Discussion:
Differentialgleichung
(zu alt für eine Antwort)
Hans Crauel
2017-04-28 23:56:48 UTC
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Hat die implizite Differentialgleichung

f(f') = t

Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.

Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0. In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.

Hans
Ulrich Lange
2017-04-29 07:20:54 UTC
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Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Hallo Hans,

Die DGL kann man auch so interpretieren, dass die
Ableitung von f' gleichzeitig die Umkehrfunktion g
von f ist, also:

f(g(t)) = t

Ableiten liefert:

f'(g(t))g'(t) = 1

oder

g'(t) = 1/g(g(t))

Ansatz für eine spezielle Lösung: g(t) = c*t**a:

a*c*t**{a-1} = 1/(c*(c*t**a)**a)
= c**{-a-1}*t**{-a**2}
Oder:

a*c**{a+2} = t**{1-a-a**2}

Dies führt auf die Bedingungen:

1-a-a**2=0
a*c^{a+2} = 1

was a=-1/2*(1 ± sqrt(5)) und c=(1/a)**(1/(2+a)) liefert.

also

f(t) = (1/a)**(1/(2+a))/(1+a)*t**{1+a}

(Wobei einer der beiden Exponenten 1+a kurioserweise der goldene
Schnitt ist).
Post by Hans Crauel
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0. In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.
Hans
Ulrich Lange
2017-04-29 09:00:13 UTC
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Post by Ulrich Lange
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
[...]
Post by Ulrich Lange
[...]
1-a-a**2=0
a*c^{a+2} = 1
was a=-1/2*(1 ± sqrt(5)) und c=(1/a)**(1/(2+a)) liefert.
also
f(t) = (1/a)**(1/(2+a))/(1+a)*t**{1+a}
(Wobei einer der beiden Exponenten 1+a kurioserweise der goldene
Schnitt ist).
Nachtrag:

Die Lösung für a=-1/2*(1+sqrt(5)) ist komplexwertig, da c für a<0
komplex wird.

Die Lösung für a=-1/2*(1-sqrt(5)) ist reell (und das ist auch die,
für die 1+a der Goldene Schnitt ist).
Ulrich Lange
2017-05-01 17:18:31 UTC
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Post by Ulrich Lange
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
[...]
Post by Ulrich Lange
f(t) = (1/a)**(1/(2+a))/(1+a)*t**{1+a}
(Wobei einer der beiden Exponenten 1+a kurioserweise der goldene
Schnitt ist).
Weiterer fun fact: Die Lösung erfüllt die Gleichungen:

f(phi)=f'(phi)=phi

(Hier bezeichnet phi=1+a den Goldenen Schnitt).
Stephan Gerlach
2017-04-29 23:54:15 UTC
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Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0.
Hat f o f' nicht Grad n^2-n?!

Einfaches Beispiel:
f ist Polynom vom Grad n, z.B. f(t) = t^n
=> f'(t) = n*t^(n-1)
=> f(f'(t)) = (n*t^(n-1))^n
= n^n * (t^(n-1))^n
= n^n * t^((n-1)*n)
= n^n * t^(n^2-n)

Somit hat f o f' Grad n^2-n.
Der Fall n=1 auch mit enthalten.
Post by Hans Crauel
In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.
Auch mit Grad n^2-n funktioniert das nicht mit der rechten Seite, denn n
müßte die "goldene-Schnitt-Zahl" Phi = (1+sqrt(5))/2 sein, was keine
natürliche Zahl ist, und somit f(t) = t^n kein Polynom.

Allerdings führt dieses Beispiel zum interessanten Ansatz

f(t) = c * t^Phi.

Setzt man das in die Differentialgleichung ein, so ergibt sich
c = Phi^(-Phi/(1+Phi)) = ((1+sqrt(5))/2)^((1-sqrt(5))/2).

Also wenn ich keinen Rechenfehler drin habe, ergibt dies als Lösung der
Differentialgleichung die Funktion(en)

f(t) = Phi^(-Phi/(1+Phi)) * t^Phi.

Falls das stimmt, wäre das ein interessanter Zusammenhang zum goldenen
Schnitt.

Ob man daraus weitere (oder sogar alle?) Lösungen der DGL bekommt,
erscheint mir mehr als fraglich.
--
Post by Hans Crauel
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Hans Crauel
2017-05-06 22:10:50 UTC
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Vorbemerkung: Der Thread wird beim `Ewigen September' ueberhaupt
nicht gefuehrt, obwohl er von dort gestartet worden ist. Ich
versuche, mittels Kopie von einem anderen Newsserver aus und
haendischer Setzung der `References' zu antworten, weiss aber
nicht, ob es funktionieren wird.

Stefan Gerlach schrieb
Post by Stephan Gerlach
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n >> 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0.
Hat f o f' nicht Grad n^2-n?!
Allerdings, da habe ich einen so richtig dusseligen Rechenfehler
gemacht (statt mit Hintereinanderausfuehrung mit Produkt gerechnet).

Dein ebenso wie Ulrich Langes Ansatz, der zum goldenen Schnitt
fuehrt, ist vernuenftig und sinnvoll, danke dafuer.

Hans
Ulrich Lange
2017-05-07 11:50:58 UTC
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Post by Hans Crauel
Vorbemerkung: Der Thread wird beim `Ewigen September' ueberhaupt
nicht gefuehrt, obwohl er von dort gestartet worden ist. Ich
versuche, mittels Kopie von einem anderen Newsserver aus und
haendischer Setzung der `References' zu antworten, weiss aber
nicht, ob es funktionieren wird.
Seltsam. Ich hatte auch den Eindruck, dass nicht alle Posts von allen
gesehen werden (ich poste auch über eternal september). Hoffentlich
ist der sichtbar.
Post by Hans Crauel
Stefan Gerlach schrieb
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Dein ebenso wie Ulrich Langes Ansatz, der zum goldenen Schnitt
fuehrt, ist vernuenftig und sinnvoll, danke dafuer.
Danke Dir für die schöne Aufgabe, auch wenn sie keine "implizite
Differentialgleichung" im Sinne der üblichen Definition ist.

Am ehesten lässt sie sich wohl in das sehr allgemeine Gebiet der
"Functional equations" einordnen, über das aber auch dicke Bücher
geschrieben werden (sogar von Physikern). Auf Seite 325 eines solchen
(*)findet sich z.B. die sehr verwandte Übungsaufgabe:

Prove that there is only one non-negative function F for
which

F(int_0^x F(t) dt) = x for x > 0


namely F(x) = Ax**n for appropriate values of A and n.
Ulrich Lange
2017-05-07 11:58:41 UTC
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Post by Hans Crauel
Vorbemerkung: Der Thread wird beim `Ewigen September' ueberhaupt
nicht gefuehrt, obwohl er von dort gestartet worden ist. Ich
versuche, mittels Kopie von einem anderen Newsserver aus und
haendischer Setzung der `References' zu antworten, weiss aber
nicht, ob es funktionieren wird.
Stefan Gerlach schrieb
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Dein ebenso wie Ulrich Langes Ansatz, der zum goldenen Schnitt
fuehrt, ist vernuenftig und sinnvoll, danke dafuer.
Danke Dir für die schöne Aufgabe, auch wenn sie keine "implizite
Differentialgleichung" im Sinne der üblichen Definition ist (was bei
manchen Zeitgenossen offenbar dazu führt, dass sie zuhause auf dem Sofa
sitzen und übelnehmen...).

Am ehesten lässt sie sich wohl in das sehr allgemeine Gebiet der
"Functional equations" einordnen, über das aber auch dicke Bücher
geschrieben werden (sogar von Physikern). Auf Seite 325 eines solchen
(*)findet sich z.B. die sehr verwandte Übungsaufgabe:

Prove that there is only one non-negative function F for
which

F(int_0^x F(u) du) = x for x > 0


namely F(x) = Ax**n for appropriate values of A and n.


(*) Costas Efthimiou: Introduction to Functional equations, AMS 2011.
Online lesbar unter:
http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf

P.S.: Die "appropriate values for A and n" haben Stephan und ich schon
gefunden. Offen bleibt aus meiner Sicht noch das "there is only one...".


Ulrich

Alfred Flaßhaar
2017-05-01 09:11:36 UTC
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Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
(...)

Diese Aufgabe erinnert an die "Studentenzeit" und an den sog.
Auflösungssatz für implizite Funktionen ;-).

(z. B. W. Tutschke, Grundlagen der reellen Analysis, Teil 1, Seite 145)

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
Alfred Flaßhaar
2017-05-02 07:22:06 UTC
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Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0. In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der Zusammenhang
zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer Umkehrfunktion auf eine DGL
mit getrennten Variablen.

Alfred
Stephan Gerlach
2017-05-04 23:44:28 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0. In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der Zusammenhang
zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer Umkehrfunktion auf eine DGL
mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
Falls f eine Umkehrfunktion besitzt:

f'(t) = f^{-1}(t)

Nennen wir nun f'(t)=y, dann ergibt sich

dy/dt = y.

Das kann aber nicht gemeint sein, denn die Lösung y(t) dieser DGL ist
nicht Lösung der ursprünglichen DGL.
--
Post by Alfred Flaßhaar
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Ulrich Lange
2017-05-05 07:25:49 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t)
Nennen wir nun f'(t)=y, dann ergibt sich
dy/dt = y.
Wie kommst Du auf diese Beziehung? Wie ich in meinem ersten Post schon
schrieb (dort heißt die Umkehrfunktion "g" statt "y"), folgt aus dem
Umkehrsatz (bzw. aus der Kettenregel):

dy/dt(t) = 1/y(y(t)) (*)
Post by Stephan Gerlach
Das kann aber nicht gemeint sein, denn die Lösung y(t) dieser DGL ist
nicht Lösung der ursprünglichen DGL.
Aus (*) bekommt man (per gut geratener Ansatzfunktion) durchaus die
"Goldene Schnitt"-Lösung, die Du auch angegeben hast (siehe mein erstes
Post).

Allerdings sehe ich nicht, wie man (*) per Trennung der Variablen lösen
soll, wie Alfred das angedeutet hat.


Ulrich
Stephan Gerlach
2017-05-06 00:06:29 UTC
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Raw Message
Post by Ulrich Lange
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t)
Nennen wir nun f'(t)=y, dann ergibt sich
Hier sollte f(t) = y stehen, also ohne "Ableitungs-Strich".
Post by Ulrich Lange
Post by Stephan Gerlach
dy/dt = y.
Wie kommst Du auf diese Beziehung?
Setze y = f(t). [1]
Dann ist f'(t) = dy/dt. [2]
Aus [1] folgt f^{-1}(y) = t. [3]
Tauschen der Variablen in [3] ergibt f^{-1}(t) = y. [4]
Aus [2] und [4] folgt dy/dt = y.
Mir ist klar, daß dies natürlich fehlerhaft ist.

Ich vermutete jedoch, daß Alfred möglicherweise dies gemeint hatte mit
einer DGL, die man mit getrennten Variablen lösen kann.

Jedenfalls war das die einzige (wenn auch falsche) Version, die mir
spontan zu "getrennte Variablen" einfiel.
Post by Ulrich Lange
Wie ich in meinem ersten Post schon
schrieb (dort heißt die Umkehrfunktion "g" statt "y"), folgt aus dem
dy/dt(t) = 1/y(y(t)) (*)
Und man hat wieder das Problem, daß "die gesuchte Funktion in sich
selbst eingesezt wurde".
(Wenn auch nicht mehr als Ableitung.)
Post by Ulrich Lange
Post by Stephan Gerlach
Das kann aber nicht gemeint sein, denn die Lösung y(t) dieser DGL ist
nicht Lösung der ursprünglichen DGL.
Aus (*) bekommt man (per gut geratener Ansatzfunktion) durchaus die
"Goldene Schnitt"-Lösung, die Du auch angegeben hast (siehe mein erstes
Post).
Mit Trennung der Variablen bin ich natürlich auch nicht da drauf gekommen.
--
Post by Ulrich Lange
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Alfred Flaßhaar
2017-05-05 16:13:38 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
(...)
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t) (*)
Linke Seite und rechte Seite von (*) je einmal differenzieren und auf
die rechte Seite (erste Ableitung der Umkehrfunktion) dann die sog.
Umkehrregel anwenden.

f´´=1/f´

Alfred
Stephan Gerlach
2017-05-06 00:26:43 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
(...)
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t) (*)
Linke Seite und rechte Seite von (*) je einmal differenzieren und auf
die rechte Seite (erste Ableitung der Umkehrfunktion) dann die sog.
Umkehrregel anwenden.
f´´=1/f´
Müßte das nicht (unter Beachtung der Variablen t) genauer

f´´(t) = 1 / f´(f^{-1}(t))

heißen?!
Also das Argument von f´ ist f^{-1}(t), nicht einfach nur t.
--
Post by Alfred Flaßhaar
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Tom Bola
2017-05-06 01:53:54 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
(...)
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t) (*)
Linke Seite und rechte Seite von (*) je einmal differenzieren und auf
die rechte Seite (erste Ableitung der Umkehrfunktion) dann die sog.
Umkehrregel anwenden.
f´´=1/f´
Müßte das nicht (unter Beachtung der Variablen t) genauer
f´´(t) = 1 / f´(f^{-1}(t))
heißen?!
Also das Argument von f´ ist f^{-1}(t), nicht einfach nur t.
Soviel steht fest (:|), und daneben bricht natürliche ein Term
wie 1/f(t) auch schnell zusammen, so dass man den Zusammenhang
besser so wählt, dass bei allem auch komplexe Zahlen möglich sind.
Tom Bola
2017-05-06 02:01:52 UTC
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Post by Tom Bola
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
(...)
Post by Stephan Gerlach
Post by Alfred Flaßhaar
Für den Fall, daß f eine Umkehrfunktion besitzt, führt der
Zusammenhang zwischen Ableitung von f und Ableitung ihrer
Umkehrfunktion auf eine DGL mit getrennten Variablen.
Mir ist nicht ganz klar, wie hier die Ableitung der Umkehrfunktion ins
Spiel kommt.
f'(t) = f^{-1}(t) (*)
Linke Seite und rechte Seite von (*) je einmal differenzieren und auf
die rechte Seite (erste Ableitung der Umkehrfunktion) dann die sog.
Umkehrregel anwenden.
f´´=1/f´
Müßte das nicht (unter Beachtung der Variablen t) genauer
f´´(t) = 1 / f´(f^{-1}(t))
heißen?!
Also das Argument von f´ ist f^{-1}(t), nicht einfach nur t.
Soviel steht fest (:|), und daneben bricht natürliche ein Term
wie 1/f(t) auch schnell zusammen, so dass man den Zusammenhang
besser so wählt, dass bei allem auch komplexe Zahlen möglich sind.
Also wenn viel sinus oder so was dazukommt, aber auch schon so wäre
es viel besser gewiesen das "Term wie 1/f(t)" mit einer anderen und
mindestens zweiten Funktion, also hier 1/g(t), notiert zu haben wenn
die Kettenregel funktioniert.
Roland Franzius
2017-05-06 16:09:13 UTC
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Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Etwas genauer: Die Funktion f soll eine reelle differenzierbare
Funktion sein, fuer welche f(f'(t)) = t fuer alle t aus einem
geeigneten Intervall gilt; f' bezeichnet die Ableitung.
Man sieht relativ leicht, dass Polynome nicht in Frage kommen,
denn Grad n hat zur Folge, dass f o f' im Fall n > 1 Grad 2n-1
hat, fuer n = 1 hat es Grad 0. In beiden Faellen bekommt man
Grad 1, was der Grad der rechten Seite ist, nicht hin.
Das ist keine Differentialgleichung sondern bestenfalls eine
Differentialbedingung.

Eine Differentialegleichung ist eine Beziehung zwischen einer Funktion
oder einer endlichen Menge von Funktionen und ihren Ableitungen bis zu
endlicher Ordnung.

Explizit, wenn die Funktionen in erster Ordung, also linear im
Gleichungssystem auftreten, implizit, wenn eine lokal umkehrbare
Abbildung der Funktionen nach ihnen lokal eineindeutig auflösbar ist.

Die unbekannte Funktion erfüllt diese Bedingungen nicht. Es ist daher
nicht möglich, einen lokalen slebstadaptiven Lösungsalgorithmus für
Näherungen etwa nach Peano oder Picard-Lindelöf auf einen Satz von
Startwerten, hier (x0, f(x0)), anzuwenden, um (x0+dx, f(x0+dx)=f(x0)+dx
f'(x0)) zu erhalten.

Insgesamt also nicht als eine sinnlose Gedankenpfriemelei ohne
mathematischen Hintergrund und Unterlage, wie mir scheint.
--
Roland Franzius
Hans Crauel
2017-05-06 23:11:25 UTC
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Raw Message
Roland Franzius schrieb
Post by Roland Franzius
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Das ist keine Differentialgleichung sondern bestenfalls eine
Differentialbedingung.
Es ist keine Standard-Differentialgleichung.
Post by Roland Franzius
Eine Differentialegleichung ist eine Beziehung zwischen einer Funktion
oder einer endlichen Menge von Funktionen und ihren Ableitungen bis zu
endlicher Ordnung.
Und genau so etwas ist die obige Gleichung: Eine `Beziehung' zwischen
einer skalaren Funktion einer reellen Variablen und ihrer ersten
Ableitung.
Delay- bzw. retardierte Differentialgleichungen etwa koennen die Form
x'(t) = f(x(t),x_t) haben, wobei x_t = {x(s): s < t} das Funktionsstueck
vor t ist.
Post by Roland Franzius
Explizit, wenn die Funktionen in erster Ordung, also linear im
Gleichungssystem auftreten, implizit, wenn eine lokal umkehrbare
Abbildung der Funktionen nach ihnen lokal eineindeutig aufl■sbar ist.
Woher stammt diese Charakterisierung von `implizit' (die ueberdies
auch reichlich schwurbelig ist)? Mir ist sowas noch nicht begegnet.
Implizit kenne ich nur als Verneinung von explizit, und explizit
bedeutet, dass die hoechste Ableitung eine explizite Funktion der
niedrigeren Ableitungen (sowie der Variablen) ist.
Post by Roland Franzius
Die unbekannte Funktion erf■llt diese Bedingungen nicht.
Da sind keine verifizierbaren Bedingungen genannt.
Post by Roland Franzius
Es ist daher nicht m■glich, einen lokalen slebstadaptiven
L■sungsalgorithmus f■r N■herungen etwa nach Peano oder
Picard-Lindel■f auf einen Satz von Startwerten, hier
(x0, f(x0)), anzuwenden, um (x0+dx, f(x0+dx)=f(x0)+dx
f'(x0)) zu erhalten.
Richtig. Gut erkannt. Es ist kein Anfangswertproblem (AWP).
Fuer AWP gibt es in der Tat Standardergebnisse und -verfahren.
Aber nun hat nicht jede Differentialgleichung die Eigenschaft, dass
man die allgemeine Loesung durch Loesung hinreichend vieler AWP
erhaelt (was fuer `Loesungsalgorithmen' schon problematisch wird,
wenn man nicht lokal Lipschitz hat). Es ist eine Besonderheit
expliziter gewoehnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung,
dass man dies mittels (Peano bzw.) Picard-Lindeloef erhaelt. Bei
partiellen Dgl hat man es in der Regel schon nicht mehr.
Post by Roland Franzius
Insgesamt also nicht als eine sinnlose Gedankenpfriemelei ohne
mathematischen Hintergrund und Unterlage, wie mir scheint.
Das sei dir unbenommen.

Hans Crauel
Roland Franzius
2017-05-07 09:55:54 UTC
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Raw Message
Post by Hans Crauel
Roland Franzius schrieb
Post by Roland Franzius
Post by Hans Crauel
Hat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Das ist keine Differentialgleichung sondern bestenfalls eine
Differentialbedingung.
Es ist keine Standard-Differentialgleichung.
Post by Roland Franzius
Eine Differentialegleichung ist eine Beziehung zwischen einer Funktion
oder einer endlichen Menge von Funktionen und ihren Ableitungen bis zu
endlicher Ordnung.
Und genau so etwas ist die obige Gleichung: Eine `Beziehung' zwischen
einer skalaren Funktion einer reellen Variablen und ihrer ersten
Ableitung.
Delay- bzw. retardierte Differentialgleichungen etwa koennen die Form
x'(t) = f(x(t),x_t) haben, wobei x_t = {x(s): s < t} das Funktionsstueck
vor t ist.
Das nennt man dann Integro-Differentialgleichung, eine Sonderform einer
Integralgleichung. Die sind aber wiederum linear, also in gewissem Sinn
elementar.

Sobald man eine Verkettung mit der unbekannten Funktion f in einer
Gleichung jenseits linearer Operationen wie f->f(x), f->d^nf/dx^n
einführt, steht man im Walde, das scheint dir aber nicht bewusst zu sein.
Post by Hans Crauel
Post by Roland Franzius
Explizit, wenn die Funktionen in erster Ordung, also linear im
Gleichungssystem auftreten, implizit, wenn eine lokal umkehrbare
Abbildung der Funktionen nach ihnen lokal eineindeutig aufl■sbar ist.
Woher stammt diese Charakterisierung von `implizit' (die ueberdies
auch reichlich schwurbelig ist)?
Das muss daran liegen, dass Laien, die Elemente der höheren Mathematik
als schwurbelig empfinden.

Man lernte zu alten Zeiten:

Eine gewöhnliche Dgl definiert ein Vektorfeld in der euklidischen
x-y-Ebene mit einer skalaren Funktion F für die beiden Komponenten des
Vektors v = (vx,vy) im Punkt (x,y)

F(vx,vy,x,y) = 0

vy muss als Funktion von vx,x,y berechenbar sein, dh die Funktion F
muss nach vy lösbar mit endlicher Lösungsmenge sein.

Das ist nach dem Satz über implizite Funktionen garantiert, wenn
F partiell differenzierbar und F_vy !=0.

Da vx und vy als Differentiale einer Unbekannten f(x)=y angesehen werden
sollen, die sich an das Vektorfeld lokal anschmiegt, wird die
Approximation gemacht

F(dx, f' dx, x,y) = 0

und F muss umkehrbar nach dem 2. Argument im Urspung der Tangentialebene
(dx, f'dx ,x,y) = (0,0,x,y)
sein, um für einen gegebenen Schritt dx den Zuwachs berechnen zu können

f' dx = PartialInverse^(0,1,0,0)(F)(dx,x,f)
Post by Hans Crauel
Mir ist sowas noch nicht begegnet.
Das halte ich für ein Scheuklappenphänomen.

Guckst du Wiki und die Standarbeispiele nichtlinearer gewöhnlicher
Differentialgleichungen und die Bedingung für der Eindeutigkeit, die
Lipschitzbedingung.

Gegenbeipiel für eine nichtlineare Dgl mit Verletzung der
Lipschitzbedingung |f(x,y+dy)-f(x,y)| < const |dy| :

f'^2 = (1-f^2)

|f(x,y+dy)-f(x,y)| = | d/dy((1-y^2)^(1/2)) dy| = oo für y=1

Geometrisches Vektorfeld

dy = +-(1-y)^(-1/2) dx

Man könnte die Dgl ja auch als algebraische Diffentialbedingung

f^(-1) o (1-f'^2)^(1/2) +-id == 0

lesen, könnte das Vektorfeld aber dann nicht mehr analytisch/geometrisch
ohne weiteres verstehen.

Die obige nichtlineare Gleichung vom d'Alembertschen Typ hat bekanntlich
jede Menge Lösungen vom Typ

f=sin(x+a)
f=+-1

In den Punkten, in denen zwei Lösungen sich mit gleicher Tangente
berühren, ist die Lösung nicht eindeutig fortsetzbar, es gibt Weichen.

Man kann Lösungen also beliebig stückeln, zB fü rn,m>0 definieren

f(x)= -1 ; x-a<-(2n+1) p/2

f(x)=1 ;x-a > (2m+1) p/2

f(x) = sin (x-a)


und hat damit eine Lösungsschar, in der der wert a zwar durch
-1<f(x0)<^1 festgelegt ist, aber nur bis zum nächsten Verzweigungspunkt.
Post by Hans Crauel
Implizit kenne ich nur als Verneinung von explizit, und explizit
bedeutet, dass die hoechste Ableitung eine explizite Funktion der
niedrigeren Ableitungen (sowie der Variablen) ist.
Nein, implizit heißt der allgemeinste Fall
F(x,y,y')=0
Post by Hans Crauel
Post by Roland Franzius
Die unbekannte Funktion erf■llt diese Bedingungen nicht.
Da sind keine verifizierbaren Bedingungen genannt.
Generell gilt die Regel, wenn man mit Funktionalgleichungen hantiert,
dass die zulässige Klasse, in der die Lösung zu suchen sei als Rahmen
definiert sein muss.

Zudem muss ein Banachraum spezifiziert werden in dem lokal die Limites
für Ableitungen und global die Konvergenz einer Funktionenfolge von
Nährungen gegen die Grenzfunktion erklärt sein muss.
Post by Hans Crauel
Post by Roland Franzius
Es ist daher nicht möglich, einen lokalen selbstadaptiven
Lösungsalgorithmus für Nâäherungen etwa nach Peano oder
Picard-Lindelöf auf einen Satz von Startwerten, hier
(x0, f(x0)), anzuwenden, um (x0+dx, f(x0+dx)=f(x0)+dx
f'(x0)) zu erhalten.
Richtig. Gut erkannt.
Ich erkenne nicht gut.

Was ich erkenne, ist ein lächerliches Lob. Du hast etwas, was ich sagte,
erkannt.
Post by Hans Crauel
Es ist kein Anfangswertproblem (AWP).
Fuer AWP gibt es in der Tat Standardergebnisse und -verfahren.
Die du aber nicht kennst. Und die Klassifikation von
Differentialgleichungen scheint ja auch außer Reichweite.
Post by Hans Crauel
Aber nun hat nicht jede Differentialgleichung die Eigenschaft, dass
man die allgemeine Loesung durch Loesung hinreichend vieler AWP
erhaelt (was fuer `Loesungsalgorithmen' schon problematisch wird,
wenn man nicht lokal Lipschitz hat). Es ist eine Besonderheit
expliziter gewoehnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung,
dass man dies mittels (Peano bzw.) Picard-Lindeloef erhaelt. Bei
partiellen Dgl hat man es in der Regel schon nicht mehr.
Dafür hat man bei partiellen Dgl den Begriff der wohldefinierten Aufgabe.

Die Wohldefiniertheit ist auch bei nichtlinearen gewöhnlichen
Differentialungleichungen mit Spezialfall -gleichungen. der erste
Schritt, den du ausließest, als du die dir Unbekannte f mit Argument f'
hinschriebst.
Post by Hans Crauel
Post by Roland Franzius
Insgesamt also nicht als eine sinnlose Gedankenpfriemelei ohne
mathematischen Hintergrund und Unterlage, wie mir scheint.
Das sei dir unbenommen.
Das bleibt der Mathematik als Fachwissenschaft unbenommen. Mit mir hat
das nichts zu tun.

Aber wenn du über das Beispiel der quadratischen Gleichungen für
trigonometrische Funktionen und ihre Abeleitungen als irrrationaler
Funktionenkörper den Gesichtskreis auf den Stand von 1850 erweitern
willst, empfehle ich dir die Kunst des Differnzierens der Jacobischen
elliptischen Funktionen sn, cn, dn


Dein Beipiel für eine in (x,y) in der Ebene lokal umkehrbare Funktion

y = f(x)
x =f^(-1)(y)

dh eines Grafen als Menge (x,f(x)), der in (x,y) weder senkrecht noch
waagerecht verläuft

hätten wir

fof'= id

f' = f^(-1)
f'' = (f^(-1))'= 1/(f'o f) ...

f(x+dx) = f(x) + f^(-1)(x) dx +1/2 1/(f(f'(x))) dx^2 ...

dh es handelt sich um ein undefiniertes Problem unendlicher Rekursion
ohne Auflösung und ohne Limesdefinition, wie man ja schon zu Anfang
vermuten könnte.

Die Benutzung des Wortes Differentialgleichung setzt voraus, dass durch
einen Ausdruck mit bekannter Funktion F=0 das Vektorfeld an jeder Stelle
der Ebene eindeutig oder mehrdeutig berechenbar festliegt, so dass die
Gleichung immer durch Zeichnen approximativ lösbar ist. Dazu gehört
irgendein konvergentes Verfahren, das gleichmäßige Kurvenapproximation
analytisch in einem normierten Funktionenraum implementiert

Ohne diese Beschränkung begibt man sich auf das Gebiet der
Funktionalgleichungen, für das es außerhalb des linearen, gebrochen
linearen bis kubischen Beispielapparates für rationale, trigonometrische
und elliptische Funktionen bekanntlich nichts mit Methoden der
Highsschool-Algebra Auflösbares an Gleichungen mit
Differentialausdrücken gibt.
--
Roland Franzius
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