Discussion:
Definition der Halbgerade (Strahl) - wie?
(zu alt für eine Antwort)
H.-P. Schulz
2017-05-12 19:31:25 UTC
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Eine Gerade kann definiert werden

- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben

- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.

Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.

Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
wäre nicht gesagt, *welche* Punkte da weniger sind als in der Geraden:
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))

Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
Torn Rumero DeBrak
2017-05-12 19:59:47 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
{ a + t*(b - a) | t e IR^>=0 } ist der Strahl, der im Punkt a anfängt
und durch den Punkt b geht.
( a, b zwei beliebige Elemente des euklidischen Raumes ).
Carlos Naplos
2017-05-13 10:59:38 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))
Und außerdem ist es falsch. Abgesehen davon dass "halb so mächtig" kein
allgemein gebräuchlicher Begriff ist und intuitiv keinen Sinn zeigt,
sind Gerade und Halbgerade gleichmächtig.
Post by H.-P. Schulz
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
Jens Kallup
2017-05-13 13:53:05 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
da gibts die "Geo"metrik.
Also nehmen wir mal an, wir wollten ein Stück Straße
vermessen.
Dies geht aber leider in die Hose, wenn wir nicht die
um die Erde kreisenden Satelitten haben.
Wenn wir mit der Differential-Rechnung ein Stück Straße
berechnen wollten, müssen wir bedenken, das die Erde
Rund, und die Staße gekrümt ist, und somit keine gerade
Linie ergibt.

Man entnimmt also immer ein kleines Stück, das so wie
eine Halbellipse ausschaut und bügelt das gerade.

Das ganze gebilde nennt man dann "Karte".

Dann kann man die Strecke berechnen, indem man 2 Punkte
auswählt und von einen Ende (beide Enden sind ja auf dieser
Projektion gleich - also oben und unten - und nur durch die
Richtung bestimmt;

immer abwärts sich einen Nährungswert nähert; es ist ja nun
eine "gerade" und keine "gebogene" Strecke ...

Hope this Helps
Jens
H.-P. Schulz
2017-05-13 14:35:48 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by H.-P. Schulz
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
da gibts die "Geo"metrik.
Also nehmen wir mal an, wir wollten ein Stück Straße
vermessen.
Dies geht aber leider in die Hose, wenn wir nicht die
um die Erde kreisenden Satelitten haben.
Wenn wir mit der Differential-Rechnung ein Stück Straße
berechnen wollten, müssen wir bedenken, das die Erde
Rund, und die Staße gekrümt ist, und somit keine gerade
Linie ergibt.
Man entnimmt also immer ein kleines Stück, das so wie
eine Halbellipse ausschaut und bügelt das gerade.
Das ganze gebilde nennt man dann "Karte".
Dann kann man die Strecke berechnen, indem man 2 Punkte
auswählt und von einen Ende (beide Enden sind ja auf dieser
Projektion gleich - also oben und unten - und nur durch die
Richtung bestimmt;
immer abwärts sich einen Nährungswert nähert; es ist ja nun
eine "gerade" und keine "gebogene" Strecke ...
Hope this Helps
Nee, leider gar nicht.
Hast Du überhaupt mein Posting gelesen?
Ich wollte nichts über Projektionen und Landvermessung wissen, sondern
wie/ob das geometrische Gebilde "Strahl" exakt definiert ist.
Oder ist *dir* nicht klar, was mit "Strahl" gemeint ist?
Jens Kallup
2017-05-13 16:00:40 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Oder ist *dir* nicht klar, was mit "Strahl" gemeint ist?
was ein Strahl ist, meine ich zu wissen.
Doch wie willst Du einen Strahl definieren?
rund (bei Licht), gebogen (bei Wasserfall)?

Ein Strahl kann ja auch ein Strom sein, der mittels
Magnet gerichtet werden kann.
Oder wie willst Du einen Strahl bestimmen, der durch
einen Nebel gradiert wird?

Da gibts vieles, ja.

Nach Wikipedia, verfügt ein Strahl eine Orientierung.
Dann verzeigt mit Orientierung = Begriff der linearen
Algebra und der Differentialgeometrie.

Das was ich versucht habe zu schreiben ist, das es den
Begriff Strahl 1x im Raum und 1x in der Ebene gibt.

Jens
Ralf Bader
2017-05-13 15:30:50 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by H.-P. Schulz
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
da gibts die "Geo"metrik.
Also nehmen wir mal an, wir wollten ein Stück Straße
vermessen.
Dies geht aber leider in die Hose, wenn wir nicht die
um die Erde kreisenden Satelitten haben.
Ja, man sollte es kaum glauben. Heutzutage erscheint es ganz
selbstverständlich, daß auf Wegweisern angegeben ist, wie lang eine
Straße ist. Noch vor 70 Jahren konnte man das mangels Satelliten nicht.
Ralf Bader
2017-05-13 15:20:44 UTC
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Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Post by H.-P. Schulz
- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
Selbstverständlich gibt es da was. Dazu wird, was Euklid nicht getan
hat, aber in späteren Aufarbeitungen der euklidischen Geometrie (Pasch,
Vorlesungen über die neuere Geometrie; Hilbert, Grundlagen der
Geometrie) für die Punkte einer Geraden die Relation "zwischen"
eingeführt, bei Hilbert axiomatisch. Eine Halbgerade h(O,A) ist dann
gegeben durch 2 Punkte A und O auf einer Geraden g (die natürlich durch
die beiden Punkte A und O eindeutig bestimmt ist); und diese Halbgerade
umfaßt alle Punkte Z auf g, so daß O nicht zwischen A und Z liegt (es
ist also O der Anfangspunkt der Halbgeraden, und A irgendein Punkt in
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Detlef Müller
2017-05-14 12:10:05 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
[...]
Post by Ralf Bader
eingeführt, bei Hilbert axiomatisch. Eine Halbgerade h(O,A) ist dann
gegeben durch 2 Punkte A und O auf einer Geraden g (die natürlich durch
die beiden Punkte A und O eindeutig bestimmt ist); und diese Halbgerade
umfaßt alle Punkte Z auf g, so daß O nicht zwischen A und Z liegt (es
ist also O der Anfangspunkt der Halbgeraden, und A irgendein Punkt in
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Ist das dann nicht die Halbgerade, die beim Mittelpunkt M_{0A}
zwischen 0 und A auf g startet?
D.h. für die Halbgrade von O nach A ist
die Menge aller Punkte auf der Geraden g = OA, deren Abstand
von A' kleiner oder gleich dem Abstand von O ist, wobei A' durch
Punktspiegelung von O an A hervorgeht.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Ralf Bader
2017-05-14 17:01:16 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
[...]
Post by Ralf Bader
eingeführt, bei Hilbert axiomatisch. Eine Halbgerade h(O,A) ist dann
gegeben durch 2 Punkte A und O auf einer Geraden g (die natürlich durch
die beiden Punkte A und O eindeutig bestimmt ist); und diese Halbgerade
umfaßt alle Punkte Z auf g, so daß O nicht zwischen A und Z liegt (es
ist also O der Anfangspunkt der Halbgeraden, und A irgendein Punkt in
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Ist das dann nicht die Halbgerade, die beim Mittelpunkt M_{0A}
zwischen 0 und A auf g startet?
Genau.
Post by Detlef Müller
D.h. für die Halbgrade von O nach A ist
die Menge aller Punkte auf der Geraden g = OA, deren Abstand
von A' kleiner oder gleich dem Abstand von O ist, wobei A' durch
Punktspiegelung von O an A hervorgeht.
Gruß,
Detlef
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-14 12:43:47 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Kein Problem: Man definiert sich für den Abstand zweier Punkte P und Q eine
Norm ‖\vec{PQ}‖. Das Ergebnis dieser Definition ist dann eine Gerade
unter dieser Norm.
Post by Ralf Bader
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Wenn man die ursprüngliche Definition erweitert, so dass die zwei gegebenen
Punkte – nennen wir sie P₁ und P₂ – nicht auf der Geraden liegen, d.h. keine
Elemente der Menge G der sie definierenden Punkte sind –

{P₁, P₂} ∩ G = ∅

–, also der Abstand zwischen P₁ und *allen* Elementen von G, sowie zwischen
P₂ und *allen* Elementen von G grösser als 0 ist –

r₁ = ‖\vec{P₁Q}‖ > 0 }
} ∀ Q ∈ G,
r₂ = ‖\vec{P₂Q}‖ > 0 }

r₁ = r₂

– dann ist sie IMHO eindeutig und passend.
--
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
Ralf Bader
2017-05-14 17:00:06 UTC
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Raw Message
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Kein Problem: Man definiert sich für den Abstand zweier Punkte P und Q eine
Norm ‖\vec{PQ}‖. Das Ergebnis dieser Definition ist dann eine Gerade
unter dieser Norm.
Das ist sehr wohl ein Problem. Wenn man Geometrie axiomatisch betreibt, wie
sich das seit ein paar Jahrtausenden als sinnvoll erwiesen hat, dann muß
sich ein Abstandsbegriff aus den Axiomen ergeben und nicht durch
freihändiges Herbeidefinieren.
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Ralf Bader
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Wenn man die ursprüngliche Definition erweitert, so dass die zwei
gegebenen Punkte – nennen wir sie P₁ und P₂ – nicht auf der Geraden
liegen, d.h. keine Elemente der Menge G der sie definierenden Punkte sind

{P₁, P₂} ∩ G = ∅
–, also der Abstand zwischen P₁ und *allen* Elementen von G, sowie
zwischen P₂ und *allen* Elementen von G grösser als 0 ist –
r₁ = ‖\vec{P₁Q}‖ > 0 }
} ∀ Q ∈ G,
r₂ = ‖\vec{P₂Q}‖ > 0 }
r₁ = r₂
– dann ist sie IMHO eindeutig und passend.
Welche ursprüngliche Definition? Welche Gerade? Welche sie soll dann
eindeutig sein?
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-14 20:19:17 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Bader
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Kein Problem: Man definiert sich für den Abstand zweier Punkte P und Q
eine Norm ‖\vec{PQ}‖. Das Ergebnis dieser Definition ist dann eine
Gerade unter dieser Norm.
Das ist sehr wohl ein Problem. Wenn man Geometrie axiomatisch betreibt,
wie sich das seit ein paar Jahrtausenden als sinnvoll erwiesen hat, dann
muß sich ein Abstandsbegriff aus den Axiomen ergeben und nicht durch
freihändiges Herbeidefinieren.
Das ist kein „freihändiges Herbeidefinieren“. *Jeder* Abstand zweier Punkte
P und Q ist durch die Norm eines Vektors \vec{PQ} definiert.

<https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)>
Post by Ralf Bader
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Ralf Bader
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Wenn man die ursprüngliche Definition erweitert, so dass die zwei-
gegebenen Punkte – nennen wir sie P₁ und P₂ – nicht auf der Geraden
liegen, d.h. keine Elemente der Menge G der sie definierenden Punkte sind

{P₁, P₂} ∩ G = ∅
–, also der Abstand zwischen P₁ und *allen* Elementen von G, sowie
zwischen P₂ und *allen* Elementen von G grösser als 0 ist –
r₁ = ‖\vec{P₁Q}‖ > 0 }
} ∀ Q ∈ G,
r₂ = ‖\vec{P₂Q}‖ > 0 }
r₁ = r₂
– dann ist sie IMHO eindeutig und passend.
Welche ursprüngliche Definition?
Die von H.-P. als erste genannte. Sie ist in der Tat unzureichend, weil der
Fall, dass die Punkte P₁ und P₂, von denen der Abstand zu Punkten bestimmt
werden soll, die auf der zu definierenden Geraden liegen bzw. Elemente der
Menge der Punkte der zu definierenden Geraden sind, oder dass P₁ und P₂
identisch sind, nicht ausgeschlossen wurde. Erweitert man sie wie von mir
vorgeschlagen, dann wird dadurch eine Gerade eindeutig definiert.
Post by Ralf Bader
Welche Gerade? Welche sie soll dann eindeutig sein?
Für zwei frei gewählte fixe Punkte P₁ und P₂ (wobei hinzuzufügen ist, dass
P₁ und P₂ voneinander verschieden sein müssen) gibt es genau eine eindeutige
Menge G aus Punkten Q, die (unter einer gewählten fixen Norm) diese
Definition erfüllt. Alle Punkte dieser Menge liegen (unter dieser Norm) auf
einer (bestimmten) Geraden g:

P₁
.
d₁ .'/ \`. d₃
,' / d₂\ `. g
------------------------:--:-----:--:---------------------------
`. \ d₂/ .' Q
d₁ `.\ /.' d₃
'
P₂

(Punktsymmetrie nur der Einfachheit halber)

Für dieselben Punkte P₁ und P₂ und beliebige andere Geraden h und k gilt
dies nicht.

Es gilt nicht für eine zu g parallele, aber nicht mit g identische Gerade h:

P₁
._ d₄
''.._ Q h
-------------------------------------:--------------------------
.'
.' d₅
.'
'
P₂

Es gilt auch nicht für eine nicht zu g parallele Gerade k:


P₁ .'
._ d₄ .' k
: '-.'
: .': Q
.' :
.': : d₅
.' ::
.' '
.' P₂

Verwenden wir zum Beispiel als Abstandsnorm die euklidische Norm, definieren
also trivialerweise eine Gerade in der euklidischen Geometrie, so ist in
beiden Fällen für den Beispielpunkt Q offensichtlich d₄ < d₅. Auf jeden
Fall gilt d₄ ≠ d₅ bzw. genauer (∃Q ∈ G) (‖\vec{P₁Q}‖ ≠ ‖\vec{P₂Q}‖)
∧ ({P₁} ∩ {P₂} = ∅), wobei G die Menge der Punkte der jeweils zu
definierenden Geraden ist.

Es lassen sich aber jeweils unendlich viele Paare (P₃, P₄) mit
{P₃, P₄} ∩ {P₁, P₂} = ∅ finden, so dass die Beziehung für entweder h oder k
erfüllt ist.

[Die Schnittmenge kann, muss aber nicht, die leere Menge (∅) sein.
Zum Beispiel könnte man im Fall h einen der beiden Punkte P₁ und P₂
beibehalten, so dass z. B. P₃ ≡ P₁ und nur den anderen (hier: P₄)
geeignet wählen ({P₄} ∩ {P₂} = ∅), um h in derselben Weise zu
beschreiben. Für den Vorschlag einer eindeutigen mengentheoretischen
Formulierung dieses Sachverhalts bin ich dankbar.]

IOW: Eine Gerade ist in dieser Weise durch zwei Punkte eindeutig definiert.

--
PointedEars

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Hans Crauel
2017-05-15 01:01:55 UTC
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Raw Message
Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb
Post by Ralf Bader
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Kein Problem: Man definiert sich fÃŒr den Abstand zweier Punkte P und Q
eine Norm ‖\vec{PQ}‖. Das Ergebnis dieser Definition ist dann eine
Gerade unter dieser Norm.
Das ist sehr wohl ein Problem. Wenn man Geometrie axiomatisch betreibt,
wie sich das seit ein paar Jahrtausenden als sinnvoll erwiesen hat, dann
muß sich ein Abstandsbegriff aus den Axiomen ergeben und nicht durch
freihÀndiges Herbeidefinieren.
Das ist kein „freihÀndiges Herbeidefinieren“. *Jeder* Abstand zweier Punkte
P und Q ist durch die Norm eines Vektors \vec{PQ} definiert.
<https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)>
Um eine Norm definieren zu koennen, brauchst du einen Vektorraum.
Hast du den, so hast du auch schon jede Menge Halbgeraden von der
Gestalt

u + {rv : r reell und groesser gleich Null}

mit je zwei Elementen u,v aus dem Vektorraum und somit eine
Charakterisierung von Halbgeraden ganz ohne jeglichen Bezug auf eine
Norm bzw. einen Abstand (der uebrigens keineswegs immer durch eine
Norm definiert sein muss,

<https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum>)

Geometrie laesst allerdings keinen Bezug auf Vektorraeume zu, damit
kann es auch keine Normen geben.

Bei der Gelegenheit: Ist eigentlich {rv: r>0} in einem Vektorraum
auch eine Halbgerade?

Hans
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-15 01:12:54 UTC
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Raw Message
Post by Hans Crauel
Um eine Norm definieren zu koennen, brauchst du einen Vektorraum.
Ja.
Post by Hans Crauel
Hast du den, so hast du auch schon jede Menge Halbgeraden […]
Es ging mir hier aber nicht darum, eine Halbgerade eindeutig zu definieren,
sondern eine Gerade.
Post by Hans Crauel
Geometrie laesst allerdings keinen Bezug auf Vektorraeume zu, […]
Wie kommst Du darauf?
--
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
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Hans Crauel
2017-05-15 09:17:02 UTC
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Raw Message
Thomas 'PointedEars' Lahn schrieb
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Hans Crauel
Um eine Norm definieren zu koennen, brauchst du einen Vektorraum.
Ja.
Post by Hans Crauel
Hast du den, so hast du auch schon jede Menge Halbgeraden [
]
Es ging mir hier aber nicht darum, eine Halbgerade eindeutig zu definieren,
sondern eine Gerade.
Dass man mit der Charakterisierung von Halbgeraden als
u + {rv: r reell und groesser gleich Null}
gleichermassen auch eine Charakterisierung von Geraden als
u + {rv: r reell}
bekommt, hatte ich jetzt als derart offensichtlich verstanden,
dass es mir nicht erwaehnenswert erschien.
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Hans Crauel
Geometrie laesst allerdings keinen Bezug auf Vektorraeume zu, [
]
Wie kommst Du darauf?
Was ist die Null? Was ist die Summe zweier Punkte? Was ist ein
skalares Vielfaches eines Punktes in der Geometrie?

Natuerlich erhaelt man mit R^2 und R^3 Modelle fuer ebene und
raeumliche Geometrie, aber halt nicht andersrum.
Und in Vektorraeumen braucht man, wie gesagt, keinen Bezug auf
einen Abstand, um Geraden ebenso wie Halbgeraden zu definieren.

Hans Crauel
Ralf Bader
2017-05-15 18:12:54 UTC
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Raw Message
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by Hans Crauel
Um eine Norm definieren zu koennen, brauchst du einen Vektorraum.
Ja.
Post by Hans Crauel
Hast du den, so hast du auch schon jede Menge Halbgeraden […]
Es ging mir hier aber nicht darum, eine Halbgerade eindeutig zu
definieren, sondern eine Gerade.
Post by Hans Crauel
Geometrie laesst allerdings keinen Bezug auf Vektorraeume zu, […]
Wie kommst Du darauf?
In den Bereich der Geometrie fällt z.B. auch
https://de.wikipedia.org/wiki/Affine_Ebene
Und diese affinen Ebenen kommen keineswegs immer von Vektorräumen her. Damit
man in einer solchen affinen Ebene Halbgeraden definieren kann, braucht man
die Hilbertschen Anordnungsaxiome, die die "zwischen"-Relation regulieren,
oder ein Äquivalent dieser Axiome. Man könnte nämlich auch (behaupte ich)
den Begriff Halbgerade axiomatisch einführen, und auf dieser Grundlage die
"zwischen"-Relation definieren und für diese die Anordnungsaxiome beweisen,
etwa so:

Ist g eine Gerade, P e g ein Punkt, so ist g, als Punktmenge, die disjunkte
Vereinigung von {P} und zweier (offener) "P-Halbgeraden". In den
erforderlichen Axiomen würde u.a. wohl stehen: Ist Q in einer P-Halbgeraden
h, so liegt auch genau eine der beiden Q-Halbgeraden ganz in h. Und für 3
auf g liegende Punkte wäre A zwischen B und C, wenn B und C in verschiedenen
A-Halbgeraden liegen. Etc. pp.

Die Anordnunsaxiome finden sich auch in dem in diesem Thread genannten
Skript
http://www.math.uni-rostock.de/~nesselmann/AxiomGeometrie/AxiomGeom-2010.pdf
H.-P. Schulz
2017-05-14 17:48:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Ja, klar.
"Abstand" - und dann auch noch "denselben"!
Wobei das wohl bei Euklid nicht problematisiert wird, oder?
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
Selbstverständlich gibt es da was. Dazu wird, was Euklid nicht getan
hat, aber in späteren Aufarbeitungen der euklidischen Geometrie (Pasch,
Vorlesungen über die neuere Geometrie; Hilbert, Grundlagen der
Geometrie) für die Punkte einer Geraden die Relation "zwischen"
eingeführt, bei Hilbert axiomatisch. Eine Halbgerade h(O,A) ist dann
gegeben durch 2 Punkte A und O auf einer Geraden g (die natürlich durch
die beiden Punkte A und O eindeutig bestimmt ist); und diese Halbgerade
umfaßt alle Punkte Z auf g, so daß O nicht zwischen A und Z liegt (es
ist also O der Anfangspunkt der Halbgeraden, und A irgendein Punkt in
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Schön. Aber das setzt erstmal eine Gerade, also: eine "Vollgerade",
voraus! Die Halbgerade wird als Teil einer Geraden verstanden und
definiert.
Mir wäre eine Definition, die dieser primordialen Geraden nicht
bedarf, lieber; sagen wir: sie wäre eleganter.
Natürlich ist bei einer beliebigen Geraden nicht entscheidbar, ob es
sich nicht doch um eine Halbgerade handelt, deren Beginn halt "außer
Sicht" ist. Deshalb kann im Fall "Halbgerade" nur der Beginnteil
derselben von definitorischer Relevanz sein. Somit muss der
Beginnpunkt wohl in der Definition vorkommen, eben weil er ein
ausgezeichneter Punkt ist. Die Gerade hat keinen solchen
ausgezeichneten Punkt.

"Eine von einem Punkt P ausgehende Halberade ist der geometrische Ort
aller Punkte, für die gilt: .... " Das wäre imho die nötige Form.
Und da fällt mir bisher nichts Gscheits ein.
Vielleicht ja, dass man mit dem Konzept "Radius" was machen könnte,
Kugelradius ... weil, ein Radius hat ja einen "Beginn", nämlich den
Mittelpunkt (der Kugel).
Aber so richt zurande bin ich damit noch nicht.

Wie gesagt: Mit primordialer (also vor-existenter) Geraden ist mir das
irgendwie nicht eigenständig genug. Ich möchte einen Strahl
(Halbgerade) sui generis definieren.
Jens Kallup
2017-05-14 18:28:30 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H.-P. Schulz
Wie gesagt: Mit primordialer (also vor-existenter) Geraden ist mir das
irgendwie nicht eigenständig genug. Ich möchte einen Strahl
(Halbgerade) sui generis definieren.
dazu stellen wir uns erstmal Fragen:

1. Was ist eine Strecke?
2. Was ist eine Halbgerade?
3. Was ist eine Gerade?

Antworten:

1.) Eine Strecke ist eine Gerade Linie mit einen Anfangspunkt und
einen Endpunkt. Man kann die Strecke einer Länge messen.

2.) Eine Halbgerade ist eine gerade Linie *mit* einen Anfangspunkt.
Sie besitzt keinen Endpunkt. Man nennt sie auch Strahl. Sie ist
undendlich lang.

3.) Eine Gerade ist eine gerade Linie *ohne* Anfangs und ohne
Endpunkt. Eine Gerade ist unendlich Lang.
Man kann auch einen Kreis nehmen, und dessen Umfang als
Gerade vorstellen, wenn man den Kreis durch Schnitt teilt.

Hoffe gedient zu haben

Gruß
Jens
H.-P. Schulz
2017-05-15 11:18:57 UTC
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by H.-P. Schulz
Wie gesagt: Mit primordialer (also vor-existenter) Geraden ist mir das
irgendwie nicht eigenständig genug. Ich möchte einen Strahl
(Halbgerade) sui generis definieren.
1. Was ist eine Strecke?
2. Was ist eine Halbgerade?
3. Was ist eine Gerade?
1.) Eine Strecke ist eine Gerade Linie mit einen Anfangspunkt und
einen Endpunkt. Man kann die Strecke einer Länge messen.
2.) Eine Halbgerade ist eine gerade Linie *mit* einen Anfangspunkt.
Sie besitzt keinen Endpunkt. Man nennt sie auch Strahl. Sie ist
undendlich lang.
3.) Eine Gerade ist eine gerade Linie *ohne* Anfangs und ohne
Endpunkt. Eine Gerade ist unendlich Lang.
Man kann auch einen Kreis nehmen, und dessen Umfang als
Gerade vorstellen, wenn man den Kreis durch Schnitt teilt.
Hoffe gedient zu haben
Das sind *Beschreibungen*, keine Definitionen.
Detlef Müller
2017-05-14 19:47:40 UTC
Permalink
Raw Message
[...]
Post by H.-P. Schulz
Post by Ralf Bader
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Schön. Aber das setzt erstmal eine Gerade, also: eine "Vollgerade",
voraus! Die Halbgerade wird als Teil einer Geraden verstanden und
definiert.
Ich denke, das soll sie dann später auch bei Deinem Aufbau
sein.

Vielleicht kann Dich der Anfang aus

http://www.math.uni-rostock.de/~nesselmann/AxiomGeometrie/AxiomGeom-2010.pdf

inspirieren, wo eine Klassische Methode, die Geometrie aufzuziehen
vorgestellt wird (über diese Axiome haben sich sicher schon
Generationen von Lehramts-Kandidaten die Haare gerauft).
Post by H.-P. Schulz
Mir wäre eine Definition, die dieser primordialen Geraden nicht
bedarf, lieber; sagen wir: sie wäre eleganter.
Mh, ich weiß ja nicht (s.U.).
Post by H.-P. Schulz
Natürlich ist bei einer beliebigen Geraden nicht entscheidbar, ob es
sich nicht doch um eine Halbgerade handelt, deren Beginn halt "außer
Sicht" ist.
Dazu fehlt Deine Idee, wie Du Deine Geometrie aufbauen willst.
Anscheinend gibt es da "Geometrische Orte", was wohl Mengen von
Punkten sein sollen (?).

Nach dem ersten Posting scheint der Ausgang eine Menge von
Punkten zu sein mit einem Abstandsbegriff.

Dann tauchen auf einmal Ebenen auf (um Geraden zu definieren)
und Begriffe wie "Parallel" und "Projektion".

Den Lesern hier dürften weder deine "Spielregeln" noch Dein
"Spielfeld" klar sein (mir jedenfalls definitiv nicht).

Vielleicht überfliegst Du wirklich besser die oben genannte
Quelle um so einen Schrittweisen Aufbau mal exemplarisch zu
sehen, auch wenn Dir etwas anderes vorschwebt.
Post by H.-P. Schulz
Deshalb kann im Fall "Halbgerade" nur der Beginnteil
derselben von definitorischer Relevanz sein. Somit muss der
Beginnpunkt wohl in der Definition vorkommen, eben weil er ein
ausgezeichneter Punkt ist. Die Gerade hat keinen solchen
ausgezeichneten Punkt.
"Eine von einem Punkt P ausgehende Halberade ist der geometrische Ort
aller Punkte, für die gilt: .... " Das wäre imho die nötige Form.
Eine Punktmenge H, die P enthält derart daß
für verschiedenen A,B aus H stets gilt:
1. A ist zwischen P und B oder B ist zwischen P und A.
2. für alle x zwischen A und B ist x in S.

Oder: ein Strahl mit Anfangspunkt P in Richtung A (ungleich P)
ist der Geometrische Ort aller Punkte X mit:
(A ist zwischen 0 und X) oder (A ist zwischen X und 0).
Post by H.-P. Schulz
Und da fällt mir bisher nichts Gscheits ein.
Vielleicht ja, dass man mit dem Konzept "Radius" was machen könnte,
Kugelradius ... weil, ein Radius hat ja einen "Beginn", nämlich den
Mittelpunkt (der Kugel).
Aber so richt zurande bin ich damit noch nicht.
Wie gesagt: Mit primordialer (also vor-existenter) Geraden ist mir das
irgendwie nicht eigenständig genug. Ich möchte einen Strahl
(Halbgerade) sui generis definieren.
Um dann nachher unter Mühe zu zeigen, daß es auch viel einfacher
gegangen wäre und die eigenständige Definition daher redundant
war?

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Jens Kallup
2017-05-14 20:12:09 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
Oder: ein Strahl mit Anfangspunkt P in Richtung A (ungleich P)
(A ist zwischen 0 und X) oder (A ist zwischen X und 0).
hehe, und nu hammer die Zombie Katze aus den Heisenbaschen Model
der Queanten.
Da is irgendiw nix, aber wenn wir hinschauen sehen wir kommische
Bilder, die wieder verschwinden und an anderer Stelle wieder
auftauchen.
Tjo was soll ich sagen: "!KEKS an Detlef" :-D

Gruß
Jens
H.-P. Schulz
2017-05-16 08:09:49 UTC
Permalink
Raw Message
Post by H.-P. Schulz
Vielleicht ja, dass man mit dem Konzept "Radius" was machen könnte,
Kugelradius ... weil, ein Radius hat ja einen "Beginn", nämlich den
Mittelpunkt (der Kugel).
Aber so richt zurande bin ich damit noch nicht.
Ich versuche mal:

Gegeben sei ein Punkt M.
Alle Punktmengen, die in ihrer Gesamtheit eine punktförmige Projektion
auf eine Kugel um M haben, sind Halbgeraden mit dem Ursprung M.


Ich denke, dass die Forderung "punktförmig" für die Projektion
hinreicht, eine Gerade im üblichen euklidischen Verständnis zu
definieren.
Man muss immer unterscheiden zwischen Definition und - sagenwir:
Konstruktionsanleitung.

Dass nach dieser Definition jede Halbgerade einen "Gegenüber-Partner"
hat, mit dem zusammengeschaut eine Gerade entsteht, schadet m.E. der
Definition als solcher nicht.
H.-P. Schulz
2017-05-16 11:55:17 UTC
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Raw Message
Mir fällt noch was zum axiomatischen 'zwischen' ein, also, wie man das
runterbrechen kann auf einfache größer/kleiner-Vergleiche:

['d' stehe i.f. für 'Distanz']

- Gegeben sei eine Gerade g
- P1 und P2 seien nicht identische Punkte auf g.

Ein Punkt Q auf g liegt "zwischen" P1 und P2, wenn

- ( (d(P1Q) < d(P1P2)) UND (d(P2Q) < d(P1P2)) )


Eine Halbgerade ab P1 und durch P2 wäre also durch alle Punkte P
definiert, für die gilt:

(

( d(PP2) < d(PP2) )

ODER

( (d(PP1) < d(P1P2)) UND (d(PP2) < d(P1P2)) )

)

UND

die Zentralprojektion aller Punkte auf eine Kugel um P1 ist
punktförmig.


Ich denke, so kommt man um eine vorgängige "Vollgerade" herum.
"Billiger" dürfte das aber nicht zu haben sein.
Ralf Bader
2017-05-17 04:01:19 UTC
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Raw Message
Post by H.-P. Schulz
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
- bezüglich zweier Punkte: Der geom. Ort aller Punkte, die von zwei
geg. Punkten denselben Abstand haben
Da muß man aber bereits wissen, was der Abstand zweier Punkte sein soll.
Wenn man nur eine Menge von Punkten, eine Menge von Geraden und eine
Menge von Ebenen hat sowie deren Inzidenzrelationen (Punkt P liegt auf
der Geraden g usw.) ist das nicht der Fall (bzw. weiß man über Abstände
dann nur, ob sie gleich oder ungleich 0 sind)
Ja, klar.
"Abstand" - und dann auch noch "denselben"!
Wobei das wohl bei Euklid nicht problematisiert wird, oder?
Post by Ralf Bader
Post by H.-P. Schulz
- bezüglich einer Ebene: Eine unendliche Punktmenge, zu der es eine
(unendliche) Menge paralleler Ebenen gibt, auf die die Projektion
dieser Punktmenge punktförmig ist.
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Oder ist das ein rein "technisches" Ding, nichts im engeren Sinne
Geometrisches?
Könnte man sagen, die Punktmenge, die eine Halbgerade ausmacht, sei
halb so mächtig wie die, die eine Gerade ausmacht? Ich finde, damit
da könnte ja auch jeder zweite Punkt "fehlen"! ;-))
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
Selbstverständlich gibt es da was. Dazu wird, was Euklid nicht getan
hat, aber in späteren Aufarbeitungen der euklidischen Geometrie (Pasch,
Vorlesungen über die neuere Geometrie; Hilbert, Grundlagen der
Geometrie) für die Punkte einer Geraden die Relation "zwischen"
eingeführt, bei Hilbert axiomatisch. Eine Halbgerade h(O,A) ist dann
gegeben durch 2 Punkte A und O auf einer Geraden g (die natürlich durch
die beiden Punkte A und O eindeutig bestimmt ist); und diese Halbgerade
umfaßt alle Punkte Z auf g, so daß O nicht zwischen A und Z liegt (es
ist also O der Anfangspunkt der Halbgeraden, und A irgendein Punkt in
deren Innerem). Eine Halbgerade ist dann auch die Menge aller Punkte auf
der Geraden g, deren Abstand von A kleiner ist als der von O.
Schön. Aber das setzt erstmal eine Gerade, also: eine "Vollgerade",
voraus! Die Halbgerade wird als Teil einer Geraden verstanden und
definiert.
Mir wäre eine Definition, die dieser primordialen Geraden nicht
bedarf, lieber; sagen wir: sie wäre eleganter.
Natürlich ist bei einer beliebigen Geraden nicht entscheidbar, ob es
sich nicht doch um eine Halbgerade handelt, deren Beginn halt "außer
Sicht" ist. Deshalb kann im Fall "Halbgerade" nur der Beginnteil
derselben von definitorischer Relevanz sein. Somit muss der
Beginnpunkt wohl in der Definition vorkommen, eben weil er ein
ausgezeichneter Punkt ist. Die Gerade hat keinen solchen
ausgezeichneten Punkt.
"Eine von einem Punkt P ausgehende Halberade ist der geometrische Ort
aller Punkte, für die gilt: .... " Das wäre imho die nötige Form.
Wo die Pünktchen stehen, muß irgendeine Bedingung kommen. Die muß sich
aber auf irgendetwas beziehen, was -siehe unten- also "vor-existent"
wäre. Was da infrage kommt, ist unbestimmt, insbesondere mit
Ausschlußkriterien der Art "ist mir irgendwie nicht eigenständig genug".
Post by H.-P. Schulz
Und da fällt mir bisher nichts Gscheits ein.
Vielleicht ja, dass man mit dem Konzept "Radius" was machen könnte,
Kugelradius ... weil, ein Radius hat ja einen "Beginn", nämlich den
Mittelpunkt (der Kugel).
Aber so richt zurande bin ich damit noch nicht.
Wie gesagt: Mit primordialer (also vor-existenter) Geraden ist mir das
irgendwie nicht eigenständig genug. Ich möchte einen Strahl
(Halbgerade) sui generis definieren.
Nimm das von Detlef genannte Skript
http://www.math.uni-rostock.de/~nesselmann/AxiomGeometrie/AxiomGeom-2010.pdf
und bearbeite folgende Übungsaufgabe:
Ersetze in Definition 1.1.1 "Geraden" durch "Strahlen"; diese sollen
also Punktmengen sein. Füge hinzu, daß es zu jedem Strahl s einen
ausgezeichneten "Anfangspunkt" P_s gibt; die anderen Punkte von S werden
als innere Punkte bezeichnet. Es muß evtl. verlangt werden, daß es
innere Punkte gibt. Und es müssen Axiome für Strahlen aufgestellt
werden. Etwa: "Sind P, Q zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau
einen Strahl s=s(P,Q) mit Anfangspunkt P, und in dem Q ein innerer Punkt
ist." Eine Gerade kann dann definiert werden als eine Punktmenge der
Form s(P,Q) u s(Q,P); weitere Axiome über Strahlen müssen so gefaßt
werden, daß die in dem Skript aufgeführten Axiome über Geraden als Sätze
bewiesen werden können.

Strecken können in der Strahlenaxiomatik als Punktmengen der Form s(P,Q)
n s(Q,P) definiert werden, und ein Punkt liegt zwischen P und Q, wenn er
in dieser Strecke liegt und !=P,Q ist. Damit müssen sich aus den (im
Detail noch aufzustellenden) Strahlenaxiomen die Anordnungsaxiome des
Skripts beweisen lassen, und umgekehrt sollten sich aus den Axiomen des
Skripts und der Definition von Halbgeraden mittels der
"zwischen"-Relation die Strahlenaxiome als Sätze beweisen lassen. Damit
hätte man zwei äquivalente Axiomensysteme, das eine in der Sprache von
Punkten, Geraden und "zwischen" formuliert, das andere in der Sprache
von Punkten, Strahlen=Halbgeraden und Anfangspunkten (notabene: Die
"Sprache" ist Bestandteil einer Axiomatik, und wovon man nicht sprechen
kann, darüber muß man schweigen). Die obige Pünktchenbedingung für
Halbgeraden entfällt.

Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-14 12:57:14 UTC
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Raw Message
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
[…]
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Das erscheint mir relativ einfach. Man nehme die Definition für die Gerade
und definiere eine Halbgerade als die Teilmenge der Punkte Q auf der
Geraden, die durch einen Punkt P verläuft und nicht jenseits dieses Punktes
liegen.

Man könnte einfacher auch sagen: Eine Gerade g verläuft durch einen Punkt P,
durch den sie geteilt wird. Eine Halbgerade ist dann die Menge aus den
Punkte Q von g, die nur zu einem dieser Teile gehören, und P.
Post by H.-P. Schulz
Nee mal ernsthaft: Gibt 's da was von ra... dings?
-v
--
PointedEars

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Ralf Bader
2017-05-14 17:35:49 UTC
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Raw Message
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by H.-P. Schulz
Eine Gerade kann definiert werden
[…]
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Das erscheint mir relativ einfach. Man nehme die Definition für die
Gerade und definiere eine Halbgerade als die Teilmenge der Punkte Q auf
der Geraden, die durch einen Punkt P verläuft und nicht jenseits dieses
Punktes liegen.
Man könnte einfacher auch sagen: Eine Gerade g verläuft durch einen Punkt P,
durch den sie geteilt wird. Eine Halbgerade ist dann die Menge aus den
Punkte Q von g, die nur zu einem dieser Teile gehören, und P.
Wenn man die euklidische/affine Ebene zur projekiven erweitert, durch
Hinzufügen "unendlich ferner" (wie man so sagt) Punkte, dann bemerkt man "im
Kleinen" keine Änderung. Aber die Aufteilung der Punkte einer Geraden g
durch einen auf g liegenden Punkt P in die disjunkten Mengen der "diesseits"
bzw. "jenseits" von P liegenden Punkte ist nicht mehr möglich. Anders
ausgedrückt: Eine "zwischen"-Relation entsprechend der Hilbertschen
Axiomatik gibt es auf der projektiven Ebene nicht. Damit Dein obiger Versuch
funktioniert, ist eine umfassendere Betrachtung erforderlich, so wie das
dasteht, funktioniert es nicht.
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-14 20:30:29 UTC
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Raw Message
Post by Ralf Bader
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Man könnte einfacher auch sagen: Eine Gerade g verläuft durch einen Punkt
P, durch den sie geteilt wird. Eine Halbgerade ist dann die Menge aus
den Punkte Q von g, die nur zu einem dieser Teile gehören, und P.
Wenn man die euklidische/affine Ebene zur projekiven erweitert, durch
Hinzufügen "unendlich ferner" (wie man so sagt) Punkte, dann bemerkt man
"im Kleinen" keine Änderung. Aber die Aufteilung der Punkte einer Geraden
g durch einen auf g liegenden Punkt P in die disjunkten Mengen der
"diesseits" bzw. "jenseits" von P liegenden Punkte ist nicht mehr möglich.
Anders ausgedrückt: Eine "zwischen"-Relation entsprechend der Hilbertschen
Axiomatik gibt es auf der projektiven Ebene nicht. Damit Dein obiger
Versuch funktioniert, ist eine umfassendere Betrachtung erforderlich, so
wie das dasteht, funktioniert es nicht.
ACK. Ich bin hier jedoch – so wie ich annehme, auch der OP – vom
Trivialfall der euklidischen Geometrie ausgegangen.

Ist das Konzept einer Halbgerade in der affinen Geometrie, die das Konzept
des Abstandes nicht kennt, überhaupt definierbar?
--
PointedEars

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henselstep
2017-05-16 05:55:51 UTC
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Mir kam folgender Definitionsversuch in den Sinn:
Gegeben sei eine Gerade G. Eine Teilmenge H von G heisst genau dann Halbgerade, wenn es zwei verschiedene Punkt p aus G und q aus G gibt, so dass für alle Punkte h aus H: p nicht Element der Strecke (q,h) ist.
Brigitte
2017-05-16 06:08:47 UTC
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Raw Message
Post by H.-P. Schulz
...
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Was ist von folgendem Konstrukt zu halten?
Mit y = e^ln(x) wird eine "Halbgerade" definiert, die ich über entsprechende
Parameter beliebig anpassen kann:

y = a * e^ln(bx+c) + d

Grüße
Brigitta
l***@gmail.com
2017-05-16 06:13:48 UTC
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Raw Message
Sorry,
hab die Betragsstriche beim Logarithmus vergessen ...
Christian Gollwitzer
2017-05-16 06:33:43 UTC
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Raw Message
Post by Brigitte
Post by H.-P. Schulz
...
Es mag noch x weitere Definition der Geraden geben, - egal.
Wie steht es aber mit der "Halbgeraden", also dem Ding, das ich in der
Schule noch als "Strahl" lernte?
Was ist von folgendem Konstrukt zu halten?
Mit y = e^ln(x) wird eine "Halbgerade" definiert, die ich über entsprechende
y = a * e^ln(bx+c) + d
Das funktioniert vielleicht, geht aber am Kern der Diskussion vorbei.
Die Idee war, eine geometrische Definition zu finden, die mit möglichst
wenig Voraussetzungen auskommt. Es wurden ja schon Definitionen
verworfen, die auf dem Konzept "Abstand" basieren oder einen Vektorraum
voraussetzen - Deine Definition benötigt Exponentialfunktionen, das ist
eine ganze Ecke komplizierter als die Punkt-Richtungsform eines
Vektorraums.

Übrigens ist Deine Gleichung auch nur eine verkleidete
Punkt-Richtungsform, allerdings mit dem Nachteil, dass sie keine
senkrechte Gerade (x=5) beschreiben kann. Und c ist unnötig, setze a' =
a*exp(c)

Christian
Christian Gollwitzer
2017-05-16 06:35:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Christian Gollwitzer
Post by Brigitte
y = a * e^ln(bx+c) + d
Übrigens ist Deine Gleichung auch nur eine verkleidete
Punkt-Richtungsform, allerdings mit dem Nachteil, dass sie keine
senkrechte Gerade (x=5) beschreiben kann. Und c ist unnötig, setze a' =
a*exp(c)
Ah, ich sehe "gerade", c steht im Logarithmus, das war also falsch

Christian
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