Discussion:
Unmöglichkeit algebraischer Umformung beweisen?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-03-09 16:50:38 UTC
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Hallo,

ich benötige mal wieder Eure Hilfe.

a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck

ln(e^a + e^b)

nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term e^b nicht
mehr auftaucht?

(Bin kein Mathematiker und kein Student.)

Vielen Dank.
IV
2018-03-09 19:50:31 UTC
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Post by IV
a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
ln(e^a + e^b)
nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term e^b
nicht mehr auftaucht?
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
Jens Kallup
2018-03-09 20:45:45 UTC
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Post by IV
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b
verschwinden läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
e = 2
a = 0
b = 0

e^a = e^0 = 1
e^b = e^0 = 1

1 + 1 = 0
2 = 0 <-- trickky = 0 addieren:

e^a = e^b + a - b
2^1 = e^1 + 1 - 1
2 = 2 + 0

voila a = b = 2 oder halt ln(2).

Gruß
Jens
IV
2018-03-09 21:23:49 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
e = 2
a = 0
b = 0
e^a = e^0 = 1
e^b = e^0 = 1
1 + 1 = 0
e^a = e^b + a - b
2^1 = e^1 + 1 - 1
2 = 2 + 0
voila a = b = 2 oder halt ln(2).
a und b sollten voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängig voneinander sein.
Jens Kallup
2018-03-09 22:13:58 UTC
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Post by IV
Post by Jens Kallup
Post by IV
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b
verschwinden läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
e = 2
a = 0
b = 0
e^a = e^0 = 1
e^b = e^0 = 1
1 + 1 = 0
e^a = e^b + a - b
2^1 = e^1 + 1 - 1
2   = 2   + 0
voila a = b = 2  oder halt ln(2).
a und b sollten voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängig voneinander sein.
sind sie doch?
Habe nur oben a und b gleichgesetzt.
man kann auch hergehen, und das a und b anders zu besetzen.
algebraisch ist nicht zwingend numerisch, ok.

Aber in Deiner Post steht:
... nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term
e^b nicht mehr auftaucht?

Das wolltest Du doch oder? - Termumformung?
Und das habe ich Dir gezeigt.

Ok, zurück.
gegeben:

e = 2
a = 2, b = 3

Lösungsansatz:

Term1: e^a = e^2 = 2^2 = 4
Term2: e^b = e^2 = 2^3 = 9

Summary:

4 + 9 = 0
13 = 0 <-- trickky (was folgerichtig ist, da man, was man auf
der einen Seite macht, auch auf der anderen Seite
machen muss ...

e^a = e^b + a - b
2^2 = e^3 + 2 - 3
4 = 9 + 2 - 3
4 = 8

4^2 = 4^2 + [(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2)] | addieren mit 0
16 = 16 + 0 + 0

16 = 16 | dividiert durch 16
1 = 1

Antwort: ln(1) ist nicht weiter umformbar, da -1 = 0 = nicht erlaubt.

Gruß
Jens
IV
2018-03-09 22:38:24 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
Post by IV
Post by IV
a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
...
ln(e^a + e^b)
...
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b
verschwinden läßt.
e = 2
a = 0
b = 0
a und b sollten voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängig voneinander sein.
sind sie doch?
Habe nur oben a und b gleichgesetzt.
...
Das wolltest Du doch oder? - Termumformung?
Und das habe ich Dir gezeigt.
Ok, zurück.
e = 2
a = 2, b = 3
...
e: Eulersche Zahl
"a und b voneinander algebraisch unabhängig" heißt:
a algebraisch und b transzendent
oder
a transzendent und b algebraisch
oder
a und b transzendent, aber algebraisch unabhängig.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 22:57:28 UTC
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Post by IV
a algebraisch und b transzendent
oder
a transzendent und b algebraisch
oder
a und b transzendent, aber algebraisch unabhängig.
Schön! Eine rekursive Definition!
Hmm, was ergibt die wohl für pi und e? ... dritter passus...
ah, sie sind also genau dann a.u., wenn sie a.u. sind.
IV
2018-03-09 23:12:44 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
a algebraisch und b transzendent
oder
a transzendent und b algebraisch
oder
a und b transzendent, aber algebraisch unabhängig.
Schön! Eine rekursive Definition!
Hmm, was ergibt die wohl für pi und e? ... dritter passus...
ah, sie sind also genau dann a.u., wenn sie a.u. sind.
Auf die Schnelle habe ich keine fehlerfreie sofort verständliche Definition
formulieren können. siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendenzbasis
Es wird vermutet, dass e und π über \mathbb{Q} algebraisch unabhängig sind.
Jens Kallup
2018-03-09 23:23:00 UTC
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Post by IV
Auf die Schnelle habe ich keine fehlerfreie sofort verständliche
Definition formulieren können. siehe
selbst formuliert oder abgeschrieben?
vielleicht auch nur clicki cklacki mit maus und co.?

Also zurück in den Mathehausaufgaben:
Frage: Was verstehst Du unter:
- Was ist ein Körper?
- Was ist eine Menge?
- Welche Mengen gibt es, die einen Körper haben können?
- Es sei L/K eine Körperweiterung, das heißt K ist Teilkörper
des Körpers L - bitte Erläutern.

Jens
IV
2018-03-09 23:55:51 UTC
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Wir wollen inzwischen zu den Nicht-Hausaufgaben zurückkehren:
"ln(e^a + e^b)
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt."
Jens Kallup
2018-03-09 23:04:50 UTC
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Post by IV
e: Eulersche Zahl
ja, eine Konstante.
2,718

e^2 = 2
Eigenschaft von Elementen einer Rechnung, mit einer
oder mehreren Unbekannten, die bis auf die minimalste
Form gebracht wird.
Post by IV
a algebraisch und b transzendent
a) umformbar
b) komplexe Zahl, bei der kein Polynom p(b) = 0 existiert

=> *Anmerkung* Jens:
Deine Formel ist a) != b) => fällt also raus
Post by IV
oder
a transzendent und b algebraisch
gleicher Käse wie oben, nur vertauscht.
Post by IV
oder
a und b transzendent, aber algebraisch unabhängig.
1. muss geprüft werden, ob atom vorliegt
2. fast Käse, warum:

- gleiche Terme können zusammen geführt werden
1 + 2 = 3
x + x^2 = x^3

- Terme können nicht zusammen gesetzt werden
alpha 4 + beta 2
A1 + B2 (nicht verwechseln mit Excel-Zellen !!!
Andreas Leitgeb
2018-03-09 20:52:03 UTC
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Post by IV
Post by IV
a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
ln(e^a + e^b)
nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term e^b
nicht mehr auftaucht?
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
Diese Neuformulierung ist nun wesentlich leichter zu beweisen:
Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.
Somit kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a
oder b mit dem gegebenen äquivalent ist. (Das unter der Annahme,
dass nur Termumformungen in Betracht gezogen werden, die den
Wert des Terms für alle Parameterwerte ident lassen sollen.)

Das originale Problem mag unter gewissen Aspekten interessanter
sein, aber dafür habe ich keine Lösung.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 21:07:23 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by IV
a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
ln(e^a + e^b)
nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term e^b
nicht mehr auftaucht?
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.
Somit kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a
oder b mit dem gegebenen äquivalent ist. (Das unter der Annahme,
dass nur Termumformungen in Betracht gezogen werden, die den
Wert des Terms für alle Parameterwerte ident lassen sollen.)
Das originale Problem mag unter gewissen Aspekten interessanter
sein, [...]
Zum originalen Problem, die gesuchte Bestätigung der Unvermeidbarkeit
des Subterms e^a, gibt es nun leider eine handfeste Absage:

ln( (e^(a+b)+e^(2*b)) / (e^b) )

Das ist jetzt nichteinmal nur Hirnwi***erei, sondern solche Umformungen
helfen bei numerisch instabilen Berechnungen um die Genauigkeit zu
verbessern und Kollisionen mit den Wert-Limits der Computeralgebra zu
vermeiden.
IV
2018-03-09 21:17:09 UTC
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Post by IV
Post by IV
a und b seien voneinander algebraisch unabhängig.
Wie kann man beweisen, daß der Ausdruck
ln(e^a + e^b)
nicht so umgeformt werden kann, daß der Term e^a und/oder der Term e^b
nicht mehr auftaucht?
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Das originale Problem mag unter gewissen Aspekten interessanter sein, aber
dafür habe ich keine Lösung.
Das Problem war von mir wieder mal zu schnell formuliert worden. Der
Ausdruck kann so transformiert werden, daß e^a oder e^b umgeformt werden.
Post by IV
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Ich benötige das für einen größeren allgemeineren Beweis.
Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.
Somit kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit
dem gegebenen äquivalent ist. (Das unter der Annahme, dass nur
Termumformungen in Betracht gezogen werden, die den Wert des Terms für
alle Parameterwerte ident lassen sollen.)
Ja. Für jeden Paramater soll natürlich der Wert des Terms unverändert
bleiben.
Sind die Begriffe "Umformung", "Transformation", "Algebraic Simplification"
hierfür nicht die richtigen Begriffe? Gibt es bessere dafür?
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.": Das sieht
für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der mathematische Beweis für
dieses Postulat?
Jens Kallup
2018-03-09 21:35:19 UTC
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als System sind a und b die Gesamtheit von Elementen,
die innen wie nach außen eine Struktur bilden.

als Formel ist der Term, der sich aus a und b zusammen setzt,
zu betrachten.

ein mathematischer Beweis läßt sich nur durch 2 Terme (hier a und b)
anstellen.

a und b alleine bilden Fakten, z.B. a ist konstant => Konstanten
werden numerisch als 0 dargestellt/behandelt und als Zahl
angesehen werden.
es gibt auch Konstanten, die einen Wert haben.

Zahlen können Werte (zum Beispiel: Wertebereich(e)) haben.
Werte können Einheiten haben z.B. "100 Grad"

den mathematischen Beweis, der aufzeigt, das man aus 2 Zahlen
einen Term machen kann, der atomar, also das kleinst möglichste
darstellt und nicht weiter umgewandelt werden kann, habe ich
Dir im Posting oben gezeigt.

Nun kannst Du die Stickpunkte hier nehmen und Dir Dein Süppchen
köchen.

Freundlichst
Jens
IV
2018-03-09 21:53:06 UTC
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Post by IV
Post by IV
ln(e^a + e^b)
Es geht darum, zu beweisen, daß keine Termumformung a oder b verschwinden
läßt.
Tschuldigung, Jens. Ich hatte unvollständig zitiert. Gemeint war:
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit kann
kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem gegebenen
äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der
mathematische Beweis für dieses Postulat?
IV
2018-03-09 22:07:06 UTC
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Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit kann
kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem gegebenen
äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist
der mathematische Beweis für dieses Postulat?
Für den Beweis dieses Satzes würde ich ja den Satz von Van der Waerden in
"Einführung in die Algebraische Geometrie" heranziehen: "Algebraisch
unabhängige Elemente kann man wie Unbestimmte behandeln, da ihre
algebraischen Eigenschaften dieselben sind." Aber es ist nicht zu verstehen
was genau mit "ihre algebraischen Eigenschaften" gemeint ist.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 22:25:06 UTC
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Post by IV
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit kann
kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem gegebenen
äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist
der mathematische Beweis für dieses Postulat?
Für den Beweis dieses Satzes würde ich ja den Satz von Van der Waerden in
"Einführung in die Algebraische Geometrie" heranziehen: "Algebraisch
unabhängige Elemente kann man wie Unbestimmte behandeln, da ihre
algebraischen Eigenschaften dieselben sind." Aber es ist nicht zu verstehen
was genau mit "ihre algebraischen Eigenschaften" gemeint ist.
Für mich scheiterts schon daran, dass ich nicht weiss, was "Elemente" in
diesem Kontext (wenn es nicht um "Elemente einer Menge" geht) bedeutet.
Weiter gehts dann wieder mit der "algebraischen Unabhängigkeit", die ich
auch nicht so zu meinen Stärken zähle...
Und den Zeitaufwand, im Netz nach Van der Waerden zu suchen, ist mir
dieser Thread dann doch nicht wert.
IV
2018-03-09 23:03:18 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit
kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem
gegebenen äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat
aus. Was ist der mathematische Beweis für dieses Postulat?
Für den Beweis dieses Satzes würde ich ja den Satz von Van der Waerden in
"Einführung in die Algebraische Geometrie" heranziehen: "Algebraisch
unabhängige Elemente kann man wie Unbestimmte behandeln, da ihre
algebraischen Eigenschaften dieselben sind." Aber es ist nicht zu
verstehen was genau mit "ihre algebraischen Eigenschaften" gemeint ist.
Für mich scheiterts schon daran, dass ich nicht weiss, was "Elemente" in
diesem Kontext (wenn es nicht um "Elemente einer Menge" geht) bedeutet.
Das braucht's auch nicht.
Du hattest Dein Postulat formuliert, und ich als Nichtmathematiker frage,
wie Du auf diesen Satz kommst - ob es eine Referenz, einen Namen oder einen
Beweis für diesen von Dir angeführten Satz gibt.
Denn der ist ja wahrscheinlich die Lösung meines mathematischen Problems.
Post by Andreas Leitgeb
Für mich scheiterts schon daran, dass ich nicht weiss, was "Elemente" in
diesem Kontext (wenn es nicht um "Elemente einer Menge" geht) bedeutet.
https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Zahl:
"Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen
Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus
\mathbb{Q} aus einem beliebigen Körper entnimmt."
https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraisches_Element
Ein Algebraisches Element ist eine Nullstelle eines Polynoms dessen
Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind. Die explizit
ausdrückbaren Algebraischen Elemente sind Radikalausdrücke (= durch die
Algebraischen Operationen +, -, * und : verknüpfte Konstanten und/oder
Variablen), deren Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind.
Post by Andreas Leitgeb
Weiter gehts dann wieder mit der "algebraischen Unabhängigkeit", die ich
auch nicht so zu meinen Stärken zähle...
https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Unabh%C3%A4ngigkeit:
Algebraisch unabhängige Zahlen/Elemente können nicht Nullstelle ein und
desselben Polynoms sein.
So ähnlich wie Lineare Unabhängigkeit. Zwei Zahlen/Dinge sind genau dann
algebraisch voneinander abhängig, wenn zwischen ihnen eine algebraische
Relation besteht.
Post by Andreas Leitgeb
Und den Zeitaufwand, im Netz nach Van der Waerden zu suchen, ist mir
dieser Thread dann doch nicht wert.
Google Books:
https://books.google.de/books?id=yw-hBgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q=%22Algebraisch%20unabh%C3%A4ngige%22&f=false
Andreas Leitgeb
2018-03-09 23:19:44 UTC
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Raw Message
Post by IV
https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraisches_Element
Ein Algebraisches Element ist eine Nullstelle eines Polynoms dessen
Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind. Die explizit
ausdrückbaren Algebraischen Elemente sind Radikalausdrücke (= durch die
Algebraischen Operationen +, -, * und : verknüpfte Konstanten und/oder
Variablen), deren Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind.
Vielleicht ist das ja für Körper außerhalb der Q,A,R,C-Serie relevant.

Wenn aber ln und e^... im Spiel sind, erlaube ich mir, mich auf die
Serie zu beschränken, und lediglich die Algebraischen Zahlen (also die
über Q) zu betrachten. Ich vermute stark, dass Alg über R bereits ganz
C ist, bleib einen Beweis aus Faulheitsgründen aber schuldig.
Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Weiter gehts dann wieder mit der "algebraischen Unabhängigkeit", die ich
auch nicht so zu meinen Stärken zähle...
Algebraisch unabhängige Zahlen/Elemente können nicht Nullstelle ein und
desselben Polynoms sein.
Das klingt mal wirr. Zwei algebraische Zahlen(über Q) sind untereinander
prinzipiell abhängig, weil deren Polynome ja multipliziert werden
können. Transzendente Zahlen, pi und 2*pi sind jeweils gar keine
polynom-lösungen, also wären sie dann schon algebraisch unabhängig???
Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Und den Zeitaufwand, im Netz nach Van der Waerden zu suchen, ist mir
dieser Thread dann doch nicht wert.
Google Books: https://books.google.de/books?id=...
Ja, die Suche ist leider nur der geringste Teil davon. Das Lesen der
Treffer ist da das relevante, wofür ich mir aber eben nicht die Zeit
nehme.
IV
2018-03-09 23:45:30 UTC
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Raw Message
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraisches_Element
Ein Algebraisches Element ist eine Nullstelle eines Polynoms dessen
Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind. Die explizit
ausdrückbaren Algebraischen Elemente sind Radikalausdrücke (= durch die
Algebraischen Operationen +, -, * und : verknüpfte Konstanten und/oder
Variablen), deren Koeffizienten nicht sämtlich rationale Zahlen sind.
Vielleicht ist das ja für Körper außerhalb der Q,A,R,C-Serie relevant.
Es steht doch da: algebraische Zahlen: über Q. Außerdem auch über A. Also
algebraische Elemente: über R, C und alle anderen Körper.
Post by Andreas Leitgeb
Wenn aber ln und e^... im Spiel sind, erlaube ich mir, mich auf die Serie
zu beschränken, und lediglich die Algebraischen Zahlen (also die über Q)
zu betrachten.
Mir geht es um C.
Post by Andreas Leitgeb
Ich vermute stark, dass Alg über R bereits ganz C ist
Ja, dem ist so.
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Weiter gehts dann wieder mit der "algebraischen Unabhängigkeit", die ich
auch nicht so zu meinen Stärken zähle...
Algebraisch unabhängige Zahlen/Elemente können nicht Nullstelle ein und
desselben Polynoms sein.
Das klingt mal wirr. Zwei algebraische Zahlen(über Q) sind untereinander
prinzipiell abhängig, weil deren Polynome ja multipliziert werden können.
Transzendente Zahlen, pi und 2*pi sind jeweils gar keine Polynom-lösungen,
also wären sie dann schon algebraisch unabhängig???
Die algebraischen Zahlen sind algebraisch abhängig über Q. pi und 2*pi sind
algebraisch abhängig über R. Zwischen ihnen besteht eine algebraische
Funktion A, mit A: z \mapsto 2*z.
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Und den Zeitaufwand, im Netz nach Van der Waerden zu suchen, ist mir
dieser Thread dann doch nicht wert.
Google Books: https://books.google.de/books?id=...
Ja, die Suche ist leider nur der geringste Teil davon. Das Lesen der
Treffer ist da das relevante, wofür ich mir aber eben nicht die Zeit
nehme.
Van der Waerdens Satz steht einfach nur so da. Er ist nicht weiter erklärt.
Ralf Goertz
2018-03-10 08:20:15 UTC
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Am Fri, 9 Mar 2018 23:19:44 -0000 (UTC)
Ich vermute stark, dass Alg über R bereits ganz C ist, bleib einen
Beweis aus Faulheitsgründen aber schuldig.
Die Vermutung ist richtig, denn C=R[i]. Jedes Polynom über R, das eine
Nullstelle außerhalb von R hat, hat diese in C. Adjungiert man die
Nullstelle zu R, hat man automatisch ganz C. Mit anderen Worten: Es
gibt zwischen C und R keinen Zwischenkörper.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 22:05:33 UTC
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Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.
Somit kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit
dem gegebenen äquivalent ist. (Das unter der Annahme, dass nur
Termumformungen in Betracht gezogen werden, die den Wert des Terms für
alle Parameterwerte ident lassen sollen.)
Ja. Für jeden Paramater soll natürlich der Wert des Terms unverändert
bleiben.
Sind die Begriffe "Umformung", "Transformation", "Algebraic Simplification"
hierfür nicht die richtigen Begriffe? Gibt es bessere dafür?
Für mich sind sie ausreichend, aber aufgrund deines Mathematiker-Disclaimers
darf ich nicht voraussetzen, dass du alle Implikationen deiner verwendeten
Begriffe kennst.
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.": Das sieht
für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der mathematische Beweis für
dieses Postulat?
Da braucht man bloß Belegungen a',b' und a",b" anzugeben, sodass:
Term(a',b') != Term(a",b') und Term(a',b') != Term(a',b")
Die Existenz solcher - die Ungleichungen erfüllenden - 4 Werte
beweist dann, dass der Term von beiden Parametern abhängig ist.

Wenn ich nun für (a',b') und (a",b") die Werte (0, 0) (1, 1)
vorschlage, ist der Beweis nur noch "einsetzen und ausrechnen"
weit entfernt.
Jens Kallup
2018-03-09 22:21:33 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Wenn ich nun für (a',b') und (a",b") die Werte (0, 0) (1, 1)
vorschlage, ist der Beweis nur noch "einsetzen und ausrechnen"
weit entfernt.
richtig.
Aber Null geht nicht in den hier forliegenden Fall.
Man kann zwar damit rechnen, aber nicht vorraus setzen.
schonmal ln(0) gemacht?

ich nehme mal an der original Poster will hier was ansprechen,
was diese Tage so überall rumschwirrt: "Kreationismus"
sprich: der Einzug der Glaubensgeminschaften in das eher
wissenschaftliche geprägte Schulwesen der moderne.

Aus dem Motto: "Wie entsteht aus nix, etwas?"

Gruß
Jens
IV
2018-03-09 22:24:50 UTC
Permalink
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Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by IV
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Sind die Begriffe "Umformung", "Transformation", "Algebraic
Simplification" hierfür nicht die richtigen Begriffe? Gibt es bessere
dafür?
Für mich sind sie ausreichend, aber aufgrund deines
Mathematiker-Disclaimers darf ich nicht voraussetzen, dass du alle
Implikationen deiner verwendeten Begriffe kennst.
Es wäre ja schön, wenn für diese vielfach benutzten Begriffe mathematisch
exakte Definitionen nachzulesen wären.
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab.": Das
sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der mathematische
Beweis für dieses Postulat?
Gemeint war:
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit kann
kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem gegebenen
äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der
mathematische Beweis für dieses Postulat?
Post by Andreas Leitgeb
Term(a',b') != Term(a",b') und Term(a',b') != Term(a',b")
Die Existenz solcher - die Ungleichungen erfüllenden - 4 Werte beweist
dann, dass der Term von beiden Parametern abhängig ist.
Wenn ich nun für (a',b') und (a",b") die Werte (0, 0) (1, 1) vorschlage,
ist der Beweis nur noch "einsetzen und ausrechnen"
Aber a und b sollten doch voneinander algebraisch unabhängig sein.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 22:52:33 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by Andreas Leitgeb
Post by IV
Post by IV
(Bin kein Mathematiker und kein Student.)
Sind die Begriffe "Umformung", "Transformation", "Algebraic
Simplification" hierfür nicht die richtigen Begriffe? Gibt es bessere
dafür?
Für mich sind sie ausreichend, aber aufgrund deines
Mathematiker-Disclaimers darf ich nicht voraussetzen, dass du alle
Implikationen deiner verwendeten Begriffe kennst.
Es wäre ja schön, wenn für diese vielfach benutzten Begriffe mathematisch
exakte Definitionen nachzulesen wären.
Gibt es sicher irgendwo. Ich bin aber auch kein Mathe-Prof, und somit
leider nicht in meinen Postings...
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit kann
kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem gegebenen
äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus. Was ist der
mathematische Beweis für dieses Postulat?
Du schreibst hier von "Abhängigkeiten" - das ist sowas, wo wenn man das
eine Ding ändert, zumindest möglicherweise am anderen Ende ein anderer
Wert rauspurzelt. Die Algebraik hat bei diesem Teilproblem mal Pause.

Es geht auch nicht wirklich um beliebige Terme, sondern den konkreten
aus dem OP mit ln und e^...

Kann man den nun "Wert-erhaltend" herumschütteln, dass am Ende a
und/oder b nicht mehr vorkommen?

Antwort: wenn der eine Term für irgendwelche zwei Werte von a und
einem fixen Wert für b verschiedene Werte ergibt, dann kann es keinen
anderen Term geben, der dieselben verschiedenen(!) Werte für
verschiedene a liefert, *ohne* a zu verwenden.

Ist das für dich echt nicht schlüssig?

Oder treffe ich hier (trotz deines Mathe-Disclaimers) Annahmen über
deine Begriffe, die du nicht gemeint hast? Sind a,b keine Variablen
sondern Ausdrücke? Wenn irgendwas davon, überlass ich dich wohl
besser dem Herrn Jens K. Der kann hier immer alles beantworten.
IV
2018-03-09 23:32:49 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
"Der Wert des gegebenen Terms hängt sowohl von a als auch b ab. Somit
kann kein Term existieren, der ohne Abhängigkeit von a oder b mit dem
gegebenen äquivalent ist.": Das sieht für mich eher wie ein Postulat aus.
Was ist der mathematische Beweis für dieses Postulat?
Antwort: wenn der eine Term für irgendwelche zwei Werte von a und einem
fixen Wert für b verschiedene Werte ergibt, dann kann es keinen anderen
Term geben, der dieselben verschiedenen(!) Werte für verschiedene a
liefert, *ohne* a zu verwenden.
Ist das für dich echt nicht schlüssig?
Oder treffe ich hier (trotz deines Mathe-Disclaimers) Annahmen über deine
Begriffe, die du nicht gemeint hast? Sind a,b keine Variablen sondern
Ausdrücke?
Ja, a und b sind voneinander algebraisch unabhängige Ausdrücke, nämlich
Funktionen ein und derselben Variablen.
Deswegen finde ich Van der Waerdens Aussage so passend. Nach diesem sollte
Dein Satz oben auch für algebraisch unabhängige Elemente (hier: algebraisch
unabhängige Funktionen) schlüssig sein. Nun brauche ich nur noch einen
Beweis für Van der Waerdens Satz.
Andreas Leitgeb
2018-03-09 23:46:34 UTC
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Post by IV
Ja, a und b sind voneinander algebraisch unabhängige Ausdrücke, nämlich
Funktionen ein und derselben Variablen.
Damit wird deine originale Aufgabe zwar jetzt "interessant" im
Sinne von nicht-trivial, aber für mich landet sie leider außerhalb
meines Interessens-/Mitredefachbereichs.

Im nachhinein gesehen, waren meine Beiträge nicht besser als die
von Jens, also wird es reichen, wenn nur noch einer dieser "Klasse"
übrigbleibt.
IV
2018-03-10 00:14:54 UTC
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Oder treffe ich hier (trotz deines Mathe-Disclaimers) Annahmen über deine
Begriffe, die du nicht gemeint hast? Sind a,b keine Variablen sondern
Ausdrücke? Wenn irgendwas davon, überlass ich dich wohl besser dem
Herrn Jens K. Der kann hier immer alles beantworten.
Post by IV
Ja, a und b sind voneinander algebraisch unabhängige Ausdrücke, nämlich
Funktionen ein und derselben Variablen.
Damit wird deine originale Aufgabe zwar jetzt "interessant" im Sinne von
nicht-trivial, aber für mich landet sie leider außerhalb meines
Interessens-/Mitredefachbereichs.
Im nachhinein gesehen, waren meine Beiträge nicht besser als die von Jens,
also wird es reichen, wenn nur noch einer dieser "Klasse" übrigbleibt.
Dein Hinweis, daß auch alle umgeformten Ausdrücke von a und b abhängen
müssen hatte mich an Van der Waerdens Satz erinnert. In diesem könnte die
Lösung liegen.
Die Nachtwache hat sich also gelohnt.
Vielen Dank. Auch an Jens.
Andreas Leitgeb
2018-03-10 21:04:10 UTC
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Post by IV
Dein Hinweis, daß auch alle umgeformten Ausdrücke von a und b abhängen
müssen hatte mich an Van der Waerdens Satz erinnert. In diesem könnte die
Lösung liegen.
Bevor du damit in die falsche Richtung losrennst: Mein Hinweis bezog
sich auf ganz normale Variablen a,b, nicht auf Funktionen einer
gemeinsamen Variablen. Bei letzterem fällt meine Argumentation wie
ein Kartenhaus zusammen. Mein Hinweis war in *deinem* Kontext leider
wirklich null und nichtig. Auf die Chance hin, dass dich schon die
Nennung eines Kunstworts, z.B. "Schwampf" bereits auf eine gute Fährte
bringen sollte, will ich es dir auch nicht vorenthalten: Schwampf.
IV
2018-03-12 20:01:13 UTC
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Post by IV
Dein Hinweis, daß auch alle umgeformten Ausdrücke von a und b abhängen
müssen hatte mich an Van der Waerdens Satz erinnert. In diesem könnte die
Lösung liegen.
Bevor du damit in die falsche Richtung losrennst: Mein Hinweis bezog sich
auf ganz normale Variablen a,b, nicht auf Funktionen einer gemeinsamen
Variablen. Bei letzterem fällt meine Argumentation wie ein Kartenhaus
zusammen. Mein Hinweis war in *deinem* Kontext leider wirklich null und
nichtig.
Nach Deinem interessanten Hinweis mit den Variablen sehe ich jetzt:
"a und b sind algebraisch unabhängig" heißt: a und b sind voneinander
unabhängig (dann sind es Variablen), oder sie sind nicht-algebraisch
voneinander abhängig.
Abhängigkeit zwischen a und b, egal ob algebraische oder transzendente
Abhängigkeit, schränkt den Definitionsbereich des Ausdrucks ein.
Bei ln(e^a + e^b) kann beides vorkommen, bei ln(e^f1(z) + e^f2(z)) mit a=
f1(z) und b = f2(z) nur letzteres.
Übrigens ist \mathbb{C} ein recht allgemeiner sinnvoller Körper für a, b,
f1(z) und f2(z).

Wenn Van der Waerdens Aussage "Algebraisch unabhängige Elemente kann man wie
Unbestimmte behandeln, da ihre algebraischen Eigenschaften dieselben sind."
wahr ist, dann müßte sich damit doch ergeben, daß f1(z) und f2(z) wie
Unbestimmte behandelt werden können. Und daraus mit Deinem Argument, daß der
Ausdruck ein Funktionsterm ist, daß alle durch Vereinfachung des obigen
Terms gewonnenen Ausdrücke immer von zwei algebraisch unabhängigen
Parametern abhängen, oder?
H0Iger SchuIz
2018-03-13 06:01:00 UTC
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Post by IV
Bei ln(e^a + e^b) kann beides vorkommen, bei ln(e^f1(z) + e^f2(z)) mit a=
f1(z) und b = f2(z) nur letzteres.
Keine Ahnung, ob das hier Sinn macht. Gilt a=
f1(z) und b = f2(z), so doch auch ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(e^a + e^b).
Woher sollen denn die Unterschiede dieser beiden "Ausdrücke" kommen?
Oder übersehe ich etwas?

hs
Andreas Leitgeb
2018-03-13 09:57:53 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bei ln(e^a + e^b) kann beides vorkommen, bei ln(e^f1(z) + e^f2(z)) mit a=
f1(z) und b = f2(z) nur letzteres.
Keine Ahnung, ob das hier Sinn macht. Gilt a=
f1(z) und b = f2(z), so doch auch ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(e^a + e^b).
Woher sollen denn die Unterschiede dieser beiden "Ausdrücke" kommen?
Oder übersehe ich etwas?
Wären a,b zwei unabhängige Variablen, dann wäre klar, dass keine davon
bei Umformungen des gegebenen Ausdrucks verschwinden könnte.

Da nun aber a,b jeweils funktionen einer Variablen z sind, wäre es
prinzipiell schon denkbar, dass man den gesamten Ausdruck auch mit
b, also f2(z) alleine hinkriegen könnte.

Da kommen nun diese algebraischen Aspekte ins Spiel. f1(z) und f2(z)
seien also nun algebraisch unabhängig, (wobei sich dieser Begriff für
funktionen noch nicht so richtig in meinem Kopf einnisten konnte),
dann soll es laut dem Satz von dem vanIrgendWaer so sein, dass
diese zwei algebraisch unabhängigen Funktionen wie "vollkommen"
(also eben "nicht nur algebrisch") unabhängige Variablen gesehen
werden können.

Meine Vermutung dazu ist, dass der besagte Satz nicht für beliebige
Ausdrücke a la ln(e^f1(z)+e^f2(z)) gilt, sondern vielleicht nur für
algebraische Ausdrücke mit f1(z) und f2(z) ... Und zwar, weil zwei
algebraisch unabhängige Funktionen bei jweiliger Verkettung mit einer
nicht so algebraischen Funktion eventuell ihrer Unabhängigkeit verlustig
gehen könnten...
Andreas Leitgeb
2018-03-13 10:06:37 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bei ln(e^a + e^b) kann beides vorkommen, bei ln(e^f1(z) + e^f2(z)) mit a=
f1(z) und b = f2(z) nur letzteres.
Keine Ahnung, ob das hier Sinn macht. Gilt a=
f1(z) und b = f2(z), so doch auch ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(e^a + e^b).
Woher sollen denn die Unterschiede dieser beiden "Ausdrücke" kommen?
Oder übersehe ich etwas?
Wären a,b zwei unabhängige Variablen, dann wäre klar, dass keine davon
bei Umformungen des gegebenen Ausdrucks verschwinden könnte.
Da nun aber a,b jeweils funktionen einer Variablen z sind, wäre es
prinzipiell schon denkbar, dass man den gesamten Ausdruck auch mit
b, also f2(z) alleine hinkriegen könnte.
Da kommen nun diese algebraischen Aspekte ins Spiel. f1(z) und f2(z)
seien also nun algebraisch unabhängig, (wobei sich dieser Begriff für
funktionen noch nicht so richtig in meinem Kopf einnisten konnte),
dann soll es laut dem Satz von dem vanIrgendWaer so sein, dass
diese zwei algebraisch unabhängigen Funktionen wie "vollkommen"
(also eben "nicht nur algebrisch") unabhängige Variablen gesehen
werden können.
Meine Vermutung dazu ist, dass der besagte Satz nicht für beliebige
Ausdrücke a la ln(e^f1(z)+e^f2(z)) gilt, sondern vielleicht nur für
algebraische Ausdrücke mit f1(z) und f2(z) ... Und zwar, weil zwei
algebraisch unabhängige Funktionen bei jweiliger Verkettung mit einer
nicht so algebraischen Funktion eventuell ihrer Unabhängigkeit verlustig
gehen könnten...
Nachsatz: es könnte aber auch ganz anders sein, dass die algebraische
Unabhängigkeit von Funktionen (die ich ja noch nicht richtig behirnt
habe - was für Polynome sind da im Spiel?) so eine starke Eigenschaft
ist, dass sie selbst bei jeweiliger Verkettung mit nicht-algebraischen
funktionen erhalten bliebe. Aber das ist nur um nochmals klarzustellen,
dass das vorige und diesmalige sämtlich nur Schüsse ins Blaue sind.
IV
2018-03-13 20:07:46 UTC
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f1(z) und f2(z) seien also nun algebraisch unabhängig, (wobei sich dieser
Begriff für funktionen noch nicht so richtig in meinem Kopf einnisten
konnte)
...
, dass die algebraische Unabhängigkeit von Funktionen (die ich ja noch
nicht richtig behirnt habe - was für Polynome sind da im Spiel?)
Jede Elementare Funktion läßt sich als Verkettung einer algebraischen
Funktion mit einer oder mehreren elementaren Funktionen darstellen. Es geht
um das Zusammensetzen der Elementaren Funktionen durch die algebraischen
Operationen. Das bewerkstelligen die Polynome aus ihren Koeffizienten. Die
Polynomkoeffizienten sind also ebenfalls Elementare Funktionen.
Du kannst das in der Sprache der Funktionen denken, oder in der Sprache
ihrer Funktionsterme.
IV
2018-03-13 18:42:54 UTC
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Raw Message
Post by IV
"a und b sind algebraisch unabhängig" heißt: a und b sind voneinander
unabhängig (dann sind es Variablen), oder sie sind nicht-algebraisch
voneinander abhängig.
Abhängigkeit zwischen a und b, egal ob algebraische oder transzendente
Abhängigkeit, schränkt den Definitionsbereich des Ausdrucks ein.
Bei ln(e^a + e^b) kann beides vorkommen, bei ln(e^f1(z) + e^f2(z)) mit a=
f1(z) und b = f2(z) nur letzteres.
Keine Ahnung, ob das hier Sinn macht. Gilt a= f1(z) und b = f2(z), so doch
auch ln(e^f1(z) + e^f2(z)) = ln(e^a + e^b).
Woher sollen denn die Unterschiede dieser beiden "Ausdrücke" kommen?
Oder übersehe ich etwas?
a und b können vollkommen unabhängig voneinander sein (= gleichzeitig
algebraisch und transzendent unabhängig voneinander) - dann sind es
unabhängige Variable. Zwischen ihnen kann aber auch eine algebraische oder
eine transzendente Relation bestehen, dann sind sie algebraisch oder
transzendent abhängig voneinander.
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige Elemente
(einer Menge, ja eines Körpers). Da f1 und f2 Funktionen desselben Arguments
sind, sind sie voneinander abhängig - sie können deshalb keine unabhängigen
Variablen sein (Sehe ich das richtig?). Van der Waerdens Satz besagt aber
das Gegenteil.
H0Iger SchuIz
2018-03-13 19:41:06 UTC
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Raw Message
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige Elemente
(einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?

hs
IV
2018-03-13 20:12:27 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige Elemente
(einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C}, mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen,
bei Van der Waerden wahrscheinlich von \mathbb{C}.
Torn Rumero DeBrak
2018-03-13 22:19:02 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige
Elemente (einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C}, mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen,
bei Van der Waerden wahrscheinlich von \mathbb{C}.
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.

z.B. hat die elementare Funtione f: IC -> IC, z |-> z, die ja NICHT die
identische Nullfunktion ist, keine inverse Funktion mit gleichem
Definitionsbereich wie f, was sie aber haben müsste, falls die
elementaren Funktionen einen Körper bilden.

Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.

Dieses Entfernen eines Elementes aus dem Definitionsbereich müsste
man aber für JEDEN Wert z_0 machen, denn auch g: z |-> z - z_0
ist elementar und bräuchte ein Inverses.

Damit würden alle Definitionsbereiche der elementaren Funktionen leer
sein, damit auch deren Summen und Differenzen mit GLEICHEN
Definitionsbereichen überhaupt definiert sind.

Ich befürchte, du schmeisst hier mit Begriffen und dich
(Körper, Erweiterungskörper, algebraisch etc.), die du nicht
verstanden hast.


Aloha
Helmut Richter
2018-03-14 10:30:00 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
z.B. hat die elementare Funtione f: IC -> IC, z |-> z, die ja NICHT die
identische Nullfunktion ist,
Doch: identisch schon, Nullfunktion nicht.
Post by Torn Rumero DeBrak
keine inverse Funktion mit gleichem
Definitionsbereich wie f,
Doch. Sie selbst: f(f(z)) = f(z) = z
--
Helmut Richter
Ralf Goertz
2018-03-14 15:17:25 UTC
Permalink
Raw Message
Am Wed, 14 Mar 2018 11:30:00 +0100
Post by Helmut Richter
Post by Torn Rumero DeBrak
z.B. hat die elementare Funtione f: IC -> IC, z |-> z, die ja NICHT
die identische Nullfunktion ist,
Doch: identisch schon, Nullfunktion nicht.
Post by Torn Rumero DeBrak
keine inverse Funktion mit gleichem
Definitionsbereich wie f,
Doch. Sie selbst: f(f(z)) = f(z) = z
Ich glaube, Torn meinte z |-> 1/z
H0Iger SchuIz
2018-03-14 18:10:22 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
z.B. hat die elementare Funtione f: IC -> IC, z |-> z, die ja NICHT die
identische Nullfunktion ist, keine inverse Funktion
Inverse bezüglich welcher Verknüpfung?

hs
IV
2018-03-14 20:38:20 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige Elemente
(einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C}, mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen, bei Van der Waerden wahrscheinlich von
\mathbb{C}.
Zum wiederholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Ich befürchte, du schmeisst hier mit Begriffen um dich (Körper,
Erweiterungskörper, algebraisch etc.), die du nicht verstanden hast.
Ich bin ja auch noch nicht so weit, aber hier war mit Nachdruck nach dem
Körper gefragt, weshalb ich mich wie immer zu einer übereilten Stellungnahme
genötigt sah.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Ich habe mich mit der Frage, ob die Elementaren Funktionen nun tatsächlich
einen Körper bilden, noch nicht beschäftigt, aber:
Mir scheint, hier sind zwei verschiedene Herangehensweisen möglich. So wie
ich es verstehe, geht es bei Liouville, Ritt und in der Differentialalgebra
der Elementaren Funktionen lediglich um den Aufbau der F u n k t i o n s t
e r m e der Elementaren Funktionen aus komplexen Konstanten, algebraischen
Funktionen, exp und ln.

Auf die Schnelle:
Davenport J. H.: What Might “Understand a Function” Mean? In: Kauers, M. u.
a.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. 14th Symposium, Calculemus
2007, 6th International Conference, MKM 2007, Hagenberg, Austria, June
27-30, 2007. Proceedings
https://www.semanticscholar.org/paper/What-Might-%22Understand-a-Function%22-Mean%3F-Davenport/3b2f16e35f86d53bc75429e8431e0a453e9af3e4

Kann denn "extension" hier etwas anderes bedeuten als "Erweiterungskörper"?
"Definition 3. Let K be a field of functions in R --> R (or C --> C). f(x),
a function from R --> R (or C --> C) is said to be an elementary (resp.
Liouvillian) function if it lies in some elementary (resp. Liouvillian)
extension K(θ1, . . .θn) of K."
H0Iger SchuIz
2018-03-15 06:32:27 UTC
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Post by IV
Ich habe mich mit der Frage, ob die Elementaren Funktionen nun tatsächlich
einen Körper bilden, noch nicht beschäftigt
Dann sollte man dergleichen auch nich behaupten oder gar damit arbeiten.

hs
IV
2018-03-14 21:34:22 UTC
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Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Liegt unsere unterschiedliche Auffassung vielleicht darin, daß Liouville,
Ritt, die Differentialalgebra der Elementaren Funktionen und ich die
Multiplikation von Funktionen meinen, Du aber die Komposition?
In der Menge der Elementaren Funktionen ist das Inverse das Multiplikative
Inverse, also das Reziproke. Du scheinst aber stattdessen die Umkehrfunktion
zu meinen.
Ist dem so?
Torn Rumero DeBrak
2018-03-14 23:08:34 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Liegt unsere unterschiedliche Auffassung vielleicht darin, daß
Liouville, Ritt, die Differentialalgebra der Elementaren Funktionen und
ich die Multiplikation von Funktionen meinen, Du aber die Komposition?
In der Menge der Elementaren Funktionen ist das Inverse das
Multiplikative Inverse, also das Reziproke. Du scheinst aber stattdessen
die Umkehrfunktion zu meinen.
Ist dem so?
Nein, ich meine schon z |-> 1/z, was ja für 0 nicht definiert ist.,
als multiplikativ inverse Funktion.
Oder siehst du das anders?
Wie können dann Liouville, Ritt etc. so einen begrifflichen Faux-pas
begehen. Oder meinen sie NICHT die multiplikativ inverse Funktion,
wie du vielleicht missverstehst?

Aloha
IV
2018-03-16 17:07:05 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Nein, ich meine schon z |-> 1/z, was ja für 0 nicht definiert ist., als
multiplikativ inverse Funktion.
Oder siehst du das anders?
Wie können dann Liouville, Ritt etc. so einen begrifflichen Faux-pas
begehen. Oder meinen sie NICHT die multiplikativ inverse Funktion, wie du
vielleicht missverstehst?
Also, seid Ihr die Mathematiker, oder ich?
Siehe:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion#AbweichendeBedeutung in der
abstrakten Algebra und
https://de.wikipedia.org/wiki/Rationaler_Funktionenk%C3%B6rper

Ich habe mich damit noch nicht beschäftigt, aber ich ahne, man müßte den
hier relevanten Körper Elementarer Funktionenkörper (= Funktionenkörper der
Elementaren Funktionen) nennen.
Torn Rumero DeBrak
2018-03-17 19:22:57 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Nein, ich meine schon z |-> 1/z, was ja für 0 nicht definiert ist., als
multiplikativ inverse Funktion.
Oder siehst du das anders?
Wie können dann Liouville, Ritt etc. so einen begrifflichen Faux-pas
begehen. Oder meinen sie NICHT die multiplikativ inverse Funktion, wie du
vielleicht missverstehst?
Also, seid Ihr die Mathematiker, oder ich?
https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Funktion#AbweichendeBedeutung in der
abstrakten Algebra und
https://de.wikipedia.org/wiki/Rationaler_Funktionenk%C3%B6rper
Ich habe mich damit noch nicht beschäftigt, aber ich ahne, man müßte den
hier relevanten Körper Elementarer Funktionenkörper (= Funktionenkörper der
Elementaren Funktionen) nennen.
Du verwechselst die Begriffe "Körper von Funktionen (field of
functions)" und "Funktionenkörper (function field)".

Bitte mach dich schlau und verwende die passenden Begriffe.

Aloha
IV
2018-03-18 16:08:16 UTC
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Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Damit es eine inverse Funktion zu f gibt, müsste man 0 aus dem
Definitionsbereich entfernen.
Wie können dann Liouville, Ritt etc. so einen begrifflichen Faux-pas
begehen.
Ich habe mich damit noch nicht beschäftigt, aber ich ahne, man müßte den
hier relevanten Körper Elementarer Funktionenkörper (= Funktionenkörper
der Elementaren Funktionen) nennen.
Du verwechselst die Begriffe "Körper von Funktionen (field of functions)"
und "Funktionenkörper (function field)".
Bitte mach dich schlau und verwende die passenden Begriffe.
Wikiversity:
https://de.wikiversity.org/wiki/Quotientenk%C3%B6rper/Polynomring/Eine_Variable/Rationaler_Funktionenk%C3%B6rper/Definition
"Rationaler Funktionenkörper
Sei K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Variablen über K. Dann
nennt man den Quotientenkörper Q(K[X]) den rationalen Funktionenkörper über
K (oder Körper der rationalen Funktionen über K). Er wird mit K(X)
bezeichnet."
IV
2018-03-17 21:01:19 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
Körper der Elementaren Funktionen
Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Wie können dann Liouville, Ritt etc. so einen begrifflichen Faux-pas
begehen. Oder meinen sie NICHT die multiplikativ inverse Funktion, wie du
vielleicht missverstehst?
Ich hatte einige Literaturstellen als Beleg angeführt, nach denen sowohl die
Rationalen Funktionen als auch die Algebraischen Funktionen und die
Elementaren Funktionen einen Körper bilden.
Habe ich das mißverstanden?
Bilden die Elementaren Funktionen nun einen Körper, oder nicht?
H0Iger SchuIz
2018-03-18 11:05:22 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Bilden die Elementaren Funktionen nun einen Körper, oder nicht?
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.

Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen. Wenn ich mich recht entsinne, wird der Begriff der
elementaren Funktionen nicht ganz einheitlich verwendet.

hs
IV
2018-03-18 12:58:46 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bilden die Elementaren Funktionen nun einen Körper, oder nicht?
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.
Und Ihr offenbar auch nicht.
Post by H0Iger SchuIz
Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen. Wenn ich mich recht entsinne, wird der Begriff der
elementaren Funktionen nicht ganz einheitlich verwendet.
Och nö, och nö! Liouville, Ritt und die darauf aufbauende
Differentialalgebra meinen dieselben Funktionenklassen.
H0Iger SchuIz
2018-03-18 13:26:57 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bilden die Elementaren Funktionen nun einen Körper, oder nicht?
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.
Und Ihr offenbar auch nicht.
Und? Unentschieden? Vielleicht interessiert das die hier in der zweiten
Person Plural angesprochene, aber nicht genauer spezifizierte
Personengruppe es auch nicht so brennend.

Ohne mir das genau angesehen zu haben, könnte ich mir vorstellen, dass
man die Körperaxiome ausgehend von der Definition einfach durchrechnen
kann.

Viel Spaß.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen. Wenn ich mich recht entsinne, wird der Begriff der
elementaren Funktionen nicht ganz einheitlich verwendet.
Och nö, och nö! Liouville, Ritt und die darauf aufbauende
Differentialalgebra meinen dieselben Funktionenklassen.
Ja dann ist ja prima.

hs
IV
2018-03-18 14:08:12 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Bilden die Elementaren Funktionen nun einen Körper, oder nicht?
Ohne mir das genau angesehen zu haben, könnte ich mir vorstellen, dass man
die Körperaxiome ausgehend von der Definition einfach durchrechnen kann.
Viel Spaß.
Aber da gibt's ja noch dieses Statement hier: news:p89ioj$17qj$***@gioia.aioe.org
"Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper."
H0Iger SchuIz
2018-03-18 14:48:03 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
"Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper."
Ja, dann prüfe ere die Argumente dort. Dass man auf die
Definitionsbereiche achten muss, werde lieber nicht erwähnen.

hs
IV
2018-03-18 16:03:45 UTC
Permalink
Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.
Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen. Wenn ich mich recht entsinne, wird der Begriff der
elementaren Funktionen nicht ganz einheitlich verwendet.
"Zum wierderholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper."
Ja, dann prüfe er die Argumente dort. Dass man auf die Definitionsbereiche
achten muss, werde ich lieber nicht erwähnen.
Heißt: Frag bitte nicht hier - wir können nur kritisieren, aber nicht
antworten.

Rationale Funktionen - TU Darmstadt/Mathematik:
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=931&evsdir=887&evsfile=supp.pdf
"0.2 Rationale Funktionen
0.2.1 Körper der rationalen Funktionen
Wie von Z zu Q kann man vom Polynomring K[x] zum Köorper K(x) der rationalen
Funktionen übergehen. ..."
H0Iger SchuIz
2018-03-18 16:11:50 UTC
Permalink
Raw Message
"H0Iger SchuIz" schrieb im Newsbeitrag
Ja, dann prüfe er die Argumente dort. Dass man auf die Definitionsbereiche
achten muss, werde ich lieber nicht erwähnen.
wir
Wer soll das sein? Wer spricht hier für andere.
können nur kritisieren, aber nicht
antworten.
Oder haben keine Lust. Wenn man etwa siebzehnmal auf die Bemerkung, dass
zu einer Funktion nunmal auch der Definitions- und Wertebereich gehört,
Antworten der Form, dass einen das nicht interessieren müsse, weil man
ja kein Mathematiker sei, bekommt, dann spart man sich die 18. Bemerkung
dieser Art.
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=9
31&evsdir=887&evsfile=supp.pdf
"0.2 Rationale Funktionen
0.2.1 Körper der rationalen Funktionen
Wie von Z zu Q kann man vom Polynomring K[x] zum Köorper K(x) der rationalen
Funktionen übergehen. ..."
Auch schön.

hs
IV
2018-03-18 16:27:31 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.
Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen.
Ja, dann prüfe er die Argumente dort.
Heißt: Frag bitte nicht hier - wir können nur kritisieren, aber nicht
antworten.
Wenn man etwa siebzehnmal auf die Bemerkung, dass zu einer Funktion nunmal
auch der Definitions- und Wertebereich gehört, Antworten der Form, dass
einen das nicht interessieren müsse, weil man
ja kein Mathematiker sei, bekommt, dann spart man sich die 18. Bemerkung
dieser Art.
Ja, wenn. Ich jedenfalls hatte nur gesagt, daß man sich die
Definitionsbereiche später noch anschauen könne, und daß die für die
Definitionen hier keine Rolle spielen. Siehe meine Literaturbelege.
Post by IV
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=931&evsdir=887&evsfile=supp.pdf
"0.2 Rationale Funktionen
0.2.1 Körper der rationalen Funktionen
Wie von Z zu Q kann man vom Polynomring K[x] zum Köorper K(x) der
rationalen Funktionen übergehen. ..."
Auch schön.
Auch schön und ohne Definitionsbereiche.
Auch schön ohne Definitionsbereiche.
H0Iger SchuIz
2018-03-18 16:39:32 UTC
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Post by IV
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Eben hat er noch was zitiert, was das belegen soll, und jetzt weiß er
nicht, ob es gilt.
Ich würde zunächst mal überprüfen, ob die verwendeten Definition
übereinstimmen.
Ja, dann prüfe er die Argumente dort.
Heißt: Frag bitte nicht hier - wir können nur kritisieren, aber nicht
antworten.
Wenn man etwa siebzehnmal auf die Bemerkung, dass zu einer Funktion nunmal
auch der Definitions- und Wertebereich gehört, Antworten der Form, dass
einen das nicht interessieren müsse, weil man
ja kein Mathematiker sei, bekommt, dann spart man sich die 18. Bemerkung
dieser Art.
Ja, wenn.
Dieser Hinweis bezog sich nicht nur auf diesen Thread. Man kann sich
auch nachhaltig daneben benehmen.
Post by IV
Ich jedenfalls hatte nur gesagt, daß man sich die
Definitionsbereiche später noch anschauen könne, und daß die für die
Definitionen hier keine Rolle spielen.
Und? Spielen Sie für die Körpereigenschaft eine Rolle? Darum ging es
wohl in Torns Hinweis.
Post by IV
Siehe meine Literaturbelege.
Post by IV
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?
evsver=931&evsdir=887&evsfile=supp.pdf
"0.2 Rationale Funktionen
0.2.1 Körper der rationalen Funktionen
Wie von Z zu Q kann man vom Polynomring K[x] zum Köorper K(x) der
rationalen Funktionen übergehen. ..."
Auch schön.
Auch schön und ohne Definitionsbereiche.
Auch schön ohne Definitionsbereiche.
Wenn das der Maßstab sein soll, noch viel Spaß.

hs
IV
2018-03-18 17:37:01 UTC
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Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Definitionsbereiche
Und? Spielen Sie für die Körpereigenschaft eine Rolle? Darum ging es wohl
in Torns Hinweis.
Torns Hinweis war:
Zum wiederholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Post by IV
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by IV
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=931&evsdir=887&evsfile=supp.pdf
"0.2 Rationale Funktionen
0.2.1 Körper der rationalen Funktionen
Wie von Z zu Q kann man vom Polynomring K[x] zum Köorper K(x) der
rationalen Funktionen übergehen. ..."
Auch schön.
Auch schön und ohne Definitionsbereiche.
Auch schön ohne Definitionsbereiche.
Wenn das der Maßstab sein soll, noch viel Spaß.
Ja, ja, dieserart Literaturstellen sollen der Maßstab sein: alles ohne
konkrete Definitionsbereiche der einzelnen Funktionen.
Sind das nun Formale rationale / algebraische / elementare Funktionen? So
wie Formale Potenzreihen - ohne konkrete Definitionsbereiche und Konvergenz?
Siehe die Definitionsbereiche der rationalen Funktionen im Rationalen
Funktionenkörper: Zariski-offene Teilmengen.
H0Iger SchuIz
2018-03-19 08:36:48 UTC
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Post by Torn Rumero DeBrak
Definitionsbereiche
Und? Spielen Sie für die Körpereigenschaft eine Rolle? Darum ging es wohl
in Torns Hinweis.
Zum wiederholten Male: Die elementaren Funktionen bilden KEINEN Körper.
Sein Beitrag war etwas länger. Und in seiner Argumentation geht es
durchaus auch um Definitionsbereiche. Könnte man ja mal lesen, wenn es
einen interessiert.
Wie gesagt, viel Spaß.

hs

Carlos Naplos
2018-03-18 21:35:32 UTC
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...
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Und Ihr offenbar auch nicht.
Und? Unentschieden? Vielleicht interessiert das die hier in der zweiten
Person Plural angesprochene, aber nicht genauer spezifizierte
Personengruppe es auch nicht so brennend.
"Ihr", groß geschrieben, ist der Pluralis Majestatis. Damit meint er
wohl Euch werter H0Iger.

lg CN
H0Iger SchuIz
2018-03-14 18:10:21 UTC
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Post by IV
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C},
Bezüglich welcher Verknüpfungen ist das ein Körper.
Post by IV
mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen,
Sorry, hier komme ich beim satzbau nicht hinterher. Aber auch hier die
Frage, bezüglich welcher Verknüpfungen das ein Körper ist.

hs
IV
2018-03-14 20:48:07 UTC
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Post by IV
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C},
Bezüglich welcher Verknüpfungen ist das ein Körper.
mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen,
Aber auch hier die Frage, bezüglich welcher Verknüpfungen das ein Körper
ist.
Bezüglich der Addition und der Multiplikation Elementarer Funktionen.
Jede Elementare Funktion ist eine algebraische Funktion Elementarer
Funktionen.
Meine vorschnelle Vorahnung: Die Definitions- und Wertebereiche werden nicht
betrachtet, es geht nur um die Funktionsterme.
IV
2018-03-14 19:43:28 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige Elemente
(einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C}, mit \mathbb{E} der
Körper der Elementaren Funktionen,
bei Van der Waerden wahrscheinlich von \mathbb{C}.
Mit etwas mehr Ruhe, und nicht gedrängt hier Antworten zu geben die ich noch
nicht habe, revidiere ich hiermit meine Angabe zum zugrundeliegenden Körper.
f1 und f2 sollen voneinander algebraisch unabhängig über \mathbb{C} sein.
Ralf Goertz
2018-03-15 08:31:58 UTC
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Am Wed, 14 Mar 2018 20:43:28 +0100
Post by IV
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f1 und f2 sind ja voraussetzungsgemäß algebraisch unabhängige
Elemente (einer Menge, ja eines Körpers).
Von welchem Körper ist da die Rede?
Bei mir vom Erweiterungskörper \mathbb{E}/\mathbb{C}, mit
\mathbb{E} der Körper der Elementaren Funktionen,
bei Van der Waerden wahrscheinlich von \mathbb{C}.
Mit etwas mehr Ruhe, und nicht gedrängt hier Antworten zu geben die
ich noch nicht habe, revidiere ich hiermit meine Angabe zum
zugrundeliegenden Körper. f1 und f2 sollen voneinander algebraisch
unabhängig über \mathbb{C} sein.
Ich weiß ja nicht genau, wie das mit den Funktionen ist, aber da C ein
algebraisch abgeschlossener Körper ist (jedes nicht-konstante Polynom
über C hat hat alle seine Nullstellen bereits in C), ist jede
Körpererweiterung von C notwendigerweise nichtalgebraisch. Insbesondere
gibt es ein Polynom, dass sowohl pi als auch e als Nullstelle hat:
(x-pi)*(x-e). Für dieses Beispiel reicht übrigens schon IR aus.
Interessant wir es erst, wenn man Q betrachtet und sich zum Beispiel
fragt, gibt es ein Polynom über Q[pi] (also dem Unterkörper von IR, der
neben allen Elementen von Q auch noch pi enthält), das e als Nullstelle
hat oder umgekehrt. Das wäre für mich die Definition von algebraisch
unabhängig über Q. Soweit ich weiß, ist das bisher nicht bekannt.
H0Iger SchuIz
2018-03-10 14:41:45 UTC
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Post by IV
Ja, a und b sind voneinander algebraisch unabhängige Ausdrücke, nämlich
Funktionen ein und derselben Variablen.
Es ist doch interessant, dass man Festlegung über a und b dann kurz vor
Ende des Threads noch erfährt. So baute schon Agatha Christie Spannung
auf, indem sie am Ende Herr Poirot aus Fakten schließen ließ, die dem
Leser unmöglich bekannt sein konnten.
Post by IV
Die algebraischen Zahlen sind algebraisch abhängig über Q. pi und 2*pi sind
algebraisch abhängig über R. Zwischen ihnen besteht eine algebraische
Funktion A, mit A: z \mapsto 2*z.
Algebraische Abhängigkeit ist bezüglich eines Körpers zu betrachten? Und
warum wird nicht gesagt, bezüglich welches Körpers denn nun "a" und "b"
unabhängig sein soll?

hs
IV
2018-03-10 17:05:50 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Algebraische Abhängigkeit ist bezüglich eines Körpers zu betrachten? Und
warum wird nicht gesagt, bezüglich welches Körpers denn nun "a" und "b"
unabhängig sein soll?
Weil auch das hier nicht notwendig ist. Wer bestimmte Körper zugrundelegen
muß um die Antwort nur für diese Körper zu geben der mag welche auswählen.
(Für Körper die keine Teilmenge von \mathbb{C} sind dürfte sich der Ausdruck
vereinfachen zur Leeren Menge.)
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