Discussion:
Vorzeichen bei nicht ganzzahligem Exponenten
(zu alt für eine Antwort)
H.-P. Schulz
2017-04-16 17:48:35 UTC
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Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...

-3^2 = 9

-3^3 = -27

Stimmt doch so weit, oder?

Aber nun:

-3^2,456 = ?

Ist das irgendwie komplex oder so?
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
pirx42
2017-04-16 18:06:22 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...
-3^2 = 9
-3^3 = -27
Stimmt doch so weit, oder?
-3^2,456 = ?
Ist das irgendwie komplex oder so?
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
Schon mal was von Klammern gehört?
Rainer Rosenthal
2017-04-16 18:12:19 UTC
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Post by H.-P. Schulz
-3^2 = 9
Nein.
Post by H.-P. Schulz
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
Ja.

"Punktrechnung vor Strichrechnung" ist die elementare
Rechenregel, die hir nicht beachtet wurde.

Im Ausdruck -3^2 besagt diese Regel, dass zuerst 3^2 = 3*3
zu berechnen ist. Es ist also

-3^2 = -(3^2) = -(9)= -9 und nicht = 9.

Gruß,
RR
H.-P. Schulz
2017-04-16 19:01:50 UTC
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Post by Rainer Rosenthal
Post by H.-P. Schulz
-3^2 = 9
Nein.
Post by H.-P. Schulz
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
Ja.
"Punktrechnung vor Strichrechnung" ist die elementare
Rechenregel, die hir nicht beachtet wurde.
Ja, schon klar ...

gemeint war: (-3)^2 und das ist doch 9 - oder jetzt dann auch nicht?
Me
2017-04-16 20:39:10 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...
-3^2 = 9
(-3)^2 = (-3) * (-3) = 9.
Post by H.-P. Schulz
-3^3 = -27
(-3)^3 = (-3) * (-3) * (-3) = -27.
Post by H.-P. Schulz
Stimmt doch so weit, oder?
Jo. Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Nat.C3.BCrliche_Exponenten
Post by H.-P. Schulz
-3^2,456 = ?
(-3)^(2,456) = ?

Der MS-Taschenrechner wirft

-14,852850221936955981550166463696...

aus.

Am ehesten kann man das wohl so nachvollziehen:

(-3)^(2,456) = (-3)^(307/125) = ((-3)^307)^(1/125) = <siehe Wert oben>,

denn eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl ergibt wieder eine negative Zahl und eine "ungerade Wurzel" aus einer negativen Zahl ergibt auch eine negative Zahl. (Jedenfalls _kann_ man das so sehen, siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen
)

Siehe dazu auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Rationale_Exponenten
IV
2017-04-17 13:18:44 UTC
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Post by H.-P. Schulz
-3^2,456 = ?
(-3)^(2,456) = ?
Der MS-Taschenrechner wirft -14,852850221936955981550166463696... aus.
(-3)^(2,456) = (-3)^(307/125) = ((-3)^307)^(1/125) = <siehe Wert oben>,
denn eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl ergibt wieder eine
negative Zahl und eine "ungerade Wurzel" aus einer negativen Zahl ergibt
auch eine negative Zahl. (Jedenfalls _kann_ man das so sehen, siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen)
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Rationale_Exponenten
-3^2,456 = -(3^2,456) = -14,852850221936955981550166463696...

(-3)^2,456:
Nach den Potenzgesetzen ist: (-3)^2,456 = (-1)^2,456 * 3^2,456.
(-3)^2,456 = (-3)^(307/125)
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Potenzen_komplexer_Zahlen:
"Für einen rationalen Exponenten q mit der gekürzten Bruchdarstellung q =
m/n, mit m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, hat die Potenz a^q genau n
unterschiedliche Werte."
Schau mal hier:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(-3)%5E2.456
BF
2017-04-23 15:53:53 UTC
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Post by Me
Post by H.-P. Schulz
Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...
-3^2 = 9
(-3)^2 = (-3) * (-3) = 9.
Post by H.-P. Schulz
-3^3 = -27
(-3)^3 = (-3) * (-3) * (-3) = -27.
Post by H.-P. Schulz
Stimmt doch so weit, oder?
https://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)#Nat.C3.BCrliche_Exponenten
Post by H.-P. Schulz
-3^2,456 = ?
(-3)^(2,456) = ?
Der MS-Taschenrechner wirft
-14,852850221936955981550166463696...
aus.
(-3)^(2,456) = (-3)^(307/125) = ((-3)^307)^(1/125) = <siehe Wert oben>,
.....
Ach ja? Gilt dann auch
(-1)^(1/2) = (-1)^(2/4) = ((-1)^2)^(1/4)) = 1^(1/4) ?
Offensichtlich nein, denn von den vier möglichen Lösungen für 1^(1/4),
nämlich +1, -1, i und -i geben die ersten beiden quatriert nicht -1.

Überlicherweise definiert man reelle x, y mit x>0 den Exponenten x^y als
x^y := (e^ln(x))^y = e^(y * ln(x))
also als Grenzwert der Potenzreihe für die e-Funktion.

Damit ist dann durchaus 3^(2,456) = 14,852850221936955981550166463696...

Man kann (-x)^y für reelle positive x ebenfalls definieren, nur ist die
Lösung dann komplex.
Die Formel ist die selbe, aber es ist noch ln(-x) zu definieren.
Sei a = ln(x) + i * \pi, dann ist
e^a = e^(lx(x) + i * \pi) = e^ln(x) * e^(i * \pi) = x * (-1) = -x.
Also kann man ln(-x) := ln(x) + i * \pi definieren (auch ln(x) - i *
\pi wäre möglich).
Allgemein gilt dann:
(-x)^y = e^(y * ln(-x)) = e^(y * ln(x) + y * \pi * i) =
= x^y * e^(y * \pi * i).
Ist y eine ganze Zahl, dann ist der Term e^(y * \pi * i) genau dann 1
wenn y gerade ist und -1 bei ungeradem y.

Somit ergibt sich für unsere Aufgabe:
(-3)^(2,456) = e^(2,456 * ln(-3)) = e^(2,456 * ln(3) + 2,456 * i *\pi) =
e^(2,456 * ln(3)) * e^(2,456 * i *\pi)) =
3*(2,456) * e^(0,456 * i * \pi)

In Vektorschreibweise ist also (-3)^(2,456) genauso lang (gleicher
Betrag) wie 3^(2,456), nur eben um ca. 82,08 Grad (Bogenmaß 0,456 * \pi)
gedreht.
IV
2017-04-23 16:29:32 UTC
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Post by BF
(-3)^(2,456) = e^(2,456 * ln(-3)) = e^(2,456 * ln(3) + 2,456 * i *\pi) =
e^(2,456 * ln(3)) * e^(2,456 * i *\pi)) = 3*(2,456) * e^(0,456 * i * \pi)
Und die anderen 124 komplexen Werte ergeben sich aus der Formel in
Wikipedia - Wurzeln aus komplexen Zahlen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen.
IV
2017-04-17 13:04:39 UTC
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(-3)^2,456 = ?
Ist das irgendwie komplex oder so?
Nach den Potenzgesetzen ist: (-3)^2,456 = (-1)^2,456 * 3^2,456.
Schau mal hier:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(-3)%5E2.456
Jens Kallup
2017-04-17 20:59:23 UTC
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Raw Message
Post by H.-P. Schulz
Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...
-3^2 = 9
-3^3 = -27
Stimmt doch so weit, oder?
-3^2,456 = ?
Ist das irgendwie komplex oder so?
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
-3^2 = -3 * -3 = 9 Ok !

-3^3 = ((-3 * -3) * -3) = 27
-27 = 9 * -3
-27 = -27

auch Ok !
Also: Don't panic :-)

2,456 te Wurzel aus 3 = 4.253

Rechenweg:
1. Merke ^ zu Potenz -> Gegenteil = Wurzel

+ 6 / 2 = 3,0 <--- die 2 ist 2er Potenz -> siehe Wurzel
+ 5 / 2 = 25,0
+ 4 / 2 = 20,0
--------------
= 48,0 / 3 = 16
= Wurzel(16) = 4

= 4,253 = Ok !

Gruß
Jens
Rudolf Sponsel
2017-04-17 22:36:52 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Wahrscheinlich ein Scheinproblem, aber sei's drum ...
-3^2 = 9
-3^3 = -27
Stimmt doch so weit, oder?
-3^2,456 = ?
Ist das irgendwie komplex oder so?
Oder verstößt das gegen eine elementare Rechenregel?
Interessant ...


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