Discussion:
Elementare Funktionen: Teil eines Beweises von Ritt
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-03-24 19:11:02 UTC
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Raw Message
Hallo,

könnt Ihr mir bitte mal wieder helfen?

Ich kann einfach noch nicht sehen, daß die Aussage unten richtig ist.

[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01

Aussage, die ich noch nicht verstehe:
Abschnitt 11. Seite 6 der Pdf-Datei, Seite 73 des Artikels:
"11. ... the formulas for the differentiation of composite functions show
that if u is an elementary function ..., there exists an algebraic function
of the z's, analytic for ..., which reduces to the derivative of u for |z -
a| < rho, when each variable is replaced by the monomial which corresponds
to it.
A similar result holds for the higher derivatives of u."

Meine Frage:
Wieso ist die Ableitung von u immer nur eine a l g e b r a i s c h e
Funktion der Monome von u?
Wenn ein z_j eine mehrfach verkettete Funktion ist, dann enthält nach der
Kettenregel der Differentiation der Funktionsterm der Ableitung die
Ableitungen aller inneren Funktionen als Faktoren, und die sind nicht z_j.

Beispiel:

u(z) = A1(exp(A2(exp(A3(z)))))
A1, A2, A3: algebraische Funktionen
z1 = exp(A2(exp(A3(z))))

u'(z) = A1'(t)|t=z1 * A2'(t)|t=exp(A3(z)) * A3'(z) * exp(A3(z)) * z1
Sind denn z1 = exp(A2(exp(A3(z)))) und exp(A3(z)) über \mathbb{C}
algebraisch voneinander abhängig? Nur wenn das so ist, dann ist das Monom
exp(A3(z)) eine algebraische Funktion des Monoms z1. Mir scheint aber, u'(z)
ist keine algebraische Funktion von z1, sondern eine algebraische Funktion
von z1 und exp(A3(z)).
Wo liege ich falsch?


Erläuterungen:

Es geht um Elementare Funktionen (Wikipedia en: Elementary function
https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function).
[Ritt 1925]: "The elementary functions are understood here to be those which
are obtained in a finite number of steps by performing algebraic operations
and taking exponentials and logarithms."
Da die Identität eine algebraische Funktion ist, kann jede elementare
Funktion als Komposition von abwechselnd ein- oder mehrstelligen
algebraischen Funktionen und exp oder ln dargestellt werden.
Jede algebraische Funktion ist ein Monom der Ordnung 0. exp und ln einer
algebraischen Funktion sind Monome der Ordnung 1. exp oder ln eines Monoms
nter Ordnung sind Monome (n+1)ter Ordnung.

Eine elementare Funktion u ist eine algebraische Funktion der Monome z;
z_1^(n), z_2^(n), ..., z_rn^(n-1); z_1^(n-1), z_2^(n-1), ..., z_rn^(n-1);
... Die hochgestellte Zahl in Klammern bezeichnet die Ordnung des Monoms.
Ritts Aussage ist wohl, daß die Ableitung der Funktion u (nach z?) immer
eine algebraische Funktion der Monome von u ist.

Vielen Dank.
Martin Vaeth
2018-03-25 10:22:12 UTC
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Raw Message
Post by IV
[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
"11. ... the formulas for the differentiation of composite functions show
that if u is an elementary function ..."
M.E. ist der entscheidende Punkt hier: "... described as in (N+I) ..."
Im Detail habe ich es nicht verifiziert, aber in dieser Darstellung
sind die z_1, ..., z_r jeweils Monome von u (zur Vereinfachung der
Notation schreibe ich nur die unteren Indizes), und man hat die Darstellung
F(u) = f(z_1(u),...,z_r(u))
wobei f algebraisch ist. Die Ableitung dieser Funktion nach u ist
F'(u) = D_1f(z_1(u),...,z_r(u))z_1'(u) + ... + D_rf(z_1(u),...,z_r(u))z_r'(u)
wobei D_kf die k-te partielle Ableitung von f bezeichnet.
Jetzt muss man diese Formel "richtig" hinschreiben (also auch mit den
oberen Indizes) und sieht dann (hoffentlich), dass sie die behauptete Gestalt
hat.
IV
2018-03-25 12:36:42 UTC
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Raw Message
"Martin Vaeth" schrieb im Newsbeitrag news:p97t8k$129n$***@gioia.aioe.org...

Die Aussage in 11. ist zentral für den Beweis in Ritts Artikel.
Post by Martin Vaeth
Post by IV
[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
"11. ... the formulas for the differentiation of composite functions show
that if u is an elementary function ..."
M.E. ist der entscheidende Punkt hier: "... described as in (N+I) ..."
Im Detail habe ich es nicht verifiziert, aber in dieser Darstellung sind
die z_1, ..., z_r jeweils Monome von u (zur Vereinfachung der Notation
schreibe ich nur die unteren Indizes), und man hat die Darstellung F(u) =
f(z_1(u),...,z_r(u))
wobei f algebraisch ist. Die Ableitung dieser Funktion nach u ist F'(u) =
D_1f(z_1(u),...,z_r(u))z_1'(u) + ... + D_rf(z_1(u),...,z_r(u))z_r'(u) wobei
D_kf die k-te partielle Ableitung von f bezeichnet.
Post by Martin Vaeth
Jetzt muss man diese Formel "richtig" hinschreiben (also auch mit den
oberen Indizes) und sieht dann (hoffentlich), dass sie die behauptete
Gestalt hat.
Tut mir leid, aber auch das sehe ich (noch?) nicht.
Was sind die Funktionen F und f?
Woraus entnimmst Du, daß die Monome Funktionen von u sind? Ursprünglich sind
sie Funktionen von z. Unter Verwendung von 11. wird später gesagt, daß jedes
Monom eine algebraische Funktion der anderen Monome, u und der Ableitung u'
von u ist. In 11. heißt es doch "die Ableitung v o n u".
In 2. ist die eine algebraische Funktion (u) definierende irreduzible
algebraische Gleichung dargestellt.
6. und 7. beschreiben die Zusammenhänge für elementare Funktionen u der
Ordnung 1, 9. darauf aufbauend die für elementare Funktionen u beliebiger
Ordnung n.
Ein Monom theta_i^(j) der Ordnung j ist exp oder ln einer elementaren
Funktion der Ordnung j-1, jedes Monom der Ordnung 0 theta_i^(0) ist eine
algebraische Funktion von z.
9. (N+I) besagt: Für jede elementare Funktion u der Ordnung n mit u(z) =
f(z; theta_1^{(1)}, ..., theta_{r_1}^{(1)}; ...; theta_1^{(n)}, ...,
theta_{r_n}^{(n)}) gilt:
f ist eine algebraische Funktion mit f: (z; z_1^{(1)}, ..., z_{r_1}^{(1)};
...; z_1^{(n)}, ..., z_{r_n}^{(n)}) \mapsto f(z; z_1^{(1)}, ...,
z_{r_1}^{(1)}; ...; z_1^{(n)}, ..., z_{r_n}^{(n)}), worin die z und
z_i^{(j)} Variablen sind. Und genau diese algebraische Funktion f ist in
(N+I) gemeint.
11. sagt nun, die Ableitung v o n u sei eine algebraische Funktion,
verkettet mit u-s (Genitiv von "u") Monomen. Mit diesem Zusammenhang wird
dann später gesagt, daß jede Variable z_i^(j) eine algebraische Funktion von
z, den anderen Variablen z_k^(l), u und der Ableitung u' von u ist.

Was heißt bei Ritt überhaupt "eine algebraische Funktion der z's" ("an
algebraic function of the z's")? Heißt das, die Funktion hängt nur von den
z's ab, oder kann das auch heißen, die Funktion hängt algebraisch von den
z's ab, kann aber zusätzlich auch von anderen Variablen transzendent
abhängen?
Kann also mit "die Funktion f ist eine algebraische Funktion der z's" auch
eine Funktion f mit f: (z, z_1, t) \mapsto f(A(z, z_1), T(t)) gemeint sein,
worin A eine algebraische Funktion und T eine tragnszendente Funktion sind?
IV
2018-03-25 12:36:33 UTC
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Raw Message
Post by IV
[Ritt 1925] Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01
Ich denke (vermute) ja, daß man Ritts Satz und Beweis auch auf andere und
allgemeinere Funktionenklassen als die Elementaren Funktionen erweitern
kann. Wer mag, ist eingeladen, mit mir auch außerhalb dieses Forums hier
zusammenarbeiten. Es wäre ein wirklich neuer mathematischer Satz. Dieser
wäre inner- und außerhalb der Mathematik von einiger Bedeutung.
Es geht nicht nur um die Existenz von globalen und lokalen Umkehrfunktionen
aus einem gegebenen Körper von Funktionen, sondern auch um die Lösbarkeit
von Gleichungen mit solchen Funktionen (Funktionen in geschlossenen
Ausdrücken).
H0Iger SchuIz
2018-03-25 15:55:28 UTC
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Raw Message
Post by IV
Ich denke (vermute) ja, daß man Ritts Satz und Beweis auch auf andere und
allgemeinere Funktionenklassen als die Elementaren Funktionen erweitern
kann.
Worauf stützt sich diese Vermutung? Und welcherlei sollen diese
Funktionsklassen sein?

hs
IV
2018-03-25 17:08:35 UTC
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Raw Message
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Ich denke (vermute) ja, daß man Ritts Satz und Beweis auch auf andere und
allgemeinere Funktionenklassen als die Elementaren Funktionen erweitern
kann.
Worauf stützt sich diese Vermutung? Und welcherlei sollen diese
Funktionsklassen sein?
(Auch das hatte ich hier in anderen Threads schon mehrmals angegeben.)
Die Elementaren Funktionen sind darstellbar als Verkettung von ein- oder
mehrstelligen (Wikipedia en: Arity - https://en.wikipedia.org/wiki/Arity)
algebraischen Funktionen, exp und/oder ln.
Aus Ritts Satz ergibt sich, daß eine elementare Funktion für die keine
Kompositionsdarstellung ohne mehrstellige algebraische Funktion existiert
keine elementare Funktion als Umkehrfunktion haben kann.
Läßt man anstelle der Standardfunktionen exp und ln weitere oder andere
Standardfunktionen zu, so ergeben sich andere oder allgemeinere
Funktionenklassen.
Ich vermute, die Eigenschaft einer Funktion, keine Umkehrfunktion in einer
so gegebenen Funktionenklasse zu haben, hängt, wenn die Standardfunktionen
gewisse Eigenschaften haben (Vielleicht algebraische Unabhängigkeit
voneinander über \mathbb{C}, vielleicht Meromorphie?) nicht von den
Standardfunktionen ab, sondern allein davon, ob für die Funktion eine
Kompositionsdarstellung ohne mehrstellige algebraische Funktion existiert
oder nicht.

Ritts Beweis ist eigentlich recht simpel, für mich als Nichtmathematiker
allerdings etwas aufwendig nachzuvollziehen.

Mir scheint, die Aussage in Abschnitt 11 aus Ritts Artikel ist entscheidend
für Ritts Beweis. Und ich vermute, diese Aussage in Abschnitt 11 kann auf
andere Funktionenklassen erweitert werden, denn sie benötigt als
Voraussetzung lediglich die algebraische Funktionen enthaltende
Kompositionsdarstellung, die ja durch die "standardfunktionenbasierten" (IV)
Funktionenklassen gegeben ist, und die Kettenregel der Differentiation, und
die gilt für alle differenzierbaren Funktionen.

Aber wir wollen hier erstmal den Abschnitt 11 aus Ritts Artikel verstehen
lernen.
H0Iger SchuIz
2018-03-27 12:21:17 UTC
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Post by IV
Läßt man anstelle der Standardfunktionen exp und ln weitere oder andere
Standardfunktionen zu, so ergeben sich andere oder allgemeinere
Funktionenklassen.
Soweit so trivial. Aber vielleicht sollte man mal konkret beispielhaft
einige dieser Funktionsklassen untersuchen.
Post by IV
Ich vermute, die Eigenschaft einer Funktion, keine Umkehrfunktion in einer
so gegebenen Funktionenklasse zu haben, hängt, wenn die Standardfunktionen
gewisse Eigenschaften haben
[...]
Post by IV
nicht von den
Standardfunktionen ab,
Kann ich nicht nachvollziehen. Die Exponentialfunktion nimmt im Bereich
der komplexwertigen Funktionen schon eine besondere Stellung ein. Dass
das für die Eigenschaften der daraus zusammengesetzten Funktionen kene
Rolle spielen soll, will mir nicht einleuchten. Aber: s.o.
Post by IV
Ritts Beweis ist eigentlich recht simpel, für mich als
Nichtmathematiker
allerdings etwas aufwendig nachzuvollziehen.
Die zweite Teilaussage relativiert die erste doch erheblich.
Post by IV
Aber wir
Wer?
Post by IV
wollen hier erstmal den Abschnitt 11 aus Ritts Artikel
verstehen
lernen.
Dabei viel Spaß.

hs

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