulierten Aufgaben oder nur mit Studentenaufgaben klarkommt, der
möge den Diskussionen fernbleiben, da er hier nur genervt wird.
Wer sich auf eine öffentliche Diskussion einlässt, muss auch mit
öffentlichen Antworten rechnen. Diese nützen dem Frager veilleicht nicht
unbedingt etwas. Aber vielleicht helfen sie ja anderen, die mitlesen,
indem sie z.B. erkennen, wie man's nicht machen sollte.

hs
H0Iger SchuIz
2017-06-13 17:46:25 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by Roland Franzius
Deshalb vermeide ich es als Nichtmathematiker, hochmathematische
Probleme ohne die Hilfe von Mathematikern alleine lösen oder gar
beweisen zu wollen.
Das, was Betriebswirten als Abteilungsleitern gelingt, nämlich Probleme
von anderen lösen zu lassen und hinterher dem Vorstand zu referieren,
wie man's gemacht hat und den Bonus zu kassieren, das Verfahren hat sich
in der Mathematik nicht so bewährt.
Deshalb strebe ich ja auch eine Z u s a m m e n a r b e i t an.
(Da bringt jeder das ein was er kann - nicht mehr und nicht weniger.)
Und was bringt derjenige ein, der vom Thema gar keine Ahnung hat?
Eine Methode der von Roland klassifizierten Personen ist es, den anderen
glauben zu machen, man arbeite ja zusammen. Der eine trägt dann die
Steine, der andere die Verantwortung.
Da reden wir also wie so oft hier auch diesmal wieder von verschiedenen
Dingen.
Nö, wir reden über angebliche Zusammenarbeit. Inwiefern dass eine
tatsächliche Zusammenarbeit ist, wenn einer gar nichts einzubringen hat,
wäre noch zu klären.

hs
IV
2017-07-08 13:23:16 UTC
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Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Satz von der Invarianz der Dimension (unter Homöomorphismen):
Wikipedia: Satz von der Invarianz der Dimension:
https://de.wikipedia.org/wiki/Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz#Satz_von_der_Invarianz_der_Dimension:
Sei \emptyset \neq U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{n} und sei
\emptyset \neq V eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{m}. Sind U und V
homöomorph, so gilt n = m.

Geschlossenes Gebiet:
Encyclopedia of Mathematics: Domain:
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Domain :
"Domain
A non-empty connected open set in a topological space X. The closure \bar{D}
of a domain D is called a closed domain"

Meine Frage oben meint:
Gilt folgender Satz:
U \neq \emptyset sei ein geschlossenes Gebiet, V \neq \emptyset sei ein
geschlossenes Gebiet.
U \subset \mathbb{R}^{n} , V \subset \mathbb{R}^{m}
Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.

Wie ich nun meine herausgefunden zu haben, ergibt sich der von mir vermutete
Satz von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete unter
Homöomorphismen aus folgendem Satz von Emanual Sperner, der in dem unten
genannten Artikel zu finden ist:
"Eine Punktmenge des R_{n+h} (h>0), die innere Punkte enthält, kann nicht
homöomorph sein zu irgendeiner Punktmenge des R_{n}."
Sperner, Emanuel: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des
Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, 265-272
Google Books:
https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22kann+nicht+hom%C3%B6omorph+sein+zu%22

Vielen Dank an alle, und ganz besonders wieder an Detlef.
IV
2017-07-08 13:26:44 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
...
U \neq \emptyset sei ein geschlossenes Gebiet, V \neq \emptyset sei ein
geschlossenes Gebiet.
Oh, Entschuldigung. Statt "geschlossenes Gebiet" muß es heißen
"abgeschlossenes Gebiet".
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 15:29:32 UTC
Permalink
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Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten,
also ja.
Sei \emptyset \neq U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{n} und sei
\emptyset \neq V eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{m}. Sind U und V
homöomorph, so gilt n = m.
"Domain
A non-empty connected open set in a topological space X. The closure
\bar{D} of a domain D is called a closed domain"
U \neq \emptyset sei ein geschlossenes Gebiet, V \neq \emptyset sei ein
geschlossenes Gebiet.
U \subset \mathbb{R}^{n} , V \subset \mathbb{R}^{m}
Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Wie ich nun meine herausgefunden zu haben, ergibt sich der von mir
vermutete Satz von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
unter Homöomorphismen aus folgendem Satz von Emanual Sperner, der in dem
"Eine Punktmenge des R_{n+h} (h>0), die innere Punkte enthält, kann
nicht homöomorph sein zu irgendeiner Punktmenge des R_{n}."
Sperner, Emanuel: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und
des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, 265-272
https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22kann+nicht+hom%C3%B6omorph+sein+zu%22
Vielen Dank an alle, und ganz besonders wieder an Detlef.
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen,
dass man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen
Gebietes U einschränkt.

Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
IV
2017-07-08 15:59:44 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Wie ich nun meine herausgefunden zu haben, ergibt sich der von mir
vermutete Satz von der Invarianz der Dimension abgeschlossener Gebiete
unter Homöomorphismen aus folgendem Satz von Emanual Sperner, der in dem
"Eine Punktmenge des R_{n+h} (h>0), die innere Punkte enthält, kann nicht
homöomorph sein zu irgendeiner Punktmenge des R_{n}."
Sperner, Emanuel: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und
des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, 265-272
https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22kann+nicht+hom%C3%B6omorph+sein+zu%22
Vielen Dank an alle, und ganz besonders wieder an Detlef.
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete (und
nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension folgt) ist,
wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass man deinen
Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes U einschränkt.
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Detlef Müller
2017-07-08 18:50:17 UTC
Permalink
Raw Message
[...]
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass
man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes
U einschränkt.
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest,
die homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist,
muß n=m sein (den Satz haben wir schon, nennen wir ihn (1)).

Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.

Das innere von V, nennen wir es V_i ist nach Vrs. offen und nicht
leer im IR^m.
Das Urbild f^(-1)(V_i) unter f ist dann offen in U.
Für U_0 nehmen wir f^(-1)(V_i) geschnitten mit dem inneren
U_i von U.

Dann ist U_0 offen und nicht leer (hier sehe ich noch
eine Lücke ... glauben wir es erst einmal) in IR^n.

Das Bild V_0=f(U_0) ist als Bild einer offenen Menge
offen in V (Homöomorphismus - Eigenschaft von f),
aber, da es sich in V_i befindet auch offen in IR^n
(da bin ich recht sicher, daß das aus der Definition
der Teilraumtopologie folgt, also keine wirkliche
Lücke).

Die Einschränkung von f auf U_0 mit Bild V_0 ist also
ein Homöomorphismus einer offenen, nicht leeren
Teilmenge des IR^n mit einer offenen, nicht leeren
Teilmenge V_0 im IR^m.

Wir haben also eine nicht leere offene Teilmenge in IR^n
gefunden, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des
IR^m ist (und nun greift (1) und es ist n=m gezeigt).

Und zwar durch Einschränkung eines Homöomorphismus.

Ich hoffe die Idee ist klarer geworden.

Ob sich die Lücke schließen lässt, weiß ich nicht. Immerhin
haben wir bisher überhaupt keine Eigenarten der betrachteten
(von der euklidischen Metrik her rührenden) Topologie
benutzt ... da ist noch viel Rückzugsgebiet (auf kleinere
U_0, V_0, hauptsache nicht leer und offen).

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Ralf Goertz
2017-07-08 20:25:48 UTC
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Raw Message
Am Sat, 8 Jul 2017 20:50:17 +0200
Post by Detlef Müller
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Ich sag ja nicht, dass ich Topologie wirklich verstehe, irgendwie
übersteigt die oft mein Vorstellungsvermögen, aber gerade darum frage
ich mich, warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen Teilmenge U
von R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich notwendigerweise auch
die Dimension n hat. Mit anderen Worten: woher weiß ich, dass ich durch
das Entfernen des Randes einer abgeschlossenen Menge nicht auch die eine
oder andere Dimension verliere?
IV
2017-07-08 20:55:04 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Goertz
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen Homöomorphismus f
der gegebenen Menge U auf eine offene (nicht leere) Teilmenge U_0 von U
auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der Fall.
Ich sag ja nicht, dass ich Topologie wirklich verstehe, irgendwie
übersteigt die oft mein Vorstellungsvermögen, aber gerade darum frage ich
mich, warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen Teilmenge U von
R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich notwendigerweise auch die
Dimension n hat. Mit anderen Worten: woher weiß ich, dass ich durch das
Entfernen des Randes einer abgeschlossenen Menge nicht auch die eine oder
andere Dimension verliere?
Also zumindest ich hatte nicht von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen von
R^n gesprochen, sondern von nichtleeren abgeschlossenen Gebieten, also
abgeschlossenen Teilmengen von R^n, die innere Punkte enthalten. Beantwortet
das Deine Frage? Gib doch bitte kurz eine Rückmeldung.
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 23:49:48 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Goertz
Am Sat, 8 Jul 2017 20:50:17 +0200
Post by Detlef Müller
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Ich sag ja nicht, dass ich Topologie wirklich verstehe, irgendwie
übersteigt die oft mein Vorstellungsvermögen, aber gerade darum frage
ich mich, warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen Teilmenge U
von R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich notwendigerweise auch
die Dimension n hat. Mit anderen Worten: woher weiß ich, dass ich durch
das Entfernen des Randes einer abgeschlossenen Menge nicht auch die eine
oder andere Dimension verliere?
Ein Definition für offene/abgeschlossene Mengen im IR^n und Randpunkt
ist folgende:

=======================================================================
Die Teilmenge U von IR^n heißt offen, wenn es zu jedem
Punkt x_0 von U eine offene Kugel K(x_0, r) = { x e IR^n |x-x_0| < r }
vom Radius r gibt, die vollständig in U liegt, d.h K(x_0, r) c U.

Eine abgeschlossene Menge ist eine Teilmenge, deren Komplement in IR^n
offen ist.

Randpunkte der Teilmenge U sind Punkte (nicht notwendig Punkte von U !),
für die jede sie umfassende offene Kugel sowohl Punkte von U enthält als
auch Punkte, die nicht zu U gehören.

Der Abschluß einer Teilmenge U ist die Vereinigung von U mit ihren
Randpunkten.

=======================================================================

Entfernt man nun alle Randpunkte einer abgeschlossenen Menge, so
enthält sie keinen Punkt mehr, um den jede offen Kugel sowohl Punkte der
Menge als auch Punkte des Komplementes enthält.

Oder äquivalent positiv gesagt: jeder Punkt der Restmenge besitzt
eine offene Kugel, die vollständig aus Punkten der Restmenge besteht.

Damit hat auch die Restmenge dieselbe Dimension wir IR^n.
Ralf Goertz
2017-07-10 07:59:29 UTC
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Raw Message
Am Sun, 9 Jul 2017 01:49:48 +0200
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Ralf Goertz
Ich sag ja nicht, dass ich Topologie wirklich verstehe, irgendwie
übersteigt die oft mein Vorstellungsvermögen, aber gerade darum
frage ich mich, warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen
Teilmenge U von R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich
notwendigerweise auch die Dimension n hat.
Ein Definition für offene/abgeschlossene Mengen im IR^n und Randpunkt
=======================================================================
Die Teilmenge U von IR^n heißt offen, wenn es zu jedem
Punkt x_0 von U eine offene Kugel K(x_0, r) = { x e IR^n |x-x_0| < r }
vom Radius r gibt, die vollständig in U liegt, d.h K(x_0, r) c U. Eine
abgeschlossene Menge ist eine Teilmenge, deren Komplement in IR^n
offen ist.
Randpunkte der Teilmenge U sind Punkte (nicht notwendig Punkte von
U !), für die jede sie umfassende offene Kugel sowohl Punkte von U
enthält als auch Punkte, die nicht zu U gehören.
Der Abschluß einer Teilmenge U ist die Vereinigung von U mit ihren
Randpunkten.
=======================================================================
Entfernt man nun alle Randpunkte einer abgeschlossenen Menge, so
enthält sie keinen Punkt mehr, um den jede offen Kugel sowohl Punkte
der Menge als auch Punkte des Komplementes enthält.
Oder äquivalent positiv gesagt: jeder Punkt der Restmenge besitzt
eine offene Kugel, die vollständig aus Punkten der Restmenge besteht.
Damit hat auch die Restmenge dieselbe Dimension wir IR^n.
Verstehe, nichtleere (danke Martin) offene Teilmengen von R^n müssen
also schon selbst die Dimension n haben. Irgendwie habe ich es für
möglich gehalten, dass eine offene Teilmenge von R^n, betrachtet als
eingebettete Teilmenge von R^(n+1) auch in diesem noch offen sein
könnte, also etwa eine unberandete Kreisscheibe in R³. Anschaulich ist
klar, dass die zu „flach“ ist um offen zu sein. Aber dann, meiner
Anschauung traue ich nicht, wenn es um Topologie geht. Die zerfällt in
diesem Zusammenhang zu oft zu (Cantor-) Staub.

Danke auch an die anderen Antworter.
Martin Vaeth
2017-07-10 13:24:21 UTC
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Post by Ralf Goertz
Irgendwie habe ich es für
möglich gehalten, dass eine offene Teilmenge von R^n, betrachtet als
eingebettete Teilmenge von R^(n+1) auch in diesem noch offen sein
könnte, also etwa eine unberandete Kreisscheibe in R³. Anschaulich ist
klar, dass die zu „flach“ ist um offen zu sein. Aber dann, meiner
Anschauung traue ich nicht, wenn es um Topologie geht.
Zurecht. Dass man eine offene Menge U des R^n nicht homöomorph
auf eine offene Teilmenge V des R^{n+1} abbilden kann, ist bei
weitem nicht offensichtlich: Das ist ja genau die Aussage des
Dimensionserhaltungssatzes, und für diesen ist m.W. kein "einfacher"
Beweis bekannt.
Wie tiefliegend dieser Satz ist, erkennt man daran, dass er
_falsch_ wird, wenn man nur verlangt, dass die Abbildung
f:U->V surjektiv und stetig, aber nicht mehr unbedingt injektiv
sein muss: "Anschaulich" scheint es auf den ersten Blick genauso
richtig zu sein...
H0Iger SchuIz
2017-07-09 10:48:36 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Goertz
Ich sag ja nicht, dass ich Topologie wirklich verstehe, irgendwie
übersteigt die oft mein Vorstellungsvermögen, aber gerade darum frage
ich mich, warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen Teilmenge U
von R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich notwendigerweise auch
die Dimension n hat.
Wenig formal, aber vielleicht trotzdem verständlich: Als Basis-offenen
Menge des R^n nimmt man am besten n-dimensionale offene Kugeln. Aus
denen lassen sich die offenen Mengen zusammensetzen. Ist eine Menge
niederdimensional, so hat sie also in in eine Richtung keine Ausdehnung.
Eine offene Kugel würde also in diese Richtung aus der "flachen", weil
niederdimensionalen, Menge herausragen.

hs
Martin Vaeth
2017-07-09 11:45:02 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Goertz
warum jede offene Teilmenge einer abgeschlossenen Teilmenge U
von R^n (also U hat die Dimension n) tatsächlich notwendigerweise auch
die Dimension n hat.
Das trifft nicht zu, denn die leere Menge ist offen und hat natürlich
nicht die Dimension n (nimm etwa U als einpunktige Menge).
Im Ursprungstext war von einer Menge U mit einem inneren Punkt die Rede;
dies bedeutet, dass U eine Kugel enthält. Damit enthält auch das Innere von
U eine Kugel (z.B. die mit halbem Radius).

Es stellt sich aber die interessante Frage, was passiert, wenn man
_voraussetzt_ dass eine (abgeschlossene?) Teilmenge U von R^n
die (topologische) Dimension n hat:
Folgt dann automatisch, dass das Innere (bzgl. R^n) von U nicht leer ist?
Auf Anhieb sehe ich weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel...
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 20:36:46 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
[...]
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass
man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes
U einschränkt.
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest,
die homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist,
muß n=m sein (den Satz haben wir schon, nennen wir ihn (1)).
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Da die Einschränkung f|U_0: U_0 -> f(U_0) auch ein
Homöomorphismus ist, ist man doch mit dem Beweis fertig.
Oder übersehe ich da etwas?
Post by Detlef Müller
Das innere von V, nennen wir es V_i ist nach Vrs. offen und nicht
leer im IR^m.
Das Urbild f^(-1)(V_i) unter f ist dann offen in U.
Für U_0 nehmen wir f^(-1)(V_i) geschnitten mit dem inneren
U_i von U.
Dann ist U_0 offen und nicht leer (hier sehe ich noch
eine Lücke ... glauben wir es erst einmal) in IR^n.
Das Bild V_0=f(U_0) ist als Bild einer offenen Menge
offen in V (Homöomorphismus - Eigenschaft von f),
aber, da es sich in V_i befindet auch offen in IR^n
(da bin ich recht sicher, daß das aus der Definition
der Teilraumtopologie folgt, also keine wirkliche
Lücke).
Die Einschränkung von f auf U_0 mit Bild V_0 ist also
ein Homöomorphismus einer offenen, nicht leeren
Teilmenge des IR^n mit einer offenen, nicht leeren
Teilmenge V_0 im IR^m.
Wir haben also eine nicht leere offene Teilmenge in IR^n
gefunden, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des
IR^m ist (und nun greift (1) und es ist n=m gezeigt).
Und zwar durch Einschränkung eines Homöomorphismus.
Ich hoffe die Idee ist klarer geworden.
Ob sich die Lücke schließen lässt, weiß ich nicht. Immerhin
haben wir bisher überhaupt keine Eigenarten der betrachteten
(von der euklidischen Metrik her rührenden) Topologie
benutzt ... da ist noch viel Rückzugsgebiet (auf kleinere
U_0, V_0, hauptsache nicht leer und offen).
Gruß,
Detlef
Detlef Müller
2017-07-09 23:14:43 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
[...]
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass
man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes
U einschränkt.
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest,
die homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist,
muß n=m sein (den Satz haben wir schon, nennen wir ihn (1)).
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Ja, F(U_0) muß offen in V sein ... nur ist eine in
V offene menge nicht unbedingt im IR^m offen.
U und V werden ja mit der Teilraumtopologie versehen.
Post by Torn Rumero DeBrak
Da die Einschränkung f|U_0: U_0 -> f(U_0) auch ein
Homöomorphismus ist, ist man doch mit dem Beweis fertig.
Oder übersehe ich da etwas?
Ich denke, daß mit der Teilraumtopologie:
Etwa wenn U das Intervall I:=[0,1] (Teilmenge von IR) ist
und V die Menge {(x,0) | x aus I} die Teilmenge aus IR^2,
so ist mit der Teilraumtopologie auf V die Abbildung
U --> V ein Homöomorphismus.
Ebenso die Einschränkung von U auf (0,1).
Das Bild von (0,1) ist offen in V aber nicht im IR^2.

Allerdings haben wir ja in unseren Voraussetzungen, daß
V ein abgeschlossenes Gebiet (also Abschluss einer nicht
leeren offenen Teilmenge des IR^m) sein soll.
Dann gibt es eine Menge in V, die sowohl in V, als auch
im IR^m offen ist (z.B. das Innere von V).
Wenn jetzt das Urbild so einer Menge geschnitten mit dem
Inneren von U (auch nach Vrs. nicht leer und offen im IR^n)
nicht leer ist(*) , ist die Sache erledigt (das wäre ein Kandidat
für unser U_0, f(U_0) wäre offen in einer schon im IR^m offenen
Teilmenge von V - dann ist f(U_0) aber in der Tat auch im
IR^m offen).

(*) Das wäre noch genauer zu überlegen (Lücke).

[...]

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Torn Rumero DeBrak
2017-07-14 06:48:08 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
[...]
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass
man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes
U einschränkt.
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest,
die homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist,
muß n=m sein (den Satz haben wir schon, nennen wir ihn (1)).
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Ja, F(U_0) muß offen in V sein ... nur ist eine in
V offene menge nicht unbedingt im IR^m offen.
U und V werden ja mit der Teilraumtopologie versehen.
Die Verwendung der Teilraumtopologie halte ich für falsch.
U und V werden als Teilmengen des IR^n bzw. IR^m betrachtet
und benutzen deren Topologien, und damit kann man den
Satz über die Invarianz offener Teilmengen anwenden.

Falls Teilraumtopologien verwendet werden, so
wäre eine abgeschlossenen Menge (abgeschlossen in IR^n)
in ihrer Teilraumtopologie offen, und der Satz über Invarianz
offener Mengen NICHT anwendbar und sogar falsch.


Also keine Teilraumtopologie verwenden, sondern die des umgebenden IR^n.
Detlef Müller
2017-07-14 12:25:32 UTC
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Raw Message
[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Ja, F(U_0) muß offen in V sein ... nur ist eine in
V offene menge nicht unbedingt im IR^m offen.
U und V werden ja mit der Teilraumtopologie versehen.
Die Verwendung der Teilraumtopologie halte ich für falsch.
Es mangelt aber an Alternativen.
Post by Torn Rumero DeBrak
U und V werden als Teilmengen des IR^n bzw. IR^m betrachtet
und benutzen deren Topologien, und damit kann man den
Satz über die Invarianz offener Teilmengen anwenden.
U und V sind aber selber im Allgemeinen nicht offen.

Wir erinnern uns, daß U und V "abgeschlossene Gebiete"
sind, also Abschlüsse offener, nicht leerer Mengen.

U selbst ist aber notwendig offen in U (da die leere Menge
und die ganze Menge definitionsgemäß offene Mengen einer
Topologie auf U sind).

Offenbar gibt es also schlicht keine Topologie auf U, deren
offenen Mengen stets auch offen im IR^n sind (dito für V).
Post by Torn Rumero DeBrak
Falls Teilraumtopologien verwendet werden, so
wäre eine abgeschlossenen Menge (abgeschlossen in IR^n)
in ihrer Teilraumtopologie offen, und der Satz über Invarianz
offener Mengen NICHT anwendbar und sogar falsch.
Richtig ... obwohl der Satz dadurch genau genommen
nicht falsch wird, sondern nur seine Voraussetzungen nicht
erfüllt sind (denn in ihm wird ausdrücklich "offen in IR^n"
bzw. "in IR^m" verlangt, nicht in der Teilraumtopologie).
Post by Torn Rumero DeBrak
Also keine Teilraumtopologie verwenden, sondern die des umgebenden IR^n.
Das geht nicht, da die Aussage U ist homöomorph zu V bedingt, daß wir
auf U und V Topologieen haben.
Die Topologie, die der Umgebende IR^n auf U induziert, ist leider
gerade die Teilraumtopologie, deshalb muß man sich anstrengen,
wenn man aus dem Gegebenen (U,V,f) eine Einschränkung
(U_0, V_0, f_0) mit U_0, V_0 offen in IR^n bzw. IR^m und f_0
ist f eingeschränkt auf U_0 mit Bild V_0 basteln will.

Vielleicht kann man sich überlegen, daß für unsere speziellen
U, V gilt, dass offenen Teilmengen u in U immer auch eine im
IR^n offene Teilmenge von u enthalten muß bzw. die analoge Aussage
für V.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Torn Rumero DeBrak
2017-07-14 13:10:39 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Ja, F(U_0) muß offen in V sein ... nur ist eine in
V offene menge nicht unbedingt im IR^m offen.
U und V werden ja mit der Teilraumtopologie versehen.
Die Verwendung der Teilraumtopologie halte ich für falsch.
Es mangelt aber an Alternativen.
Post by Torn Rumero DeBrak
U und V werden als Teilmengen des IR^n bzw. IR^m betrachtet
und benutzen deren Topologien, und damit kann man den
Satz über die Invarianz offener Teilmengen anwenden.
U und V sind aber selber im Allgemeinen nicht offen.
Sorry. Ich hatte mich nicht an die hier gültige Nomenklatur gehalten,
da ich die Diskussion nicht von Anfang an verfolgt habe.
(Ich setze auch "nicht-leer" nicht immer wieder dazu).

Ich meinte statt U und V die Mengen U_0 und V_0, die
ja offene Mengen in IR^n und IR^m sein sollen und
Teilmengen der abgeschlossenen Gebiete U und V sind (richtig?).
Post by Detlef Müller
Wir erinnern uns, daß U und V "abgeschlossene Gebiete"
sind, also Abschlüsse offener, nicht leerer Mengen.
Schon klar: Abschluss in der IR^n Topologie und nicht in
der Teilraumtopologie von U.
Post by Detlef Müller
U selbst ist aber notwendig offen in U (da die leere Menge
und die ganze Menge definitionsgemäß offene Mengen einer
Topologie auf U sind).
Offenbar gibt es also schlicht keine Topologie auf U, deren
offenen Mengen stets auch offen im IR^n sind (dito für V).
Post by Torn Rumero DeBrak
Falls Teilraumtopologien verwendet werden, so
wäre eine abgeschlossenen Menge (abgeschlossen in IR^n)
in ihrer Teilraumtopologie offen, und der Satz über Invarianz
offener Mengen NICHT anwendbar und sogar falsch.
Richtig ... obwohl der Satz dadurch genau genommen
nicht falsch wird, sondern nur seine Voraussetzungen nicht
erfüllt sind (denn in ihm wird ausdrücklich "offen in IR^n"
bzw. "in IR^m" verlangt, nicht in der Teilraumtopologie).
Post by Torn Rumero DeBrak
Also keine Teilraumtopologie verwenden, sondern die des umgebenden IR^n.
Das geht nicht, da die Aussage U ist homöomorph zu V bedingt, daß wir
auf U und V Topologieen haben.
Wieso braucht man da die Teilraumtopologien von U und V?
U und V sind doch homöomorph in den Topologien von IR^n und IR^m.
Post by Detlef Müller
Die Topologie, die der Umgebende IR^n auf U induziert, ist leider
gerade die Teilraumtopologie, deshalb muß man sich anstrengen,
wenn man aus dem Gegebenen (U,V,f) eine Einschränkung
(U_0, V_0, f_0) mit U_0, V_0 offen in IR^n bzw. IR^m und f_0
ist f eingeschränkt auf U_0 mit Bild V_0 basteln will.
Aber diese Induzierung brauchen wir doch nicht. Die Topologie des IR^n
ist doch ausreichend. U_0 ist in ihr offen. Desgleichen V_0 in IR^m.
U_0 soll doch nach Voraussetzung der Definition von "Gebiet" eine in
IR^n offene, nicht-leere Teilmenge von U sein.
Und der Homöomorphismus f: U -> V in den Topologien von IR^n und
IR^m bedingt einen Homöomorphismus f|U_0 : U_0 -> V_0 in den
Topologien von IR^n und IR^m und nicht in den Teilraumtopologien
von U und V.

Ich glaube, daß das der Unterschied in unseren Sichtweisen ist:
Ich betrachte f als Homöomorphismus von U nach V in den
Standard-IR^n-Topologien, während du f als Homöomorphismus
von U nach V mit ihren Teilraumtopologien siehst.
Dadurch kann ich den Satz über die Invarianz der Diemension
offener Mengen direkt anwenden.
Mit den Teilraumtopologien sehe ich in der Tat keine einfache
Möglichkeit, den Satz auf abgeschlossene Gebiete auszudehnen.
Post by Detlef Müller
Vielleicht kann man sich überlegen, daß für unsere speziellen
U, V gilt, dass offenen Teilmengen u in U
(hier benutzt du die Teilraumtopologie)
Post by Detlef Müller
immer auch eine im
IR^n offene Teilmenge von u enthalten muß bzw. die analoge Aussage
für V.
was im Fall der ausschließlichen Benutzung der Standard-IR^n-Topologie
nicht notwendig ist.

Deshalb sehe ich noch nicht den Sinn der Einführung der
Teilraumtopologien. Es reicht doch, in dem betrachteten
abgeschlossenen Gebiet U eine in IR^n offene Teilmenge von U zu
finden (nicht offen in der Teilraumtopologie von U), was - nach der
Definition von "Gebiet" in einem früheren Posting - möglich ist.
Torn Rumero DeBrak
2017-07-14 13:32:51 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Wenn also eine geeignete Einschränkung des gegebenen
Homöomorphismus f der gegebenen menge U auf eine offene
(nicht leere) Teilmenge U_0
von U auch ein im R^m offenes Bild V_0 hat, ist das der
Fall.
Da f ein Homöomorphismus ist, ist f auch eine offene
Abbildung, d.h. f(U_0) ist eine offene Menge.
Ja, F(U_0) muß offen in V sein ... nur ist eine in
V offene menge nicht unbedingt im IR^m offen.
U und V werden ja mit der Teilraumtopologie versehen.
Die Verwendung der Teilraumtopologie halte ich für falsch.
Es mangelt aber an Alternativen.
Mir fällt gerade auf, daß ich möglicherweise Unsinn verzapfe:

Gibt es Homöomorphismen nur zwischen topologischen Räumen
(dann muß man natürlich die Teilraumtopologien betrachten)
oder gibt es auch Homöomorphismen zwischen Teilmenge topologischer
Räume (dann kann man die umgebende Topologie betrachten)?


Ich war bisher der zweiten Ansicht. Ein schnelles Googeln
hat mich aber nicht bestätigt.

Das führt dann auf die Frage: wann genau sind zwei Teilmengen
topologischer Räume homöomorph?
IV
2017-07-15 13:57:34 UTC
Permalink
Raw Message
Die Topologie, die der Umgebende IR^n auf U induziert, ist leider gerade
die Teilraumtopologie ...
Vielleicht kann man sich überlegen, daß für unsere speziellen U, V gilt,
dass offenen Teilmengen u in U immer auch eine im IR^n offene Teilmenge
von u enthalten muß bzw. die analoge Aussage für V.
Und was bedeutet das alles jetzt für die Gültigkeit und den Beweis des von
mir vermuteten Satzes?
Hans Crauel
2017-07-15 18:27:07 UTC
Permalink
Raw Message
IV schrieb
"Detlef Müller" schrieb
Die Topologie, die der Umgebende IR^n auf U induziert, ist leider gerade
die Teilraumtopologie ...
Vielleicht kann man sich überlegen, daß für unsere speziellen U, V gilt,
dass offenen Teilmengen u in U immer auch eine im IR^n offene Teilmenge
von u enthalten muß bzw. die analoge Aussage für V.
Und was bedeutet das alles jetzt für die Gültigkeit und den Beweis des von
mir vermuteten Satzes?
Der Beweis (einer allgemeineren Aussage) ist in
<news:ok36o8$ao$***@dont-email.me> ausgefuehrt.

Hans
IV
2017-07-15 19:18:49 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans Crauel
Post by IV
Und was bedeutet das alles jetzt für die Gültigkeit und den Beweis des
von mir vermuteten Satzes?
Der Beweis (einer allgemeineren Aussage) ist in
Aber kann man denn den Satz von der Invarianz offener Mengen und den Satz
von der Invarianz des Gebietes hier anwenden? Beide behandeln doch
Homöomorphismen von R^n nach R^n, nicht von R^n nach R^m.
Hans Crauel
2017-07-15 20:31:28 UTC
Permalink
Raw Message
IV schrieb
Hans Crauel schrieb
Post by Hans Crauel
Der Beweis (einer allgemeineren Aussage) ist in
Aber kann man denn den Satz von der Invarianz offener Mengen und den Satz
von der Invarianz des Gebietes hier anwenden? Beide behandeln doch
Homöomorphismen von R^n nach R^n, nicht von R^n nach R^m.
Genau diese Anwendung wird in dem genannten Beitrag dargelegt.
Dort unter "Korollar".

Hans

IV
2017-07-15 16:33:13 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene
Gebiete. Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene
Gebiete?
Sei \emptyset \neq U eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{n} und sei
\emptyset \neq V eine offene Teilmenge des \mathbb{R}^{m}. Sind U und V
homöomorph, so gilt n = m.
"Domain
A non-empty connected open set in a topological space X. The closure
\bar{D} of a domain D is called a closed domain"
U \neq \emptyset sei ein in \mathbb{R}^{n} abgeschlossenes Gebiet, V
\neq \emptyset sei ein in \mathbb{R}^{m} abgeschlossenes Gebiet.
U \subset \mathbb{R}^{n} , V \subset \mathbb{R}^{m}
Sind U und V homöomorph, so gilt n = m.
Wie ich nun meine herausgefunden zu haben, ergibt sich der von mir
vermutete Satz von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
unter Homöomorphismen aus folgendem Satz von Emanual Sperner, der in dem
unten
"Eine Punktmenge des R_{n+h} (h>0), die innere Punkte enthält, kann
nicht homöomorph sein zu irgendeiner Punktmenge des R_{n}."
Sperner, Emanuel: Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und
des Gebietes. In: Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. Band 6, 1928, 265-272
https://www.google.com/search?tbm=bks&q=%22kann+nicht+hom%C3%B6omorph+sein+zu%22
Offenbar gibt es also schlicht keine Topologie auf U, deren offenen Mengen
stets auch offen im IR^n sind (dito für V).
...
Vielleicht kann man sich überlegen, daß für unsere speziellen U, V gilt,
dass offenen Teilmengen u in U immer auch eine im IR^n offene Teilmenge
von u enthalten muß bzw. die analoge Aussage für V.
Gilt denn wenigstens meine Vermutung, daß der von mir vermutete Satz aus dem
von mir zitierten Satz von Emanuel Sperner folgt?
Wenn ja, dann müßte doch auch ein Beweis auf der Grundlage der von Detlef
vorgeschlagenen Teilraumtopologie möglich sein.
IV
2017-07-09 15:48:23 UTC
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Post by IV
Danke für den Hinweis.
Aber daß aus der Einschränkung des Homöomorphismus auf das Innere des
abgeschlossenen Gebietes U das von mir genannte Korollar folgen soll,
verstehe ich nicht.
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest, die
homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist, muß n=m sein
...
Wir haben also eine nicht leere offene Teilmenge in IR^n gefunden, die
homöomorph zu einer offenen Teilmenge des IR^m ist (und nun greift (1) und
es ist n=m gezeigt).
...
Ich hoffe die Idee ist klarer geworden.
Ah, ja. Jetzt scheine ich es verstanden zu haben.
Das Ganze hätte man aber auch wieder einmal kürzer und mit einfacheren
Worten beschreiben können.
Vielen, vielen Dank Euch allen.
H0Iger SchuIz
2017-07-09 17:11:00 UTC
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Post by IV
Das Ganze hätte man aber auch wieder einmal kürzer und mit einfacheren
Worten beschreiben können.
Zeig' mal!

hs
Carlo XYZ
2017-07-09 18:23:15 UTC
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Post by Detlef Müller
Das innere von V, nennen wir es V_i ist nach Vrs. offen und nicht
leer im IR^m.
Offen nach Def. von "Inneres", aber woraus folgt V_i\neq\emptyset?
Carlo XYZ
2017-07-09 20:00:36 UTC
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Post by Carlo XYZ
Post by Detlef Müller
Das innere von V, nennen wir es V_i ist nach Vrs. offen und nicht
leer im IR^m.
Offen nach Def. von "Inneres", aber woraus folgt V_i\neq\emptyset?
Anscheinend per Def. von "abgeschlossenes Gebiet"; na gut, warum nicht.
Hans Crauel
2017-07-11 18:51:52 UTC
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Detlef MÃŒller schrieb
Post by Detlef Müller
Sobald Du irgendeine nicht leere offene Teilmenge in IR^n findest,
die homöomorph zu irgendeiner offenen Teilmenge des IR^m ist,
muß n=m sein (den Satz haben wir schon, nennen wir ihn (1)).
[...]
Ob sich die Lücke schließen lässt, weiß ich nicht.
Ich haette da noch eine leicht andere Argumentation:

Man hat den
Satz von der Invarianz offener Mengen:
Ist f eine stetige injektive Abbildung von einer offenen
Teilmenge U des R^n in den R^n, so ist f(U) offen.

Korollar: Ist f eine stetige injektive Abbildung von einer
offenen Teilmenge U des R^n in einen R^m, so ist n kleiner
oder gleich m.
In der Tat: Waere m < n, so waere die Abbildung F von U in
den R^n, gegeben durch F(x) = (f(x),0) mit 0 in R^(n-m), eine
stetige injektive Abbildung von U in den R^n, aber F(U) ist
offensichtlich nicht offen in R^n.

Damit wird dann alles ganz einfach:

1. Ist f eine stetige injektive Abbildung von einer Teilmenge M
des R^n mit nichtleerem Inneren in den R^m, so ist n kleiner
oder gleich m.
Beweis: Die Einschraenkung von f auf eine offene Teilmenge U
von M ist stetig und injektiv.

2. Ist f ein Homeomorphismus zwischen einer Teilmenge des R^n mit
nichtleerem Inneren und einer Teilmenge des R^m mit nichtleerem
Inneren, so ist m = n. Beweis: f und f^{-1} sind beide stetig
und injektiv, so dass die Aussage aus 1. folgt.

Das trifft schliesslich insbesondere dann zu, wenn man einen
Homeomorphismus zwischen dem Abschluss eines Gebiets im R^n und
dem eines Gebiets im R^m, die auch als "abgeschlossene Gebiete"
firmieren, hat:
Aus der Existenz eines solchen Homeomorphismus folgt m = n, weil
beide als Abschluesse von Gebieten nichtleeres Inneres haben.

Tatsaechlich kommt es dabei nur auf `nichtleeres Inneres' an
und nicht auf Gebietseigenschaften.

Hans
IV
2017-07-08 16:17:48 UTC
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Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete.
Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene Teilmenge
enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da man dann die
Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge betrachten, also
ja.
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete (und
nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension folgt) ist,
wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass man deinen
Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes U einschränkt.
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil ich kein Mathematiker bin, aktuelle Mathematiker meine Fragen oft
nicht beantworten, und ich die Antworten der aktuellen Mathematik gar nicht
verstehe weil mir die ganzen Fachbegriffe und Zusammenhänge fehlen. Mitunter
sind die historischen Quellen da für mich verständlicher.
Einige Beispiele dafür daß es auch anderen so geht:
Mathematics Stackexchange:
https://math.stackexchange.com/questions/1197640/elementary-proof-of-topological-invariance-of-dimension-using-brouwers-fixed-po/2316534#2316534
https://math.stackexchange.com/questions/20308/another-non-homological-proof-of-the-invariance-of-dimension/2316524#2316524
https://math.stackexchange.com/questions/24873/elementary-proof-that-mathbbrn-is-not-homeomorphic-to-mathbbrm/2351577#2351577
IV
2017-07-08 16:28:12 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil diese Probleme in der aktuellen Mathematik (z. B. in
Mathematikerantworten, Lehrbücher, Vorlesungsskripte, Publikationen) gar
nicht behandelt werden. Möglicherweise weil sie irrelevant, bereits
abgehandelt, zu kompliziert oder trivial sind. Um überhaupt Antworten zu
bekommen muß man deshalb eben manchmal zu den historischen Quellen gehen.
Die aktuelle Mathematik lasse ich ja nicht unberücksichtigt, sondern binde
Euch mit ein.
Meine Bitten um Kooperation mit Mathematikern wurden nicht erfüllt, in der
Literatur finde ich keine Hinweise - vielleicht sind ja auch Hinweise da,
nur sehe ich sie nicht weil ich eben kein Mathematiker bin.
Was schlägst Du stattdessen vor?
H0Iger SchuIz
2017-07-08 17:04:31 UTC
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Post by IV
Was schlägst Du stattdessen vor?
Mathematik lernen.

hs
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 20:42:06 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil diese Probleme in der aktuellen Mathematik (z. B. in
Mathematikerantworten, Lehrbücher, Vorlesungsskripte, Publikationen) gar
nicht behandelt werden.
Das ist eine grobfahrlässige Unterstellung. Würdest du die
moderne Mathematik gelernt haben, sind deine Fragen (soweit ich
sie hier sehe) dann zu 90% Trivialkenntnisse.


Möglicherweise weil sie irrelevant, bereits
Post by IV
abgehandelt, zu kompliziert oder trivial sind. Um überhaupt Antworten zu
bekommen muß man deshalb eben manchmal zu den historischen Quellen
gehen. Die aktuelle Mathematik lasse ich ja nicht unberücksichtigt,
sondern binde Euch mit ein.
Meine Bitten um Kooperation mit Mathematikern wurden nicht erfüllt, in
der Literatur finde ich keine Hinweise - vielleicht sind ja auch
Hinweise da, nur sehe ich sie nicht weil ich eben kein Mathematiker bin.
Was schlägst Du stattdessen vor?
siehe oben. Geschichte der Mathematik ist zwar interessant,
aber die aktuelle Mathematik ist wirkungsvoller und wirklich
klarer fundiert.
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 20:50:20 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene
Gebiete. Gilt die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene
Gebiete?
Wenn Du mit "Gebiet" eine Menge meinst, in der eine offene
Teilmenge enthalten ist (was in der Fun-Theorie üblich ist), ja, da
man dann die Einschränkung der Abbildung auf diese offene Teilmenge
betrachten, also ja.
Dein KOROLLAR von der Invarianz der Dimension geschlossener Gebiete
(und nicht SATZ, da er aus dem Satz von der Invarianz der Dimension
folgt) ist, wie Detlef schon sagt, trivial dadurch zu beweisen, dass
man deinen Homöomorphismus auf das Innere des abgeschlossenen Gebietes
U einschränkt.
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil ich kein Mathematiker bin, aktuelle Mathematiker meine Fragen
oft nicht beantworten, und ich die Antworten der aktuellen Mathematik
gar nicht verstehe weil mir die ganzen Fachbegriffe und Zusammenhänge
fehlen. Mitunter sind die historischen Quellen da für mich verständlicher.
https://math.stackexchange.com/questions/1197640/elementary-proof-of-topological-invariance-of-dimension-using-brouwers-fixed-po/2316534#2316534
https://math.stackexchange.com/questions/20308/another-non-homological-proof-of-the-invariance-of-dimension/2316524#2316524
https://math.stackexchange.com/questions/24873/elementary-proof-that-mathbbrn-is-not-homeomorphic-to-mathbbrm/2351577#2351577
Es ist doch nicht Aufgabe der Mathematiker, zu einem Satz jeden mögliche
zu diesm Satz passenden Spezialfall ausführlich schriftlich jemandem
wie dir vorzukauen. Ein Gehirn und mathematische Kenntnisse
wird man doch voraussetzen dürfen.

Vielleicht kennst du ja den ersten binomischen Satz:

(a + b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2

Soll man jetzt auch noch einen Satz hinschreiben:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2

oder den Fall für

(a + b + c)^2 = a^2 + ..... , der aus der obigen Formel folgt,
ausführlich behandeln?
IV
2017-07-08 21:30:20 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil ich kein Mathematiker bin, aktuelle Mathematiker meine Fragen
oft nicht beantworten, und ich die Antworten der aktuellen Mathematik gar
nicht verstehe weil mir die ganzen Fachbegriffe und Zusammenhänge fehlen.
Mitunter sind die historischen Quellen da für mich verständlicher.
https://math.stackexchange.com/questions/1197640/elementary-proof-of-topological-invariance-of-dimension-using-brouwers-fixed-po/2316534#2316534
https://math.stackexchange.com/questions/20308/another-non-homological-proof-of-the-invariance-of-dimension/2316524#2316524
https://math.stackexchange.com/questions/24873/elementary-proof-that-mathbbrn-is-not-homeomorphic-to-mathbbrm/2351577#2351577
Es ist doch nicht Aufgabe der Mathematiker, zu einem Satz jeden möglichen
zu diesem Satz passenden Spezialfall ausführlich schriftlich jemandem wie
dir vorzukauen. Ein Gehirn und mathematische Kenntnisse wird man doch
voraussetzen dürfen.
Und Interesse an dem Problem gehört auch dazu. Deshalb ist es effektiver,
wenn jemand, der die Lösung kennt, diese mitteilt.
Ich hatte den von mir vermuteten Satz von der Invarianz der Dimension unter
Homöomorphismen für abgeschlossene Gebiete benötigt. Aber bis jetzt war
niemand in der Lage, diesen angeblich trivialen Spezialfall zu behandeln.
(Ob Dein Beweis wirklich ohne die Argumente von Sperner auskommt, muß sich
erst noch zeigen. Sperner hat Brouwers Beweis vereinfacht. Dein Beweis würde
dann Sperners Beweis vereinfachen. Glückwunsch. Das solltest Du
publizieren.)
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 23:14:02 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die aktuelle
Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil ich kein Mathematiker bin, aktuelle Mathematiker meine
Fragen oft nicht beantworten, und ich die Antworten der aktuellen
Mathematik gar nicht verstehe weil mir die ganzen Fachbegriffe und
Zusammenhänge fehlen. Mitunter sind die historischen Quellen da für
mich verständlicher.
https://math.stackexchange.com/questions/1197640/elementary-proof-of-topological-invariance-of-dimension-using-brouwers-fixed-po/2316534#2316534
https://math.stackexchange.com/questions/20308/another-non-homological-proof-of-the-invariance-of-dimension/2316524#2316524
https://math.stackexchange.com/questions/24873/elementary-proof-that-mathbbrn-is-not-homeomorphic-to-mathbbrm/2351577#2351577
Es ist doch nicht Aufgabe der Mathematiker, zu einem Satz jeden
möglichen zu diesem Satz passenden Spezialfall ausführlich schriftlich
jemandem wie dir vorzukauen. Ein Gehirn und mathematische Kenntnisse
wird man doch voraussetzen dürfen.
Und Interesse an dem Problem gehört auch dazu. Deshalb ist es
effektiver, wenn jemand, der die Lösung kennt, diese mitteilt.
Das ist völlig falsch. Am effizientesten ist es, selber
auf die Lösung zu kommen und damit ein Verständnis des behandelten
Problems zu erhalten. Verrät dir jemand dir Lösung, so lernst du
erst einmal nichts. Aber das Wissen über den Weg zur Lösung bringt
dir mehr.
Post by IV
Ich hatte den von mir vermuteten Satz von der Invarianz der Dimension
unter Homöomorphismen für abgeschlossene Gebiete benötigt. Aber bis
jetzt war niemand in der Lage, diesen angeblich trivialen Spezialfall zu
behandeln. (Ob Dein Beweis wirklich ohne die Argumente von Sperner
auskommt, muß sich erst noch zeigen. Sperner hat Brouwers Beweis
vereinfacht. Dein Beweis würde dann Sperners Beweis vereinfachen.
Glückwunsch. Das solltest Du publizieren.)
Und das ist nicht der Hauptzweck der Mathematik, Trivialitäten zu
publizieren, um möglichst viele Leute mit Papier zu überschütten und
am sie denken zu hindern.

Du musst noch viel zum Verständnis über Mathematik und was es
bedeutet, Mathematik zu betreiben, dazulernen.
Torn Rumero DeBrak
2017-07-08 23:51:54 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Und warum gräbst du immer wieder Uraltleichen aus, ohne die
aktuelle Mathematik zu berücksichtigen?
Na, weil ich kein Mathematiker bin, aktuelle Mathematiker meine
Fragen oft nicht beantworten, und ich die Antworten der aktuellen
Mathematik gar nicht verstehe weil mir die ganzen Fachbegriffe und
Zusammenhänge fehlen. Mitunter sind die historischen Quellen da für
mich verständlicher.
https://math.stackexchange.com/questions/1197640/elementary-proof-of-topological-invariance-of-dimension-using-brouwers-fixed-po/2316534#2316534
https://math.stackexchange.com/questions/20308/another-non-homological-proof-of-the-invariance-of-dimension/2316524#2316524
https://math.stackexchange.com/questions/24873/elementary-proof-that-mathbbrn-is-not-homeomorphic-to-mathbbrm/2351577#2351577
Es ist doch nicht Aufgabe der Mathematiker, zu einem Satz jeden
möglichen zu diesem Satz passenden Spezialfall ausführlich
schriftlich jemandem wie dir vorzukauen. Ein Gehirn und mathematische
Kenntnisse wird man doch voraussetzen dürfen.
Und Interesse an dem Problem gehört auch dazu. Deshalb ist es
effektiver, wenn jemand, der die Lösung kennt, diese mitteilt.
Das ist völlig falsch. Am effizientesten ist es, selber
auf die Lösung zu kommen und damit ein Verständnis des behandelten
Problems zu erhalten. Verrät dir jemand dir Lösung, so lernst du
erst einmal nichts. Aber das Wissen über den Weg zur Lösung bringt
dir mehr.
Post by IV
Ich hatte den von mir vermuteten Satz von der Invarianz der Dimension
unter Homöomorphismen für abgeschlossene Gebiete benötigt. Aber bis
jetzt war niemand in der Lage, diesen angeblich trivialen Spezialfall
zu behandeln. (Ob Dein Beweis wirklich ohne die Argumente von Sperner
auskommt, muß sich erst noch zeigen. Sperner hat Brouwers Beweis
vereinfacht. Dein Beweis würde dann Sperners Beweis vereinfachen.
Glückwunsch. Das solltest Du publizieren.)
Und das ist nicht der Hauptzweck der Mathematik, Trivialitäten zu
publizieren, um möglichst viele Leute mit Papier zu überschütten und
am sie denken zu hindern.
^^^^^^^^^^^^^^
Korrektur: ... sie am Denken zu hindern.
Post by Torn Rumero DeBrak
Du musst noch viel zum Verständnis über Mathematik und was es
bedeutet, Mathematik zu betreiben, dazulernen.
H0Iger SchuIz
2017-07-09 10:48:36 UTC
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Post by IV
nd Interesse an dem Problem gehört auch dazu. Deshalb ist es effektiver,
wenn jemand, der die Lösung kennt, diese mitteilt.
Klingt ein wenig nach der Vermutung, jemand hielte solche Kenntnisse
zurück.
Post by IV
Ich hatte den von mir vermuteten Satz von der Invarianz der Dimension unter
Homöomorphismen für abgeschlossene Gebiete benötigt. Aber bis jetzt war
niemand in der Lage, diesen angeblich trivialen Spezialfall zu behandeln.
Liest du hier auch mit? Was hat Detlef denn in
<ojr9ha$j60$***@gwaiyur.mb-net.net> und zuvor erklärt?

Hauptsache mal wieder gemeckert, manmanman.

hs
IV
2017-07-09 13:16:32 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Ich hatte den von mir vermuteten Satz von der Invarianz der Dimension
unter Homöomorphismen für abgeschlossene Gebiete benötigt. Aber bis jetzt
war niemand in der Lage, diesen angeblich trivialen Spezialfall zu
behandeln.
Liest du hier auch mit? Was hat Detlef denn in
Hauptsache mal wieder gemeckert, manmanman.
(off-topic:
Liest du hier auch mit? Bis jetzt wird hier noch um den Beweis gestritten.
Hauptsache mal wieder gemeckert, manmanman.
Nichts für ungut.)
Martin Vaeth
2017-07-09 14:46:04 UTC
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Post by IV
Liest du hier auch mit? Bis jetzt wird hier noch um den Beweis gestritten.
Es wurden schon mehrere Beweise gegeben, z.T. von viel allgemeineren Sätzen.
H0Iger SchuIz
2017-07-09 17:11:00 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Hauptsache mal wieder gemeckert,
Aber gerne doch!

hs
IV
2017-06-05 12:03:06 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
der Satz von der Invarianz der Dimension gilt ja für offene Gebiete. Gilt
die Invarianz der Dimension auch für abgeschlossene Gebiete?
Wenn nein, warum nicht?
Gebiet: eine offene, nichtleere und zusammenhängende Teilmenge eines
topologischen Raumes [Wikipedia: Gebiet (Mathematik)

abgeschlossenes Gebiet: die Vereinigungsmenge von einem Gebiet mit seinem
Rand

Bronstein/Semendjajew/Musiol/Mühlig

do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg 1983:
https://books.google.de/books?id=OZGFBwAAQBAJ&pg=PA80&lpg=PA80&dq=%22abgeschlossenes+gebiet%22

von Finckenstein: Grundkurs Mathematik für Ingenieure. Teubner 1990:
https://books.google.de/books?id=X7DzBgAAQBAJ&pg=PA398&lpg=PA398&dq=%22abgeschlossenes+gebiet%22

Und wie heißt die Vereinigungsmenge eines offenen Gebietes mit einer echten
Teilmenge seines Randes - vielleicht teilweise abgeschlossenes Gebiet?
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