Discussion:
Beweisführung korrekt?
(zu alt für eine Antwort)
Brigitte
2017-03-14 05:55:02 UTC
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Raw Message
Liebe Mitleser,

ich bitte um Hilfe bei einer Beweisführung, wo ich fürchte, dass mein "Beweis" keiner ist.
Hier die Übungs-Aufgabe, die aus dem Büchlein von Kevin Houston ("Wie man
mathematisch denkt") stammt:
"Zeigen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners oder Computers dass
die

siebte Wurzel aus 7! < achte Wurzel aus 8! " bzw.
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)

Mein Plan war, diese Ungleichung zunächst als wahr anzunehmen und
beide Seiten mit erlaubten Umformungen so umzuformen, dass eine leicht
als wahr erkennbare Aussage entsteht. Etwa so:

(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8) /* jetzt beide Seiten logarithmieren
1/7 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!)

diese Ungleichung bleibt sicher richtig, wenn statt 1/7 schreibe:

1/8 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!) (###)

und weiter:

(7!)^(1/8) < (8!)^(1/8)
1 < 8^(1/8) bzw.
1 < 8
-> wahre Aussage.

Beim Schritt (###) ist mir etwas mulmig. Darf ich das?
Ich fürchte Nein.

Wie beweist man dann die obige Ungleichung?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Viele Grüße
Brigitte
Carlo XYZ
2017-03-14 06:33:27 UTC
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Raw Message
Post by Brigitte
"Zeigen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners oder Computers dass
die
siebte Wurzel aus 7! < achte Wurzel aus 8! " bzw.
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)
Mein Plan war, diese Ungleichung zunächst als wahr anzunehmen und
beide Seiten mit erlaubten Umformungen so umzuformen, dass eine leicht
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8) /* jetzt beide Seiten logarithmieren
1/7 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!)
1/8 * ln(7!) < 1/8 * ln(8!) (###)
(7!)^(1/8) < (8!)^(1/8)
1 < 8^(1/8) bzw.
1 < 8
-> wahre Aussage.
Beim Schritt (###) ist mir etwas mulmig. Darf ich das?
Zu Recht! Das darfst du nicht, aber der Ansatz ist OK.
Post by Brigitte
Wie beweist man dann die obige Ungleichung?
Wäre für Hilfe sehr dankbar.
Du sollst ja eigentlich die Umkehrung zeigen, d.h. "von unten
nach oben", die Abschätzung sollte also "scharf" sein. Weiter:

1/7*(ln(1)+...+ln(7)) <? 1/8*(ln(1)+...+ln(7)+ln(8))

Nenne S = ln(1)+...+ln(7)

8/56*S = 7/56*S + 1/56*S <? 7/56*(S+ln(8)) = 7/56*S + 7/56*ln(8)

1/56*S <? 7/56*ln(8)

S <? 7*ln(8)

Ja, denn

S = ln(1)+...+ln(7) < 7*ln(7) < 7*ln(8)
l***@gmail.com
2017-03-14 07:08:29 UTC
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Raw Message
Post by Carlo XYZ
...
S = ln(1)+...+ln(7) < 7*ln(7) < 7*ln(8)
Hallo Carlo,

herzlichen Dank für Deine rasche Antwort.
Ich habe Deine Herleitung verstanden und ärgere mich ein wenig, dass
ich da nicht allein drauf gekommen bin. So viel hat nicht mehr gefehlt.
Dank Deiner Hilfe ist mir der Beweis jetzt klar - Schönes Beispiel.

Nochmals Danke und Grüße
Brigitte
K. Huller
2017-03-14 11:40:47 UTC
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Raw Message
Post by l***@gmail.com
Ich habe Deine Herleitung verstanden und ärgere mich ein wenig, dass
ich da nicht allein drauf gekommen bin. So viel hat nicht mehr gefehlt.
Dank Deiner Hilfe ist mir der Beweis jetzt klar - Schönes Beispiel.
Zur Logik:

Du müßtest im Prinzip bei jedem Umformungsschritt (x zu-x' und y zu y')
zeigen, daß die Aussage x<y *äquivalent* zu x'<y' ist, also das eine aus
dem anderen genauso folgt wie das andere aus dem einen. In deinem Fall
trifft das zu, da du nur mit streng monotenen Funktionen (Potenz,
Logarithmus, Fakultät) operierst. In anderen Fällen kann es aber sehr
mühsam werden.

Einfacher ist, 'x>=y richtig' (d.h. 'x<y falsch') zu unterstellen, und
daraus einen Widerspruch zu folgern. Dafür genügt es, bei jedem Schritt
zu zeigen, daß x'>=y' zwingend aus x>=y folgt; die Gegenrichtung kann
entfallen.
Carlos Naplos
2017-03-14 12:50:59 UTC
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Raw Message
Post by K. Huller
Post by l***@gmail.com
Ich habe Deine Herleitung verstanden und ärgere mich ein wenig, dass
ich da nicht allein drauf gekommen bin. So viel hat nicht mehr gefehlt.
Dank Deiner Hilfe ist mir der Beweis jetzt klar - Schönes Beispiel.
Du müßtest im Prinzip bei jedem Umformungsschritt (x zu-x' und y zu y')
zeigen, daß die Aussage x<y *äquivalent* zu x'<y' ist, also das eine aus
dem anderen genauso folgt wie das andere aus dem einen.
Nein. Das müsstest Du nicht.
Es genügt aus etwas Wahrem (1 < 8) das zu beweisende zu folgern.

Genau wie Carlo geschrieben hat, muss von unten nach oben gefolgert
werden können.
Von oben nach unten ist Heuristik, um die passende wahre Aussage zu finden.

Gruß
CN
K. Huller
2017-03-15 11:55:06 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Post by K. Huller
Du müßtest im Prinzip bei jedem Umformungsschritt (x zu-x' und y zu y')
zeigen, daß die Aussage x<y *äquivalent* zu x'<y' ist, also das eine aus
dem anderen genauso folgt wie das andere aus dem einen.
Nein. Das müsstest Du nicht.
Es genügt aus etwas Wahrem (1 < 8) das zu beweisende zu folgern.
Genau wie Carlo geschrieben hat, muss von unten nach oben gefolgert
werden können.
Von oben nach unten ist Heuristik, um die passende wahre Aussage zu finden.
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind. Und dann kann man
das auch gleich explizit sagen.
Carlos Naplos
2017-03-15 18:04:54 UTC
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Raw Message
Post by K. Huller
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind.
Nein. Das muss nicht sein.

Gerade bei Abschätzungen kommt es häufig vor, dass sie nur in einer
Richtung gelten.

Gruß
CN
K. Huller
2017-03-17 13:26:54 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
Post by K. Huller
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind.
Nein. Das muss nicht sein.
Gerade bei Abschätzungen kommt es häufig vor, dass sie nur in einer
Richtung gelten.
Gruß
CN
Natürlich,

Aber die oben beschriebene Methode (aus der zu beweisenden Behauptung
eine 'wahren Aussage' folgern und dann von dieser zurück die Behauptung)
klappt nur, wenn die Umformungen solche zwischen Äquivalenzen sind.

Weil das erheblich erschwerend sein kann, wurde ja die indirekte
Beweisführung entwickelt: starte mit 'Behauptung falsch' und folgere
daraus irgendetwas Falsches.
Carlo XYZ
2017-03-17 16:22:00 UTC
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Raw Message
Post by K. Huller
Aber die oben beschriebene Methode (aus der zu beweisenden Behauptung
eine 'wahren Aussage' folgern und dann von dieser zurück die Behauptung)
klappt nur, wenn die Umformungen solche zwischen Äquivalenzen sind.
Auch das ist falsch, da du "folgern" im mathematischen Sinn verstehst.
Der von Brigitte vorsichtigerweise als "Umformen" und mit dem Zusatz
"durch erlaubte Umformungen" gekennzeichnete Ansatz ist hingegen OK.
Als Heuristik, wie dir schonmal erklärt wurde.
Post by K. Huller
Weil das erheblich erschwerend sein kann, wurde ja die indirekte
Beweisführung entwickelt: ..
Diese Kausalkette ist von vorne bis hinten allein deine Erfindung.

Bitte verpisse dich wieder in deine Heimatgruppe. Dort darfst du
von mir aus den großen Pool von Nichtblickern "bereichern".
Carlos Naplos
2017-03-18 13:08:47 UTC
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Raw Message
Post by K. Huller
Post by Carlos Naplos
Post by K. Huller
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind.
Nein. Das muss nicht sein.
Gerade bei Abschätzungen kommt es häufig vor, dass sie nur in einer
Richtung gelten.
Gruß
CN
Natürlich,
Aber die oben beschriebene Methode (aus der zu beweisenden Behauptung
eine 'wahren Aussage' folgern und dann von dieser zurück die Behauptung)
klappt nur, wenn die Umformungen solche zwischen Äquivalenzen sind.
Nein.

Ein Beispiel:
Beweise, dass es von London nach Glasgow mit dem Auto nicht mehr als 500
Meilen sind!

|G - L| < 500

("<" steht für kleiner oder gleich, weil "<=" mit einem Folgerungspfeil
verwechselt werden könnte.)

Du weißt, dass die Dreiecksungleichung
|G - L| < |H - L| + |G - H|
gilt.

Da Du aus Hull ;-) kommst, weißt Du, dass es von London nach Hull etwa
200 Meilen und von Hull nach Glasgow etwa 265 Meilen sind.

|H - L| + |G - H| = 200 + 265 < 500

Aus dem Wissen, dass es von London nach Glasgow etwa 400 Meilen sind,
könntest Du jedoch keine logischen Schlüsse über die Entfernungen London
- Hull oder Hull - Glasgow ziehen.

Gruß
CN
H0Iger SchuIz
2017-03-18 13:36:52 UTC
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Raw Message
Post by Carlos Naplos
("<" steht für kleiner oder gleich, weil "<=" mit einem Folgerungspfeil
verwechselt werden könnte.)
$\leq$ kann man mit $\Leftarrow$ verwechseln? Man wundert sich immer
wieder.

hs
Detlef Müller
2017-03-18 17:34:08 UTC
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Raw Message
Post by K. Huller
Post by Carlos Naplos
Post by K. Huller
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind.
Nein. Das muss nicht sein.
Gerade bei Abschätzungen kommt es häufig vor, dass sie nur in einer
Richtung gelten.
Gruß
CN
Natürlich,
Aber die oben beschriebene Methode (aus der zu beweisenden Behauptung
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Post by K. Huller
eine 'wahren Aussage' folgern und dann von dieser zurück die Behauptung)
klappt nur, wenn die Umformungen solche zwischen Äquivalenzen sind.
Nein.
Ein Beispiel: [...]
Inwiefern trifft auf Dein Beispiel die von Carlos erwähnte Methode
zu, auf die sich seine Aussage bezieht?

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Carlos Naplos
2017-03-19 08:14:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Detlef Müller
Post by K. Huller
Post by Carlos Naplos
Post by K. Huller
So kann man es auch sehen. Aber klappen tut es (das Finden der passenden
wahren Aussage) auf diese Weise halt nur, wenn bei jedem
Umformungsschritt die zwei Aussagen äquivalent sind.
Nein. Das muss nicht sein.
Gerade bei Abschätzungen kommt es häufig vor, dass sie nur in einer
Richtung gelten.
Gruß
CN
Natürlich,
Aber die oben beschriebene Methode (aus der zu beweisenden Behauptung
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Post by K. Huller
eine 'wahren Aussage' folgern und dann von dieser zurück die Behauptung)
klappt nur, wenn die Umformungen solche zwischen Äquivalenzen sind.
Nein.
Ein Beispiel: [...]
Inwiefern trifft auf Dein Beispiel die von Carlos erwähnte Methode
(nebenbei: Die Methode wurde von K. Huller erwähnt, das Beispiel ist von
Carlos.)
Post by Detlef Müller
zu, auf die sich seine Aussage bezieht?
Tut es natürlich nicht. Danke für den Hinweis.

Wenn die Methode fordert, eine zur qed-Aussage äquivalente Aussage als
Ausgangspunkt für den Beweis zu finden, dann ist das so.

Das Beispiel zeigt, dass eine solche Äquivalenz-Methode nicht notwendig ist.
Der von mulmigen Gefühlen begleite Beweisversuch der OP stellt die
Methode in Frage, weil sie vom Wesentlichen - dem "Rückweg" - ablenkt.

Gruß
CN
Carlo XYZ
2017-03-19 09:18:27 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlos Naplos
Der von mulmigen Gefühlen begleite Beweisversuch der OP stellt die
Methode in Frage, weil sie vom Wesentlichen - dem "Rückweg" - ablenkt.
Eher hinlenkt.

Das "Jetzt vergessen wir mal, wie wir auf die Lösung gekommen sind und
zaubern sie stattdessen aus dem Hut" mag einige Hardcore-Mathematiker
begeistern, ist aber didaktisch fragwürdig.
Hans Crauel
2017-03-19 19:56:44 UTC
Permalink
Raw Message
Carlo XYZ schrieb
Post by Carlo XYZ
Post by Carlos Naplos
Der von mulmigen Gefühlen begleite Beweisversuch der OP stellt die
Methode in Frage, weil sie vom Wesentlichen - dem "Rückweg" - ablenkt.
Eher hinlenkt.
Das "Jetzt vergessen wir mal, wie wir auf die Lösung gekommen sind und
zaubern sie stattdessen aus dem Hut" mag einige Hardcore-Mathematiker
begeistern, ist aber didaktisch fragwürdig.
Mathematik (machen) und Didaktik der Mathematik (Ziel: lernen) sind zwei
Paar Schuhe.

Eine gute Hinfuehrung zum Loesen von Uebungsaufgaben gibt Manfred Lehn,
zu finden u.a. unter
<math.fu-berlin.de/altmann/LEHRE/lehn_Mainz.pdf>

Hans Crauel
Carlo XYZ
2017-03-19 21:07:33 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans Crauel
Post by Carlo XYZ
Das "Jetzt vergessen wir mal, wie wir auf die Lösung gekommen sind und
zaubern sie stattdessen aus dem Hut" mag einige Hardcore-Mathematiker
begeistern, ist aber didaktisch fragwürdig.
Mathematik (machen) und Didaktik der Mathematik (Ziel: lernen) sind zwei
Paar Schuhe.
Eher links und rechts vom gleichen Paar. Heuristische Überlegungen können
einerseits das Mathematik (machen) unterstützen. Andererseits steht dann
die Aufgabe an, erhaltene Ergebnisse didaktisch aufzubereiten (d.h.: gut zu
motivieren und lesbar darzustellen) und zu publizieren.
Carlo XYZ
2017-03-19 21:51:18 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans Crauel
Eine gute Hinfuehrung zum Loesen von Uebungsaufgaben gibt Manfred Lehn
... <math.fu-berlin.de/altmann/LEHRE/lehn_Mainz.pdf>
Sicher sinnvoll (wenn auch etwas länglich) für Anfänger.

Darum ging es mir hier aber nicht, sondern darum, dass Carlos N.,
wenn ich ihn richtig verstanden habe, eine anständige Heuristik
als "Ablenkung vom Wesentlichen" bezeichnete.
Helmut Richter
2017-03-19 22:02:31 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans Crauel
Carlo XYZ schrieb
Post by Carlo XYZ
Post by Carlos Naplos
Der von mulmigen Gefühlen begleite Beweisversuch der OP stellt die
Methode in Frage, weil sie vom Wesentlichen - dem "Rückweg" - ablenkt.
Eher hinlenkt.
Das "Jetzt vergessen wir mal, wie wir auf die Lösung gekommen sind und
zaubern sie stattdessen aus dem Hut" mag einige Hardcore-Mathematiker
begeistern, ist aber didaktisch fragwürdig.
Da stimme ich zu. Ich würde aber Heuristik (die Lösung finden) und
Didaktik (die Lösung anderen erklären oder sie verständlich
aufschreiben) noch einmal voneinander trennen:

- In der Heuristik ist *alles* erlaubt, wenn man so auf die Lösung
kommt, auch nicht-äquivalente Umformungen, zweifelhafte Methoden und
anderes. Wenn ich durch x dividieren will, mache ichs, obs nun Null ist
oder nicht. Wenns fertig ist, muss es richtig sein, aber erst dann. Wenn
ich zwischendurch durch x dividiert habe, überlege ich mir, obs richtig
war: (1) War die Division für die Lösung gar nicht nötig? (2) Hilft eine
Fallunterscheidung, ob x Null ist? (3) Kann aus irgendeinem Grund x gar
nicht Null sein? Oder. Oder. Diese Skrupel *muss* ich haben, aber nicht
in dem Moment, in dem ich der Ansicht bin, dass die Division durch x
mich der Lösung näherbringt.

- In der Didaktik sind solche Methoden nicht angebracht, weil es
verwirrend ist, wenn Richtiges und Falsches durcheinander erzählt wird
und man erst am Schluss erfährt, was von dem Erzählten ernstgemeint war.

Deswegen muss man noch lange nicht die Lösung aus dem Hut zaubern, was
ich auch verabscheue. Manchmal kanns allerdings auch angebracht sein,
die Lösung erstmal komplett zu präsentieren, und danach ein paar
herausgegriffene Details didaktisch nachzuzeichnen.

Ein Musterbeispiel einer fragwürdigen Herleitung:

Ich will die Differentialgleichung y' = sin y lösen, suche also eine
Funktion, deren Ableitung gleich ihrem Sinus ist. Also:

dy/dx = sin y

Jetzt mit auf beiden Seiten mit dx/(sin y) multiplizieren:

1/(sin y) dy = dx

Jetzt auf beiden Seiten integrieren:

Integral 1/(sin y) dy = Integral dx = x

Jetzt ist aus der Differentialgleichung ein unbestimmtes Integral
geworden, noch dazu eines, das sich elementar lösen lässt (tan y/2
substituieren hilft immer). Und davon die Umkehrfunktion. Fertig.

Wenn man nicht sehr viel mehr von Mathematik versteht als der
Durchschnittsstudent mitbekommt, war jeder Schritt falsch. Macht nichts.
Dass die Lösungsschar aus Lösungen der DGl besteht, kann man auf einem
anderen Weg zeigen; dass es dann *alle* Lösungen sind, dazu braucht es
allerdings mehr.
Post by Hans Crauel
Mathematik (machen) und Didaktik der Mathematik (Ziel: lernen) sind zwei
Paar Schuhe.
Eine gute Hinfuehrung zum Loesen von Uebungsaufgaben gibt Manfred Lehn,
zu finden u.a. unter
<math.fu-berlin.de/altmann/LEHRE/lehn_Mainz.pdf>
Beide Aufsätze (Übungsaufgaben und Seminarvorträge) sind hervorragend.
Ich habe selten etwas gelesen, das die Methodik der Aneignung und der
Darstellung der Mathematik so gut zusammenstellt.
--
Helmut Richter
Carlo XYZ
2017-03-20 06:48:52 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Helmut Richter
Post by Hans Crauel
Post by Carlo XYZ
Das "Jetzt vergessen wir mal, wie wir auf die Lösung gekommen sind und
zaubern sie stattdessen aus dem Hut" mag einige Hardcore-Mathematiker
begeistern, ist aber didaktisch fragwürdig.
Da stimme ich zu. Ich würde aber Heuristik (die Lösung finden) und
Didaktik (die Lösung anderen erklären oder sie verständlich
Im Prinzip stimme ich hier ebenfalls zu, für mich umfasst Didaktik
aber mehr, als nur Lösungen anderen erklären oder gut aufschreiben,
sondern auch noch die Lehre über mögliche Methoden der Lösungsfindung,
also eben die Heuristik. Für die Schule, wo nicht alle freiwillig Mathematik
betreiben, finde ich das besonders wichtig, aber auch fürs Studium.
(Klar, dass es eine allgemeingültige und immer zum Ziel führende
Lehre dieser Art nicht wirklich gibt.)
Post by Helmut Richter
Post by Hans Crauel
<math.fu-berlin.de/altmann/LEHRE/lehn_Mainz.pdf>
Beide Aufsätze (Übungsaufgaben und Seminarvorträge) sind hervorragend.
Ich habe selten etwas gelesen, das die Methodik der Aneignung und der
Darstellung der Mathematik so gut zusammenstellt.
Netter Text. Mich stören etwas die blumige Apodiktik und dass die
Lösungsfindung zwar erwähnt wird, explizit aber größtenteils beim
Bäcker bzw. unter der Dusche, im Schlaf oder im privaten Kreis
vorkommt, aber eben nicht als schriftlicher, sachlicher Teil einer
Lösung und eher implizit als Teil der Lehre.
Den Seminartext (gerade erst gelesen) finde ich auch gut. Er mischt
generelle Anmerkungen mit welchen, die i.W. nur für mathematische
Vorträge gelten und ist Beamervorträgen gegenüber m.E. etwas unfair.
Auch sind wichtige Dinge wie die möglichste inhaltliche Unabhängigkeit
von Folien ganz weggelassen. YMMV.
Carlo XYZ
2017-03-14 16:47:14 UTC
Permalink
Raw Message
Ich ... ärgere mich ein wenig, dass
ich da nicht allein drauf gekommen bin. So viel hat nicht mehr gefehlt.
Geht mir manchmal so, wenn ich im Schach besser stehe,
den Vorteil aber nicht verwerten kann und durch Zeit verliere.

Dann freut sich halt der/die Andere.
Schönes Beispiel.
Finde ich auch.
Burkart Venzke
2017-03-15 07:24:20 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlo XYZ
Geht mir manchmal so, wenn ich im Schach besser stehe,
den Vorteil aber nicht verwerten kann und durch Zeit verliere.
Welcher Turnierschachspieler kennt das nicht, zumindest ich auch sehr gut ;)
Wobei es bei mir da meist lange Partien sind, so dass beim Nahen der
Zeitkontrolle langsam schneller spielen muss und so Fehler mache.
(Beim Blitzen habe ich das Problem irgendwie nicht.)

Von wegen Brett vorm Kopf:
Ich hatte man eine nette Schachaufgabe, die ich einen Abend lang nicht
lösen konnte. Den nächsten Morgen hatte ich dann schnell die Lösung -
half das Unterbewusstein in der Nacht...?

Ach ja, das war folgende Aufgabe:
"11. Matt in 8 Zügen aus der Grundstellung heraus
Weiß zieht nur mit einer Figur, Schwarz gar nicht, außer wenn er im
Schach steht. Hinweis: Nur ein Bauer, der umwandeln darf, oder ein
Springer kommen in Betracht."
(Aus http://www.sknorderstedt.de/raetsel.htm)

Gruß, Burkart
Carlo XYZ
2017-03-15 14:02:04 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Burkart Venzke
Ich hatte man eine nette Schachaufgabe,
^^^
Hamburg?
Post by Burkart Venzke
die ich einen Abend lang nicht
lösen konnte. Den nächsten Morgen hatte ich dann schnell die Lösung -
half das Unterbewusstein in der Nacht...?
Das funktioniert bei mir meist andersrum: um 3 Uhr Nachts ist die
Lösung "sonnenklar", am nächsten Tag dann weg; oder fehlerhaft.
Post by Burkart Venzke
"11. Matt in 8 Zügen aus der Grundstellung heraus
Weiß zieht nur mit einer Figur, Schwarz gar nicht, außer wenn er im
Schach steht."
Finde ich schwer. Mit 2 Figuren ist es einfacher:
Bauer fesselt Dame auf c8, Springer setzt auf c7 matt.
Burkart Venzke
2017-03-15 19:54:03 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlo XYZ
Post by Burkart Venzke
Ich hatte man eine nette Schachaufgabe,
^^^
Hamburg?
Fast, Norderstedt (-> Aufgabe von unserer Vereinshomepage) ;)
...aber immerhin in Hamburg geboren...
...auch wenn das mehr ein Schreibfehler war ("mal").
Post by Carlo XYZ
Post by Burkart Venzke
die ich einen Abend lang nicht
lösen konnte. Den nächsten Morgen hatte ich dann schnell die Lösung -
half das Unterbewusstein in der Nacht...?
Das funktioniert bei mir meist andersrum: um 3 Uhr Nachts ist die
Lösung "sonnenklar", am nächsten Tag dann weg; oder fehlerhaft.
Vielleicht war die Lösung dann in der Nacht nur scheinbar richtig?
Post by Carlo XYZ
Post by Burkart Venzke
"11. Matt in 8 Zügen aus der Grundstellung heraus
Weiß zieht nur mit einer Figur, Schwarz gar nicht, außer wenn er im
Schach steht."
Bauer fesselt Dame auf c8, Springer setzt auf c7 matt.
Sie soll ja auch nicht zu einfach sein. Mindestens ein Aha-Effekt kann
auch nicht schaden ;)

Gruß, Burkart
Carlo XYZ
2017-03-15 21:34:16 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Burkart Venzke
Vielleicht war die Lösung dann in der Nacht nur scheinbar richtig?
Who knows ..
Post by Burkart Venzke
Sie soll ja auch nicht zu einfach sein. Mindestens ein Aha-Effekt kann
auch nicht schaden ;)
Es geht via Turm auf b8 durch den d-Bauern; sehr nett und eindeutig!
Burkart Venzke
2017-03-16 07:50:08 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlo XYZ
Post by Burkart Venzke
Vielleicht war die Lösung dann in der Nacht nur scheinbar richtig?
Who knows ..
Yep.
Post by Carlo XYZ
Post by Burkart Venzke
Sie soll ja auch nicht zu einfach sein. Mindestens ein Aha-Effekt kann
auch nicht schaden ;)
Es geht via Turm auf b8 durch den d-Bauern; sehr nett und eindeutig!
Sehr gut bzw. alles klar :)
Jens Kallup
2017-03-14 13:46:31 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Carlo XYZ
8/56*S = 7/56*S + 1/56*S <? 7/56*(S+ln(8)) = 7/56*S + 7/56*ln(8)
1/56*S <? 7/56*ln(8)
ach wie niedlich.
Brigitte hat es verstanden.
Dann kann Sie vielleicht auch darlegen, wie Brigitte zum Beweis kam im
Kontext auf 8/56
??
Hans Crauel
2017-03-14 12:48:16 UTC
Permalink
Raw Message
Brigitte schrieb
Post by Brigitte
"Zeigen Sie ohne Verwendung eines Taschenrechners oder Computers dass
die
siebte Wurzel aus 7! < achte Wurzel aus 8! " bzw.
(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)
Mein Plan war, diese Ungleichung zunÀchst als wahr anzunehmen und
beide Seiten mit erlaubten Umformungen so umzuformen, dass eine leicht
als wahr erkennbare Aussage entsteht.
Fuer die Ueberlegung ist das in Ordnung. Ganz am Ende sollte man das
aber `richtig rum' aufschreiben, also von einer richtigen Aussage
startend die Behauptung herleiten. Ein Beispiel ohne Logarithmen:

Offenbar ist
7! < 8^7
Multiplikation mit (7!)^7 (was positiv ist) gibt
(7!)^8 [= 7! * (7!)^7] < (7!)^7 * 8^7 = (7! * 8)^7 = (8!)^7

Die Aussage folgt mit der 7ten und 8ten Wurzel.

Hans Crauel
Brigitte
2017-03-14 13:48:36 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Hans Crauel
Offenbar ist
7! < 8^7
Multiplikation mit (7!)^7 (was positiv ist) gibt
(7!)^8 [= 7! * (7!)^7] < (7!)^7 * 8^7 = (7! * 8)^7 = (8!)^7
Bis hierhin ist mir alles klar.
Post by Hans Crauel
Die Aussage folgt mit der 7ten und 8ten Wurzel.
Das ist mit nicht klar - da hab ich ein Brett vorm Kopf.
Post by Hans Crauel
Hans Crauel
mfg
Brigitte
Hans CraueI
2017-03-14 15:01:57 UTC
Permalink
Raw Message
Brigitte schrieb
Post by Brigitte
Post by Hans Crauel
Offenbar ist
7! < 8^7
Multiplikation mit (7!)^7 (was positiv ist) gibt
(7!)^8 [= 7! * (7!)^7] < (7!)^7 * 8^7 = (7! * 8)^7 = (8!)^7
Bis hierhin ist mir alles klar.
Post by Hans Crauel
Die Aussage folgt mit der 7ten und 8ten Wurzel.
Das ist mit nicht klar - da hab ich ein Brett vorm Kopf.
Nimm die 56te Potenz der urspruengliche Ungleichung
(erst hoch 8, dann hoch 7, oder umgekehrt). Jetzt?

Hans Crauel
Carlo XYZ
2017-03-14 21:14:42 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Brigitte
Post by Hans Crauel
Offenbar ist
7! < 8^7
Multiplikation mit (7!)^7 (was positiv ist) gibt
(7!)^8 [= 7! * (7!)^7] < (7!)^7 * 8^7 = (7! * 8)^7 = (8!)^7
Bis hierhin ist mir alles klar.
Post by Hans Crauel
Die Aussage folgt mit der 7ten und 8ten Wurzel.
Das ist mit nicht klar - da hab ich ein Brett vorm Kopf.
Er hat hergeleitet:

(7!)^8 < (8!)^7

Daraus die 56-te Wurzel genommen:

(7!)^(1/7) < (8!)^(1/8)

q.e.d.
Brigitte
2017-03-15 06:52:56 UTC
Permalink
Raw Message
Nochmals vielen Dank an alle für den wohlwollenden Nachhilfe-Unterricht :-))
Ich hab durch diese Hilfe wirklich was gelernt und bin ein Stück weiter.

Grüße
Brigitte
Brigitte
2017-03-21 07:05:56 UTC
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Raw Message
Hallo zusammen,

ich habe noch eine kleine Nachfrage zum Problem Beweisführung.
Ich hoffe, ich kann verständlich ausdrücken, was ich meine:
Wie "tief" bzw. wie weit muss man gehen, wenn ich etwas beweisen will?
In der Geometrie ist es so, dass bei manchen Beweisen etwas "aus der Anschauung" folgt und man damit dann die Beweiskette schließt. Auch da ist mir manchmal "mulmig", wenn ich in Schulbücher schaue.

Aber wie ist es bei algebraischen Beweisen?
Angenommen, es gelte (Voraussetzung): a > b.

Muss ich jetzt streng genommen beweisen, dass 2a > 2b ist, wenn ich das verwende? Einfach zu sagen: "Ist doch klar" geht nicht, wenn ein Dreizehnjähriger mir sagt: "Wieso? Beweis das!"

Und nebenbei: Wie beweise ich das so, dass ein (intelligenter) Dreizehnjähriger
das dann versteht? Falls die Frage zu blöd ist, bitte ich um Nachsicht. Aber das mit der "Tiefe" der Beweisführung beschäftigt mich schon eine ganze Weile ...

Viele Grüße
Brigitte
Martin Vaeth
2017-03-21 08:38:27 UTC
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Raw Message
Post by Brigitte
Wie "tief" bzw. wie weit muss man gehen, wenn ich etwas beweisen will?
Theoretisch so tief, bis nur noch die Axiome benutzt werden.
In der Praxis so tief, bis das "Füllen" der weggelassenen
Schritte für den Leser nur langweilige Routine ist.
Es gibt keine generelle Regel, wie tief das ist: In einem
mathematische Fachartikel überspringt man deutlich mehr
Schritte, als in der Lösung einer Übungsaufgabe für das
erste Semester, in der gerade diese elementaren Schritte
eingeübt werden sollen.
Generell kann man sagen, dass ein wichtiger "Allgemein-Skill"
in einem Mathematik-Studium darin besteht, ein Gespür dafür
zu bekommen, wie tief man für die jeweilige Zielgruppe
argumentieren muss.
Post by Brigitte
In der Geometrie ist es so, dass bei manchen Beweisen etwas
"aus der Anschauung" folgt und man damit dann die Beweiskette
schließt.
In der "klassischen" Geometrie gerade nicht: Dazu gibt es
z.B. die Euklidischen Axiome der Geometrie.
Post by Brigitte
Auch da ist mir manchmal "mulmig", wenn ich in Schulbücher schaue.
Schulbücher enthalten häufig leider keine ernsthafte Mathematik;
es mag Ausnahmen geben.
Post by Brigitte
Aber wie ist es bei algebraischen Beweisen?
Angenommen, es gelte (Voraussetzung): a > b.
Muss ich jetzt streng genommen beweisen, dass 2a > 2b ist
Es gibt zwei Axiome eines geordneten Körpers, die die
Verknüpfung der Körperoperationen + und * mit der
Ordnungsrelation beschreiben. Diese Axiome kann man z.B.
so formulieren:

Für alle a,b,c des geordneten Körpers gilt:
(1) a > b => a+c > b+c
(2) (a > b und c > 0) => ac > bc

Es ist z.B. eine erste Übungsaufgabe, daraus zu beweisen, dass aus
beiden Axiomen zusammen dann

(a > b und c < 0) => ac < bc

folgt. Und Letzteres wird man ab da dann vermutlich benutzen, ohne
es jedesmal erneut zu beweisen.
Post by Brigitte
Wie beweise ich das so, dass ein (intelligenter) Dreizehnjähriger
das dann versteht?
Wenn es sich um etwas handelt, das man üblicherweise als Axiom
zugrundelegt (so wie oben), wird es üblicherweise eben nicht bewiesen.
Man "beweist" Axiome i.d.R. höchstens einmalig für ein spezielles
Modell.

Ob die Einführung eines speziellen Modells für die reellen Zahlen
(z.B. über Dedekindsche Schnitte, Cauchy-Folgen oder
Intervallschachtelungen) für einen Dreizehnjährigen mehr Erkenntnisgewinn
bringt, als die Aufzählung der Axiome und deren "plausibel machen"
aufgrund der Anschauung (z.B. geometrisch oder über den Zahlenstrahl),
darf bezweifelt werden.

Allerdings kann man z.B. die Axiome für den geordneten Körper
der rationalen Zahlen verifizieren, wenn man für diesen z.B.
das Modell als teilerfremde Brüche a/b ganzer Zahlen mit b>0
einführt und dann die Ordnungsrelation definiert durch
a/b < c/d <=> ad < cb
Bei diesem Vorgehen hat man das Problem der "Beweise" der Axiome
aber strenggenommen nur reduziert auf die entsprechenden Axiome
der ganzen Zahlen. Will man diese ebenfalls nicht als axiomatisch
hinnehmen, kann man sie als Modell mit Hilfe der natürlichen Zahlen
beschreiben.
Sollen auch deren Axiome "bewiesen" werden, muss man sie z.B.
innerhalb der Mengenlehre modellieren. Spätestens dieser Schritt
ist allerdings für einen Dreizehnjährigen nicht mehr angemessen.
Irgendwo wird man letztlich immer mit einem Axiomensystem anfangen,
das nicht weiter bewiesen wird.
Carlo XYZ
2017-03-21 09:05:39 UTC
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Raw Message
Post by Brigitte
Aber wie ist es bei algebraischen Beweisen?
Angenommen, es gelte (Voraussetzung): a > b.
Muss ich jetzt streng genommen beweisen, dass 2a > 2b ist, wenn ich das
verwende?
It depends on the audience.
Ich möchte generell, auch bei mathematisch schon vorgebildeten
Lesern/Zuhörern, empfehlen, so etwas zu schreiben wie

"Aus 2a>2b [hier benutzen wir die Voraussetzung a>b] folgt .. blabla"

d.h., die Voraussetzungen bei den einzelnen Schritten möglichst genau
und explizit anzugeben. Davon profitiert sowohl ein 13-Jähriger, als
auch ein älterer Leser, dem diese Aussage "klar" oder "trivial" vorkommt.
Es stört mich z.B. bei Review-Arbeiten, wenn man bei Schritten in einem
Beweis, die man nicht direkt nachvollziehen kann, mühsam suchen muss,
welche Voraussetzungen (oder Zwischenergebnisse) es insgesamt gibt
und welche davon bei diesem Schritt gerade benutzt werden.

Wenn dein 13-Jähriger dann immer noch sagt "Wieso? Beweis das!", dann
hilft wohl nur, einen Schritt zurück zu machen (sozusagen als Subroutine)
und irgendwie erklären, warum das gilt. Für ungeduldige 13-Jährige kann
das leider wirklich zu einer Geduldsprobe werden. Zudem ist nicht ganz
klar, auf welche Weise man das am besten macht. Angeordnete Körper
(wie Martin Vaeth gerade argumentiert, wenn ich es richtig sehe) sind
natürlich OK, Gruppen und allgemeine Kongruenzen kommen mir auch
in den Sinn.

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