Discussion:
y''-4y'+4y=p(x)e^(2x)
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carlo berlingen
2018-05-16 12:23:47 UTC
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Hallo und Hilferuf!

Wie finde ich bei dieser DGL über die Methode der unbestimmten Koeffizienten eine partikuläre Lösung,
Das mit der Lösung der hom.DGL ist schon klar.
p(x) ist ein Polynom 2.Grades.

Dank und Gruß
Carlo
Detlef Müller
2018-05-16 19:55:13 UTC
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Post by carlo berlingen
Hallo und Hilferuf!
Wie finde ich bei dieser DGL über die Methode der unbestimmten
Koeffizienten eine partikuläre Lösung, Das mit der Lösung der hom.DGL
ist schon klar. p(x) ist ein Polynom 2.Grades.
Also bei

(1) y''-4y'+4y = p(x)e^(2x)

bietet sich ein Ansatz

y = (a x^2 + b x + c)*e^(2x), a,b,c, konstant.

an. Dann kann man y', y'' ausrechnen, wobei der Faktor
e^(2x) garantiert ausgeklammert werden kann.

Dies setzt man dann in (1) ein, kann die Gleichung durch
den Faktor e^(2x) (ungleich 0) teilen und erhält links
ein Polynom zweiten Grades (in dem die Parameter a,b,c auftauchen)
und rechts das bekannte p(x).
Durch Koeffizientenvergleich sollten sich dann a,b und c mit
einem linearen Gleichungssystem bestimmen lassen.

Gruß,
Detlef
Post by carlo berlingen
Dank und Gruß Carlo
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
carlo berlingen
2018-05-17 06:48:53 UTC
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Post by Detlef Müller
Post by carlo berlingen
Hallo und Hilferuf!
Wie finde ich bei dieser DGL über die Methode der unbestimmten
Koeffizienten eine partikuläre Lösung, Das mit der Lösung der hom.DGL
ist schon klar. p(x) ist ein Polynom 2.Grades.
Also bei
(1) y''-4y'+4y = p(x)e^(2x)
bietet sich ein Ansatz
y = (a x^2 + b x + c)*e^(2x), a,b,c, konstant.
an. Dann kann man y', y'' ausrechnen, wobei der Faktor
e^(2x) garantiert ausgeklammert werden kann.
Dies setzt man dann in (1) ein, kann die Gleichung durch
den Faktor e^(2x) (ungleich 0) teilen und erhält links
ein Polynom zweiten Grades (in dem die Parameter a,b,c auftauchen)
und rechts das bekannte p(x).
Durch Koeffizientenvergleich sollten sich dann a,b und c mit
einem linearen Gleichungssystem bestimmen lassen.
Gruß,
Detlef
Post by carlo berlingen
Dank und Gruß Carlo
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Das habe ich auch schon ausprobiert, aber es funktioniert nicht.
Ich denke, es liegt an der doppelten Nullstelle des char.Polynoms.
Ich habe das Problem mit dem Ansatz y=exp(2x)*z gelöst.
Die DGL für z hat die hom. Lsg. z_h; mit z_p=x*z_h komme ich
über die part. Lsg. z_p zu y_p und dann zur allgemein Lsg. der
ursprünglichen DGL.
Dennoch bleibt die Frage, wie man bei doppelter Nullstelle des
char.Polynoms zu einer part. Lsg kommt - je nach Beschaffenheit
der rechten Seite der DGL.
Gruß
Carlo
Detlef Müller
2018-05-17 13:52:42 UTC
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Raw Message
[...]
Post by carlo berlingen
Post by Detlef Müller
Post by carlo berlingen
Wie finde ich bei dieser DGL über die Methode der unbestimmten
Koeffizienten eine partikuläre Lösung, Das mit der Lösung der hom.DGL
ist schon klar. p(x) ist ein Polynom 2.Grades.
Also bei
(1) y''-4y'+4y = p(x)e^(2x)
bietet sich ein Ansatz
y = (a x^2 + b x + c)*e^(2x), a,b,c, konstant.
an.
[...]
Post by carlo berlingen
Post by Detlef Müller
Durch Koeffizientenvergleich sollten sich dann a,b und c mit
einem linearen Gleichungssystem bestimmen lassen.
[...]
Post by carlo berlingen
Das habe ich auch schon ausprobiert, aber es funktioniert nicht.
Stimmt, im Ansatz heben sich die "Spiel"-Variablen b und c weg ...
schade erst einmal, es bleibt einfach a e^(2x).
Das liegt in der Tat daran, daß (b x + c)*e^(2x) schon die
allgemeine Lösung der homogenen DGL ist.
Post by carlo berlingen
Ich denke, es liegt an der doppelten Nullstelle des char.Polynoms.
Ich habe das Problem mit dem Ansatz y=exp(2x)*z gelöst.
Die DGL für z hat die hom. Lsg. z_h; mit z_p=x*z_h komme ich
über die part. Lsg. z_p zu y_p und dann zur allgemein Lsg. der
ursprünglichen DGL > Dennoch bleibt die Frage, wie man bei doppelter Nullstelle des
char.Polynoms zu einer part. Lsg kommt - je nach Beschaffenheit
der rechten Seite der DGL.
Hier würde ich "Variation der Konstanten" nehmen: wenn man
in der homogenen Lösung c*e^(2x) die Konstante c durch eine
Funktion von x ersetzt, und in die DGL einsetzt, ergibt sich
c'' * e^(2x) = p(x) e^(2x)
und damit c'' = p(x), hier lässt sich p (da es ein Polynom ist)
leicht integrieren und wir erhalten eine Lösung

P(x) * e^(2x)

wobei P''(x)=p(x) sei (zweimal integrieren sollte man auch für
eine viel weitere Funktionsklasse als nur Polynome hin bekommen).

Zugegeben: Glück gehabt (?), daß die entstehende DGL für c so
einfach war - für näheres sollte man wohl mal in ein "gewöhnliche
Differentialgleichungen"-Buch schauen, das hier waren nur
gesammelte Gedächtnisreste von früher :)

Gruß,
Detlef
Post by carlo berlingen
Gruß
Carlo
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Martin Vaeth
2018-05-18 07:30:41 UTC
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Post by carlo berlingen
Post by Detlef Müller
(1) y''-4y'+4y = p(x)e^(2x)
[p Polynom 2. Grades]
Post by carlo berlingen
Post by Detlef Müller
bietet sich ein Ansatz
y = (a x^2 + b x + c)*e^(2x), a,b,c, konstant.
an.
Das habe ich auch schon ausprobiert, aber es funktioniert nicht.
Ich denke, es liegt an der doppelten Nullstelle des char.Polynoms.
Richtig. Der sog. Resonanzfall. Bei doppelten Nullstellen muss man
den Ansatz mit "x" multiplizieren (bei dreifachen müsste man den
Faktor x^2 nehmen usw).
Uwe Weber
2018-05-18 10:44:46 UTC
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Post by Martin Vaeth
Richtig. Der sog. Resonanzfall. Bei doppelten Nullstellen muss man
den Ansatz mit "x" multiplizieren (bei dreifachen müsste man den
Faktor x^2 nehmen usw).
Nein, bei k-facher Nullstelle ist der "übliche" Ansatz auch mit x^k zu
multiplizieren.

Viele Grüße

Uwe
Martin Vaeth
2018-05-18 12:05:31 UTC
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Post by Uwe Weber
Post by Martin Vaeth
Richtig. Der sog. Resonanzfall. Bei doppelten Nullstellen muss man
den Ansatz mit "x" multiplizieren (bei dreifachen müsste man den
Faktor x^2 nehmen usw).
Nein, bei k-facher Nullstelle ist der "übliche" Ansatz auch mit x^k zu
multiplizieren.
Da hast Du natürlich recht. Ich übersah, dass der Ansatz nicht einmal
die einfache Nullstelle berücksichtigte.

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