Imperatore
2010-01-29 11:19:02 UTC
Im folgenden möchte ich einiges über das sogenannte
Parallelenaxiom berichten, das nicht jeder in dieser
Ausführlichkeit kennt.
Bekanntlich geht es auf Euklid (um 300 v. Chr.) zurück,
doch erscheint es dort nicht unter diesem Namen.
In seinem berühmten Geometriewerk "Elemente", das
bis ins 19. Jahrhundert in vielen Schulen als Lehrbuch
verwendet wurde und lange Zeit nach der Bibel am
stärksten verbreitet war, beginnt Euklid mit einer Anzahl
von Definitionen:
- Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
- Eine Linie ist breitenlose Länge.
- Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen
Punkte auf einerlei Art gelegen ist. (Andere Übersetzung:
eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr
gleichmäßig liegt.)
- Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche.
. . . .
Erklärt wird weiter, was ein Winkel ist, insbesondere ein rechter,
worauf aber hier nicht eingegangen werden soll.
Es folgen Aussagen, die man sehr viel später1) "Axiome" nannte:
- Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich.
- Fügt man Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summen gleich.
- Nimmt man von Gleichem Gleiches weg, so sind die Reste gleich.
- Was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander
gleich.
- Das Ganze ist grösser als sein Teil.
1)Axiom von gr. axioma = Ansehen, Würde, unbezweifelter
Lehrsatz. In dieser Bedeutung seit dem 17. Jhdt. verwendet -
rund 2000 Jahre nach Euklid. Das, was manchmal als Parallelen-
axiom bezeichnet wird, kommt bei den obigen Aussagen nicht vor.
Es ist vielmehr das letzte der sich anschließenden fünf Postulate:
1. Es soll gefordert werden, dass sich von jedem Punkte nach
jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lasse.
2. Ferner, dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader
Linie verlängern lasse.
3. Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser
ein Kreis beschreiben lasse.
4. Ferner, dass alle rechten Winkel einander gleich seien.
5. Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit
ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die
zusammen kleiner sind als zwei rechte, so sollen die
beiden Geraden, ins unendliche verlängert, schliesslich
auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen,
die zusammen kleiner sind als zwei Rechte.
Hiernach ist es nicht sachgerecht, vom Parallelenaxiom
zu sprechen; man sollte lieber Parallelenpostulat sagen.
Während die ersten vier Postulate (lat. für "Forderungen")
kurz und knapp gehalten sind, sticht das fünfte in dieser
Beziehung deutlich von ihnen ab. Deshalb wurden bereits im
Altertum Versuche gemacht, es durch einfacher lautende,
gleichwertige Aussagen zu ersetzen. Von Poseidonius
(um 135-51 v. Chr.) stammt die Formulierung:
"Alle Punkte der Ebene, die von einer gegebenen Gerade
den gleichen Abstand haben und auf einer Seite dieser Gerade
liegen, bilden (ebenfalls) eine Gerade."
Dies klingt schon eher nach dem, was wir unter Parallelität
verstehen. "Parallel" ist ein im 16. Jhdt. aus den griechischen
Wörtern pará=neben und állos=anderer gebildetes
Kunstwort, das soviel wie "nebeneinander herlaufend" bedeutet.
("Para" hat auch noch eine Reihe anderer Bedeutungen und
kommt in in vielen Fachbegriffen vor, Beisp.: Parabel, Paragraph,
Paramagnetismus, Parodie ...)
Eine andere Fassung des fünften Postulats, bei der ich nicht
weiß, von wem sie stammt, lautet:
"Zu einer gegebenen Gerade g1 gibt es durch einen Punkt P
außerhalb von ihr genau eine Gerade g2, die in der von g1
und P aufgespannten Ebene liegt und g1 nicht schneidet."
g2 heißt Parallele zu g1.
Noch ein paar weitere Formulierungen, die dem 5. euklidischen
Postulat äquivalent sind (was natürlich bewiesen werden mußte):
"Zu jedem Dreieck gibt es ein ähnliches Dreieck beliebiger Größe."
( John Wallis, 1616-1703)
"Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei Rechte". (Geronimo
Saccheri, 1667-1733)
"Durch einen Punkt innerhalb eines Winkels, der kleiner als ein
gestreckter ist, kann man stets eine Gerade ziehen, die beide
Schenkel schneidet." (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)
"Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte
gibt es einen Kreis." (Farkas (Wolfgang) Bólyai, 1775-1856).
Die letzte Aussage läßt keinen Zusammenhang mit dem
ursprünglichen Gedanken von Euklid mehr erkennen.
*
Das Unbehagen an dem kompliziert klingenden 5. Postulat,
das außer den antiken Griechen auch die Araber empfanden,
die Euklids Schriften in ihre Sprache übersetzten, dauerte
bis in die Neuzeit an. Schon früh wurde gefragt, ob sich
das 5. Postulat mit Hilfe der vier anderen beweisen
läßt. Falls ja, wäre es entbehrlich, und man könnte es
einfach weglassen.
Beweisversuche dieser Art führten zu keinem Erfolg. Noch
im 19. Jhdt. quälte sich der zuletzt genannte ungarische
Mathematiker F. Bólyai jahrzehntelang damit herum und
schrieb nach dieser langen, frustrierenden Zeit einen Brief
an seinen Sohn János Bólyai, ebenfalls Mathematiker,
in dem er ihm dringend davon abriet, sich weiter mit
diesem Problem zu beschäftigen. (Das in dem Brief
enthaltene, lange lateinische Zitat - mit kl. Schreibfehler -
"si paulum ..." bedeutet auf deutsch: "Falls sie" -
gemeint ist in diesem Fall die Dichtkunst - "auch nur
wenig hinter dem Höchsten zurückbleibt, sinkt sie in die
Tiefe hinab" und stammt von Horaz (Ars poetica).)
Bólyai junior folgte nicht dem väterlichen Rat. Er
erkannte die Unbeweisbarkeit des 5. Postulats aus den
vier übrigen und entwickelte 1825 eine Geometrie, die auf
anderen Voraussetzungen beruht. Diese nannte er
"absolute Geometrie". (Anm.: "absolut" heißt auf deutsch
"losgelöst". Interessanter Weise ist in der anklickbaren
Seite vom XI. Axiom von Euklid die Rede. Gemeint ist aber
das 5. Postulat; offenbar liegt hier eine andere Zählung
und ein anderes Verständnis des Begriffs "Axiom" vor.)
Unabhängig von J. Bólyai und voneinander schufen C. F. Gauß
(1777-1855) und N. I. Lobatschewski (1792-1856) in den
Jahren 1816 und 1832 die hyperbolische Geometrie,
in der das 5. Postulat von Euklid durch das folgende
ersetzt wird:
"Ist g eine Gerade und P ein nicht auf ihr liegender Punkt,
so gibt es in der durch P, g bestimmten Ebene zwei von P
ausgehende Halbgeraden p1, p2, für die der Winkel ∠(p1, p2)
kleiner als ein gestreckter ist, die beide g nicht schneiden,
während jede von P innerhalb des Winkels ∠(p1, p2) ausgehende
Halbgerade die Gerade g schneidet." (Quelle: Lexikon der
Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979)
Dies hört sich komplizierter an als die ursprüngliche
euklidische Forderung.
Zur Veranschaulichung der hyperbolischen Geometrie dient
eine sogenannte Pseudosphäre (gr. für "falsche Kugel").
Sie entsteht durch Rotation einer Traktrix (lat. für
"Schleppkurve"), die, für sich interessant, hier auf dem
Matheplaneten von Artur Koehler (pendragon302) ausführlich
behandelt wurde.
*
Zum Schluß ein Blick auf eine richtige, gewöhnliche Kugel.
Auch auf ihrer Oberfläche kann man Geometrie betreiben.
Wie sieht es bei dieser mit dem 5. Postulat von Euklid aus?
Um das herauszufinden, muß man als erstes feststellen,
welche geometrischen Objekte der Kugeloberfläche den
Geraden der Ebene entsprechen. Hierzu eignet sich die
oben zitierte Geradendefinition Euklids kaum. Ich benutze
deshalb eine viel bekanntere, bei der ich nicht weiß, ob sie
auch von ihm oder jemand anderem stammt:
"Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.
Entfernen sich diese voneinander bis ins Unendliche, entsteht
eine Gerade. Diese hat keinen Anfang und kein Ende."
Auf der Oberfläche einer Kugel liegt die kürzeste Verbindung
zwischen zwei Punkten auf einem Großkreis, d. h. einem
Kreis, dessen Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt ist. Dies kann
man sich ohne Rechnung mit einem straffgespannten
Gummiband klar machen. Ein ganzer Großkreis (ohne Anfang
und Ende) entspricht einer Geraden der Ebene. Da sich
Großkreise stets schneiden, gibt es in diesem Sinne auf der
Kugeloberfläche keine "Geraden", die zueinander
parallel sind. Euklids fünftes Postulat ist hier nicht erfüllbar;
die Geometrie auf der Kugel wird deshalb, ebenso wie die
hyperbolische, "nicht-euklidisch" genannt.
Parallelenaxiom berichten, das nicht jeder in dieser
Ausführlichkeit kennt.
Bekanntlich geht es auf Euklid (um 300 v. Chr.) zurück,
doch erscheint es dort nicht unter diesem Namen.
In seinem berühmten Geometriewerk "Elemente", das
bis ins 19. Jahrhundert in vielen Schulen als Lehrbuch
verwendet wurde und lange Zeit nach der Bibel am
stärksten verbreitet war, beginnt Euklid mit einer Anzahl
von Definitionen:
- Ein Punkt ist, was keine Teile hat.
- Eine Linie ist breitenlose Länge.
- Eine Linie ist gerade, wenn sie gegen die in ihr befindlichen
Punkte auf einerlei Art gelegen ist. (Andere Übersetzung:
eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr
gleichmäßig liegt.)
- Was nur Länge und Breite hat, ist eine Fläche.
. . . .
Erklärt wird weiter, was ein Winkel ist, insbesondere ein rechter,
worauf aber hier nicht eingegangen werden soll.
Es folgen Aussagen, die man sehr viel später1) "Axiome" nannte:
- Dinge, die demselben Dinge gleich sind, sind einander gleich.
- Fügt man Gleichem Gleiches hinzu, so sind die Summen gleich.
- Nimmt man von Gleichem Gleiches weg, so sind die Reste gleich.
- Was zur Deckung miteinander gebracht werden kann, ist einander
gleich.
- Das Ganze ist grösser als sein Teil.
1)Axiom von gr. axioma = Ansehen, Würde, unbezweifelter
Lehrsatz. In dieser Bedeutung seit dem 17. Jhdt. verwendet -
rund 2000 Jahre nach Euklid. Das, was manchmal als Parallelen-
axiom bezeichnet wird, kommt bei den obigen Aussagen nicht vor.
Es ist vielmehr das letzte der sich anschließenden fünf Postulate:
1. Es soll gefordert werden, dass sich von jedem Punkte nach
jedem Punkte eine gerade Linie ziehen lasse.
2. Ferner, dass sich eine begrenzte Gerade stetig in gerader
Linie verlängern lasse.
3. Ferner, dass sich mit jedem Mittelpunkt und Halbmesser
ein Kreis beschreiben lasse.
4. Ferner, dass alle rechten Winkel einander gleich seien.
5. Endlich, wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit
ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die
zusammen kleiner sind als zwei rechte, so sollen die
beiden Geraden, ins unendliche verlängert, schliesslich
auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen,
die zusammen kleiner sind als zwei Rechte.
Hiernach ist es nicht sachgerecht, vom Parallelenaxiom
zu sprechen; man sollte lieber Parallelenpostulat sagen.
Während die ersten vier Postulate (lat. für "Forderungen")
kurz und knapp gehalten sind, sticht das fünfte in dieser
Beziehung deutlich von ihnen ab. Deshalb wurden bereits im
Altertum Versuche gemacht, es durch einfacher lautende,
gleichwertige Aussagen zu ersetzen. Von Poseidonius
(um 135-51 v. Chr.) stammt die Formulierung:
"Alle Punkte der Ebene, die von einer gegebenen Gerade
den gleichen Abstand haben und auf einer Seite dieser Gerade
liegen, bilden (ebenfalls) eine Gerade."
Dies klingt schon eher nach dem, was wir unter Parallelität
verstehen. "Parallel" ist ein im 16. Jhdt. aus den griechischen
Wörtern pará=neben und állos=anderer gebildetes
Kunstwort, das soviel wie "nebeneinander herlaufend" bedeutet.
("Para" hat auch noch eine Reihe anderer Bedeutungen und
kommt in in vielen Fachbegriffen vor, Beisp.: Parabel, Paragraph,
Paramagnetismus, Parodie ...)
Eine andere Fassung des fünften Postulats, bei der ich nicht
weiß, von wem sie stammt, lautet:
"Zu einer gegebenen Gerade g1 gibt es durch einen Punkt P
außerhalb von ihr genau eine Gerade g2, die in der von g1
und P aufgespannten Ebene liegt und g1 nicht schneidet."
g2 heißt Parallele zu g1.
Noch ein paar weitere Formulierungen, die dem 5. euklidischen
Postulat äquivalent sind (was natürlich bewiesen werden mußte):
"Zu jedem Dreieck gibt es ein ähnliches Dreieck beliebiger Größe."
( John Wallis, 1616-1703)
"Die Winkelsumme im Dreieck beträgt zwei Rechte". (Geronimo
Saccheri, 1667-1733)
"Durch einen Punkt innerhalb eines Winkels, der kleiner als ein
gestreckter ist, kann man stets eine Gerade ziehen, die beide
Schenkel schneidet." (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833)
"Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte
gibt es einen Kreis." (Farkas (Wolfgang) Bólyai, 1775-1856).
Die letzte Aussage läßt keinen Zusammenhang mit dem
ursprünglichen Gedanken von Euklid mehr erkennen.
*
Das Unbehagen an dem kompliziert klingenden 5. Postulat,
das außer den antiken Griechen auch die Araber empfanden,
die Euklids Schriften in ihre Sprache übersetzten, dauerte
bis in die Neuzeit an. Schon früh wurde gefragt, ob sich
das 5. Postulat mit Hilfe der vier anderen beweisen
läßt. Falls ja, wäre es entbehrlich, und man könnte es
einfach weglassen.
Beweisversuche dieser Art führten zu keinem Erfolg. Noch
im 19. Jhdt. quälte sich der zuletzt genannte ungarische
Mathematiker F. Bólyai jahrzehntelang damit herum und
schrieb nach dieser langen, frustrierenden Zeit einen Brief
an seinen Sohn János Bólyai, ebenfalls Mathematiker,
in dem er ihm dringend davon abriet, sich weiter mit
diesem Problem zu beschäftigen. (Das in dem Brief
enthaltene, lange lateinische Zitat - mit kl. Schreibfehler -
"si paulum ..." bedeutet auf deutsch: "Falls sie" -
gemeint ist in diesem Fall die Dichtkunst - "auch nur
wenig hinter dem Höchsten zurückbleibt, sinkt sie in die
Tiefe hinab" und stammt von Horaz (Ars poetica).)
Bólyai junior folgte nicht dem väterlichen Rat. Er
erkannte die Unbeweisbarkeit des 5. Postulats aus den
vier übrigen und entwickelte 1825 eine Geometrie, die auf
anderen Voraussetzungen beruht. Diese nannte er
"absolute Geometrie". (Anm.: "absolut" heißt auf deutsch
"losgelöst". Interessanter Weise ist in der anklickbaren
Seite vom XI. Axiom von Euklid die Rede. Gemeint ist aber
das 5. Postulat; offenbar liegt hier eine andere Zählung
und ein anderes Verständnis des Begriffs "Axiom" vor.)
Unabhängig von J. Bólyai und voneinander schufen C. F. Gauß
(1777-1855) und N. I. Lobatschewski (1792-1856) in den
Jahren 1816 und 1832 die hyperbolische Geometrie,
in der das 5. Postulat von Euklid durch das folgende
ersetzt wird:
"Ist g eine Gerade und P ein nicht auf ihr liegender Punkt,
so gibt es in der durch P, g bestimmten Ebene zwei von P
ausgehende Halbgeraden p1, p2, für die der Winkel ∠(p1, p2)
kleiner als ein gestreckter ist, die beide g nicht schneiden,
während jede von P innerhalb des Winkels ∠(p1, p2) ausgehende
Halbgerade die Gerade g schneidet." (Quelle: Lexikon der
Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979)
Dies hört sich komplizierter an als die ursprüngliche
euklidische Forderung.
Zur Veranschaulichung der hyperbolischen Geometrie dient
eine sogenannte Pseudosphäre (gr. für "falsche Kugel").
Sie entsteht durch Rotation einer Traktrix (lat. für
"Schleppkurve"), die, für sich interessant, hier auf dem
Matheplaneten von Artur Koehler (pendragon302) ausführlich
behandelt wurde.
*
Zum Schluß ein Blick auf eine richtige, gewöhnliche Kugel.
Auch auf ihrer Oberfläche kann man Geometrie betreiben.
Wie sieht es bei dieser mit dem 5. Postulat von Euklid aus?
Um das herauszufinden, muß man als erstes feststellen,
welche geometrischen Objekte der Kugeloberfläche den
Geraden der Ebene entsprechen. Hierzu eignet sich die
oben zitierte Geradendefinition Euklids kaum. Ich benutze
deshalb eine viel bekanntere, bei der ich nicht weiß, ob sie
auch von ihm oder jemand anderem stammt:
"Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.
Entfernen sich diese voneinander bis ins Unendliche, entsteht
eine Gerade. Diese hat keinen Anfang und kein Ende."
Auf der Oberfläche einer Kugel liegt die kürzeste Verbindung
zwischen zwei Punkten auf einem Großkreis, d. h. einem
Kreis, dessen Mittelpunkt der Kugelmittelpunkt ist. Dies kann
man sich ohne Rechnung mit einem straffgespannten
Gummiband klar machen. Ein ganzer Großkreis (ohne Anfang
und Ende) entspricht einer Geraden der Ebene. Da sich
Großkreise stets schneiden, gibt es in diesem Sinne auf der
Kugeloberfläche keine "Geraden", die zueinander
parallel sind. Euklids fünftes Postulat ist hier nicht erfüllbar;
die Geometrie auf der Kugel wird deshalb, ebenso wie die
hyperbolische, "nicht-euklidisch" genannt.