Discussion:
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
(zu alt für eine Antwort)
Rainer Rosenthal
2017-06-23 12:52:17 UTC
Permalink
Raw Message
Steht schon oben. Hier nochmal im Text:
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?

In Worten:
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?

Ganz wesentlich: im KOPF zu lösen!

Ich habe diese Aufgabe von einem pensionierten Mathelehrer
aus England am Telefon genannt bekommen. Ich konnte die Antwort
nicht sofort finden, aber nach dem Telefonat ging es dann doch
schnell. Antwort nach dem Spoiler weiter unten.
Am nächsten Tag ging mir die nette kleine Aufgabe noch durch den
Kopf, und ich überlegte mir eine hübsche Visualisierung. Dabei
geriet ich dann plötzlich ins Grübeln :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de



Spoiler




Spoiler





Antwort: x*y = 5.
Ralf Goertz
2017-06-23 13:33:37 UTC
Permalink
Raw Message
Am Fri, 23 Jun 2017 14:52:17 +0200
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
Ganz wesentlich: im KOPF zu lösen!
Ich habe diese Aufgabe von einem pensionierten Mathelehrer
aus England am Telefon genannt bekommen. Ich konnte die Antwort
nicht sofort finden, aber nach dem Telefonat ging es dann doch
schnell. Antwort nach dem Spoiler weiter unten.
Am nächsten Tag ging mir die nette kleine Aufgabe noch durch den
Kopf, und ich überlegte mir eine hübsche Visualisierung. Dabei
geriet ich dann plötzlich ins Grübeln :-)
Hallo Rainer,

also die erste Gleichung auf beiden Seiten mit 2xy addieren, und links
Binomi anwenden und die zweite Gleichung einsetzen ergibt

16=4²=(x+y)²=6+2xy also xy=5. Das Grübeln liegt daran, dass Du durch die
Visualisierung dachtest, das Produkt müsste negativ sein? So ging es mir
zuerst, weil ich dachte, der Kreis, der durch die erste Gleichung
beschrieben wird, hätte den Radius 6, die zweite Gleichung beschreibt
eine Gerade durch (0,4) und (4,0) so dass die Schnittpunkte im 2. und 4.
Quadranten zu liegen scheinen. Aber dann ist der Radius ja √6<4 (man
hat halt zuviel Einheitskreis im Kopf, wo man sich das Wurzelziehen
ja wegdenken kann) und die Schnittpunkte sind also beide im ersten
Quadranten…

Ralf
Detlef Müller
2017-06-23 13:34:24 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
Ganz wesentlich: im KOPF zu lösen!
Ich habe diese Aufgabe von einem pensionierten Mathelehrer
aus England am Telefon genannt bekommen. Ich konnte die Antwort
nicht sofort finden, aber nach dem Telefonat ging es dann doch
schnell. Antwort nach dem Spoiler weiter unten.
Am nächsten Tag ging mir die nette kleine Aufgabe noch durch den
Kopf, und ich überlegte mir eine hübsche Visualisierung. Dabei
geriet ich dann plötzlich ins Grübeln :-)
Gruß,
Rainer Rosenthal
Spoiler
Spoiler
Antwort: x*y = 5.
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)

Das CAS findet: x=(−i+2),y=(i+2) oder x=(i+2),y=(−i+2),
mit Zirkel und Lineal wird das in der Tat schwer ...

Man könnte nach einer reinleger-Aufgabe suchen, in der
gar keine Lösung existiert, man aber im Kopf (mit der so
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung)
sofort ein "Ergebnis" findet :)

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Rainer Rosenthal
2017-06-23 13:38:29 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Das ist reell.

Die Grübel-Philosophie ist der Nachtisch bei dieser Aufgabe.
Post by Detlef Müller
Das CAS findet: ...
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung
Es geht darum, den Kopf zu nutzen.

Gruß,
Rainer
Ralf Goertz
2017-06-23 14:23:16 UTC
Permalink
Raw Message
Am Fri, 23 Jun 2017 15:38:29 +0200
Post by Rainer Rosenthal
Post by Detlef Müller
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Das ist reell.
Die Grübel-Philosophie ist der Nachtisch bei dieser Aufgabe.
Post by Detlef Müller
Das CAS findet: ...
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung
Es geht darum, den Kopf zu nutzen.
Oh, das habe ich ja versucht, aber meine Vorstellungskraft reichte
offenbar nicht, um zu sehen, dass es gar keinen Schnittpunkt gibt. Egal,
das Produkt ist reell und zu meinem Lösungsweg (im Kopf!) stehe ich.
Detlef Müller
2017-06-23 14:49:12 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Post by Detlef Müller
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Das ist reell.
Die Grübel-Philosophie ist der Nachtisch bei dieser Aufgabe.
Post by Detlef Müller
Das CAS findet: ...
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung
Es geht darum, den Kopf zu nutzen.
Selbstverständlich habe ich vorher die gefragte
notwendige Bedingung x*y=5 im Kopf bestimmt
(Summe quadrieren, gegebene Summe der Quadrate
abziehen, durch 2 teilen), das war ja Pflicht.

Die lästige, aber nicht schwere Aufgabe, die
tatsächlichen Werte für x und y zu finden, wäre
durch einsetzen von y=4-x in die erste Gleichung,
Lösen der quadratischen Gleichung und Rückeinsetzen
um die y-Werte zu finden "straight forward" ...
da braucht man keinen Kopf :)

Für so etwas nutze ich hemmungslos ein CAS und
fühle mich auch um kein Aha-Erlebnis betrogen,
denn das hätte ich auch nicht, wenn ich das
Gleichungssystem zu Fuß gelöst hätte.

An der Geometrie, die hinter den Gleichungen
liegt, kann man sich dennoch erfreuen, immerhin
hat man einen Kreis vom Radius sqrt(6) und
eine Gerade, die diesen Kreis überhaupt
nicht schneidet (denn die hat den Abstand
4/sqrt(2)>sqrt(6) vom Ursprung).

Formal bekommt man aber die komplexen Lösungen,
die bestätigen, daß der im Kopf sofort gefundene
"Schnellschuß" x*y = 5 dennoch in einem "höheren
Sinne" richtig ist.

Gruß,
Detlef
Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
Rainer
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
H0Iger SchuIz
2017-06-23 18:34:34 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Nein, es war nach gar nichts gefragt. Es gibt eigentlich gar keine
Aufgabenstellung.

hs
Post by Rainer Rosenthal
Das ist reell.
Rainer Rosenthal
2017-06-23 20:30:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by Rainer Rosenthal
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Nein, es war nach gar nichts gefragt. Es gibt eigentlich gar keine
Aufgabenstellung.
Meinst Du das ernst? Wofür steht denn "x*y = ?" Deiner Meinung nach,
wenn nicht für "was ist x*y?".

Und im Text steht es ganz ausführlich und deutlich:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
In Worten:
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Gruß,
Rainer
H0Iger SchuIz
2017-06-24 06:50:06 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Post by H0Iger SchuIz
Post by Rainer Rosenthal
Es war nach dem Produkt x*y gefragt.
Nein, es war nach gar nichts gefragt. Es gibt eigentlich gar keine
Aufgabenstellung.
Meinst Du das ernst? Wofür steht denn "x*y = ?" Deiner Meinung nach,
wenn nicht für "was ist x*y?".
Muss ich jetzt 'ruminterpretieren?
Ja, in der Tat. Soweit hatte ich dann nicht mehr gelesen, als der
Syntaxchecker weiter oben hängen blieb.

Sorry, mein Fehler.

hs
Post by Rainer Rosenthal
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Gruß,
Rainer
K. Huller
2017-06-23 16:47:21 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
x^2+y^2=6, x+y=4...
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Man könnte nach einer reinleger-Aufgabe suchen, in der
gar keine Lösung existiert, man aber im Kopf (mit der so
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung)
sofort ein "Ergebnis" findet :)
Für Verwirrung ist hinreichend gesorgt, denn die Wahl von 'x' und 'y'
sugggeriert ebenso wie die Nichtangabe 'aus |C', daß eine reelle Lösung
gesucht ist. Andrerseits ist sofort klar, daß es eine solche für
x²+y²=6. x+y=4 nicht geben kann, denn x=y=2 führt auf x²+y²=8. jedes
andere reelle Zahlenpaar, das sich zu 4 addiert, also zu einer Zahl >8.

Im komplexen wirst du Schwierigkeiten haben, ein ähnlich simpel
strukturiertes (nur Polynome) UND unlösbares Problem zu finden.
Jens Kallup
2017-06-23 19:21:50 UTC
Permalink
Raw Message
Post by K. Huller
Post by Detlef Müller
x^2+y^2=6, x+y=4...
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Man könnte nach einer reinleger-Aufgabe suchen, in der
gar keine Lösung existiert, man aber im Kopf (mit der so
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung)
sofort ein "Ergebnis" findet :)
Für Verwirrung ist hinreichend gesorgt, denn die Wahl von 'x' und 'y'
sugggeriert ebenso wie die Nichtangabe 'aus |C', daß eine reelle Lösung
gesucht ist. Andrerseits ist sofort klar, daß es eine solche für
x²+y²=6. x+y=4 nicht geben kann, denn x=y=2 führt auf x²+y²=8. jedes
andere reelle Zahlenpaar, das sich zu 4 addiert, also zu einer Zahl >8.
Im komplexen wirst du Schwierigkeiten haben, ein ähnlich simpel
strukturiertes (nur Polynome) UND unlösbares Problem zu finden.
fangen wir mal bei 0 an:

x = 0 -> x^2 = 0^2 = 0 -> 0 + 0 = 0 != 5 platsch
y = 0 -> y^2 = 0^2 = 0

next please:
x = 3
y = -3

6 = 3^2 + -3^2
6 = 9 + -1.7321^2
6 = 9 - 3
6 = 6 -> juhu 1. Term knapp ok ;-)


nächster Term:
x + y = 4

x = 2 -> x+y = 4 des is ja mal was
y = 2

und der letzte:
x * y = 1 -> 1x * 1y = 1 hatte echt rechenpower investieren müssen.

und addieren wir die Summen, erhalten wir 11
multiplizieren wir die: 6*4*1 = 24

Gruß
Jens
Detlef Müller
2017-06-24 09:34:36 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
x^2+y^2=6, x+y=4...
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Man könnte nach einer reinleger-Aufgabe suchen, in der
gar keine Lösung existiert, man aber im Kopf (mit der so
gern halluzinierten Annahme, es gebe eine Lösung)
sofort ein "Ergebnis" findet :)
Für Verwirrung ist hinreichend gesorgt, ...
Um noch mal klar zu stellen:

Ich fand die Frage des englischen Mathematik Lehrers
ist ein nettes kleines Rätsel um das Thema "binomische
Formeln" - vermutlich werde ich eine Variante davon noch
für die Lehre verwenden.

Da nun eine formal exakte Formulierung nach modernen
Mathematischen Standards einzufordern zerredet schlicht
die Pointe.

Hätte Rainer nicht angedeutet, daß irgend etwas bei
der Geometrischen Deutung passiert, hätte ich auch
nicht weiter nachgedacht.

[...]
Im komplexen wirst du Schwierigkeiten haben, ein ähnlich simpel
strukturiertes (nur Polynome) UND unlösbares Problem zu finden.
Den Eindruck habe ich auch.
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Rainer Rosenthal
2017-06-24 11:14:11 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Ich fand die Frage des englischen Mathematik Lehrers
ist ein nettes kleines Rätsel um das Thema "binomische
Formeln" - vermutlich werde ich eine Variante davon noch
für die Lehre verwenden.
Da nun eine formal exakte Formulierung nach modernen
Mathematischen Standards einzufordern zerredet schlicht
die Pointe.
Hätte Rainer nicht angedeutet, daß irgend etwas bei
der Geometrischen Deutung passiert, hätte ich auch
nicht weiter nachgedacht.
Besten Dank für diese Zuschrift.

Tatsächlich war ich schon ein bisschen stolz, als ich
im Kopf (x+y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 umstellen konnte in
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2*x*y.
Nach den Vorgaben x+y = 4 und x^2+y^2 = 6 war das ja einfach
16 = 6 + 2*x*y, d.h. das gesuchte x*y war die Hälfte von 16-6.
Auch das gelang noch im Kopf: 16-6 = 10 und Hälfte von 10 ist
gleich 5. Voila: x*y = 5.

Danach habe ich damit noch ein wenig weiter gespielt und kam
auf die hübsche Frage:
Wenn die Summe der Zahlen 4 ist und ihr Produkt 5, was ist dann
die Summe ihrer Quadrate? Naja, das wäre dann einfach 6, und somit
nur eine simple Variante. Lustig wird es, wenn nach dem Produkt
der Quadrate gefragt wird :-)

Lieben Gruß,
Rainer
K. Huller
2017-06-24 12:18:32 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Danach habe ich damit noch ein wenig weiter gespielt und kam
Wenn die Summe der Zahlen 4 ist und ihr Produkt 5, was ist dann
die Summe ihrer Quadrate? Naja, das wäre dann einfach 6, und somit
nur eine simple Variante. Lustig wird es, wenn nach dem Produkt
der Quadrate gefragt wird :-)
Quadriert man x²+y²=6 sowie x*y=5, so folgt, daß x^4+y^4 negativ sein muß.

Das beinhaltet erneut den Sachverhalt, daß das Ursprungsproblem nicht im
reellen lösbar ist. Arbeitet man lange genug daran, stößt man
unvermeidlich irgendwann auf diese Erkenntnis.

Es wäre ein weiterer origineller Weg, Sinn und Zweck komplexer Zahlen zu
veranschaulichen. Bis an diese Stelle würde die reelle Unlösbarkeit
nämlich gar nicht auffallen, solange man nur mit binomischen Formeln
arbeitet.
Stephan Gerlach
2017-06-24 16:32:56 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Post by Detlef Müller
Ich fand die Frage des englischen Mathematik Lehrers
ist ein nettes kleines Rätsel um das Thema "binomische
Formeln" - vermutlich werde ich eine Variante davon noch
für die Lehre verwenden.
Da nun eine formal exakte Formulierung nach modernen
Mathematischen Standards einzufordern zerredet schlicht
die Pointe.
Hätte Rainer nicht angedeutet, daß irgend etwas bei
der Geometrischen Deutung passiert, hätte ich auch
nicht weiter nachgedacht.
Besten Dank für diese Zuschrift.
Tatsächlich war ich schon ein bisschen stolz, als ich
im Kopf (x+y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 umstellen konnte in
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2*x*y.
Nach den Vorgaben x+y = 4 und x^2+y^2 = 6 war das ja einfach
16 = 6 + 2*x*y, d.h. das gesuchte x*y war die Hälfte von 16-6.
Auch das gelang noch im Kopf: 16-6 = 10 und Hälfte von 10 ist
gleich 5. Voila: x*y = 5.
Was in der Tat "witzig" ist, ist die Tatsache, daß bei diesem Lösungsweg
gar nicht auffällt, daß x und y komplex, genauer: nicht-reell sind.

Wenn man (wie K. Huller schon schrieb) diese Aufgabe "mit Anleitung"
Schülern stellt, könnte das auch zu Verwirrung führen:

"Das Produkt der zwei Zahlen kennen wir, aber die Zahlen selbst nicht..?!"

Auf Schulniveau würde das ja in der End-Konsequenz sogar zur Lösung führen
"Das Produkt der beiden Zahlen ist nicht definiert(!), da es nicht
solche reellen Zahlen x und y gibt."

Zumindest, wenn man sich auf reelle Zahlen beschränkt, was ja in der
Schule idR der Fall ist.
--
Post by Rainer Rosenthal
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Rainer Rosenthal
2017-06-24 17:33:29 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Stephan Gerlach
Auf Schulniveau würde das ja in der End-Konsequenz sogar zur Lösung führen
"Das Produkt der beiden Zahlen ist nicht definiert(!), da es nicht
solche reellen Zahlen x und y gibt."
Ja, es gibt tausend Möglichkeiten, wie man mit der im Mail-Betreff
genannten Aufgabe umgeht. Angefangen damit, sie zu ignorieren, weil
sie nicht schön genug geschrieben ist :-)

Mir gefällt der ungewohnte Weg, auf dem man hier den komplexen
Zahlen begegnet. Was man immer und immer wieder hört oder liest, ist
die Frage: "welche Zahl ergibt quadriert -1?".
Diese Frage aus heiterem Himmel oder vom Lehrer vor der Tafel gestellt
ist nicht unbedingt der Kracher.

Schleicht sie sich aber in Form eines Rätsels ein, kann die Sache ganz
anders aussehen und Spaß machen.
Auf die folgende Weise ist man sogar im Nullkommanix bei z^2 = -1.
Wenn die Summe der beiden Zahlen 4 ist, dann kann man die eine als 2-z
schreiben und die andere als 2+z, denn 2-z + 2+z = 4.
Quadratsumme ist (2-z)^2 + (2+z)^2 = 4-4z+z^2 + 4+4z+z^2 = 8 + 2*z^2.
Das soll 6 sein, d.h. es muss 2*z^2 = -2 sein, folglich z^2 = -1.

Und schon gibt es auch eine Lösung für die Zahlen x und y, wenn man eine
solche komische Zahl z akzepziert: x = 2-z und y = 2+z.

Ich hatte ja geschrieben, dass es eine Tag dauerte, bis ich merkte, dass
mit x*y = 5 nur ein Bruchteil des Witzes erkannt ist. Ich habe allen
Ernstes eine Visualisierung der folgen Art zu skizzieren versucht:
(Bitte Festbreitenschrift)

#
# +---------------+-------------+
# | | |
# | | |
# | | Pool |
# | | |
# | | |
# +---------------+-------------+
# | | |
# | | |
# | | |
# | Haus | |
# | | |
# | | |
# | | |
# +---------------+-------------+
#
# Diagramm 1 - Grundstück 4 x 4 dsmeter
# mit Haus und Pool
#
Das Haus hat quadratischen Grundriss und steht in einer
Ecke des Grundstücks. Der Pool ist quadratisch, stößt
an die mittlere Hausecke an und endet an der Grundstücks-
Grenze.
Bei gegebener Grundstückslänge 4 dsmeter sollen die
Maße von Haus und Pool berechnet werden aus der Vorgabe,
dass die Flächen sich zu 6 dsmeter^2 addieren.

Spätestens bei der dritten Skizze wusste ich, dass da was
faul war :-)

Gruß,
Rainer
Stephan Gerlach
2017-06-25 18:36:19 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Ich hatte ja geschrieben, dass es eine Tag dauerte, bis ich merkte, dass
mit x*y = 5 nur ein Bruchteil des Witzes erkannt ist. Ich habe allen
(Bitte Festbreitenschrift)
#
# +---------------+-------------+
# | | |
# | | |
# | | Pool |
# | | |
# | | |
# +---------------+-------------+
# | | |
# | | |
# | | |
# | Haus | |
# | | |
# | | |
# | | |
# +---------------+-------------+
#
# Diagramm 1 - Grundstück 4 x 4 dsmeter
# mit Haus und Pool
#
Interessanter Ansatz. Ich kam standard-mäßig zuerst auf die übliche Idee
mit Schnittpunkten von Kreis und Gerade.
Post by Rainer Rosenthal
Das Haus hat quadratischen Grundriss und steht in einer
Ecke des Grundstücks. Der Pool ist quadratisch, stößt
an die mittlere Hausecke an und endet an der Grundstücks-
Grenze.
Bei gegebener Grundstückslänge 4 dsmeter sollen die
Maße von Haus und Pool berechnet werden aus der Vorgabe,
dass die Flächen sich zu 6 dsmeter^2 addieren.
Spätestens bei der dritten Skizze wusste ich, dass da was
faul war :-)
Summe der beiden Flächen (laut Vorgabe) zu klein.
Bzw. Grundstückslänge zu groß.
--
Post by Rainer Rosenthal
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Torn Rumero DeBrak
2017-06-24 22:40:42 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Post by Detlef Müller
Ich fand die Frage des englischen Mathematik Lehrers
ist ein nettes kleines Rätsel um das Thema "binomische
Formeln" - vermutlich werde ich eine Variante davon noch
für die Lehre verwenden.
Da nun eine formal exakte Formulierung nach modernen
Mathematischen Standards einzufordern zerredet schlicht
die Pointe.
Hätte Rainer nicht angedeutet, daß irgend etwas bei
der Geometrischen Deutung passiert, hätte ich auch
nicht weiter nachgedacht.
Besten Dank für diese Zuschrift.
Tatsächlich war ich schon ein bisschen stolz, als ich
im Kopf (x+y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2 umstellen konnte in
(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2*x*y.
Nach den Vorgaben x+y = 4 und x^2+y^2 = 6 war das ja einfach
16 = 6 + 2*x*y, d.h. das gesuchte x*y war die Hälfte von 16-6.
Auch das gelang noch im Kopf: 16-6 = 10 und Hälfte von 10 ist
gleich 5. Voila: x*y = 5.
Danach habe ich damit noch ein wenig weiter gespielt und kam
Wenn die Summe der Zahlen 4 ist und ihr Produkt 5, was ist dann
die Summe ihrer Quadrate? Naja, das wäre dann einfach 6, und somit
nur eine simple Variante. Lustig wird es, wenn nach dem Produkt
der Quadrate gefragt wird :-)
Lieben Gruß,
Rainer
Schwieriger, aber auch im Kopf lösbar, ist folgende Aufgabe:

Seien x_1, x_2, x_3, x_4 und x_5 die Lösungen der Gleichung

x^5 + 3x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 .

Wie groß ist die Summe der Kehrwerte dieser fünf Zahlen, also

1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 ?

Wie groß ist der Unterschied zu der Summe der Kehrwert der
Lösungen der Gleichung

x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 ?

Kleiner Tip: Viéta
Klaus Loeffler
2017-06-25 08:07:34 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Seien x_1, x_2, x_3, x_4 und x_5 die Lösungen der Gleichung
x^5 + 3x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 .
Wie groß ist die Summe der Kehrwerte dieser fünf Zahlen, also
1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 ?
Wie groß ist der Unterschied zu der Summe der Kehrwert der
Lösungen der Gleichung
x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 ?
In der Tat braucht man zum Bestimmen des gesuchten Werts
\frac {\sum_{i=1}^5 \prod_{k\ne i} x_k}{\prod_{i=1}^5 x_i}
nur die letzten beiden Koeffizienten des Polynoms auf der linken Seite
der Gleichung zu betrachten.

Klaus-R.
Stephan Gerlach
2017-06-25 20:56:09 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Seien x_1, x_2, x_3, x_4 und x_5 die Lösungen der Gleichung
x^5 + 3x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 .
Wie groß ist die Summe der Kehrwerte dieser fünf Zahlen, also
1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 ?
Unter Vorbehalt (da im Kopf und ohne Aufschreiben gerechnet).
Sollte 2 sein.
Post by Torn Rumero DeBrak
Wie groß ist der Unterschied zu der Summe der Kehrwert der
Lösungen der Gleichung
x^5 + 2x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 8x - 4 = 0 ?
Dass sieht jetzt komisch aus, aber:
Die gefragte Summe ist hier, wenn ich mich nicht irre, ebenfalls(!?) 2.
Daraus folgt, daß der Unterschied zur Summe der Kehrwerte der ersten
Gleichung 0 ist.
Post by Torn Rumero DeBrak
Kleiner Tip: Viéta
--
Post by Torn Rumero DeBrak
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
K. Huller
2017-06-24 11:46:11 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Für Verwirrung ist hinreichend gesorgt, ...
Ich fand die Frage des englischen Mathematik Lehrers
ist ein nettes kleines Rätsel um das Thema "binomische
Formeln" - vermutlich werde ich eine Variante davon noch
für die Lehre verwenden.
Die Aufgabe ist originell, weil abweichend von der üblichen Praxis nicht
die Zahlenwerte x,y der zwei(!) Variablen gesucht werden sollen, sondern
der eine(!) abgeleitete Ausdruck x*y. Gerade deswegen wäre sie als
Unterrichtsbeispiel geeignet; man kann daran sehen, wie das eigene
('übliche') Denken (teilweise) vorprogrammiert ist.

Diese Aufgabe ließe sich auch verwenden, um Sinn und Zweck komplexer
Zahlen anders einzuführen als an der 'üblichen' Wurzel aus -1. Man
könnte sie so stellen:

1. suchen Sie mittels Anwendung der binomischen Formeln das Produkt p:=x*y!
2. bestimmen Sie anschließend die Zahlenwerte von x und y einzeln!

Für Schüler, die der Anleitung folgen, träte der Verblüffungseffekt im
zweiten Teil auf, nachdem sie den ersten absolviert haben und das
Hauptproblem als geknackt ansehen.

Um in 'üblicher' Weise nur p zu suchen, würde man p direkt als Variable
verwenden und die Gleichung mittels y=p/x auf (beispielsweise) das Paar
(x,p) umschreiben. Quadriert man dann die zweite Gleichung x+p/x=4 und
zieht sie von der ersten ab, erhält man 2*x*p/x=10, d.h. p=5 - und einen
anderen Verblüffungseffekt; die Variable x fällt ganz heraus. Das ist
der Nichtlinearität (auch im komplexen) geschuldet und im reellen
darüber hinaus der Unlösbarkeit und für weitere Lerneffekte nutzbar.
Rainer Rosenthal
2017-06-24 15:22:21 UTC
Permalink
Raw Message
... und für weitere Lerneffekte nutzbar.
Wenn ich Dir auch im Einzelnen nicht folgen konnte, gefällt es mir
doch sehr, dass Du die Aufgabe als Anreiz zum Spielen verwendest.
Ich denke, dass es genau das ist, weshalb mir dies Aufgabe am
Telefon erzählt worden war.

In Deinen Antworten warst Du nicht auf die Variante eingegangen,
die für sich genommen schon reizvoll ist:

Die Summe zweier Zahlen ist 4, ihr Produkt ist 5.
Wie groß ist das Produkt ihrer Quadrate?

Ich bin ziemlich sicher, dass es im Schnitt eine Weile dauern wird,
bis herausgefunden wird, dass die Summenbedingung überflüssig ist.
Um x^2 * y^2 zu berechnen, benötigt man den Mut und das Interesse,
solche Formeln aufzubrechen. Und darum geht es wohl: Interesse wecken
und Mut machen.

Gruß,
Rainer
K. Huller
2017-06-24 17:12:02 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
... und für weitere Lerneffekte nutzbar.
In Deinen Antworten warst Du nicht auf die Variante eingegangen,
Ich dachte eigentlich, das gehe aus meinem Posting vom 14:18 hervor,
Post by Rainer Rosenthal
Die Summe zweier Zahlen ist 4, ihr Produkt ist 5.
Wie groß ist das Produkt ihrer Quadrate?
Natürlich 25 durch naives Quadrieren. Aber sicher bzw. sinnvoll ist das
nur, wenn es die Zahlen überhaupt 'gibt', d.h. das System (*beide*
Gleichungen simultan) lösbar ist/sind. Das gilt auch für alle sonstigen
Schlüsse, z.B. den auf die Summe der Quadrate. In vollständiger Form:

Ausgangsvorausssetzungen:
x*y=5
x+y=4

Quadrieren der zweiten Zeile ergibt:

x²+2*x*x+y²=16

Setzen wir darin die erste Zeile oben ein, so folgt:
x²+10+y²=16
oder
x²+y²=6

Das ist alles schon bekannt.
Post by Rainer Rosenthal
Ich bin ziemlich sicher, dass es im Schnitt eine Weile dauern wird,
bis herausgefunden wird, dass die Summenbedingung überflüssig ist.
Hat man die letzte Zeile, braucht man die Summenbedingung x+y=4 nicht
mehr für weiteres. Aber man braucht sie zur Herleitung dieser (bisher)
letzten Zeile.

Man kann jetzt die Zeile x²+y²=6 quadrieren, um das Binomialspielchen
eine Ebene weiterzutreiben, und erhält:

x^4+2*x²*y²+y^4=36

mit x²*y²=25 ergibt das:

x^4+50+y^4=36
oder:
x^4+y^4=-14
was im reellen unmöglich ist.

Mögliches Lernziel für Schüler: 'Bevor Sie aus einem Gleichungssystem
irgendeinen(!) Schluß ziehen, prüfen Sie erst seine Lösbarkeit. Ist
Ihnen das zu mühsam, dann werden Sie besser Wirtschaftsmathematiker!'

Der hier mögliche Ausweg ins komplexe ist nicht mehr gesichert, sobald
man mit anderen Formen als Polynomen operiert.
Rainer Rosenthal
2017-06-30 06:22:40 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by Rainer Rosenthal
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
Antwort: x*y = 5.
In der Tat kann man sich fragen, ob das richtig ist, wenn
wir an reellen Lösungen interessiert sind -
hoch philosophisch :)
Vielleicht nicht "hoch" philosophisch, aber für praktische
Denker eventuell doch zu hoch:

Wenn man an reellen Lösungen interessiert ist, dann ist
das Produkt x*y = 7.

Oder noch mal für Leute, die umgangssprachliche Formulierungen
hassen:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Satz 2007.7
===========
Es seien x und y reelle Zahlen und x^2 + y^2 = 6 und x + y = 4.
Dann gilt: x*y = 7.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de

P.S. Solche Ausflüge stecken in der Aufgabe des pensionierten
Mathe-Lehrers aus England. Deswegen habe ich sie ja auch hier
im Forum vorgestellt. Eine freundliche e-Mail eines dsm-Lesers
hat mich ermuntert, diesen etwas ausgefransten Thread noch weiter
zu zerfleddern :-)
Andreas Leitgeb
2017-06-30 13:04:53 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Satz 2007.7
===========
Es seien x und y reelle Zahlen und x^2 + y^2 = 6 und x + y = 4.
Dann gilt: x*y = 7.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Ja denkt denn hier niemand an die zweiundvierzig???ßß?ß?

Unter den gegebenen Umständen gilt natürlich x*y = 42!!!


"!" als Satzzeichen oder as "faktorielle"? -- Ja.

Jens Kallup
2017-06-23 16:05:43 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
Ich mal mein Senf wieder dazugebend:

1. Term:
x = 2 , denn 2^2 = 4 also x = 4
y = 1 , denn 1^2 = 1 also y = 1

-> x + y = 5


2. Term
x = 2 -> x + y = 4
y = 2 -> 2 + 2 = 4


3. Term
1 * x = 1 -> x * y = 1
1 * y = 1 -> 1 * 1 = 1



4. Term (spielerei)
+ * + *
x = 4 , y = 1 = 5 4 = 9 20 | = +2 Rest 4
x = 2 , y = 2 = 4 4 = 8 16 | = +2 /
x = 1 , y = 1 = 1 1 = 2 1 | = +1 /
|--------/
| = +5 /

kommt visuell fast an ein unformiges Trapez dran?

Gruß
Jens
Marc Olschok
2017-06-26 11:06:32 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
In meinem Newsreader ging das Subject nur bis zu "x+y=4",
so dass ich dachte, es seien x und y im Kopf zu bestimmen.
Das habe ich dann auch gemacht bevor ich in den Thread hineingeschaut
habe und 16 = (x+y)^2 = 6 + 2xy war dann tatsächlich der erste Schritt.
--
Marc
Rainer Rosenthal
2017-06-26 14:49:50 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Marc Olschok
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
In meinem Newsreader ging das Subject nur bis zu "x+y=4",
so dass ich dachte, es seien x und y im Kopf zu bestimmen.
Das habe ich dann auch gemacht bevor ich in den Thread hineingeschaut
habe und 16 = (x+y)^2 = 6 + 2xy war dann tatsächlich der erste Schritt.
Hallo Marc, hallo Rätsler,

gestern hatte ich noch eine interessante Lösung bekommen, übrigens auch
per Telefon, aber natürlich von jemand anderem.
De hatte nur halb hingehört oder ich hatte mich undeutlich ausgedrückt,
was die Anzahl der beteiligten Zahlen betrifft.
Jedenfalls erzählte er mir freudestrahlend, er habe die Lösung gefunden:

1, 1, 2

Zerst dachte ich, er wollte mir die Notrufnummer 112 nennen, aber dann
war mir klar: er hatte *drei* Zahlen gefunden, die sich zu 4 addieren,
und deren Quadrate sich zu 6 addieren. Folglich war seine Antwort:
das Produkt ist 2.

Auch nett.

Gruß,
Rainer Rosenthal
Walter H.
2017-06-28 16:05:37 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Rainer Rosenthal
Im Kopf zu lösen: x^2+y^2=6, x+y=4, x*y = ?
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
Ganz wesentlich: im KOPF zu lösen!
und das geht auch trivial

nur um es nachvollziehen zu können hier die überlegungen in mehreren
Schritten

die 2te Gleichung ergibt (x+y)^2 = 4 oder
x^2 + 2xy + y^2 = 16
das x^2 + y^2 ist ja mit 6 gegeben
also ist 2x*y = 10 und somit x*y = 5
fertig ;-)
Post by Rainer Rosenthal
Ich habe diese Aufgabe von einem pensionierten Mathelehrer
aus England am Telefon genannt bekommen.
eine gute Aufgabe :-)
Rainer Rosenthal
2017-06-29 13:10:25 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Walter H.
Post by Rainer Rosenthal
die Quadrate zweier Zahlen addieren sich zu 6,
die Summe der beiden Zahlen ist 4.
Wie groß ist ihr Produkt?
und das geht auch trivial
...
fertig ;-)
Danke für die Antwort. Inzwischen gab es schon erstaunlich viele
Zuschriften, und natürlich mag man die nicht alle lesen.
Ich darf Dir aber versichern, dass die von Dir genannte Lösung
mindestens zweimal erwähnt worden war.

Das Hübsche an der Aufgabe ist, dass zwar das PRODUKT der beiden Zahlen
als einfache Folgerung aus der Identität (x+y)^2 = x^2+y^2+2xy folgt,
das die linke Seite 16 ist und rechts 6+2*PRODUKT steht, woraus sofort
PRODUKT=5 folgt.
Ins Grübeln kann man geraten, wenn man sich die Sache geometrisch
klar machen möchte, wie ich das irgendwo geschrieben hatte.

Gruß,
RR
Loading...