Discussion:
Ein merkwürdiger Zusammenhang
(zu alt für eine Antwort)
Manfred Ullrich
2018-05-21 08:08:55 UTC
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Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° = sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der, dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Wer blickt da durch?

Gruß
Manfred
Carlos Naplos
2018-05-21 09:26:22 UTC
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Raw Message
Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° =
sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang
links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der,
dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den
mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Warum sollte sie auch?

Wenn 1/sin (360°/x) und sqrt[2-2/sqrt(x)] sich bei x=5 schneiden, heißt
das nicht, dass sich die beiden Funktionen auch bei x=6 schneiden.

Gruß CN
Manfred Ullrich
2018-05-21 10:10:22 UTC
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Post by Carlos Naplos
Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° =
sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang
links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der,
dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den
mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Warum sollte sie auch?
Wenn 1/sin (360°/x) und sqrt[2-2/sqrt(x)] sich bei x=5 schneiden, heißt
das nicht, dass sich die beiden Funktionen auch bei x=6 schneiden.
Gruß CN
Das habe ich ja selbst gemerkt. Wie also ist der Zusammenhang?

Gruß, Manfred
Torn Rumero DeBrak
2018-05-21 12:36:22 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Post by Carlos Naplos
Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° =
sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang
links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der,
dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den
mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Warum sollte sie auch?
Wenn 1/sin (360°/x) und sqrt[2-2/sqrt(x)] sich bei x=5 schneiden, heißt
das nicht, dass sich die beiden Funktionen auch bei x=6 schneiden.
Gruß CN
Das habe ich ja selbst gemerkt. Wie also ist der Zusammenhang?
Gruß, Manfred
Der Zusammenhang ist die Tatsache, dass man ein Sechseck und ein Zehneck
resp. Fünfeck exakt mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Nach Gauss gibt es dann auch eine aus Wurzeln bestehende Gleichung für
sin (360°/17) .

Aloha
Ulrich Lange
2018-05-21 11:10:40 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° = sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der, dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Wer blickt da durch?
Gruß
Manfred
Der Zusammenhang ist tatsächlich "360/5=72", aber etwas komplizierter,
als Du denkst: Durch wiederholtes Anwenden der Additionstheoreme findest
Du die Beziehung:


sin(5*x) = 16*sin(x)^5 - 20*sin(x)^3 + 5*sin(x)

Für x=72° folgt also:


0 = sin(360°) = sin(5*72°) = 16*sin(72°)^5 - 20*sin(72°)^3 + 5*sin(72°)


sin(72°) entspricht also einer der 5 Nullstellen des Polynoms:


16*u**5 - 20*u**3 + 5*u = 0

Diese sind 0 und +/- sqrt(5/8 +/- sqrt(5)/8). Da der gesuchte Wert
zwischen sin(45°)=1/sqrt(2) und sin(90°) = 1 liegen muß, ist die
richtige Nullstelle: sqrt(5/8 + sqrt(5)/8). Damit ist

1/sin(72°) = 2*sqrt(2)/(5+sqrt(5))

Die rechte Seite entspricht Deiner rechten Seite, wie man mit nach
einigen Umformungen sieht.


Für 60° kann man analog vorgehen. Hier ist es allerdings effektiver
180/3 = 60 statt 360/6=60 auszunutzen. Wiederholtes Anwenden der
Additionstheoreme ergibt:


0 = sin(180°) = sin(3*60°) = -4*sin(60°) + 3*sin(60°)

sin(60°) = entspricht also einer der 3 Nullstellen des Polynoms:

-4*u**3 + 3*u = 0

Diese sind 0 und +/- sqrt(3)/2. Wie oben überlegt man sich, dass die
richtige Nullstelle sqrt(3)/2 ist. Man erhält also

1/sin(60°) = 2/sqrt(3)

Erweitert man das mit sqrt(2), so steckt analog zu sqrt(5) bei 72°
die sqrt(6) in der Formel für 60°:


1/sin(60°) = 2*sqrt(2)/sqrt(6)




Gruß,

Ulrich
Walter H.
2018-05-21 16:48:57 UTC
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Post by Ulrich Lange
Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° = sqrt[2-2/sqrt(5)],
und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang links zu rechts? Nun
könnte man meinen, der Zusammenhang ist der, dass 360° geteilt durch 5
eben jene 72° sind. Aber weit gefehlt, den mit z.B. 60° und dann
sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Wer blickt da durch?
Gruß
Manfred
Der Zusammenhang ist tatsächlich "360/5=72", aber etwas komplizierter,
als Du denkst: Durch wiederholtes Anwenden der Additionstheoreme findest
sin(5*x) = 16*sin(x)^5 - 20*sin(x)^3 + 5*sin(x)
mal doof gefragt: wenn man 40 grad nimmt, dann hat man 360/9 grad
es ist bekannt, daß ein regelmäßiges 9eck nicht mit Zirkel und Lineal
konstruierbar ist, aber 40 grad ist eine exakte Zahl ...

sin(9x) = 9 cos(x)^8 sin(x) - 84 cos(x)^6 sin(x)^3 + 126 cos(x)^4
sin(x)^5 - 36 cos(x)^2 sin(x)^7 + sin(x)^9

weiters gilt: sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
daher: cos(x)^2 = 1 - sin(x)^2
cos(x)^4 = 1 - 2sin(x)^2 + sin(x)^4
cos(x)^6 = 1 - 3sin(x)^2 + 3sin(x)^4 - sin(x)^6
cos(x)^8 = 1 - 4sin(x)^2 + 6sin(x)^4 - 4sin(x)^6 + sin(x)^8


oder

sin(9x) = 9sin(x)[1 - 4sin(x)^2 + 6sin(x)^4 - 4sin(x)^6 + sin(x)^8]
- 84sin(x)^3[1 - 3sin(x)^2 + 3sin(x)^4 - sin(x)^6]
+ 126sin(x)^5[1 - 2sin(x)^2 + sin(x)^4]
- 36sin(x)^7[1 - sin(x)^2]
+ sin(x)^9

sin(9x) = 9[sin(x) - 4sin(x)^3 + 6sin(x)^5 - 4sin(x)^7 + sin(x)^9]
- 84[sin(x)^3 - 3sin(x)^5 + 3sin(x)^7 - sin(x)^9]
+ 126[sin(x)^5 - 2sin(x)^7 + sin(x)^9]
- 36[sin(x)^7 - sin(x)^9]
+ sin(x)^9

sin(9x) = 9 sin(x) - 36 sin(x)^3 + 54 sin(x)^5 - 36 sin(x)^7 + 9 sin(x)^9
- 84 sin(x)^3 + 252 sin(x)^5 - 252 sin(x)^7 + 84 sin(x)^9
+ 126 sin(x)^5 - 252 sin(x)^7 + 126 sin(x)^9
- 36 sin(x)^7 + 36 sin(x)^9
+ sin(x)^9

sin(9x) = 9 sin(x) - 120 sin(x)^3 + 432 sin(x)^5 - 576 sin(x)^7 + 256
sin(x)^9

0 = sin(360deg) = 9 sin(40deg) - 120 sin(40deg)^3 + 432 sin(40deg)^5 -
576 sin(40deg)^7 + 256 sin(40deg)^9

sin(40deg) entspricht einer der 9 Nullstellen des Polynoms

9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0

u = 0
u = -sqrt(3)/2
u = sqrt(3)/2
die anderen 6 Lsg. der Gleichung sind komplex

aber der Wert f. sin(40deg) ist weder 0 noch -sqrt(3)/2 bzw. sqrt(3)/2,
ebenso f. cos(40deg) ist dieser weder 1 noch -1/2 bzw 1/2

was ist hier falsch gelaufen?

auch in das urspr. eingesetzt: sin(40deg) = sqrt(3)/2 und cos(40deg) = 1/2

9 cos(40deg)^8 sin(40deg) - 84 cos(40deg)^6 sin(40deg)^3 + 126
cos(40deg)^4 sin(40deg)^5 - 36 cos(40deg)^2 sin(40deg)^7 + sin(40deg)^9 =
9/256 sin(40deg) - 84/64 sin(40deg)^3 + 126/16 sin(40deg)^5 - 36/4
sin(40deg)^7 + sin(40deg)^9 =
9/256 sqrt(3)/2 - 84/64 3/4 sqrt(3)/2 + 126/16 9/16 sqrt(3)/2 - 36/4
27/64 sqrt(3)/2 + 81/256 sqrt(3)/2 =
[9/256 - 84/64 3/4 + 126/16 9/16 - 36/4 27/64 + 81/256] sqrt(3)/2 =
1/256 (9 - 84*3 + 126*9 - 36*27 + 81) sqrt(3)/2 = 0

oder ist etwa die Formel f. sin(9x) weiter oben falsch?
Detlef Müller
2018-05-21 19:12:53 UTC
Permalink
Raw Message
[...]
Post by Walter H.
sin(40deg) entspricht einer der 9 Nullstellen des Polynoms
9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0
Bis hier passt alles.
Post by Walter H.
u = 0
u = -sqrt(3)/2
u = sqrt(3)/2
die anderen 6 Lsg. der Gleichung sind komplex
aber der Wert f. sin(40deg) ist weder 0 noch -sqrt(3)/2 bzw. sqrt(3)/2,
       ebenso f. cos(40deg) ist dieser weder 1 noch -1/2 bzw 1/2
was ist hier falsch gelaufen?
Alle Wurzeln sind reell (plotte den Graphen des Polynoms mal).

Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen, in denen dritte Wurzeln und die imaginäre Einheit
auftauchen. Offenbar ist es dem CAS nicht möglich diese Ausdrücke auf
reelle Zahlen zurück zu rechnen.
Das mag anderen CAS ähnlich ergehen.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Torn Rumero DeBrak
2018-05-21 19:44:01 UTC
Permalink
Raw Message
Am 21.05.2018 um 21:12 schrieb Detlef Müller:
...
Post by Detlef Müller
Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen, in denen dritte Wurzeln und die imaginäre Einheit
auftauchen. Offenbar ist es dem CAS nicht möglich diese Ausdrücke auf
reelle Zahlen zurück zu rechnen.
Das mag anderen CAS ähnlich ergehen.
Gruß,
  Detlef
Hallo Detlev,

Wie bist du generell mit SageMath zufrieden? Benutzt du es auf
Windows, Linux, Mac oder über die Webseite SageMathCell?

Aloha
Detlef Müller
2018-05-22 12:56:10 UTC
Permalink
Raw Message
[....]
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Detlef Müller
Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen,
[...]
Post by Torn Rumero DeBrak
Wie bist du generell mit SageMath zufrieden? Benutzt du es auf
Windows, Linux, Mac oder über die Webseite SageMathCell?
Ich nutze SageMath unter Linux (debian) seit einigen Jahren.

Vorher hatte ich "Maxima" verwendet, das in Sage integriert
ist (zusammen mit so ziemlich allen bekannteren open-source-
Systemen samt librarys, was die Binarys sehr voluminös macht,
aber Scherereien mit Abhängigkeiten verhindert).

Sage implementiert quasi einen lokalen Webserver und die
Sessions werden dann (wenn man es will) über einen Browser
seiner Wahl gerendert.
Inzwischen ist die Installation sogar unter Linux recht
einfach, unter Windows vermutlich noch leichter.
Eine Befürchtung von mir ist, daß irgendwann die lokale
Installation immer weniger unterstützt wird ... aber das
ist eine andere Geschichte.

In der Verwendung finde ich sage etwas weniger intuitiv
als z.B. Mathematica, wo man durch ganz strikte Namensregeln
nach relativ kurzer Zeit einfach weiß, was man einzutippen
hat, um das gewünschte Resultat zu bekommen.
Es gibt ganz ordentliche grafische Darstellungen (plots),
aber solange es um einfachere grafische Aufbereitungen
geht, verwende ich Geogebra.

Der Knackpunkt (imo wichtiger als Performance oder daß auch
das letzte Integral noch geknackt wird) bei CAS ist eine
vernünftige Dokumentation ... die ist in sage im Vergleich
zu anderen "Freien" ganz gut (man hat z.B. im Browser eine
Kommando-Ergänzung wie in Mathematica).

Die mathematischen Strukturen (Listen, Vektoren, Matrizen
etc.) halten sich quasi an die Python-Syntax, ein starker
Vorteil, wenn man Python schon kennt und wenn nicht, auch
nicht wirklich ein Nachteil.
Bei jedem CAS kommt einem die Bedienung anfangs sehr
umständlich vor (zumindest mir).
Benutzt man sage erst einmal nur als Super-Taschenrechner,
kommt man mit Python sowieso nicht in Kontakt. Später, wenn
die Ansprüche wachsen, muß man die Feinheiten so oder so
lernen und eignet sich (im Fall sage) so ganz nebenbei
rudimentäre Python-Kenntnisse an.

Apropos Performance: bei wirklich rechenintensiven
Programmen, wo die Geschwindigkeit wichtig wird, ist
sage (oder auch reines Python) nicht mit C oder dergleichen
konkurrenzfähig.
Ist aber deutlich schneller als von Hand rechnen, z.B.
tausend 3x3-Matrizen mit Zufallszahlen und Determinante 1
zu generieren, invertieren und in eine Liste schreiben (1)
dauert auf meinem Rechner ca 10s (ja: wahrscheinlich gibt
es einen schnelleren sage-Befehl für Zufallsmatrizen).

Einige Sachen (Indizes starten bei 0, Objekte sind Typisiert,
etc.) musste ich anfangs ständig nachschlagen, was lästig
war - ist immernoch lästig aber mit der Zeit geht es dann
flotter ... insbesondere wenn man den Trick mit der TAB-Taste
gelernt hat :)

In den (Browser-) Sitzungen kann man Kommentar-Zellen einfügen,
in welche zwanglos Latex Formeln integriert werden können (der
Text ist html, das mit einem wysiwyg editor erstellt wird, Latex
Formeln werden wie in Latex mit \( ... \) eingebaut).
Ausgaben können in Latex-Formel umgewandelt und in Latex-Dokumente
übertragen werden.
In früheren Versionen war das etwas "hakelig", mittlerweile kann man
aber so z.B. Lösungen für Aufgabenzettel praktisch in der
Sage-Sitzung lösen, dokumentieren, setzen und
dann (aus dem Browser) in annehmbarer Qualität ausdrucken.
Reicht wohl nicht für eine wissenschaftliche Veröffentlichung,
aber für Handouts in Arbeitsgruppen kriegt man mit wenig
Aufwand ein passables Ergebnis.

Anwendungsbeispiel:

Die von Walter gefundene Polynomgleichung:
9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0.

Man kann dies ins Sage-Notebook kopieren, muß dann aber alle
Multiplikationen durch "*" kennzeichnen, das "=" muß
durch "==" ersetzt werden (keine Zuweisung).
Weiter muß "u" als Variable deklariert werden.
In diesem Fall schafft es Sage, die Gleichung vollständig
zu lösen:

var("u")
L=solve(9*u - 120*u^3 + 432*u^5 - 576*u^7 + 256*u^9==0,u); L

[u == -1/2*sqrt(3), u == 1/2*sqrt(3), u == -1/4*(4*(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/3) + 1)/(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/6), u ==
1/4*(4*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 1)/(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/6), u == -1/4*sqrt(8*I*sqrt(3)*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3)
- 8*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) - 1/2*I*sqrt(3)/(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/3) - 1/2/(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 8), u ==
1/4*sqrt(8*I*sqrt(3)*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) -
8*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) - 1/2*I*sqrt(3)/(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/3) - 1/2/(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 8), u ==
-1/4*sqrt(-8*I*sqrt(3)*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) -
8*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 1/2*I*sqrt(3)/(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/3) - 1/2/(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 8), u ==
1/4*sqrt(-8*I*sqrt(3)*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) -
8*(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 1/2*I*sqrt(3)/(1/128*I*sqrt(3) +
1/128)^(1/3) - 1/2/(1/128*I*sqrt(3) + 1/128)^(1/3) + 8), u == 0]

Um nun aus der Liste von Gleichungen die rechten Seiten (rhs) zu
bekommen und sie numerisch darzustellen, kann man ein
Python-Listen-Konstrukt verwenden (Nummerierung natürlich
nachträglich eingefügt):

[(k.rhs()).n() for k in L]
[-0.866025403784439, <--- 0-ter Eintrag
0.866025403784439, <--- 1-ter Eintrag
-0.984807753012208, <--- 2-ter Eintrag
0.984807753012208, <--- 3-ter Eintrag u.s.w.
-0.342020143325669 + 1.42015779699561e-16*I,
0.342020143325669 - 1.42015779699561e-16*I,
-0.642787609686539 - 9.71550232052845e-17*I,
0.642787609686539 + 9.71550232052845e-17*I,
0.000000000000000]

Mit dem Befehl
plot(9*u - 120*u^3 + 432*u^5 - 576*u^7 + 256*u^9,u)
Wird einem ein Schaubild des Grafen gezeigt, das die
Vermutung bestätigt (Zwischen -1 und 1 scheint das
Polynom Werte aus [-1,1] anzunehmen ... stimmt, es ist
ein Chebyshev Polynom. Die Nullstellen sind also
cos(pi*(2k+1)/(2k), k=0...8 --- ob der Herkunft des
Polynoms nicht wirklich ein Wunder).

Betrachten wir den dritten Eintrag und versuchen ihn vereinfachen
zu lassen. Der Typ "Komplexe Zahl" hat eine Methode "rectform" (da
geht die Sucherei los ...), die versucht die Form a+b*I herzustellen:

w=L[2].rhs()
w.rectform()
-1/2*(cos(1/9*pi) + 1)*cos(1/18*pi) - 1/2*I*cos(1/18*pi)*sin(1/9*pi) +
1/2*I*(cos(1/9*pi) + 1)*sin(1/18*pi) - 1/2*sin(1/9*pi)*sin(1/18*pi)

das überzeugt noch nicht ganz. Hier hilft es, den Ausdruck erst
einmal alle Klammern aufzulösen ("expand"):

w.expand().rectform()
-cos(1/18*pi)

Ach ja :)

Das klappt aber nur mit dem 3-ten und 4-ten Eintrag, bei den
folgenden wird keine Vereinfachung durchgeführt.

Warum kann sage überhaupt algebraisch Nullstellen dieses
Polynom 9-ten Grades finden?
Es zerfällt in Faktoren:

factor(9*u - 120*u^3 + 432*u^5 - 576*u^7 + 256*u^9)

(64*u^6 - 96*u^4 + 36*u^2 - 3)*(4*u^2 - 3)*u

und der Faktor vom Grad 6 erlaubt eine Substitution von
u^2. Sage macht hier also mehr, also nur beim Grad <= 4
die bekannte Lösungsformel einzusetzen und beim Grad >4
aufzugeben.
Wer es genau wissen will kann (theoretisch) in den Sourcecode
schauen ... die genaue Implementation ist bei käuflichen CAS
natürlich Betriebsgeheimnis.
Es dürfte klar sein, was das für wissenschaftliches Arbeiten
bedeutet.

Gruß,
Detlef

Bsp. (1)

def rand_int(n): return(floor(random()*n));
L=[];
for i in range(1000):
A=matrix([[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]])
while (det(A)!=1):
A=matrix([[rand_int(7)-3 for i in range(3)] for j in range(3)])
L.append((A).inverse())
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Ulrich Lange
2018-05-21 20:45:35 UTC
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Raw Message
Post by Detlef Müller
[...]
Post by Walter H.
sin(40deg) entspricht einer der 9 Nullstellen des Polynoms
9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0
Bis hier passt alles.
und (numerisch!) ist sin(40°)=0.642787609687... auch Nullstelle des
Polynoms.
Post by Detlef Müller
Post by Walter H.
u = 0
u = -sqrt(3)/2
u = sqrt(3)/2
die anderen 6 Lsg. der Gleichung sind komplex
aber der Wert f. sin(40deg) ist weder 0 noch -sqrt(3)/2 bzw. sqrt(3)/2,
        ebenso f. cos(40deg) ist dieser weder 1 noch -1/2 bzw 1/2
was ist hier falsch gelaufen?
Alle Wurzeln sind reell (plotte den Graphen des Polynoms mal).
Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen, in denen dritte Wurzeln und die imaginäre Einheit
auftauchen. Offenbar ist es dem CAS nicht möglich diese Ausdrücke auf
reelle Zahlen zurück zu rechnen.
Das mag anderen CAS ähnlich ergehen.
Kann ich für das CAS "isympy" bestätigen. Ich denke, das hat damit zu
tun, dass es keine reell-algebraische Darstellung aller Nullstellen des
obigen Polynoms geben kann, weil das regelmäßige 9-Eck nicht mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist.

Gruß,

Ulrich
Martin Vaeth
2018-05-22 06:34:48 UTC
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Raw Message
Post by Ulrich Lange
Post by Detlef Müller
[...]
Post by Walter H.
sin(40deg) entspricht einer der 9 Nullstellen des Polynoms
9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0
Bis hier passt alles.
und (numerisch!) ist sin(40°)=0.642787609687... auch Nullstelle des
Polynoms.
Post by Detlef Müller
Post by Walter H.
u = 0
u = -sqrt(3)/2
u = sqrt(3)/2
die anderen 6 Lsg. der Gleichung sind komplex
aber der Wert f. sin(40deg) ist weder 0 noch -sqrt(3)/2 bzw. sqrt(3)/2,
        ebenso f. cos(40deg) ist dieser weder 1 noch -1/2 bzw 1/2
was ist hier falsch gelaufen?
Alle Wurzeln sind reell (plotte den Graphen des Polynoms mal).
Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen, in denen dritte Wurzeln und die imaginäre Einheit
auftauchen. Offenbar ist es dem CAS nicht möglich diese Ausdrücke auf
reelle Zahlen zurück zu rechnen.
Die Chancen sind gut, dass es prinzipiell nicht möglich ist:
Real-/Imaginärteil einer dritten Wurzel einer komplexen Zahl sind halt
die Lösungen eines 2-er Polynomsystems 3. Grades, also im "typischen"
Fall wohl Nullstellen eines Polynoms 6. Grades.
Post by Ulrich Lange
[...] dass es keine reell-algebraische Darstellung aller Nullstellen des
obigen Polynoms geben kann, weil das regelmäßige 9-Eck nicht mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist.
Vermutlich ist ersteres richtig, aber es folgt nicht aus dem zweiten:
Nicht-Konstruierbarkeit bezieht sich auf Darstellungen mit Quadratwurzeln,
nicht "höhere" Wurzeln. Bekanntlich ist ja bereits die dritte Wurzel
aus 2 („Würfelverdopplung“) nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Walter H.
2018-05-22 12:24:16 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Ulrich Lange
Post by Detlef Müller
[...]
Post by Walter H.
sin(40deg) entspricht einer der 9 Nullstellen des Polynoms
9 u - 120 u^3 + 432 u^5 - 576 u^7 + 256 u^9 = 0
Bis hier passt alles.
und (numerisch!) ist sin(40°)=0.642787609687... auch Nullstelle des
Polynoms.
von den seltsamen Lösungen hätte ich damit folgende als diese isoliert:

1/4 Sqrt[8-2/(1/2 (1+I Sqrt[3]))^(1/3)+(2 I Sqrt[3])/(1/2 (1+I
Sqrt[3]))^(1/3)-2^(2/3) (1+I Sqrt[3])^(4/3)]

die imag. Einheit ist hier I, und die Fkt. haben [] an Stelle von ()

den Term in einen Wurzelausdruck mit reinen reellen Wurzeln zu bekommen
sollte kein Problem sein, denke ich mal
wenn gleich (1 + i sqrt(3))^(1/3) komplex ist ...
Post by Ulrich Lange
Post by Detlef Müller
Alle Wurzeln sind reell (plotte den Graphen des Polynoms mal).
das berühmte AHA Erlebnis ..., bin wohl einem CAS Phänomen aufgelaufen;
Post by Ulrich Lange
Post by Detlef Müller
Das CAS Sage gibt auch einen Satz scheinbar echt komplexer
Nullstellen, in denen dritte Wurzeln und die imaginäre Einheit
auftauchen. Offenbar ist es dem CAS nicht möglich diese Ausdrücke auf
reelle Zahlen zurück zu rechnen.
Das mag anderen CAS ähnlich ergehen.
Kann ich für das CAS "isympy" bestätigen. Ich denke, das hat damit zu
tun, dass es keine reell-algebraische Darstellung aller Nullstellen des
obigen Polynoms geben kann,
oder sowas wie ein 'casus irreducibilis'?

offensichtlich auch bei meinem CAS
Post by Ulrich Lange
weil das regelmäßige 9-Eck nicht mit Zirkel
und Lineal konstruierbar ist.
passende Frage dazu: welcher Winkel mit ganzer Zahl im Gradmaß ist
gerade noch mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

60 deg - 6eck
72 deg - 5eck
ergo 12 deg - 30eck
6 deg - 60eck
3 deg - 120eck
9 deg - 40eck
sind auch 2 deg konstruierbar?

Grüße,
Walter
Martin Vaeth
2018-05-22 12:46:36 UTC
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Raw Message
Post by Walter H.
den Term in einen Wurzelausdruck mit reinen reellen Wurzeln zu bekommen
sollte kein Problem sein
Ach? Versuch's mal; vielleicht erst mit einfacheren Ausdrücken wie
Realteil einer dritten Wurzel von a+ib.
Post by Walter H.
passende Frage dazu: welcher Winkel mit ganzer Zahl im Gradmaß ist
gerade noch mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon
Andreas Leitgeb
2018-05-22 15:02:48 UTC
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Raw Message
Post by Walter H.
passende Frage dazu: welcher Winkel mit ganzer Zahl im Gradmaß ist
gerade noch mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
sind auch 2 deg konstruierbar?
Wäre ein Winkel mit 2° konstruierbar, dann wäre auch
jedes Vielfache davon, also auch jene mit 10° und 40°
konstruierbar. Ergo: 2° ist nicht konstruierbar.

PS: Ditto, natürlich, für 1°

PS: inwieweit nun 3° wirklich konstruierbar ist, bin
ich für eine Recherche grad zu faul. Jedenfalls kann
man bloß aus der Konstruierbarkeit eines 5-ecks und
eines 6-ecks noch nicht auf die eines 30/60/120-ecks
schließen.
Martin Vaeth
2018-05-22 18:45:39 UTC
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Raw Message
Post by Andreas Leitgeb
PS: inwieweit nun 3° wirklich konstruierbar ist, bin
ich für eine Recherche grad zu faul. Jedenfalls kann
man bloß aus der Konstruierbarkeit eines 5-ecks und
eines 6-ecks noch nicht auf die eines 30/60/120-ecks
schließen.
Doch: Zunächst für 30, weil man dazu vom Winkel des
6-Ecks den des 5-Ecks abziehen kann.
Für 60 und 120 dann jeweils wegen Winkelhalbierung.
Andreas Leitgeb
2018-05-25 10:40:30 UTC
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Raw Message
Post by Martin Vaeth
Post by Andreas Leitgeb
PS: inwieweit nun 3° wirklich konstruierbar ist, bin
ich für eine Recherche grad zu faul. Jedenfalls kann
man bloß aus der Konstruierbarkeit eines 5-ecks und
eines 6-ecks noch nicht auf die eines 30/60/120-ecks
schließen.
Doch: Zunächst für 30, weil man dazu vom Winkel des
6-Ecks den des 5-Ecks abziehen kann.
Hast wahr :-)

Habe meine Aussage allgemeiner gedacht, als aufgeschrieben.

Detlef Müller
2018-05-21 12:10:16 UTC
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Post by Manfred Ullrich
Aus einer Vorgeschichte hier ergab sich, 1/sin72° =
sqrt[2-2/sqrt(5)], und zwar genau!!! Wo ist denn der Zusammenhang
links zu rechts? Nun könnte man meinen, der Zusammenhang ist der,
dass 360° geteilt durch 5 eben jene 72° sind.
Du hattest ja den Zusammenhang an Betrachtungen an einer Strecke
im gleichseitigen 5-Eck gewonnen - voila!

Mit etwas Umformung bekommt man aus dem oben aufgeführten
Zusammenhang:

sin(72°) = 1/4 sqrt[2*(5+sqrt(5))]
= ( sqrt[2]/2 ) * ( sqrt[5+sqrt(5)]/2 )
= ...

So eine Darstellung lässt sich vielfältig in äquivalente
Formeln wandeln ... von so einer Formel kann man sich
inspirieren lassen, um Zusammenhänge zu finden, doch ob
und wie die sich dann verallgemeinern lassen, weiß man
davon nicht.
Manchmal klappt so ein "Zahlen-mystischer" Ansatz dann
sogar ... auch ein Grund, warum viele Mathematiker
Formeln "schön" bzw. "elegant" aufschreiben wollen.
Taucht zum Beispiel eine geschachtelte Wurzel auf, wäre
man versucht, irgend eine geometrische Konstruktion bei
der 2 mal Pythagoras auftaucht, zu suchen.
Post by Manfred Ullrich
Aber weit gefehlt, den
mit z.B. 60° und dann sqrt(6) stimmt die Gleichung gar nicht.
Wie Carlos ja auch andeutet: soll "sqrt[2-2/sqrt(5)]/4" ein Wert
einer allgemeineren Funktion sein, in der "5" eingesetzt
wird, gibt es dafür ja beliebig viele Kandidaten, wie

sqrt[10+2*sqrt(x)] / 4,

sqrt[2x+2*5/sqrt(x)] / 4,

sqrt(x-3) * sqrt[x+sqrt(x)] / (x-1)

usw.

der Kreativität sind kaum Grenzen gesetzt und es gibt
wohl keinen Grund, anzunehmen daß eine davon gerade mit der
Funktion sin(360°/x) identisch sein sollte.

Im Gegenteil:
Das regelmäßiges Neuneck kann aber nicht mit Zirkel und Lineal
konstruiert werden, sin(360°/9)=sin(40°) lässt sich daher
überhaupt nicht durch Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen
darstellen ...
daher lohnt es sich nicht, nach einer allgemeinen Formel
für sin(360°/n), in der nur Quadratwurzeln, rationale
Zahlen und Bruchrechnung vorkommt, zu suchen.

Gruß,
Detlef
Post by Manfred Ullrich
Gruß Manfred
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
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