Discussion:
Ist die Umkehrung einer mehrstelligen algebraischen Funktion eine mehrwertige Funktion, oder aber eine mengenwertige Funktion?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2017-04-22 21:03:00 UTC
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Hallo,

eine mehrstellige Funktion ist eine Funktion, deren Argumente n-Tupel mit
n>1 sind.
Ist die Umkehrung einer mehrstelligen algebraischen Funktion eine
mehrwertige Funktion, oder aber eine mengenwertige Funktion?
(Eine mehrwertige Funktion ist keine Funktion.)
Danke.
H0Iger SchuIz
2017-04-23 10:28:26 UTC
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Post by IV
(Eine mehrwertige Funktion ist keine Funktion.)
Dann wäre der Begriff etwas ungünstig gewählt. Nun gut, aber was soll
denn dann eine "mehrwertige Funktion" sein?

hs
IV
2017-04-23 10:36:27 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
(Eine mehrwertige Funktion ist keine Funktion.)
Dann wäre der Begriff etwas ungünstig gewählt.
Ist er. Wikipedia en - Multivalued function
https://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function dazu: "The term
'multivalued function' is, therefore, a misnomer because functions are
single-valued."
Post by H0Iger SchuIz
Nun gut, aber was soll denn dann eine "mehrwertige Funktion" sein?
Wikipedia en dazu weiter: "Multivalued functions often arise as inverses of
functions that are not injective. Such functions do not have an inverse
function, but they do have an inverse relation. The multivalued function
corresponds to this inverse relation."
H0Iger SchuIz
2017-04-23 12:57:33 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Nun gut, aber was soll denn dann eine "mehrwertige Funktion" sein?
Wikipedia en dazu weiter: "Multivalued functions often arise as inverses of
functions that are not injective. Such functions do not have an inverse
function, but they do have an inverse relation. The multivalued function
corresponds to this inverse relation."
Um auf die Ausgangsfrage zurückzukommen: Wenn von der Umkehrung einer
mehrstelligen Funktion die Rede ist, soll es sich dann um eine bijektive
Funktion handeln. Dann wäre die Umkehrung ja eine klassische Funktion,
deren Funktionswerte w#ären halt Tupel. Mehrwertigkeit oder
Mengenwertigkeit spielten keine Rolle.

Geht es aber um eine nicht-injektive Funktion, brauchr man ein etwas
allgemeineres Umkehrungskonzept. Da kommt es dann drauf an, was man
damit möchte, um zu entscheiden, welches man da nimmt.

hs
Torn Rumero DeBrak
2017-04-23 21:59:01 UTC
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Post by IV
Hallo,
eine mehrstellige Funktion ist eine Funktion, deren Argumente n-Tupel
mit n>1 sind.
Das ist schon einmal falsch. MEHRSTELLIGE Funktionen gibt es nicht.
Eine Funktion ist EINSTELLIG und EINWERTIG.
Alles andere verwirrt nur Laien. Warum soll n=1 auch in deiner
Definition ausgeschlossen werden???

Die Schreibweise
(S1) f(x1, x2, x3) = (y1, y2)
stellt also keine Funktion mit 3 Argumenten und 2 Funktionswerten dar,
sondern eine Funktion mit EINEM Argument, nämlich dem 3-Tupel
(x1, x2, x3), und dem 2-Tupel (y1, y2) als EINZIGEM Funktionswert.
Es wird deshalb korrekterweise die Schreibweise
(S2) f((x1, x2, x3)) = (y1, y2)
geschrieben, was aus Konvention zu (S1) verkommt, denn Mathematiker
wollen nicht zu viele Klammer schreiben. Die Sprechweise, "diese
Funktion hat 3 Argumente" ist nur eine schlampige Kurzfassung
und sollte auch als solche verstanden werden.
Übrigens sind in diesem Fall x1, x2, x3 und y1, y2 nicht unbedingt Zahlen.

Der Gebrauch der Adjektive "mehrstellig" und "mehrwertig" ist also
in einer strengen Diskussion abzulehnen.

Anders ist es bei den Adjektiven "vektorstellig" und "vektorwertig".
Ein Vektor ist ein spezielles Tupel, mit dem algebraische Operationen
im Vektorraum ausgeführt werden können, also Addition von Vektoren
und Multiplikation eines Skalaren mit einem Vektor sind definiert.
So ist jede lineare Abbildung dann eine vektorstellige, vektorwertige
Funktion.
Aber auch hier hat die lineare Abbildung EIN Argument und EINEN
Funktionswert und ist einstellig und einwertig.
(Und da gibt es auch viele Beispiele von umkehrbaren linearen
Abbildungen.)

Eine Funktion kann auch tupelstellig und tupelwertig für Tupel aus
nicht-Vektorräumen sein. So könnte es eine Funktion geben, die
dem Tupel (Vorname, Nachname, Wohnort, Straße, Hausnummer)
das Tupel (Geburtstag, Geburtsmonat, Geburtsjahr, Geschlecht)
zuordnet.

Man beachte auch, daß die Definitionen von surjektiv und injektiv
keine Bedingungen an die Argument oder Werte der Funktion, ob sie
nun mehrstellig oder Tupel sind, stellen.
Sie müssen nur vergleichbar und unterscheidbar sein.
Post by IV
Ist die Umkehrung einer mehrstelligen algebraischen Funktion eine
mehrwertige Funktion, oder aber eine mengenwertige Funktion?
(Eine mehrwertige Funktion ist keine Funktion.)
Danke.
Da es nur einstellige Funktionen gibt, ist die Umkehrung, falls
sie existiert, folgerichtig auch einwertig.
So ist die Funktion, die die eindimensionale Gerade auf
die Parabel in der 2-dimensionalen Ebene abbildet
p: IR -> Im(p) c IR^2, p(x)=(x, x^2)
eine umkehrbare Funktion zwischen ihrem Definitionsbereich und
Wertebereich.


Ich hoffe damit ist diese unsägliche Diskussion jetzt beendet.
Hans Crauel
2017-04-24 00:13:35 UTC
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Torn Rumero DeBrak schrieb
Post by Torn Rumero DeBrak
Ein Vektor ist ein spezielles Tupel, mit dem algebraische Operationen
im Vektorraum ausgeführt werden können, also Addition von Vektoren
und Multiplikation eines Skalaren mit einem Vektor sind definiert.
Typische Frage in einer muendlichen Mathematik-Pruefung:
Was ist ein Vektor?

Richtige Antwort:
Ein Element eines Vektorraums.

Siehe zum Beispiel
<http://www.mathepedia.de/Vektorraeume.aspx>
fuer die Definition von Vektorraeumen (der entsprechende
Wikipedia-Eintrag ist weniger brauchbar).

Ein Vektor muss insbesondere keineswegs ein Tupel sein.
Haeufig betrachtete Vektorraeume sind Funktionenraeume, darunter
etwa die Mengen aller/aller beschraenkten/aller stetigen Funktionen
von (einer Teilmenge von R) nach R.

Allgemeiner ist die Menge aller Funktionen von einer beliebigen
Menge X in einen Vektorraum V mit der punktweise definierten
Addition und skalaren Multiplikation wieder ein Vektorraum.

Die klassischen euklidischen Vektorraeume koennen als Spezialfaelle
davon betrachtet werden, R^n ist die Menge aller Funktionen von
der endlichen Menge {1,2,...,n} nach R (was jedoch eine eher
unpraktische Sicht ist).

Und zum anderen: Die Sprechweise mehrwertige/mengenwertige Funktion
von X nach Y ist nichts als eine abkuerzende Sprechweise fuer

Funktion von X nach P(Y), die Potenzmenge von Y
Post by Torn Rumero DeBrak
Ich hoffe damit ist diese unsägliche Diskussion jetzt beendet.
Der Hoffnung schliesse ich mich an.

Hans Crauel
IV
2017-04-24 20:06:43 UTC
Permalink
Raw Message
...
Der Gebrauch der Adjektive "mehrstellig" und "mehrwertig" ist also in
einer strengen Diskussion abzulehnen.
...
Ich hoffe damit ist diese unsägliche Diskussion jetzt beendet.
Wie ich jetzt sehe, ist die Sache wohl die, daß die Begriffsbezeichnungen in
einzelnen Fachgebieten, auch einzelnen Mathematikfachgebieten,
unterschiedlich gehandhabt werden:
Horst Hischer: Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und
Entwicklung: Struktur - Funktion - Zahl, Springer, 2012
bei Google Books:
https://books.google.de/books?id=D2gpBAAAQBAJ&dq=%22mehrstellige+Funktion*%22&hl=de&source=gbs_navlinks_s
dort nach "mehrstellige Funktion*" suchen
Ich wollte einen Text schreiben, der sowohl für Mathematiker als auch für
mathematisch interessierte Laien leicht verständlich ist. Aber wie ich jetzt
sehe, werde ich manche meiner mathematischen Objekte wohl doch nicht mit
Namen benennen können, sondern sie nur formelmäßig fassen müssen.
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