Discussion:
Kugelvolumen - was mache ich falsch?
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Lothar Frings
2018-09-12 13:47:44 UTC
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In einer langweiligen Besprechung habe ich
versucht, mir die Formel für das Kugelvolumen

(V = 4/3 π r³)

über das Integral der Kreisflächen herzuleiten.

Dazu bin ich von

F = π r²

ausgegangen. Die Stammfunktion ist 1/3 π r³,
das bestimmte Integral von 0 bis R (R ist der
Radius der Kugel) ist 1/3 π R³. Damit hat man
eine Halbkugel, das gesamte Volumen wäre dann
2/3 π R³.

Bekanntermaßen ist es aber 4/3 π R³.

Wo habe ich den Faktor 2 vergessen?
Carlo XYZ
2018-09-12 14:05:29 UTC
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Post by Lothar Frings
Wo habe ich den Faktor 2 vergessen?
Von Radius zu Durchmesser?
[Zugegeben nur 10 Sekunden lang gelesen.]
Lothar Frings
2018-09-12 14:14:08 UTC
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Post by Carlo XYZ
Post by Lothar Frings
Wo habe ich den Faktor 2 vergessen?
Von Radius zu Durchmesser?
[Zugegeben nur 10 Sekunden lang gelesen.]
Merkt man. Das Integral läuft von 0 bis R,
damit hat man eine Halbkugel. Die nimmt man mal 2.
Carlo XYZ
2018-09-12 15:36:01 UTC
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Post by Lothar Frings
Post by Carlo XYZ
Post by Lothar Frings
Wo habe ich den Faktor 2 vergessen?
Von Radius zu Durchmesser?
[Zugegeben nur 10 Sekunden lang gelesen.]
Merkt man.
Jo. Martin hat deinen Denkfehler ja schon gut erklärt.

Trotzdem wundert mich (auch) der einfache Faktor 2
nach der Umrechnung von Radius in Höhe (bzw. x-Wert,
wenn man die Kreisscheiben nach rechts aufaddiert).
Robin Koch
2018-09-13 19:01:30 UTC
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Post by Carlo XYZ
Trotzdem wundert mich (auch) der einfache Faktor 2
nach der Umrechnung von Radius in Höhe (bzw. x-Wert,
wenn man die Kreisscheiben nach rechts aufaddiert).
Was Lothar berechnet hat ist das Volumen eines (Doppel-)Kegels.

Kegel + Halbkugel = Zylinder

So haben wir im der Mittelstufe das Kugelvolumen ohne Integral berechnet.

Ist also nicht so verwunderlich.
--
Robin Koch
Stephan Gerlach
2018-09-13 21:07:13 UTC
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Post by Robin Koch
Post by Carlo XYZ
Trotzdem wundert mich (auch) der einfache Faktor 2
nach der Umrechnung von Radius in Höhe (bzw. x-Wert,
wenn man die Kreisscheiben nach rechts aufaddiert).
Was Lothar berechnet hat ist das Volumen eines (Doppel-)Kegels.
Kegel + Halbkugel = Zylinder
So haben wir im der Mittelstufe das Kugelvolumen ohne Integral berechnet.
So ganz einfach geht das aber nicht.

Da habt ihr bestimmt noch eine andere Aussage verwendet, d.h. wieso aus
Kegel- und Zylinder-Volumen denn nun das Halbkugelvolumen folgen soll...
--
Post by Robin Koch
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Carlo XYZ
2018-09-13 20:09:27 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Robin Koch
Was Lothar berechnet hat ist das Volumen eines (Doppel-)Kegels.
Kegel + Halbkugel = Zylinder
So haben wir im der Mittelstufe das Kugelvolumen ohne Integral berechnet.
So ganz einfach geht das aber nicht.
Da habt ihr bestimmt noch eine andere Aussage verwendet, d.h. wieso aus
Kegel- und Zylinder-Volumen denn nun das Halbkugelvolumen folgen soll...
Satz des Archimedes, das hat Robin gut erkannt (danke):

<https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Archimedes_über_Kugel_und_Kreiszylinder>
Roland Franzius
2018-09-14 04:06:37 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Robin Koch
Post by Carlo XYZ
Trotzdem wundert mich (auch) der einfache Faktor 2
nach der Umrechnung von Radius in Höhe (bzw. x-Wert,
wenn man die Kreisscheiben nach rechts aufaddiert).
Was Lothar berechnet hat ist das Volumen eines (Doppel-)Kegels.
Kegel + Halbkugel = Zylinder
So haben wir im der Mittelstufe das Kugelvolumen ohne Integral berechnet.
So ganz einfach geht das aber nicht.
Da habt ihr bestimmt noch eine andere Aussage verwendet, d.h. wieso aus
Kegel- und Zylinder-Volumen denn nun das Halbkugelvolumen folgen soll...
Die Fläche des Kugelschnitts in Höhe h ist
F= pi(r^2- h^2),
der Rest im Zylinder also
F=pi h^2.
Man kann also das Äußere der Halbkugel im Zylinder zu einem Kegel
zusammenkehren.

Das war wohl Archimedes' triviale Überlegung nach (vor) dem Prinzip von
Cavalieri.

Archimedes hat an mehreren Beipielen als erster das Prinzip
infinitesimale Transformationen im Integranden per Waage durchschaut und
damit, wenn er damit Ergebnis "geraten" hatte, dann Wege für Beweise
more geometrico gefunden.
--
Roland Franzius
Martin Vaeth
2018-09-12 14:20:29 UTC
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Post by Lothar Frings
In einer langweiligen Besprechung habe ich
versucht, mir die Formel für das Kugelvolumen
(V = 4/3 π r³)
über das Integral der Kreisflächen herzuleiten.
Dazu bin ich von
F = π r²
ausgegangen.
F ist die Kreisfläche eines Kreises mit Radius r.
Die Kreischeibe eines Kugelschnitts auf der Höhe
h hat aber nicht den Radius r=h.
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