Winkelberechnung 8-eck-Volumenkörper

[Michael Faber]

Hallo,
ich habe ein Problem bei dem sich heute einige Leute den Kopf heiß geredet
haben.
Mal sehen, ob ich das erklären kann:
Es geht um einen Körper, der als Grundfläche ein Achteck hat und nach oben
spitz zuläuft (Wie nennt man eigentlich so etwas? 8-Eck-Pyramide?)

Nun geht es darum in welchem Winkel die "Dachflächen" zueinander stehen.
Das müßte doch von der Höhe abhängig sein, bzw vom Winkel der Schrägen von
der Grundfläche nach oben.

Ist der Winkel 90 Grad treffen sich die Dachflächen nie, ist also unendlich
und der Winkel beträgt 135 Grad.
Ist der Winkel 0 Grad , erzeugt man zwar kein Dach aber die Flächen stehen
im Winkel 180 Grad zusammen.
Welche Formel steckt dahinter?

Bitte um Hilfe. Falls noch etwas unklar ist bitte nachfragen.
Im voraus herzlichen Dank
und Gruß

Michael

[Jutta Gut]

Post by Michael Faber
Es geht um einen Körper, der als Grundfläche ein Achteck hat und nach oben
spitz zuläuft (Wie nennt man eigentlich so etwas? 8-Eck-Pyramide?)

Regelmäßige achtseitige Pyramide.

Post by Michael Faber
Nun geht es darum in welchem Winkel die "Dachflächen" zueinander stehen.
Das müßte doch von der Höhe abhängig sein, bzw vom Winkel der Schrägen von
der Grundfläche nach oben.

Ich würde sagen, am einfachsten geht es mit Vektorrechnung. Sagen wir, A, B,
C, ... H sind die Eckpunkte der Grundfläche und S die Spitze. Der
Normalvektor der Seitenfläche SAB ist dann das vektorielle Produkt
n_1 = SA x SB, genauso für die Fläche SBC: n_2 = SB x SC. Den Winkel
zwischen den beiden Flächen berechnet man dann nach der Formel
cos(phi) = n_1*n_2/(|n_1|*|n_2|).

Wenn du dich mit Vektorrechnung nicht auskennst, melde dich noch einmal.
Schreib bitte dazu, was du von der Pyramide gegeben hast (Seitenlänge?
Abstand Mittelpunkt-Eckpunkt?)

Grüße
Jutta

[stefan]

Post by Michael Faber
Hallo,
ich habe ein Problem bei dem sich heute einige Leute den Kopf heiß geredet
haben.
Es geht um einen Körper, der als Grundfläche ein Achteck hat und nach oben
spitz zuläuft (Wie nennt man eigentlich so etwas? 8-Eck-Pyramide?)

Wie soll denn die Höhe dieses Körpers sein?

Post by Michael Faber
Nun geht es darum in welchem Winkel die "Dachflächen" zueinander stehen.
Das müßte doch von der Höhe abhängig sein, bzw vom Winkel der Schrägen von
der Grundfläche nach oben.
Ist der Winkel 90 Grad treffen sich die Dachflächen nie, ist also unendlich
und der Winkel beträgt 135 Grad.
Ist der Winkel 0 Grad , erzeugt man zwar kein Dach aber die Flächen stehen
im Winkel 180 Grad zusammen.
Welche Formel steckt dahinter?

Grundbetrachtung:
Zunächst würde ich die Flächenprojektion anschauen, die das Achteck
bestehend aus acht gleichschenkligen Dreiecken darstellt. a,b,c sind
die Kantenlängen, h die Höhe von Basis zur Spitze und A,B,C die
Eckpunkte. Hier ist a=b=r und der Winkel gamma=45 Grad (Winkel zu Punkt
C). Die Winkel alpha+beta=180 Grad - gamma=135 Grad. Wobei
alpha=beta=67,5 Grad. Die Länge c errechnet sich aus c=2*r*cos(alpha).
Die Höhe h=r*sin(alpha). Damit ist die Flächenprojektion einer
Dachfläche beschrieben.

Als nächstes wird die Dachfläche als Dreieck im 3D betrachtet. H Sei
die Höhe vom Flächenmittelpunkt bis zur Pyramidenspitze. HS sei die
geometrische Höhe des räumlichen Dreiecks. S seit die Seitenlänge
dieses Dreicks.
H sei gegeben. Dann gilt HS = sqrt(h^2 + H^2) = sqrt(r^2*sin(alpah)^2 +
H^2)
Hieraus erhält man sofort den Neigungswinkel Theta der Firstlinien in
Richtung Dachmittelpunkt.

tan(theta)=2*HS/c=2*sqrt(r^2*sin(alpha)^2 + H^2)/(2*r*cos(alpha))
tan(theta)=sqrt(r^2*sin(alpha)^2 + H^2)/(r*cos(alpha))
tan(theta)=sqrt[tan(alpha)^2 + H^2/(r^2*cos(alpha)^2)]
tan(theta)=sqrt[(1 + H^2)/(r^2*0,25)]

Sonderfall H=r
tan(theta)=sqrt[tan(alpha)^2 + 1/cos(alpha)^2]
tan(theta)=sqrt[(sin(alpha)^2 + 1)/cos(alpha)^2]
tan(theta)=sqrt[(0,5^2 + 1)/0,5^2]=sqrt[1,25/0,25]=sqrt(5)=2,236...
theta etwa 65,9 Grad

Post by Michael Faber
Bitte um Hilfe. Falls noch etwas unklar ist bitte nachfragen.
Im voraus herzlichen Dank
und Gruß
Michael

MFG Stefan

[Michael Faber]

Hallo Jutta, hallo Stefan,

Klasse!!! Vielen Dank für die Lösungswege.
Da für das Wochenende sowieso schlechtes Wetter vorhergesagt wurde, versuch
ich es mal....

Gruß aus Mainz

Michael