Hinreichend, notwendig

[Ingrid Voigt]

Hallo allerseits.
Meine Frage richtet sich, an die Sprachlogiker unter euch.
Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?

Normalerweise nicht.

Nach meinem Verständnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend"
sehr erfreut.

Beispiel: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist,
dann ist sie auch durch 3 teilbar.

Also:
Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für Teilbarkeit durch 6.
Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für Teilbarkeit durch 6.


Grüße
Ingrid

[Christian Palmes]

Zwei hinreichende Bed. ergeben auch keine notwendige.

Wenn ich Alkohol trinke stehe ich unter Drogen und wenn ich Hash rauche stehe
ich unter Drogen. Trotzdem gibt es aber auch noch andere Möglichkeiten unter
Drogen zu stehen ..

[Lukas-Fabian Moser]

Hallo,

Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?

Das kann schon einmal vorkommen. Im allgemeinen natürlich nicht. Aber
Ingrids Beispiel mit Teilbarkeiten läßt sich zu einem Fall ausbauen,
wo es tatsächlich so ist:

Damit eine Zahl durch sechs teilbar sein kann, ist es notwendig, daß
sie durch zwei teilbar ist.

Damit eine Zahl durch sechs teilbar sein kann, ist es notwendig, daß
sie durch drei teilbar ist.

Diese beiden notwendigen Bedingungen für Teilbarkeit durch sechs sind
zusammen sogar hinreichend: denn jede Zahl, die durch zwei und drei
teilbar ist, ist durch sechs teilbar.

Nach meinem Verständnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend"
sehr erfreut.

Die Frage, ob "hinreichend" oder "notwendig", ist gleichbedeutend
dazu, in welche Richtung ein Implikationspfeil ("==>") zeigt.

Gilt "A ==> B", so ist A eine hinreichende Bedingung für B: denn
sobald A wahr ist, ist auch B wahr. Umgekehrt ist dann B eine
notwendige Bedingung für A: denn wäre B nicht wahr, so könnte A nicht
wahr sein, da Gültigkeit von A die Gültigkeit von B nach sich zieht.

Grüße, Lukas

[Markus Krebs]

Hallo!

Hallo allerseits.
Meine Frage richtet sich, an die Sprachlogiker unter euch.
Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?
Nach meinem Verständnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend"
sehr erfreut.

Noch ein Artikel dazu aus der WELT

Das hinreichende Leid mit der Logik der Mathematik ist wohl eine
Notwendigkeit
5 Minuten Mathematik - Serie
von Ehrhard Behrends

Heute geht es in dieser Kolumne um die logische Grundausstattung des
Menschen. Um Ordnung in die vielen Eindrücke zu bringen, mit denen wir es
täglich zu tun haben, versuchen wir, logische Beziehungen herzustellen.
Betrachten wir etwa den sicher richtigen Satz: " Wenn heute ein Feiertag
ist, wird der Briefträger nicht kommen." Niemand käme auf die Idee, das mit
der Umkehrung zu verwechseln: "Wenn der Briefträger nicht kommt, ist heute
ein Feiertag."


Merkwürdigerweise ist die Versuchung dennoch sehr groß, dies hin und wieder
zu verwechseln. Hier könnte man an das Kleider-machen-Leute-Phänomen
erinnern. Wohlhabende können sich ordentlich anziehen, jedoch sollte man
nicht allein vom Äußeren auf den Kontostand schließen.


Besonders schwer eingängig scheint dieser Unterschied zu sein, wenn es ein
wenig abstrakter wird. Da möchte ich nur einmal an die Trapezkontroverse
erinnern: Im Februar diskutierte die Nation im Zusammenhang mit einer "Wer
wird Millionär"-Frage das Problem, ob ein Rechteck ein Trapez ist.
Akzeptiert man die Definition "Ein Trapez ist ein Viereck, in dem zwei
Seiten parallel sind", so sollte die Antwort ganz klar "Ja" sein, denn man
findet in jedem Rechteck mühelos zwei parallele Seiten. Das war aber vielen
Mitbürgern leider beim besten Willen nicht plausibel zu machen, der Ton der
Reaktionen bewegte sich bei nicht wenigen zwischen hämisch und aggressiv: "W
ie kann man denn nur behaupten, dass jedes Trapez ein Rechteck ist?" (Aber
das hatte ja eben niemand behauptet.)


Nur der Vollständigkeit halber sei nachgetragen: Gilt für zwei Aussagen p
und q stets "aus p folgt q", so sagen Mathematiker, dass p hinreichend für q
(und dass q notwendig für p) ist. Die Gefahr ist groß, dass man beide
Begriffe verwechselt. Oder wüssten Sie ganz spontan zu sagen, ob der
folgende Satz richtig ist: "Dafür, dass eine Figur ein Trapez ist, ist es
hinreichend, dass sie ein Rechteck ist"?


Gruß

Markus

[Jens Müller]

Post by Markus Krebs
Heute geht es in dieser Kolumne um die logische Grundausstattung des
Menschen. Um Ordnung in die vielen Eindrücke zu bringen, mit denen wir es
täglich zu tun haben, versuchen wir, logische Beziehungen herzustellen.
Betrachten wir etwa den sicher richtigen Satz: " Wenn heute ein Feiertag
ist, wird der Briefträger nicht kommen." Niemand käme auf die Idee, das mit
der Umkehrung zu verwechseln: "Wenn der Briefträger nicht kommt, ist heute
ein Feiertag."

Aber es gilt: Wenn heute der Briefträger kommt, ist kein
Feiertag. Psychologen haben das getestet, die Leute erkennen sowas,
wenn eine soziale Betrugskomponente ins Spiel kommt.

[Markus Steinborn]

Hallo allerseits.
Meine Frage richtet sich, an die Sprachlogiker unter euch.
Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?

Kann im Einzelfall sein, siehe andere Postings. Im Allgemeinen ist es
aber nicht so.

Nach meinem Verständnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend"
sehr erfreut.

Es gibt sogar Bedingungen, die gleichzeitig notwendig und hinreichend
sind. Beispiel: x kongruent 0 (mod 2) ist notwendig und hinreichend
für x gerade.

Da (nach einem im Übrigen korrektem) anderen Posting

A notwendig für B heisst A <= B
A hinreichend für B heisst A => B

folgt für eine notwendig und hinreichende Bedingung: A <=> B; und
äquivalente Bedingungen kommen in der Mathematik oft vor.



viele Grüße

Markus

[Florian Schaudel]

Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen
hinreichend sind?

Ja.

Gruss, Florian


P.S.: Muss aber nicht.

[Tjark Weber]

Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?

Ja: wenn A => B und A => C gelten, sind B und C notwendige Bedingungen
für A. Wenn nun auch noch (B & C) => A gilt, ist (B & C) eine
hinreichende Bedingung für A.

In diesem Fall ist A gerade äquivalent zu (B & C).

Nach meinem Verst?dnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch w?e ich fr eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend" sehr erfreut.

http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/html/node10.html

Freundliche Grüße,

Tjark

[Axel Schmitz-Tewes]

Also: Kann es sein, dass zwei notwendige Bedingungen zusammen hinreichend
sind?

ja

Nach meinem Verständnis eigentlich nicht, aber ich lasse mich da gerne
belehren... auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend"
sehr erfreut.

wenn gilt: A => B

dann ist B notwendig für A und A hinreichend für B.

Axel

[Hans Crauel]

Jemand fragte

[...] auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend" sehr erfreut.

Ist gar nicht so problematisch. Für zwei beliebige Aussagen
A und B gilt sowieso stets, dass A hinreichend für B oder B
hinreichend für A ist.
Als Formel: "(A => B) oder (B => A)".

Hans Crauel

[Rudolf Polzer]

Post by Hans Crauel
Jemand fragte

[...] auch wäre ich für eine anschauliche Definition von "notwendig"
und "hinreichend" sehr erfreut.

Ist gar nicht so problematisch. Für zwei beliebige Aussagen
A und B gilt sowieso stets, dass A hinreichend für B oder B
hinreichend für A ist.

So...

Post by Hans Crauel
Als Formel: "(A => B) oder (B => A)".

interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in Verbindung
mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

A ist h. für B: für alle x: A(x) => B(x)
B ist h. für A: für alle x: B(x) => A(x)

A ist h. für B und B ist h. für A:
für alle x: A(x) => B(x)
ODER
für alle x: B(y) => A(y)

Negation:

A ist weder hinreichend für B noch ist B hinreichend für A:
es gibt ein x: A(x) AND NOT B(x)
UND
es gibt ein x: B(x) AND NOT A(x)

Das ist durchaus möglich. Beispiel:

A(x) = "x ist durch 2 teilbar"
B(x) = "x ist durch 3 teilbar"

Die Negation ist erfüllt: das erste x ist 2 und das zweite 3.

[Hans Crauel]

Rudolf Polzer schreibt zu
"(A => B) oder (B => A)"

So interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in
Verbindung mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

Aussagen müssen keine Variablen haben. Aussagen mit Variablen
müssen nicht "für alle" formuliert sein. Nimm Unstetigkeit einer
Funktion.

A ist h. für B: für alle x: A(x) => B(x)
B ist h. für A: für alle x: B(x) => A(x)
für alle x: A(x) => B(x)
ODER
für alle x: B(y) => A(y)

Nein, das ist falsch (mit x und y geht es zudem durcheinander).

Richtig ist die Aussage
"Für alle x: [A(x) => B(x)] oder [B(x) => A(x)]"

Das ist ein Spezialfall der ursprünglichen Feststellung.
Ebenso wie:
"[f unstetig => g stetig] oder [g stetig => f unstetig]"
stets richtig ist (für alle Abbildungen f und g zwischen
topologischen Räumen).

Doch es ist nicht sehr sinnvoll, das nur für die sehr
eingeschränkten Spezialfälle von Aussagen über einer
Variablen und mit Allquantor zu betrachten.

Hans Crauel

[Rudolf Polzer]

Post by Hans Crauel
Rudolf Polzer schreibt zu
"(A => B) oder (B => A)"

So interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in
Verbindung mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

Aussagen müssen keine Variablen haben. Aussagen mit Variablen
müssen nicht "für alle" formuliert sein. Nimm Unstetigkeit einer
Funktion.

Dann reden wir aneinander vorbei.

Ich wollte eigentlich ausdrücken, dass ich "Heute regnet es" nicht als
hinreichende Bedingung für "es war in den letzten zehn Jahren einmal
Vollmond" sehen würde.

Daher wollte ich ausdrücken, dass "A ist hinreichend für B" bedeutet,
dass in jedem Fall A => B gilt. Und nicht nur in einem Spezialfall:
"für x = 6 ist 3|x hinreichend für 2|x"

[Paul Ebermann]

Post by Rudolf Polzer

Post by Hans Crauel
Rudolf Polzer schreibt zu
"(A => B) oder (B => A)"

So interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in
Verbindung mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

Aussagen müssen keine Variablen haben. Aussagen mit Variablen
müssen nicht "für alle" formuliert sein. Nimm Unstetigkeit einer
Funktion.

Dann reden wir aneinander vorbei.
Ich wollte eigentlich ausdrücken, dass ich "Heute regnet es" nicht als
hinreichende Bedingung für "es war in den letzten zehn Jahren einmal
Vollmond" sehen würde.

Warum?

Post by Rudolf Polzer
Daher wollte ich ausdrücken, dass "A ist hinreichend für B" bedeutet,
"für x = 6 ist 3|x hinreichend für 2|x"

Das ist zwar ein Fall, der meist nicht so interessant
ist, aber dennoch würde ich hier zustimmen.

Was hältst du von folgender Aussage?

"Ist x nicht durch 6 teilbar, so ist
3 teilt x
hinreichend für
2 teilt nicht x."


Paul

[Rudolf Polzer]

Post by Paul Ebermann

Post by Rudolf Polzer

Post by Hans Crauel
Rudolf Polzer schreibt zu
"(A => B) oder (B => A)"

So interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in
Verbindung mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

Aussagen müssen keine Variablen haben. Aussagen mit Variablen
müssen nicht "für alle" formuliert sein. Nimm Unstetigkeit einer
Funktion.

Dann reden wir aneinander vorbei.
Ich wollte eigentlich ausdrücken, dass ich "Heute regnet es" nicht als
hinreichende Bedingung für "es war in den letzten zehn Jahren einmal
Vollmond" sehen würde.

Warum?

Weil die Aussagen nichts miteinander zu tun haben.

Post by Paul Ebermann

Post by Rudolf Polzer
Daher wollte ich ausdrücken, dass "A ist hinreichend für B" bedeutet,
"für x = 6 ist 3|x hinreichend für 2|x"

Das ist zwar ein Fall, der meist nicht so interessant
ist, aber dennoch würde ich hier zustimmen.
Was hältst du von folgender Aussage?
"Ist x nicht durch 6 teilbar, so ist
3 teilt x
hinreichend für
2 teilt nicht x."

Formal:

not(6 | x) => ((3 | x) => not(2 | x))

Stimmt, ist so eine Sache. Man nutzt sonst ja auch solche Voraussetzungen,
wie zum Beispiel, dass x eine natürliche Zahl ist etc.

Wie könnte man denn die verschiedenen Dinge auseinanderhalten?

Macht es Sinn, von "hinreichend" und "notwendig" bei "Bedingungen"
(die Eigenschaft muss dann für alle zugelassenen Belegungen) und bei
"Aussagen" (man erhält die neue Aussage A => B) zu sprechen?

[Rudolf Polzer]

Rudolf Polzer schreibt zu "(A => B) oder (B => A)"

So interpretiere ich die beiden Begriffe nicht. Sondern nur in
Verbindung mit einem "für alle Belegungen der Variablen".

Aussagen müssen keine Variablen haben.

Dann sei x das leere Tupel (gibt's sowas?).

A ist h. für B: für alle x: A(x) => B(x)
B ist h. für A: für alle x: B(x) => A(x)

^^^

für alle x: A(x) => B(x)
ODER
für alle x: B(y) => A(y)

^

Nein, das ist falsch (mit x und y geht es zudem durcheinander).

Die Fehler sind unterstrichen :) das "und" soll ein "oder" sein und
das eine x ein y. Rest siehe anderes Posting.

Richtig ist die Aussage
"Für alle x: [A(x) => B(x)] oder [B(x) => A(x)]"
Das ist ein Spezialfall der ursprünglichen Feststellung.

Ja, das ist mir klar.

[bilberry]

Danke, danke an alle.

Ihr habt mir mit euren Beispielen schon hinreichend geholfen ;-)

Thx,
bilberry