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Überprüfung Struktursatz für Umkehrfunktion bijektiver zusammengesetzter Funktionen
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IV
2018-07-19 11:49:31 UTC
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Hallo,

ich habe den mathematischen Satz unten formuliert.

1.) Sind Notation und Formulierung des Satzes korrekt?
2.) Muß man den Satz beweisen, oder ist er offensichtlich?
3.) Kann man den Satz vielleicht noch besser formulieren?

Ich möchte mit dem Satz zeigen, daß die Umkehrfunktion einer wie im Satz
angegeben aus den Funktionen f[i] zusammengesetzten bijektiven Funktion F
aus lokalen Umkehrfunktionen der Funktionen f[i] wie im Satz angegeben
zusammengesetzt werden kann.

Beachte, daß bei f[i](f[i-1]... (Zusammensetzung von Funktionen) der
Definitionsbereich von f[i] die Zielmenge von f[i-1] nicht enthalten muß,
bei f[i] o f[i-1]... (Komposition von Funktionen) aber schon.

Satz:
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] jeweils
eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F, dann ist Phi = phi[1] o
phi[2] o ... o phi[n-1] o phi[n], worin phi[i] die lokale Umkehrfunktion der
Funktion f[i] auf der Menge f[i-1](f[i-2](...(f[2](f[1](dom(F))))...)) ist
(für alle i in \mathbb{N}, 1 \leq i \leq n).

Danke.
H0Iger SchuIz
2018-07-19 14:22:53 UTC
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Raw Message
Post by IV
Hallo,
ich habe den mathematischen Satz unten formuliert.
1.) Sind Notation und Formulierung des Satzes korrekt?
2.) Muß man den Satz beweisen, oder ist er offensichtlich?
Wenn er offensichtlich wäre, würde mn ihn wohl nicht Satz nennen,
sondern eher Bemerkung. Das wäre kein formaler Mangel, eher eine
Stilfrage.

Inwiefern hast du dich denn von der Gültigkeit der Aussage des Satzes
überzeugt? Wenn man das aufschriebe, wäre es ein Beweis.
Post by IV
3.) Kann man den Satz vielleicht noch besser formulieren?
Ich möchte mit dem Satz zeigen, daß die Umkehrfunktion einer wie im Satz
angegeben aus den Funktionen f[i]
Die Schreibweise kenne ich nicht. Was bedeuten hierbei die eckigen
Klammern?
Post by IV
zusammengesetzten bijektiven Funktion F
aus lokalen Umkehrfunktionen der Funktionen f[i] wie im Satz angegeben
zusammengesetzt werden kann.
Beachte, daß bei f[i](f[i-1]... (Zusammensetzung von Funktionen) der
Definitionsbereich von f[i] die Zielmenge von f[i-1] nicht enthalten muß,
bei f[i] o f[i-1]... (Komposition von Funktionen) aber schon.
Ja, wo eir gerade dabei sind. Zu den Definitions- und Wertebereichen der
Funktionen wird im Satz so gar nichts vorausgesetzt?

hs
IV
2018-07-19 15:27:27 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
...
Vielen, vielen Dank für Deine umfassende Prüfung.
Post by H0Iger SchuIz
Inwiefern hast du dich denn von der Gültigkeit der Aussage des Satzes
überzeugt? Wenn man das aufschriebe, wäre es ein Beweis.
Soll ich Euch hier meinen Beweisversuch präsentieren?
Post by H0Iger SchuIz
aus den Funktionen f[i]
Die Schreibweise kenne ich nicht. Was bedeuten hierbei die eckigen
Klammern?
i ist der Index von f.
Post by H0Iger SchuIz
Ja, wo wir gerade dabei sind. Zu den Definitions- und Wertebereichen der
Funktionen wird im Satz so gar nichts vorausgesetzt?
Ja, gar nichts.
H0Iger SchuIz
2018-07-19 16:55:31 UTC
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Post by IV
Soll ich Euch hier meinen Beweisversuch präsentieren?
Warum denn nicht?
Post by IV
Post by IV
aus den Funktionen f[i]
Die Schreibweise kenne ich nicht. Was bedeuten hierbei die eckigen
Klammern?
i ist der Index von f.
Indizes schreibt man anders.
Post by IV
Post by IV
Ja, wo wir gerade dabei sind. Zu den Definitions- und Wertebereichen der
Funktionen wird im Satz so gar nichts vorausgesetzt?
Ja, gar nichts.
Aha.
H0Iger SchuIz
2018-07-20 09:27:40 UTC
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Raw Message
Post by IV
Hallo,
ich habe den mathematischen Satz unten formuliert.
1.) Sind Notation und Formulierung des Satzes korrekt?
2.) Muß man den Satz beweisen, oder ist er offensichtlich?
3.) Kann man den Satz vielleicht noch besser formulieren?
Ich möchte mit dem Satz zeigen, daß die Umkehrfunktion einer wie im Satz
angegeben aus den Funktionen f[i] zusammengesetzten bijektiven Funktion F
aus lokalen Umkehrfunktionen der Funktionen f[i] wie im Satz angegeben
zusammengesetzt werden kann.
Das eigentlich Spannende, finde ich, dass es diese lokalen
Umkehrfunktionen gibt. Und zwar durch geschickte Wahl der Bereiche.
Kommt irgendwie in dem Satz zu kurz. Die Umkehrfunktionen werden da mehr
oder minder vorausgesetzt, soweit man das im Rahemn der Formulierung
beurteilen kann.
Post by IV
Beachte, daß bei f[i](f[i-1]... (Zusammensetzung von Funktionen) der
Definitionsbereich von f[i] die Zielmenge von f[i-1] nicht enthalten muß,
bei f[i] o f[i-1]... (Komposition von Funktionen) aber schon.
Vielleicht müsstest du hier nochmal erklären, was mi dieser
"Zusammensetzung" von Funktionen gemeint ist. Wenn es etwas anderes ist,
als die Komposition, fehlt mir eine Definition.

Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1],
f[n] jeweils
eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,
Hier steigt man vor lauter Kommata schon nicht mehr durch. Außerdem
fehlen Verben. Was ist gemeint "f[n] kauft jeweils eine Funktion und Phi
lädt die Umkehrfunktion von F zum Essen ein"? Und was ist n?

Warum listet man nicht erst schön die Voraussetzungen auf, anstatt sie
in Einschüben nachzliefern?

"Sei $n \in \mathbb{N}$ und $f_1,\ldots,f_n$ Funktionen, so dass $F= f_n
\circ \ldots f_1$ eine bijektive Funktion ist. Sei weiter $\Phi$ die
Umkehrfunktion von $F$. Dann existieren lokale Umkehrfunktionen Blabla
usw., so dass blablabla

Literaturtipp:

https://www.springer.com/de/book/9783322943804

Zur Frage, ob man sich mit Begrifflichkeiten wie Bijektivität vielleicht
leichter tut, wenn man Definitions- und Wertebereiche benennt, werde ich
mich nicht mehr äußern.

hs
IV
2018-07-20 11:43:46 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Ich möchte mit dem Satz zeigen, daß die Umkehrfunktion einer wie im Satz
angegeben aus den Funktionen f[i] zusammengesetzten bijektiven Funktion F
aus lokalen Umkehrfunktionen der Funktionen f[i] wie im Satz angegeben
zusammengesetzt werden kann.
Das eigentlich Spannende, finde ich, dass es diese lokalen
Umkehrfunktionen gibt. Und zwar durch geschickte Wahl der Bereiche.
Kommt irgendwie in dem Satz zu kurz. Die Umkehrfunktionen werden da mehr
oder minder vorausgesetzt, soweit man das im Rahmen der Formulierung
beurteilen kann.
Der Satz soll nur zeigen, daß jede bijektive Funktion dieser Form mithilfe
lokaler Umkehrfunktionen der f_i in der genannten Form umkehrbar ist. Aus
diesem Struktursatz möchte ich später einen Satz über die einander
entsprechenden Funktionsklassen von ursprünglicher Funktion und
Umkehrfunktion herleiten.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Beachte, daß bei f[i](f[i-1]... (Zusammensetzung von Funktionen) der
Definitionsbereich von f[i] die Zielmenge von f[i-1] nicht enthalten muß,
bei f[i] o f[i-1]... (Komposition von Funktionen) aber schon.
Vielleicht müsstest du hier nochmal erklären, was mi dieser
"Zusammensetzung" von Funktionen gemeint ist. Wenn es etwas anderes ist,
als die Komposition, fehlt mir eine Definition.
Es ist offensichtlich, was die Zusammensetzung von Funktionen ist: F mit
F(z) = f(g(z)). Der Definitionsbereich von F ist der von g.
Das ist nicht identisch mit der Komposition. Für die Komposition wäre ja
F*(z) = (f o g)(z).

Komposition:
f: Y --> Z
g: X --> Y
Komposition: X --> Z, z \mapsto f(g(z))

Zusammensetzung zweier Funktionen:
f: X2 --> Z2, z \mapsto f(z)
g: X1 --> Z1, z \mapsto g(z)
Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))
Post by H0Iger SchuIz
Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Es sind sehr allgemeine Sätze. Die konkreten Definitionsbereiche und
Zielmengen sind dabei uninteressant. Die Sätze sollen sehr kompakt und
einprägsam sein. Außerdem sollen sie auch von Nichtmathematikern gelesen
werden können.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,
Hier steigt man vor lauter Kommata schon nicht mehr durch.
Na, lesen können sollte man schon, und gerade Mathematiker können das.
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem fehlen Verben.
Nein. Das Verb des Satzes ist "ist". Lesen sollte man schon können.
Post by H0Iger SchuIz
Und was ist n?
Ist denn nicht offensichtlich, daß n eine natürliche Zahl ist? Muß ich das
extra angeben?
Post by H0Iger SchuIz
Warum listet man nicht erst schön die Voraussetzungen auf, anstatt sie in
Einschüben nachzliefern?
Ich hatte Euch dazu eingeladen, hier Eure Formulierungsversionen meines
allerersten mathematischen Satzes zu präsentieren.

"Sei $n \in \mathbb{N}$ und $f_1,\ldots,f_n$ Funktionen, so dass $F= f_n
\circ \ldots f_1$ eine bijektive Funktion ist. Sei weiter $\Phi$ die
Umkehrfunktion von $F$. Dann existieren lokale Umkehrfunktionen Blabla
usw., so dass blablabla
Post by H0Iger SchuIz
Literaturtipp: https://www.springer.com/de/book/9783322943804
Hab' ich natürlich seit ein paar Wochen. Bin aber noch nicht dazu gekommen,
es zu lesen. Das mach' ich, wenn's ans Feinformulieren geht.
Post by H0Iger SchuIz
Zur Frage, ob man sich mit Begrifflichkeiten wie Bijektivität vielleicht
leichter tut, wenn man Definitions- und Wertebereiche benennt, werde ich
mich nicht mehr äußern.
Es bliebe ja nur zu schreiben: Jede der genannten Funktionen habe einen
Definitionsbereich und einen Wertebereich.

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
H0Iger SchuIz
2018-07-20 13:56:39 UTC
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Was immer so alles offensichtlich ist.
Post by IV
F mit
F(z) = f(g(z)). Der Definitionsbereich von F ist der von g.
Das ist nicht identisch mit der Komposition. Für die Komposition wäre ja
F*(z) = (f o g)(z).
Und es gilt nicht etwa $(f \circ g)(z) = f(g(z))$?

Also, den Begriff "Komposition von Funktionen" kenne ich. Da gibt's 'ne
Defintion.
Post by IV
f: Y --> Z
g: X --> Y
Komposition: X --> Z, z \mapsto f(g(z))
f: X2 --> Z2, z \mapsto f(z)
g: X1 --> Z1, z \mapsto g(z)
Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))
Soll das jetzt eine Definition sein? Im Wesentlichen wurde hier wohl nur
eine Voraussetzung der Komposition weggelassen (nämlich, dass die
Definitons- und Wertebereiche "passen"). Das hat en besonderen Charme,
dass der Ausdruck $f(g(z))$ nicht mehr unbedingt Sinn macht. Was soll
das bedeuten, wenn $g(z) \notin X2$ gilt?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Hier ergeht die Warnung vor falschen Vorbildern. Warum möchtest du den
Stil kopieren. Formuliert Ritt besonders schön? Ich möchte auch
anmerken, dass ich in den vergangegnen 93 Jahren nicht nur die Sprache
gewandelt hat, sondern auch der Stil mathematischer Aufsätze nicht
unerheblich.
Post by IV
Es sind sehr allgemeine Sätze. Die konkreten Definitionsbereiche und
Zielmengen sind dabei uninteressant. Die Sätze sollen sehr kompakt und
einprägsam sein.
Ich finde das Gestammel nicht einprägsam.
Post by IV
Außerdem sollen sie auch von Nichtmathematikern gelesen
werden können.
Lesen könnne die das auch, wenn's sprachlich korrekt ist. Mit dem
Verstehen könnte es jedoch einfacher werden, wenn's übersichtlicher ist.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,
Hier steigt man vor lauter Kommata schon nicht mehr durch.
Na, lesen können sollte man schon, und gerade Mathematiker können das.
Das ist eine sehr technische Sichtweise. "Da steht's, ließ nach" ist den
Lesern gegenüber nicht höflich. Ich habe Hinweise gegeben, wie man so
etwa auch übersichtlich und verständlich notieren kann. Interessiert
dich nicht? Dein Problem.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem fehlen Verben.
Nein. Das Verb des Satzes ist "ist".
Steht da nicht.
Post by IV
Lesen sollte man schon können.
Gelesen habe ich es. Es ist krudes Gestammel.

Im übrigen ist es sprachlicher Usus in der Mathematik, beim Einführen
von Objekten den Komjunktiv zu verwenden. Also das typische "sei" in den
Voraussetzungen.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Und was ist n?
Ist denn nicht offensichtlich, daß n eine natürliche Zahl ist? Muß ich das
extra angeben?
Nichts ist offensichtlich. Aber selbst, wenn es das wäre, wäre es ja
auch kein großer Umstand das aufzuschreiben? Dem Leser die
Interpratation zu überlassen ist nicht höflich.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Warum listet man nicht erst schön die Voraussetzungen auf, anstatt sie in
Einschüben nachzliefern?
Ich hatte Euch dazu eingeladen, hier Eure Formulierungsversionen meines
allerersten mathematischen Satzes zu präsentieren.
Formulierungsvorschläge habe ich unterbreitet. Die Antwort lautet aber
nicht "danke", sondern "ja, aber". Man fühlt sich motiviert, da dran zu
bleiben.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Literaturtipp: https://www.springer.com/de/book/9783322943804
Hab' ich natürlich seit ein paar Wochen. Bin aber noch nicht dazu gekommen,
es zu lesen. Das mach' ich, wenn's ans Feinformulieren geht.
Selbst schuld.
IV
2018-07-20 15:31:33 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
F mit F(z) = f(g(z)). Der Definitionsbereich von F ist der von g.
Das ist nicht identisch mit der Komposition. Für die Komposition wäre ja
F*(z) = (f o g)(z).
Und es gilt nicht etwa $(f \circ g)(z) = f(g(z))$?
Die Funktionen in f(g(z)) sind andere als die in (f o g)(z): Die in der
Komposition sind Einschränkungen derjenigen in der "Zusammensetzung".
Post by H0Iger SchuIz
f: Y --> Z
g: X --> Y
Komposition: X --> Z, z \mapsto f(g(z))
f: X2 --> Z2, z \mapsto f(z)
g: X1 --> Z1, z \mapsto g(z)
Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))
Soll das jetzt eine Definition sein?
Ja.
Post by H0Iger SchuIz
Im Wesentlichen wurde hier wohl nur eine Voraussetzung der Komposition
weggelassen (nämlich, dass die Definitons- und Wertebereiche "passen").
Das hat en besonderen Charme, dass der Ausdruck $f(g(z))$ nicht mehr
unbedingt Sinn macht. Was soll das bedeuten, wenn $g(z) \notin X2$ gilt?
Wenn X2 \cap g(X1) = \emptyset, dann ist z \mapsto f(g(z)) eine Funktion auf
die leere Menge.
Wenn man schreibt exp(g(z)), z. B. mit Definitionsbereichen im Komplexen,
dann setzt man "seine" Funktionen exp und g mit "seinen"
Definitionsbereichen ein, ohne darauf zu achten, daß dom(exp) \subseteq
g(dom(g)) ist.
Der Satz gilt also auch dann, wenn die Zusammensetzung keine Komposition
ist.
Die Kompositionsschreibweise für das Resultat des Satzes, die Umkehrfunktion
Phi, habe ich gewählt, um in der Form des Resultats vergleichbar mit Ritts
Satz und meinen späteren Sätzen zu sein.
Für bijektive Funktionen ist natürlich f(g(z)) = (f o g)(z), da auch Phi
surjektiv ist.
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Hier ergeht die Warnung vor falschen Vorbildern. Warum möchtest du den
Stil kopieren. Formuliert Ritt besonders schön? Ich möchte auch anmerken,
dass ich in den vergangegnen 93 Jahren nicht nur die Sprache gewandelt
hat, sondern auch der Stil mathematischer Aufsätze nicht unerheblich.
Für auf Resultate der Mathematik angewiesene Nichtmathematiker sind solche
äußerst allgemein formulierten Sätze recht praktisch.
Post by H0Iger SchuIz
Es sind sehr allgemeine Sätze. Die konkreten Definitionsbereiche und
Zielmengen sind dabei uninteressant. Die Sätze sollen sehr kompakt und
einprägsam sein.
Ich finde das Gestammel nicht einprägsam.
Wie formulierst Du den Satz besser?
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem sollen sie auch von Nichtmathematikern gelesen werden können.
Lesen könnne die das auch, wenn's sprachlich korrekt ist. Mit dem
Verstehen könnte es jedoch einfacher werden, wenn's übersichtlicher ist.
Wie formulierst Du den Satz besser?
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,
Hier steigt man vor lauter Kommata schon nicht mehr durch.
Na, lesen können sollte man schon, und gerade Mathematiker können das.
Das ist eine sehr technische Sichtweise. "Da steht's, lies nach" ist den
Lesern gegenüber nicht höflich. Ich habe Hinweise gegeben, wie man so etwa
auch übersichtlich und verständlich notieren kann. Interessiert dich
nicht? Dein Problem.
Ich könnte die Funktionen f_1, ..., f_n in einem vorhergehenden Satz
vorstellen. Dann hätte ich aber schon wieder mehrere Sätze, wodurch der Satz
wieder umfangreicher wäre.
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem fehlen Verben.
Nein. Das Verb des Satzes ist "ist".
Steht da nicht.
Doch: "Wenn F eine bijektive Funktion i s t ..., f[1], f[2], ..., f[n-1],
f[n] jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,"
Post by H0Iger SchuIz
Lesen sollte man schon können.
Gelesen habe ich es. Es ist krudes Gestammel.
Wie formulierst Du den Satz besser?
Post by H0Iger SchuIz
Im übrigen ist es sprachlicher Usus in der Mathematik, beim Einführen von
Objekten den Komjunktiv zu verwenden. Also das typische "sei" in den
Voraussetzungen.
Das "sei" und "seien" wurde mir hier im Forum an anderer Stelle als schwer
verständlich angekreidet.
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Und was ist n?
Ist denn nicht offensichtlich, daß n eine natürliche Zahl ist? Muß ich
das extra angeben?
Nichts ist offensichtlich.
Daß n in meinem Satz eine natürlich Zahl ist, ist nicht offensichtlich?
Post by H0Iger SchuIz
Aber selbst, wenn es das wäre, wäre es ja auch kein großer Umstand das
aufzuschreiben? Dem Leser die Interpretation zu überlassen ist nicht
höflich.
Ja, selbst große Mathematiker sind in ihren mathematischen Sätzen nicht
höflich.
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Warum listet man nicht erst schön die Voraussetzungen auf, anstatt sie
in Einschüben nachzliefern?
Ich hatte Euch dazu eingeladen, hier Eure Formulierungsversionen meines
allerersten mathematischen Satzes zu präsentieren.
Formulierungsvorschläge habe ich unterbreitet. Die Antwort lautet aber
nicht "danke", sondern "ja, aber". Man fühlt sich motiviert, da dran zu
bleiben.
Ja, danke, vielen Dank dafür - für das Dranbleiben.
H0Iger SchuIz
2018-07-20 17:16:22 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
F mit F(z) = f(g(z)). Der Definitionsbereich von F ist der von g.
Das ist nicht identisch mit der Komposition. Für die Komposition wäre ja
F*(z) = (f o g)(z).
Und es gilt nicht etwa $(f \circ g)(z) = f(g(z))$?
Die Funktionen in f(g(z)) sind andere als die in (f o g)(z): Die in der
Komposition sind Einschränkungen derjenigen in der "Zusammensetzung".
Dafür haben die aber erstaunliche ähnliche Bezeichner. $(f \circ g)(z) =
f(g(z))$ ist übrigens Teil der Definition der Komposition. Ich sehe
jetzt keinen Grund an dieser Gleichiet 'rumzudeuteln.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
f: Y --> Z
g: X --> Y
Komposition: X --> Z, z \mapsto f(g(z))
f: X2 --> Z2, z \mapsto f(z)
g: X1 --> Z1, z \mapsto g(z)
Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))
Soll das jetzt eine Definition sein?
Ja.
Auch bei einer Definition rate ich zu klaren Formulierungen und
Beachtung allgemeiner sprachlicher Regeln. In ganzen Sätzen zu
schreiben, wäre eine. Dann kann man nämlich auch darstellen, was hier
vorausgesetzt und was definiert wird. "Seien Blabla, dann heißt blabla
'Zusammensetzung' blabla."
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Im Wesentlichen wurde hier wohl nur eine Voraussetzung der Komposition
weggelassen (nämlich, dass die Definitons- und Wertebereiche "passen").
Das hat en besonderen Charme, dass der Ausdruck $f(g(z))$ nicht mehr
unbedingt Sinn macht. Was soll das bedeuten, wenn $g(z) \notin X2$ gilt?
Wenn X2 \cap g(X1) = \emptyset, dann ist z \mapsto f(g(z)) eine Funktion auf
die leere Menge.
Was meinst du damit?
Post by IV
Wenn man schreibt exp(g(z)), z. B. mit Definitionsbereichen im Komplexen,
dann setzt man "seine" Funktionen exp und g mit "seinen"
Definitionsbereichen ein, ohne darauf zu achten, daß dom(exp) \subseteq
g(dom(g)) ist.
Der Satz gilt also auch dann, wenn die Zusammensetzung keine Komposition
ist.
Das scheint mir keine sehr übliche Begriffsbildung zu sein. Wo hast du
die gefunden?

Mir leuchtet's noch nicht ganz ein. Ich versuche ein Beispiel.

Seien also

f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b

Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
Und: f und g sind, glaube ich, bijektiv. Was ist mit deren
Zusammensetzung?
Post by IV
Die Kompositionsschreibweise für das Resultat des Satzes, die Umkehrfunktion
Phi, habe ich gewählt, um in der Form des Resultats vergleichbar mit Ritts
Satz und meinen späteren Sätzen zu sein.
Für bijektive Funktionen ist natürlich f(g(z)) = (f o g)(z), da auch Phi
surjektiv ist.
Zu dieser Gleichheit s.o.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Die Formulierung des Satzes ist etwas stark kompaktifiziert. Die Idee
sprachlich alles in Satzgefüge zu pressen überzeugt mich nicht.
Ich möchte mich an Ritts Satz in [Ritt 1925] (siehe unten) (Ich nenne ihn
einen Struktursatz.) orientieren.
Hier ergeht die Warnung vor falschen Vorbildern. Warum möchtest du den
Stil kopieren. Formuliert Ritt besonders schön? Ich möchte auch anmerken,
dass ich in den vergangegnen 93 Jahren nicht nur die Sprache gewandelt
hat, sondern auch der Stil mathematischer Aufsätze nicht unerheblich.
Für auf Resultate der Mathematik angewiesene Nichtmathematiker sind solche
äußerst allgemein formulierten Sätze recht praktisch.
Und? Was hat das mit der sprachlichen Gestaltung zu tun?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Es sind sehr allgemeine Sätze. Die konkreten Definitionsbereiche und
Zielmengen sind dabei uninteressant. Die Sätze sollen sehr kompakt und
einprägsam sein.
Ich finde das Gestammel nicht einprägsam.
Wie formulierst Du den Satz besser?
Einen Formulierungsvorschlag hatte ich
<1ns8hmd.18igea51hriwokN%***@gmx.net> unterbreitet. Wie war das? Lesen
muss man können?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem sollen sie auch von Nichtmathematikern gelesen werden können.
Lesen könnne die das auch, wenn's sprachlich korrekt ist. Mit dem
Verstehen könnte es jedoch einfacher werden, wenn's übersichtlicher ist.
Wie formulierst Du den Satz besser?
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,
Hier steigt man vor lauter Kommata schon nicht mehr durch.
Na, lesen können sollte man schon, und gerade Mathematiker können das.
Das ist eine sehr technische Sichtweise. "Da steht's, lies nach" ist den
Lesern gegenüber nicht höflich. Ich habe Hinweise gegeben, wie man so etwa
auch übersichtlich und verständlich notieren kann. Interessiert dich
nicht? Dein Problem.
Ich könnte die Funktionen f_1, ..., f_n in einem vorhergehenden Satz
vorstellen.
Vorstellen? Sag, was es ist, fertig.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Außerdem fehlen Verben.
Nein. Das Verb des Satzes ist "ist".
Steht da nicht.
Doch: "Wenn F eine bijektive Funktion i s t ..., f[1], f[2], ..., f[n-1],
f[n] jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F,"
Der Versuch einen ganzen Bausch von Voraussetzungen in den
Konditionalsatz zu zwängen führt womöglich zu derartigen
"Formulierungen". Deshalb habe schriebe ich es ja in Hauptsätze.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Im übrigen ist es sprachlicher Usus in der Mathematik, beim Einführen von
Objekten den Komjunktiv zu verwenden. Also das typische "sei" in den
Voraussetzungen.
Das "sei" und "seien" wurde mir hier im Forum an anderer Stelle als schwer
verständlich angekreidet.
Das einzelne Wort macht die Verständlichkeit ja nicht. Schau noch mal
nach in welchem Kontext etwas "angekreidet" wurde.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Und was ist n?
Ist denn nicht offensichtlich, daß n eine natürliche Zahl ist? Muß ich
das extra angeben?
Nichts ist offensichtlich.
Daß n in meinem Satz eine natürlich Zahl ist, ist nicht offensichtlich?
Welcher Teil von "nichts" war denn unklar?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Aber selbst, wenn es das wäre, wäre es ja auch kein großer Umstand das
aufzuschreiben? Dem Leser die Interpretation zu überlassen ist nicht
höflich.
Ja, selbst große Mathematiker sind in ihren mathematischen Sätzen nicht
höflich.
Die können sich das erlauben. Willkommen im echten Leben.
IV
2018-07-20 19:15:17 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
f: X2 --> Z2, z \mapsto f(z)
g: X1 --> Z1, z \mapsto g(z)
Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))
Was soll das bedeuten, wenn $g(z) \notin X2$ gilt?
Wenn X2 \cap g(X1) = \emptyset, dann ist z \mapsto f(g(z)) eine Funktion
auf die leere Menge.
Was meinst du damit?
Welchen Teil des Geschriebenen verstehst Du nicht?
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Wenn man schreibt exp(g(z)), z. B. mit Definitionsbereichen im Komplexen,
dann setzt man "seine" Funktionen exp und g mit "seinen"
Definitionsbereichen ein, ohne darauf zu achten, daß dom(exp) \subseteq
g(dom(g)) ist.
Der Satz gilt also auch dann, wenn die Zusammensetzung keine Komposition
ist.
Das scheint mir keine sehr übliche Begriffsbildung zu sein. Wo hast du die
gefunden?
Welche Begriffsbildung meinst Du? "seine", oder "dom()", oder was?
Post by H0Iger SchuIz
Mir leuchtet's noch nicht ganz ein. Ich versuche ein Beispiel.
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen" hatte
ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset, also eine Relation auf die leere Menge.
Die Komposition kann man gar nicht bilden, weil die beiden Funktionen f und
g nicht die Voraussetzung dafür erfüllen. Aber trotzdem hat man mitunter
Ausdrücke der Form f(g(z)).
Bildet man die Funktion mit der Einschränkung g1 der Funktion g, dann ist
die Komposition: \emptyset \to \emptyset, z \mapsto f(g1(z)), also eine
Relation von der leeren Menge auf die leere Menge.
Post by H0Iger SchuIz
Und: f und g sind, glaube ich, bijektiv. Was ist mit deren
Zusammensetzung?
Für die Komposition kennen wir den Satz, daß die Komposition zweier
bijektiver Funktionen bijektiv ist. Für die Zusammensetzung aber haben wir
wie oben geschrieben a \mapsto \emptyset, also eine Relation auf die leere
Menge.
Gibt's für Relationen auf die leere Menge, eigentlich einen mathematischen
Begriff? Eine leere Funktion ist ja andersherum.
H0Iger SchuIz
2018-07-21 07:40:10 UTC
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Raw Message
Post by IV
Welche Begriffsbildung meinst Du? "seine", oder "dom()", oder was?
"Zusammensetzung".
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Mir leuchtet's noch nicht ganz ein. Ich versuche ein Beispiel.
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen" hatte
ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset,
Verstehe ich nicht. Die leere Menge ist kein Element des Wertebereiches
von Z, insbesondere aber auch kein Element des wertebereiches von f. Wie
soll bei einer Anwendung von f der Wert leere Menge herauskommen.
Post by IV
also eine Relation auf die leere Menge.
Was seine "Relation auf" etwas sein soll, weiß ich auch nicht. Ich kenne
so etwas wie "Relationen zwischen". Darf ich aber diesem nebenbei
eigeworfenen Begriffswechsel von Funktion zu Realtion entnehmen, dass
diese "Zusammensetzung" zweier Funktionen i.a. keine Funktion ist? Dann
sollte man es auch nicht wie eine Funktion schreiben.
Post by IV
Die Komposition kann man gar nicht bilden, weil die beiden Funktionen f und
g nicht die Voraussetzung dafür erfüllen. Aber trotzdem hat man mitunter
Ausdrücke der Form f(g(z)).
Der Ausdruck ergibt keinen Sinn, wenn g(z) nicht zum Definitionsbereich
von f gehört. Was soll heißen, dass man die Ausdrücke "hat"?
Post by IV
Bildet man die Funktion mit der Einschränkung g1
Was ist die "Eischränkung g1"?
Post by IV
der Funktion g, dann ist
die Komposition: \emptyset \to \emptyset, z \mapsto f(g1(z)), also eine
Relation von der leeren Menge auf die leere Menge.
Keine Funktion?

hs
IV
2018-07-21 12:14:53 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Der Satz gilt also auch dann, wenn die Zusammensetzung keine Komposition
ist.
Der Grund, warum ich im Satz eingangs die Schreibweise f_n(...(f_1(z))...)
verwende, ist folgender.
Der Anwender hat n Funktionen f_1, ..., f_n, die er zusammensetzt:
f_n(...(f_1(x))...). Meine Sätze behandeln solche Zusammensetzungen. Ich
kann dem Anwender mit dem Satz doch aber nicht vorschreiben, daß er seine
Funktionen f_1, ..., f_n, deren Komposition und alle Definitions-, Bild- und
Zielmengen der an der Komposition beteiligten Funktionen vorher untersucht,
überprüft ob seine Zusammensetzung eine Komposition zuläßt und seine
Funktionen entsprechend einschränkt.
Daß es einen Unterschied gibt zwischen der, wie ich es nenne,
Zusammensetzung, und der Komposition, ist unstrittig. Was die
Zusammensetzung nun genau ist, ist unerheblich für meine Sätze: aus der
Zusammensetzung ergibt sich eine Funktion, deren Umkehrungseigenschaften
sich aus der Darstellung dieser Funktion als Komposition, natürlich mit
anderen Gliedfunktionen (aber mit denselben Funktionstermen) ergibt.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Mir leuchtet's noch nicht ganz ein. Ich versuche ein Beispiel.
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen"
hatte ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto
f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset,
Verstehe ich nicht. Die leere Menge ist kein Element des Wertebereiches
von Z, insbesondere aber auch kein Element des Wertebereiches von f. Wie
soll bei einer Anwendung von f der Wert leere Menge herauskommen.
All das ist unerheblich für meine jetzigen Sätze. Der Unterschied zwischen
"Zusammensetzung" und Komposition ergibt sich notwendigerweise aus der
Anwendung der Definition des Begriffs Funktion (Diese erfordert die
Einbeziehung von Definitions- und Zielmenge.). Vielleicht lassen sich ja
später mal neue mathematische Sätze für "Zusammensetzungen" ableiten.
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
also eine Relation auf die leere Menge.
Was seine "Relation auf" etwas sein soll, weiß ich auch nicht. Ich kenne
so etwas wie "Relationen zwischen".
Siehe Mengenlehre: Relationen - Quellmenge/Zielmenge,
Vorbereich/Nachbereich.
Post by H0Iger SchuIz
Darf ich aber diesem nebenbei eigeworfenen Begriffswechsel von Funktion zu
Realtion entnehmen, dass diese "Zusammensetzung" zweier Funktionen i.a.
keine Funktion ist?
Ja.
Post by H0Iger SchuIz
Dann sollte man es auch nicht wie eine Funktion schreiben.
f(g(z)) ist im allgemeinen Fall keine Funktion. In meinem Satz verwende ich
aber F(z) = f(g(z)) - den Teil von f(g(z)), der Funktion ist.
f(g(z)) ist im allgemeinen Fall keine Komposition. Deshalb sollte man es
auch nicht wie eine Komposition schreiben.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Die Komposition kann man gar nicht bilden, weil die beiden Funktionen f
und g nicht die Voraussetzung dafür erfüllen. Aber trotzdem hat man
mitunter Ausdrücke der Form f(g(z)).
Der Ausdruck ergibt keinen Sinn, wenn g(z) nicht zum Definitionsbereich
von f gehört. Was soll heißen, dass man die Ausdrücke "hat"?
(Also, Deutsch sollte man schon können.)
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bildet man die Funktion mit der Einschränkung g1
Was ist die "Eischränkung g1"?
(Keine Ahnung, von Eiern war hier noch nicht die Rede.)
Wikipedia: Einschränkung
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
der Funktion g, dann ist die Komposition: \emptyset \to \emptyset, z
\mapsto f(g1(z)), also eine Relation von der leeren Menge auf die leere
Menge.
Keine Funktion?
(Mich als Mathematik-Laien brauchst Du nicht fragen. Sag Du es mir.)
Wie bei der leeren Menge üblich: Es ist eine Funktion, und es ist keine
Funktion.
H0Iger SchuIz
2018-07-22 11:45:54 UTC
Antworten
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Raw Message
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Der Satz gilt also auch dann, wenn die Zusammensetzung keine Komposition
ist.
Der Grund, warum ich im Satz eingangs die Schreibweise f_n(...(f_1(z))...)
Also die Schreibweise für Komposition von Funktionen.
Post by IV
verwende, ist folgender.
f_n(...(f_1(x))...). Meine Sätze behandeln solche Zusammensetzungen.
Allerdings taucht der Begriff "Zusammensetzung" im Satz gar nicht auf.
Post by IV
Ich
kann dem Anwender mit dem Satz doch aber nicht vorschreiben, daß er seine
Funktionen f_1, ..., f_n, deren Komposition und alle Definitions-, Bild- und
Zielmengen der an der Komposition beteiligten Funktionen vorher untersucht,
überprüft ob seine Zusammensetzung eine Komposition zuläßt und seine
Funktionen entsprechend einschränkt.
Äh, doch. Also das machst nicht du explizit, sondern es geht nicht
anders, als die Voraussetzungen eines Satzes zu prüfen, den man anwenden
möchte. Und wenn es da Kompositionen braucht und dafür die Definitions-
und Wertebereiche "passen" müssen, dann kann man das entweder so
anpassen, dass die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind und man
diesen dann anwenden kann. Oder sie sind nicht erfüllt und dann "geht"
der Satz halt mal nicht.

Natürlich kann man einen Begriff wie die Komposition erweitern. Dann
muss man aber auch kucken, was bei 'rum kommt. Wenn man einen Satz über
Funktionen notieren möchte und diese Funktionen durch "Zusammensetzung"
erzeugt werden sollen, dann muss man aber auch sicherstellen, dass die
"Zusammensetzung" von Funktionen eine Funktion ergibt. Oder man
formuliert den Satz so, dass er nur für diejenigen "Zusammensetzungen"
gilt, die Funktionen sind. Aber dann, ohweh, muss der "Anwender"
natürlich wieder die Voraussetzungen prüfen.
Post by IV
Daß es einen Unterschied gibt zwischen der, wie ich es nenne,
Zusammensetzung, und der Komposition, ist unstrittig.
Und?
Post by IV
Was die
So 'n Unfug. In der Mathematik werden Begriffe klar definiert und
Eigenschaften von Objekten klar beschrieben.
Post by IV
aus der
Zusammensetzung ergibt sich eine Funktion,
Das sehe ich nicht so. Siehe Beispiel.
Post by IV
deren Umkehrungseigenschaften
sich aus der Darstellung dieser Funktion als Komposition, natürlich mit
anderen Gliedfunktionen (aber mit denselben Funktionstermen) ergibt.
Keine Ahnung, ob das eine mathematische Bedeutung hat. Führe das bitte
im Detail aus, dann kan man darüber reden. Über diese Andeutungen nicht.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by IV
Mir leuchtet's noch nicht ganz ein. Ich versuche ein Beispiel.
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen"
hatte ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto
f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset,
Verstehe ich nicht. Die leere Menge ist kein Element des Wertebereiches
von Z, insbesondere aber auch kein Element des Wertebereiches von f. Wie
soll bei einer Anwendung von f der Wert leere Menge herauskommen.
All das ist unerheblich für meine jetzigen Sätze.
Sätze? Bisher war's nur einer. Egal. Wie will man Sätze über
"Zusammensetzungen" formulieren, wenn nicht klar ist, was das sein soll?
Post by IV
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.
Und? Möchtest du vielleicht den Unterschied zwischen "Teilmenge von" und
"Element von" lernen?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
also eine Relation auf die leere Menge.
Was seine "Relation auf" etwas sein soll, weiß ich auch nicht. Ich kenne
so etwas wie "Relationen zwischen".
Siehe Mengenlehre: Relationen - Quellmenge/Zielmenge,
Vorbereich/Nachbereich.
Du musst mir in der Tat nichts erklären.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Darf ich aber diesem nebenbei eigeworfenen Begriffswechsel von Funktion zu
Realtion entnehmen, dass diese "Zusammensetzung" zweier Funktionen i.a.
keine Funktion ist?
Ja.
Dann sollte man auch andere Schreibweisen verwenden, keine
Funktionsschreibweisen. Auch sollte man nicht so tun, als sei es eine.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Dann sollte man es auch nicht wie eine Funktion schreiben.
Genau.
Post by IV
f(g(z)) ist im allgemeinen Fall keine Funktion.
f(g(z)) wäre ohnehin hächstens ein Funktionswert.
Post by IV
In meinem Satz verwende ich
aber F(z) = f(g(z)) - den Teil von f(g(z)), der Funktion ist.
Nein, davon steht da in deinem Satz nichts. Und, "der Teil"? Really? mal
abgesehen davon, dass überhaupt nicht klar ist, was hier mit "Teil"
gemeint sein soll, würde der bestimmte Artikel im Singualr dann doch
bedeuten, dass diese "Teil" eindeutig ist. Sicher?
Post by IV
f(g(z)) ist im allgemeinen Fall keine Komposition. Deshalb sollte man es
auch nicht wie eine Komposition schreiben.
Eben. Du verwendest aber für deine "Zusammensetzung" die ganze Zeit
Kompositionsschreibweisen.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Die Komposition kann man gar nicht bilden, weil die beiden Funktionen f
und g nicht die Voraussetzung dafür erfüllen. Aber trotzdem hat man
mitunter Ausdrücke der Form f(g(z)).
Der Ausdruck ergibt keinen Sinn, wenn g(z) nicht zum Definitionsbereich
von f gehört. Was soll heißen, dass man die Ausdrücke "hat"?
(Also, Deutsch sollte man schon können.)
(Dann lern's!)
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bildet man die Funktion mit der Einschränkung g1
Was ist die "Eischränkung g1"?
(Keine Ahnung, von Eiern war hier noch nicht die Rede.)
Was jetzt, du willst dich tatsächlich an einem Tippfehler abarbeiten?
Naja, wenn du's nötig hast, sei's dir gewährt.
Post by IV
Wikipedia: Einschränkung
Du musst mir in der Tat nichts erklären.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
der Funktion g, dann ist die Komposition: \emptyset \to \emptyset,
Keine Ahnung, ob es sich lohnt, diese Funktion zu betrachten.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
\mapsto f(g1(z)),
Was soll den jetzt z sein? Ein Element der leeren Menge? Und das
möchtest du auf eine Element der leeren Menge abbilden? Viel Spaß.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
also eine Relation von der leeren Menge auf die leere
Post by IV
Menge.
Keine Funktion?
(Mich als Mathematik-Laien
(Mit der Eischränkung, dass du hier aufläufst und Sätze präsentierst.
Wenn du's nicht kannst, warum lässt du's nicht?)
Post by IV
brauchst Du nicht fragen. Sag Du es mir.)
(Warum sollte ich? Damit du einen Grund zum Pöbeln findest?)
Post by IV
Wie bei der leeren Menge üblich: Es ist eine Funktion, und es ist keine
Funktion.
Bullshit.

Leider nein, leider gar nicht.

hs
Jens Kallup
2018-07-22 15:13:46 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Was soll den jetzt z sein? Ein Element der leeren Menge? Und das
möchtest du auf eine Element der leeren Menge abbilden? Viel Spaß.
Glaskugel:
Vielleicht will er ja auch nur "Daten"-Mengen in einer Datenbank
abbilden? und diese Daten sollen in sein Tippsel-"Produkt" eingeben
können?
Und sucht nun eine SuperBombastic Formel, wie man so eine
Datenbank aufbauen kann.

Ich glaub wir hatten das mal an anderer Stelle, wo es darum ging,
dass relationale Datenbanken auch Datenfelder besitzen können, die:

1. Leer sind, und
2. nicht initialisiert sind, und den Wert (oder Datenmenge) NULL

besitzen.
Damals, in Datenbankpraxis, habe ich mich auch erstmal gewundert,
warum da auf einmal Felder sind, die nicht beschrieben werden
konnten, leer waren, aber doch existierten.

Ich nehme mal an, das sind so Felder gewesen, die man in einer
Datensatz (Record) hat, aber erst im laufenden Betrieb definiert,
von welchen Typ das Feld sein soll.

Normalerweise sind ja Null-Pointer in der Informatik ja schon eine
"Vorbelegung" von Datentypen.
Beispiel:

[1] char *foo; // Deklaration (auf unsinnigen Speicherbereich)
]2] foo = (char*) malloc(10); // init./Speicherzuweisung; 10 Bytes;
...
[n] strcpy(foo,"Hallo"); // "Hallo" wird an foo kopiert

wenn [2] nicht erfolgt, dann bekommt man eine SpeicherVerletzung,
obgleich das Feld/Variable "foo" existiert.

Da seine Anwender Änderungen vornehmen dürfen,
würde ich vorschlagen, Bestimmte Abschnitte in seinen Gewussel zu
Indexzieren;

Wenn man zum Beispiel:
char foo[10]; // foo mit 10 Bytes/char's vorabdefinieren

und dann dem Anwender sagt, "So, nun hast Du ein Programm, in dem
Anwender 10 Änderungen vornehmen können.";

ist das sicherlich mehr als genug;
ich habe noch nie mit mehr als 10 Dimensionen gerechnet.

Daher empfehle ich den geneigten Mit/Leser mal ein Auge auf das
Programmierprogramm LISP oder Scheme zu werfen.
Dort wird viel in/mit Klammern gerechnet, und dass Prinzip:
"Von innen, nach außen" angewandt.

Ok, schon wieder zuviel getippselt.
Aber egal, vielleicht hilft es ja, wenn dem geneigte Mit/Leser mal
produktiv die/das Matheproblem umzusetzen.

Falls dafür Hilfe gebraucht wird, kann man ja drüber reden.
Gruß, Jens
H0Iger SchuIz
2018-07-22 15:29:24 UTC
Antworten
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Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by H0Iger SchuIz
Was soll den jetzt z sein? Ein Element der leeren Menge? Und das
möchtest du auf eine Element der leeren Menge abbilden? Viel Spaß.
Vielleicht will er ja auch nur "Daten"-Mengen in einer Datenbank
abbilden? und diese Daten sollen in sein Tippsel-"Produkt" eingeben
können?
Und sucht nun eine SuperBombastic Formel, wie man so eine
Datenbank aufbauen kann.
Ja, kann sein. oder er möchte eine Acherbahn bauen. Momentmal, acht. Ist
das nicht eine magische Zahl?

Du weißt aber schon, dass das hier eine Mathematik-Newsgroup ist?

hs
IV
2018-07-21 17:27:51 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen"
hatte ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto
f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset ...
Verstehe ich nicht. Die leere Menge ist kein Element des Wertebereiches
von Z, insbesondere aber auch kein Element des Wertebereiches von f. Wie
soll bei einer Anwendung von f der Wert leere Menge herauskommen.
Ist das so? Bitte antworte doch nicht mit einer Frage - ich bin doch hier
nicht der Fachmann.
Der Definitionsbereich ist leer - die leere Menge, und die Zielmenge ist
leer - die leere Menge, oder? Die Zusammensetzung im Beispiel ist also die
Nullrelation, oder?
Übrigens: Jemand hat mich darauf aufmerksam gemacht, daß mein "f(g(a)) =
\emptyset" oben falsch ist, weil das Bildelement der Funktion oben keine
Menge sein kann, sondern nur das Bild einer Menge.
Jens Kallup
2018-07-21 18:20:40 UTC
Antworten
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Raw Message
Post by IV
sondern nur das Bild einer Menge.
klar, und zwar ein 2D(imensionales) Bild/Graph

Jens
IV
2018-07-21 18:29:57 UTC
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Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
Post by IV
sondern nur das Bild einer Menge.
klar, und zwar ein 2D(imensionales) Bild/Graph
Klar? Mir nicht. Es muß heißen: "sondern nur das Element einer Menge".
Jens Kallup
2018-07-21 19:30:59 UTC
Antworten
Permalink
Raw Message
Post by IV
Klar? Mir nicht. Es muß heißen: "sondern nur das Element einer Menge".
Dir ist aber bekannt, das Mengen sich vermischen können,
ala Vereinungsmenge(n), die sich aus mehreren Elementen zusammen
setzen.

Als Beispiel:

Farbelemente Farbmenge:
R = rot := 33,3 % \
G = grün := 33,3 % > W = weis
B = blau := 33,3 % /

mit einer Toleranz von 0,1 %

In diesen Beispiel sind 3 Elemente davon abhängig, eine einzelne
Menge zu erhalten.

Noch ein Beispiel:

3D Raum
koordinaten Punkt in der 3D Ebene (Position)
X := 1 \
Y := 1 > 1 Punkt der 2D Ebene und Z - Punkt in Entfernung
Z := 1 /

hierbei existieren 3 Elemente, die in 1 Pair (Parrung) Verwendung
finden - P(1;1)
Wenn man das auf ein Computerspiel überträgt, wobei
1P(air) für den Spieler 1 und
2P(air) für den Spieler 2 gilt, dann stehen sich die beiden Spieler
gegenüber, mit den Unterschied, daß Spieler 1P in der Ebene um "eins"
nach vorne steht, und somit sich eine Strecke von 1 Einheiten
konstrukthieren liese.
Durch Substitation kann dadurch eine Kette von Einheiten erstellt
werden.

1P(1;1) & 2P(1;0) ...

Noch ein Beispiel:

Paarung Neues Element durch Mengen-Verschmelzung
m := 1 \
Post by IV
1 Neues Element mit den Mengen-Elementen von m_1 + f_1,
wobei gilt: Ms_2 (Sohn) muss sich von f_1 unterscheiden,
wobei gilt: Mt_2 (Tochter) muss sich von m_1 unterscheiden,
sonst : Insucht :-)
f := 1 /

Gruß, Jens
H0Iger SchuIz
2018-07-22 11:49:57 UTC
Antworten
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Raw Message
Post by IV
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Seien also
f: {1} -> {2}, 1 |-> 2 und
g: {a} -> {b}, a |-> b
Funktionen und Z: {a} -> {2} deren "Zusammensetzung". Was ist nun Z(a)?
In meiner Definition des Begriffes "Zusammensetzung zweier Funktionen"
hatte ich doch definiert: "Zusammensetzung: X1 --> Z2, z \mapsto
f(g(z))".
In Deinem Beispiel haben wir also: Z: {a} --> {2}, a \mapsto f(g(a)) =
\emptyset ...
Der Definitionsbereich ist leer
Nein. $\{a\} \not= \emptyset$
Post by IV
- die leere Menge, und die Zielmenge ist
leer - die leere Menge, oder?
Nein. $\{2\} \not= \emptyset$
Post by IV
Die Zusammensetzung im Beispiel ist also die
Nullrelation, oder?
Keine Ahung. Deine "Definiton" der "Zusammensetzung" ist unbrauchbar,
weil sie so tut, als käme eine Funktion heraus, obwohl s´das gar nicht
der Fall ist.
Post by IV
Übrigens: Jemand hat mich darauf aufmerksam gemacht, daß mein "f(g(a)) =
\emptyset" oben falsch ist, weil das Bildelement der Funktion oben keine
Menge sein kann, sondern nur das Bild einer Menge.
Soso.
IV
2018-07-21 10:59:58 UTC
Antworten
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Raw Message
Einen Formulierungsvorschlag hatte ich in
...
Der Versuch einen ganzen Bausch von Voraussetzungen in den Konditionalsatz
zu zwängen führt womöglich zu derartigen "Formulierungen". Deshalb habe
schriebe ich es ja in Hauptsätze.
Post by H0Iger SchuIz
Im übrigen ist es sprachlicher Usus in der Mathematik, beim Einführen
von Objekten den Komjunktiv zu verwenden. Also das typische "sei" in den
Voraussetzungen.
Welche Varianten sind für meinen Satz (mein erster mathematischer Satz im
Leben) am besten?
1) Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] jeweils
eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F, dann ...
2) Seien F eine bijektive Funktion mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] jeweils
eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F. Dann ...
3) Seien f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] n Funktionen, und Phi die
Umkehrfunktion von einer Funktion F. Wenn F eine bijektive Funktion ist mit
F(z) = f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), dann ...
4) Seien f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] n Funktionen, und Phi die
Umkehrfunktion von einer Funktion F. Wenn F bijektiv ist und F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), dann ...
5) Seien f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n] n Funktionen, und Phi die
Umkehrfunktion von einer Funktion F z \mapsto F(z). Wenn F bijektiv ist und
F(z) = f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), dann ...
IV
2018-07-21 11:19:04 UTC
Antworten
Permalink
Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
"Sei $n \in \mathbb{N}$ und $f_1,\ldots,f_n$ Funktionen, so dass $F= f_n
\circ \ldots f_1$ eine bijektive Funktion ist. Sei weiter $\Phi$ die
Umkehrfunktion von $F$. Dann existieren lokale Umkehrfunktionen Blabla
usw., so dass blablabla
Oh, Entschuldigung. Wegen Deines "Blabla" und "blablabla" hatte ich Deinen
Kommentar für Blablabla gehalten - ist eine unbewußte Schutzreaktion von
mir.
Danke, Deine wäre eine mögliche Variante. Ich muß Vor- und Nachteile
abwägen. Die Art der Formulierung des Satzes hängt ja auch von der Art des
Artikels in dem er präsentiert wird ab.
Jens Kallup
2018-07-21 15:33:47 UTC
Antworten
Permalink
Raw Message
Hallo IV,

Hinweis:
http://kallup.freecluster.eu/Wygodski%20M.Ja.-Hoehere%20Mathematik%20griffbereit-Vieweg%20(1973).djvu

Vieleicht einen Blick auf Seite 264 ff.
Und § 202

Jens
Carlo XYZ
2018-07-22 13:06:28 UTC
Antworten
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Raw Message
Post by IV
ich habe den mathematischen Satz unten formuliert.
Ohne Beweis solltest du das besser "Behauptung" nennen.
Post by IV
1.) Sind Notation und Formulierung des Satzes korrekt?
Jein. Insbesondere ist deine Unterscheidung zwischen
Zusammensetzung und Komposition verwirrend und unnötig.
Post by IV
2.) Muß man den Satz beweisen, oder ist er offensichtlich?
Ja.
Post by IV
3.) Kann man den Satz vielleicht noch besser formulieren?
Ja.
Man sagt dir seit >2 Jahren, dass du statt "Sei f eine Funktion"
schreiben solltest "Sei f eine Funktion von A nach B", bzw.
allgemeiner statt "Sei R eine Relation" "Sei R eine Relation
zwischen A und B" (d.h., eine Teilmenge von A\times B).
Post by IV
[...]
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F, dann ist Phi =
phi[1] o phi[2] o ... o phi[n-1] o phi[n], worin phi[i] die lokale
Umkehrfunktion der Funktion f[i] auf der Menge
f[i-1](f[i-2](...(f[2](f[1](dom(F))))...)) ist (für alle  i in
\mathbb{N}, 1 \leq i \leq n).
Das Hauptproblem ist hier der ", worin .."-Nebensatz. Womöglich
meinst du: "\phi[i] die Umkehrrelation der Einschränkung von f[i]
auf X ist" [wobei X für den Klammerausdruck steht]. Aber woher
weißt du, dass diese Einschränkung linkseindeutig und rechtstotal
ist? Nur dann ist die Umkehrrelation auch eine Umkehr_funktion_.
[Abgesehen davon und weit weniger kritisch: "lokal" ist undefiniert
und sollte besser weggelassen werden.]

Rein relationenalgebraisch folgt aus F=f_1\circ...\circ f_n
stets F^{-1}=f_n^{-1}\circ...\circ f_1^{-1} [Übungsaufgabe].
Wenn zusätzlich F bijektiv ist und die f_1,...,f_n Funktionen
sind, kann man o.B.d.A. (durch eine Teilmengenkonstruktion)
die Bijektivität von f_1,...,f_n annehmen.

Ich vermute, dass du dies mit der Sprechweise "auf der Menge.."
meinst, ich würde es allerdings genauer aufschreiben. Z.B. so:

Sei n eine natürliche Zahl und seien A_0,...,A_n n+1 Mengen.
Sei F eine Bijektion von A_0 nach A_n und seien f_i (1<=i<=n)
Funktionen von A_{i-1} nach A_i, mit F=f_1\circ...\circ f_n.
Definiere A_i' durch A_0'=A_0 und A_i'=f_i(A_{i-1}'), sowie
f_i'=f_i\cap(A_{i-1}'\times A_i'), für 1<=i<=n.
Dann sind alle f_i' bijektiv und es gilt A_n'=A_n
und F=f_1'\circ...\circ f_n' [Übungsaufgaben].

Das mit der Umkehrfunktion folgt danach aus der allgemeinen
Bemerkung oben. Zusätzlich hast du explizit alle relevanten
Mengen: F ist eine Relation zwischen A_0 und A_n, F^{-1}
(dein \Phi) eine zwischen A_n und A_0; außerdem ist f_i'
eine Relation zwischen A_{i-1}' und A_i', und {f_i'}^{-1}
(dein \phi[i]) eine zwischen A_i' und A_{i-1}'.

Dein "dann" suggeriert, dass die (De)Komposition von \Phi nur
unter den angegebenen eingeschränkten Bedingungen möglich ist;
dies ist jedoch nicht der Fall; siehe oben: \Phi hat immer solch
eine Dekomposition, sobald F eine entsprechende hat.
BTW: Auch wenn in deinem speziellen Fall alle Mengen gleich C sind,
kannst du dir die Berechnung der Mengen A_i' (1<i<n) zwischen A_0'=C
und A_n'=C nicht ersparen, weil sie echte Teilmengen von C sein könnten.

Die Übungsaufgaben solltest du versuchen zu lösen, um herauszufinden,
welche Teile der Voraussetzungen in die einzelnen Behauptungen eingehen
und welche nicht. Z.B. spaltet sich "f_i' ist bijektiv" in vier i.A.
unabhängige Behauptungen auf, "f_i' ist linktotal und rechtstotal"
sowie "f_i' ist linkseindeutig und rechtseindeutig", die separat
zu beweisen sind.

PS: Ich kann mir nicht vorstellen, dass obige Behauptung/Satz neues
Licht auf Ritts Satz wirft, wie du zu hoffen scheinst, geschweige
denn eine Publikation rechtfertigt. In einer Dissertation würde ich
dafür, inklusive Beweis, höchstens eine halbe Seite für angemessen
halten, möglicherweise als Teil eines Anhangs über verwendete elementare
(im Wesentlichen schon bekannte bzw. leicht herleitbare) Lemmata.

PPS: Meines Erachtens liegen deine Probleme weniger in Formulierungen
begründet als im grundlegenden mathematischen Verständnis.
IV
2018-07-22 14:38:11 UTC
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Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F, dann ist Phi =
phi[1] o phi[2] o ... o phi[n-1] o phi[n], worin phi[i] die lokale
Umkehrfunktion der Funktion f[i] auf der Menge
f[i-1](f[i-2](...(f[2](f[1](dom(F))))...)) ist (für alle i in
\mathbb{N}, 1 \leq i \leq n).
"\phi[i] die Umkehrrelation der Einschränkung von f[i] auf X ist" [wobei X
für den Klammerausdruck steht].
Ja, danke. Genau das habe ich gestern noch in meinen neuerlichen Entwurf
eingefügt. Den habe ich hier noch nicht präsentiert.
Aber woher weißt du, dass diese Einschränkung linkseindeutig und
rechtstotal ist? Nur dann ist die Umkehrrelation auch eine
Umkehr_funktion_.
Na, im Satz schreibe ich doch: "und Phi die Umkehrfunktion von F". Heißt das
denn nicht, daß der Satz nur dann anwendbar ist, wenn die Umkehrfunktion
existiert?
Oder muß ich extra noch schreiben "und existiere die Umkehrfunktion Phi von
F"?
[Abgesehen davon und weit weniger kritisch: "lokal" ist undefiniert und
sollte besser weggelassen werden.]
Aber ich brauche doch den Begriff "lokale Umkehrfunktion" nicht extra
definieren, oder? Der dürfte doch bereits definiert sein.
Rein relationenalgebraisch folgt aus F=f_1\circ...\circ f_n stets
F^{-1}=f_n^{-1}\circ...\circ f_1^{-1} [Übungsaufgabe].
Wenn zusätzlich F bijektiv ist und die f_1,...,f_n Funktionen sind, kann
man o.B.d.A. (durch eine Teilmengenkonstruktion) die Bijektivität von
f_1,...,f_n annehmen.
Nur zu meiner Rechtfertigung:
Ich weiß. Beide von Dir gebrachten Sätze hatte ich für mich als
eigenständige Sätze formuliert und bewiesen. Auf diese beziehe ich mich in
meinem Beweis des Satzes ganz oben.
Jetzt formuliere ich Deine beiden Sätze aber nicht mehr explizit, denn meine
Anwendungen sind zusammengesetzte Funktionen, nicht nur n-stufige
Kompositionen. Ich verwende Deine beiden Sätze und deren Beweis in meinem
Beweis des Satzes ganz oben.
Ich vermute, dass du dies mit der Sprechweise "auf der Menge.." meinst,
Sei n eine natürliche Zahl und seien A_0,...,A_n n+1 Mengen.
Sei F eine Bijektion von A_0 nach A_n und seien f_i (1<=i<=n) Funktionen
von A_{i-1} nach A_i, mit F=f_1\circ...\circ f_n.
Definiere A_i' durch A_0'=A_0 und A_i'=f_i(A_{i-1}'), sowie
f_i'=f_i\cap(A_{i-1}'\times A_i'), für 1<=i<=n.
Dann sind alle f_i' bijektiv und es gilt A_n'=A_n und F=f_1'\circ...\circ
f_n' [Übungsaufgaben].
Das mit der Umkehrfunktion folgt danach aus der allgemeinen Bemerkung
oben. Zusätzlich hast du explizit alle relevanten Mengen: F ist eine
Relation zwischen A_0 und A_n, F^{-1} (dein \Phi) eine zwischen A_n und
A_0; außerdem ist f_i'
eine Relation zwischen A_{i-1}' und A_i', und {f_i'}^{-1} (dein \phi[i])
eine zwischen A_i' und A_{i-1}'.
Das wird aber für Mathematik-Laien vollkommen unverständlich.
Wartet bitte auf meine neuen Vorschläge.
Dein "dann" suggeriert, dass die (De)Komposition von \Phi nur unter den
angegebenen eingeschränkten Bedingungen möglich ist;
dies ist jedoch nicht der Fall; siehe oben: \Phi hat immer solch eine
Dekomposition, sobald F eine entsprechende hat.
Versteh' ich nicht. Ich sehe: Nur wenn die Voraussetzungen des Satzes
erfüllt sind, also F eine Funktion, eine wie angegeben zusammengesetzte
Funktion und bijektiv ist, d a n n hat Phi die angegebene Struktur, oder.
BTW: Auch wenn in deinem speziellen Fall alle Mengen gleich C sind, kannst
du dir die Berechnung der Mengen A_i' (1<i<n) zwischen A_0'=C und A_n'=C
nicht ersparen, weil sie echte Teilmengen von C sein könnten.
PS: Ich kann mir nicht vorstellen, dass obige Behauptung/Satz neues Licht
auf Ritts Satz wirft, wie du zu hoffen scheinst, geschweige denn eine
Publikation rechtfertigt. In einer Dissertation würde ich dafür, inklusive
Beweis, höchstens eine halbe Seite für angemessen halten, möglicherweise
als Teil eines Anhangs über verwendete elementare (im Wesentlichen schon
bekannte bzw. leicht herleitbare) Lemmata.
Soll es auch nicht.
Der Satz oben ist nur das was Ritt wohl mit seinem "That every F(z) of this
type has an elementary inverse is obvious." meint. Ich habe die Information
über die Struktur der Umkehrfunktion lediglich explizit ausformuliert, von
den elementaren Funktionen auf die Zusammensetzung beliebiger Funktionen
erweitert und von den Umkehrfunktionen auf die lokalen Umkehrfunktionen
erweitert.
Bitte gebt mir noch ein paar Stunden.
(Für Mathematiker ist das alles sowieso vollkommen uninteressant und
vollkommen unwichtig oder ganz offensichtlich und altbekannt.) Für
Mathematik-Laien dagegen können meine Sätze sehr hilfreich sein.
(Ich will nicht bei der Ermittlung der Umkehrfunktionen und deren
Zugehörigkeit zu bestimmten Funktionenklassen stehenbleiben, sondern möchte
mithilfe dieser "Theorie der Umkehrfunktionen" einen Beitrag leisten zur
Frage der Entscheidbarkeit der Lösung von Gleichungen durch Lösungen in
bestimmten Funktionenklassen.)
PPS: Meines Erachtens liegen deine Probleme weniger in Formulierungen
begründet als im grundlegenden mathematischen Verständnis.
Ich weiß. Deshalb möchte ich mich auf das was in meinen Sätzen steht
beschränken und deshalb bin ich hier.
H0Iger SchuIz
2018-07-22 15:26:31 UTC
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Raw Message
Post by IV
Na, im Satz schreibe ich doch: "und Phi die Umkehrfunktion von F". Heißt das
denn nicht, daß der Satz nur dann anwendbar ist, wenn die Umkehrfunktion
existiert?
Oder muß ich extra noch schreiben "und existiere die Umkehrfunktion Phi von
F"?
Der Einfachheit und Eindeutigkeit halber schriebe ich, dass es sich bei
F um eine bijektive Funktion handeln soll.
Post by IV
Jetzt formuliere ich Deine beiden Sätze aber nicht mehr explizit, denn meine
Anwendungen sind zusammengesetzte Funktionen,
Was immer das sein mag.
Post by IV
eine Relation zwischen A_{i-1}' und A_i', und {f_i'}^{-1} (dein \phi[i])
eine zwischen A_i' und A_{i-1}'.
Das wird aber für Mathematik-Laien vollkommen unverständlich.
Vielleicht geht es nicht, mathematisch exakt zu formulieren und
gleichzeitig die Bedürfnisse fiktiver Laien im Blick zu haben. Dann
musst du dich entscheiden. Allerdings gebe ich zu bedenken, dass die
Reduktion mathematischer Inhalte "für Laien" voraussetzt, dass man diese
Inhalte selbst verstanden hat. Eine notwendige Bedingung wäre, dass man
sie in mathematisch exakter Form notieren kann.

Ein mathematischer Aufsatz richtet sich -- so meine Auffassung -- an
Mathematiker und solche mit mathematischen Kenntnissen. Ein Text für
Laien ist etwas anderes. Was wird's denn nun werden?
Post by IV
Bitte gebt mir noch ein paar Stunden.
Du hast alle Zeit der Welt. Ich habe nicht den Eindruck, dass hier
jemand so dringend auf deine "Ergebnisse" wartet, dass er es nicht mehr
aushalten kann.
Post by IV
Der Satz oben ist nur das was Ritt wohl mit seinem "That every F(z) of this
type has an elementary inverse is obvious." meint.
In deinem "Satz" ist nicht von Funktionen eines bestimmten Typs die Rede
und elementare Funktionen tauchen dort nicht auf. Inwiefern das nun mit
Ritts Bemerkung zusammenhängt, ist unklar.
Post by IV
Post by Carlo XYZ
PPS: Meines Erachtens liegen deine Probleme weniger in Formulierungen
begründet als im grundlegenden mathematischen Verständnis.
Sehe ich auch so.
Post by IV
Ich weiß. Deshalb möchte ich mich auf das was in meinen Sätzen steht
beschränken und deshalb bin ich hier.
(Ich will nicht bei der Ermittlung der Umkehrfunktionen und deren
Zugehörigkeit zu bestimmten Funktionenklassen stehenbleiben, sondern möchte
mithilfe dieser "Theorie der Umkehrfunktionen" einen Beitrag leisten zur
Frage der Entscheidbarkeit der Lösung von Gleichungen durch Lösungen in
bestimmten Funktionenklassen.)
hs
Carlo XYZ
2018-07-22 18:39:58 UTC
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Raw Message
Post by IV
Post by IV
Wenn F eine bijektive Funktion ist mit F(z) =
f[n](f[n-1](...(f[2](f[1](z)))...)), f[1], f[2], ..., f[n-1], f[n]
jeweils eine Funktion, und Phi die Umkehrfunktion von F, dann ist Phi
= phi[1] o phi[2] o ... o phi[n-1] o phi[n], worin phi[i] die lokale
Umkehrfunktion der Funktion f[i] auf der Menge
f[i-1](f[i-2](...(f[2](f[1](dom(F))))...)) ist (für alle  i in
\mathbb{N}, 1 \leq i \leq n).
Das Hauptproblem ist hier der ", worin .."-Nebensatz. Womöglich meinst
du: "\phi[i] die Umkehrrelation der Einschränkung von f[i] auf X ist"
[wobei X für den Klammerausdruck steht].
Ja, danke. Genau das habe ich gestern noch in meinen neuerlichen Entwurf
eingefügt. Den habe ich hier noch nicht präsentiert.
Aber woher weißt du, dass diese Einschränkung linkseindeutig und
rechtstotal ist? Nur dann ist die Umkehrrelation auch eine
Umkehr_funktion_.
Na, im Satz schreibe ich doch: "und Phi die Umkehrfunktion von F". Heißt
das denn nicht, daß der Satz nur dann anwendbar ist, wenn die
Umkehrfunktion existiert?
Oder muß ich extra noch schreiben "und existiere die Umkehrfunktion Phi
von F"?
Nein, aber du hast die Bemerkung missverstanden.

Es geht darum, dass du "einfach so" annimmst, dass deine f[i]
umkehrbar sind. Dies solltest du stattdessen zuerst beweisen,
bevor du von einer "Umkehr_funktion_ \phi[i]" sprichst.

IV
2018-07-22 13:11:38 UTC
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Raw Message
Post by IV
Hallo,
ich habe den mathematischen Satz unten formuliert.
...
Ich bin am Zusammenstellen meiner Sätze und Beweise. In ein paar Stunden
will ich sie hier in einer Pdf-Datei zeigen, damit wir sie gemeinsam
verbessern können. Gebt mir noch ein bißchen Zeit.
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