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Kreisgleichung bestimmen aus berührbedingungen - wie ?
(zu alt für eine Antwort)
h***@gmail.com
2018-01-04 10:14:16 UTC
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hi, ich hab ein problem mit einem beispiel wo eine kreisgleichung zu bestimmen ist aus mehreren berührbedingungen. Hab leider überhaupt keine idee wie das beispiel zu lösen ist, wäre um jede hilfe sehr dankbar. Im folgenden das beispiel:

Gegeben sind zwei Kreise K1 mit x^2 + (y - 4)^2 = 2 und K2 mit x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0 . Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises, der die beiden Kreise berührt, und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: 3x + y = 19 liegt.
H0Iger SchuIz
2018-01-04 11:04:50 UTC
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Post by h***@gmail.com
hi, ich hab ein problem mit einem beispiel wo eine kreisgleichung zu
bestimmen ist aus mehreren berührbedingungen. Hab leider überhaupt keine
idee wie das beispiel zu lösen ist, wäre um jede hilfe sehr dankbar. Im
Und bis wann muss diese Hausaufgabe abgegeben sein? Und für den
Deutsch-Förderkurs musst du auch noch üben?
Post by h***@gmail.com
Gegeben sind zwei Kreise K1 mit x^2 + (y - 4)^2 = 2 und K2 mit x^2 + y^2 -
4x + 2 = 0 . Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises, der die beiden
Kreise berührt, und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: 3x + y = 19
liegt.
Hast du das mal gezeichnet, um ein Gefühl für die Situation zu bekommen?
Aus der textuellen Beschreibung kann ich auch keine Idee ableiten.

hs
h***@gmail.com
2018-01-04 16:35:05 UTC
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Deutsch-Förderkurs ist ausgefallen wegen mangelnder notwendigkeit von meiner seite. Habe in der gesparten zeit erfolgreich ein mathematik studium absolviert :-)
H0Iger SchuIz
2018-01-05 11:41:33 UTC
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Post by h***@gmail.com
Deutsch-Förderkurs ist ausgefallen
Ja, merkt man. Danke für die Ehrlichkeit.

hs
Gerd Thieme
2018-01-04 11:58:06 UTC
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Post by h***@gmail.com
Gegeben sind zwei Kreise K1 mit x^2 + (y - 4)^2 = 2 und K2 mit x^2 +
y^2 - 4x + 2 = 0 . Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises, der die
beiden Kreise berührt, und dessen Mittelpunkt auf der Geraden g: 3x +
y = 19 liegt.
Lösen wir jetzt Hausaufgaben?

Stelle die Gleichung für die gesuchten Lösungskreise auf (es gibt mehr
als nur eine Lösung). Beispielsweise so:

(x–p)² + (y–q)² = (r+d)²

Darin sind p, q und r die gesuchte Lösung (Mittelpunkt und Radius),
x und y sind freie Koordinaten irgendeines Punkts, und d ist jeweils der
vorzeichenbehaftete Abstand dieses Punkts von der Kreislinie. Für den
Kreis selbst gilt d = 0, im Kreisinnern ist d negativ und außerhalb
positiv.

Setze den Mittelpunkt dieses Kreises auf die Gerade g:

3·p + q = 19

Damit hast Du schon mal eine Gleichung. Nennen wir sie E3. Jetzt
brauchst Du noch E1 und E2, damit Du drei Gleichungen für die drei
Unbekannten p, q und r hast.

Die beiden Kreise K1 und K2 liefern Dir jeweils eine Gleichung,
wenn Du Dir überlegst, welchen Abstand die Mittelpunkte dieser beiden
Kreise von der Kreislinie der gesuchten Lösungen haben müssen.

Das liefert Dir die Gleichungen E1 und E2, die ich hier nicht
hinschreibe, rechnen mußt Du schon selbst.

Paß aber auf, daß E1 und E2 jeweils ein unbestimmtes Vorzeichen
enthalten. Wenn Du das als ± notierst, dann ist das ± in E1 unabhängig
von dem ± in E2.

Deshalb gibt es am Ende vier verschiedene, korrekte Lösungen für die
Aufgabe, je nachdem, welcher der Kreise K1 und K2 innerhalb und/oder
außerhalb des Lösungskreises liegt.

Falls Dein Lehrer darauf bestehen sollte, daß es nur eine Lösung geben
darf, dann glaubt er wohl, daß sich Kreise nur von außen berühren
können. In diesem Falle ersetze beide ± durch das passende Vorzeichen.

Gerd
--
Richtige Männer fragen nicht nach dem Weg.
h***@gmail.com
2018-01-04 16:41:31 UTC
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@Gerd:
Normalerweise sind meine Fragen hier auch von einem anderen kaliber. Sollte diese aufgabe allerdings letztens mal einer nachhilfe-schülerin demonstrieren wie die zu lösen ist, bin allerdings gescheitert - hab ihr versprochen die lösung nachzuliefern ...
Danke für die Hilfestellung, damit komme ich schon auf die lösung ! Der ansatz für die kreisgleichung mit (r + d)^2 anstatt r^2 ist schlau, darauf wäre ich von selbst nicht gekommen! danke nochmal, hannes
Detlef Müller
2018-01-04 23:36:53 UTC
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Post by h***@gmail.com
Normalerweise sind meine Fragen hier auch von einem anderen kaliber. Sollte diese aufgabe allerdings letztens mal einer nachhilfe-schülerin demonstrieren wie die zu lösen ist, bin allerdings gescheitert - hab ihr versprochen die lösung nachzuliefern ...
Danke für die Hilfestellung, damit komme ich schon auf die lösung ! Der ansatz für die kreisgleichung mit (r + d)^2 anstatt r^2 ist schlau, darauf wäre ich von selbst nicht gekommen! danke nochmal, hannes
Für die Nachhilfe (und sowieso) kann man sich auch geometrisch
heran tasten:

K_1: x^2 + (y - 4)^2 = 2

Hat als Mittelpunkt M_1=(0,4), das sieht man sofort.
Auch den Radius sqrt(2) liest man gleich ab.

Die Gleichung für

K_2: x^2 + y^2 - 4x + 2 = 0

kann man (quadratische Ergänzung) zu

(x-2)^2 + y^2 -2 <=> (x-2)^2 + y^2 = 2

umformen. Dann sieht man: Dies ist ein Kreis um
den Mittelpunkt M_2=(2,0) mit Radius sqrt(2).

Wir haben also zwei kongruente Kreise vorliegen!

Der Abstand der Mittelpunkte ist sqrt(4^2+2^2)=2*sqrt(5)>2*sqrt(2),
die Kreise K_1 und K_2 schneiden oder berühren sich also nicht.

Der Mittelpunkt M der Strecke M_1 M_2 hat dann von beiden Kreisen
den gleichen Abstand ... damit erhalten wir schon einmal eine
Lösung (Kreis um M mit diesem Abstand sqrt(5)-sqrt(2) als
Radius).

Die Mittelsenkrechte dieser Strecke ist sogar die Symmetrieachse der von
K_1 und K_2 gebildeten Figur!

daher liefern alle anderen Punkte P auf der Mittelsenkrechten
von M_1 und M_2 zwei weitere Lösungen:
Schneide die Gerade P M_1 mit K1, die Schnittpunkte seien Q_a, Q_b.

Sowohl der Kreis um P durch Q_a als auch der Kreis um P durch Q_b
tangieren K_1 (wie Gerd schon bemerkt: den "hinteren" Schnittpunkt
von P aus kann man leicht vergessen, er tangiert K_1 von außen -
ich hatte den auch erst nicht berücksichtigt).

Aus Symmetriegründen tangieren die so konstruierten Kreise zugleich
K_2, wir erhalten also ("zwei mal") unendlich viele Lösungen.

Mit der Vorarbeit kann man nun auch konkrete Koordinaten und
Kreisgleichungen bestimmen ...

Dabei tauchen fast alle Punkte auf K_1 und K_2 irgendwann als
Berührpunkt auf ... bis auf 4 Stück.
Das merkt man spätestens, wenn man mit den Geraden durch
M_1 parametrisieren will [weil man damit alle in Frage
kommenden tangierenden Kreise leichter heraus bekommt]:
eine dieser Geraden schneidet nämlich die Mittelsenkrechte
nicht!

Und schon sind wir in Gefilde der projektive Geometrie gestolpert.

So kann man auch aus unscheinbaren Fragestellungen in ganz andere
Gefilde gelangen, wenn man sich denn darauf einlässt :)

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Gerd Thieme
2018-01-05 12:15:51 UTC
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Post by Detlef Müller
Sowohl der Kreis um P durch Q_a als auch der Kreis um P durch Q_b
tangieren K_1 (wie Gerd schon bemerkt: den "hinteren" Schnittpunkt
von P aus kann man leicht vergessen, er tangiert K_1 von außen -
ich hatte den auch erst nicht berücksichtigt).
Ja, soweit bin ich geometrisch auch gekommen. Zwei der vier Lösungen
haben zwangsläufig den gemeinsamen Mittelpunkt (5, 4).

Die Suche nach einer geometrischen Lösung für die beiden verbleibenden
Fälle (K1 innen und K2 außen bzw. umgekehrt) habe ich abgebrochen, weil
mir der algebraische Weg einfacher erschien.
Post by Detlef Müller
Und schon sind wir in Gefilde der projektive Geometrie gestolpert.
Möbiussche Kreisgeometrie sollte genügen, die ist konform. Projizierte
Kreise sind unangenehm unrund.

Gerd
--
Oftmals paaret im Gemüte
Dummheit sich mit Herzensgüte
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