Mächtigkeit der Borel-sigma-Algebra

[Marc]

Hallo,
ist die Borel-sigma-Algebra B auf den reellen Zahlen R genauso mächtig
wie die Potenzmenge P(R) von R? Die gängige Auffassung ist ja, dass
Nicht-Messbarkeit etwas Pathologisches ist, was dies ja nahelegen
würde (und außerdem dass P(R)-B geringere Mächtigkeit hat). Je länger
ich darüber nachdenke, desto weniger überzeugt mich das und ich habe
leider auch keinen Beweis oder Gegenbeweis finden können.

Also: Wer kann mir was erzählen?

Danke, Marc

[Horst Kraemer]

Post by Marc
Hallo,
ist die Borel-sigma-Algebra B auf den reellen Zahlen R genauso mächtig
wie die Potenzmenge P(R) von R? Die gängige Auffassung ist ja, dass
Nicht-Messbarkeit etwas Pathologisches ist, was dies ja nahelegen
würde (und außerdem dass P(R)-B geringere Mächtigkeit hat). Je länger
ich darüber nachdenke, desto weniger überzeugt mich das und ich habe
leider auch keinen Beweis oder Gegenbeweis finden können.
Also: Wer kann mir was erzählen?

Es gilt folgender Satz. Wenn M ein Mengensystem mit Maechtigkeit m
ist, so ist die Maechtigkeit der von M erzeugten Sigma-Algebra
Sigma(M) <= m^aleph_0. Daraus folgt unmittelbar, dass die Maechtigkeit
der Borel-Sigma-Algebra B auf |R <= aleph_0^aleph_0 = c ist, da die
uebliche Toplogie von |R eine abzaehlbare Basis hat (Es gibt nur c
offene Mengen in |R). B ist also nicht maechtiger als |R.

[Martin Vaeth]

Post by Marc
Hallo,
ist die Borel-sigma-Algebra B auf den reellen Zahlen R genauso mächtig
wie die Potenzmenge P(R) von R? Die gängige Auffassung ist ja, dass
Nicht-Messbarkeit etwas Pathologisches ist, was dies ja nahelegen
würde (und außerdem dass P(R)-B geringere Mächtigkeit hat).

Wie Horst Kraemer schon geschrieben hat, ist die Borel-sigma-Algebra nicht
maechtiger als R. In der Praxis betrachtet man allerdings normalerweise
die Lebesgue-Erweiterung (also die Mengen, die sich von einer Borel-Menge
nur um Teilmengen einer Nullmenge unterscheiden).
Dadurch erhaelt man schon alleine fuer die Teilmengen der Cantormenge
die Maechtigkeit der Potenzmenge von R. Fuer die Lebesgue-messbaren Mengen
ist Nicht-Messbarkeit also so pathologisch, wie es nur geht (wenn man dies
nur an der Maechtigkeit der Algebra festmacht).

[Marc]

Hallo,

Post by Martin Vaeth
In der Praxis betrachtet man allerdings normalerweise
die Lebesgue-Erweiterung (also die Mengen, die sich von einer Borel-Menge
nur um Teilmengen einer Nullmenge unterscheiden).
Dadurch erhaelt man schon alleine fuer die Teilmengen der Cantormenge
die Maechtigkeit der Potenzmenge von R. Fuer die Lebesgue-messbaren Mengen
ist Nicht-Messbarkeit also so pathologisch, wie es nur geht (wenn man dies
nur an der Maechtigkeit der Algebra festmacht).

Okay, aber "pathologisch" sollte man wohl eher an der Mächtigkeit der
"pathologischen" Mengen festmachen. Haben die nicht-Lebesgue-messbaren
Mengen auch die Mächtigkeit der Potenzmenge von R oder eine
geringere?

Gruß, Marc

[Martin Vaeth]

Post by Marc
Okay, aber "pathologisch" sollte man wohl eher an der Mächtigkeit der
"pathologischen" Mengen festmachen. Haben die nicht-Lebesgue-messbaren
Mengen auch die Mächtigkeit der Potenzmenge von R oder eine
geringere?

Natuerlich auch die Maechtigkeit der Potenzmenge:
Ist M irgendeine nicht-messbare Teilmenge von [0,1], so ist
beispielsweise die Vereinigung von M mit jeder beliebigen
Teilmenge von [1,2] nicht-messbar.