Discussion:
Wie sind gegebene Gleichungen mit komplexen Unbekannten zu verstehen?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2017-05-11 20:02:56 UTC
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Hallo,

es tut mir leid, aber auch nach etwas längerer Recherche habe ich bisher
noch keine Antwort auf meine Frage unten gefunden. Vielleicht habe ich nicht
die richtigen Bücher und Stichwörter. Könnt Ihr bitte helfen?

Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen Unbekannten,
wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder bezeichnen sie die
mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen Logarithmen
in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0

Danke.
Jens Kallup
2017-05-11 22:18:13 UTC
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Post by IV
Hallo,
es tut mir leid, aber auch nach etwas längerer Recherche habe ich bisher
noch keine Antwort auf meine Frage unten gefunden. Vielleicht habe ich
nicht die richtigen Bücher und Stichwörter. Könnt Ihr bitte helfen?
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Danke.
Hallo IV,

Was gibt es da nicht zu verstehen?

Als Gleichung würd ein natürlicher ln von z zum Beispiel: e^w = z
erfüllen:
z E |C \{0}

Im Unterschied ist w nicht zum reelen ln nicht eindeutig bestimmt, da
e^2 ^k ^pi ^i = 1 ist.

Die |C f(w) = Ln(z) = die Umkehrfunktion von z = exp(w).
Es gilt:
Ln(z) = ln(r) + i(φ + 2πk).

Aufgrund der Periodizität der Exponentialfunktion ist φ nur bis auf
Vielfache von 2π bestimmt.
Man sagt, Ln besitzt unendlich viele Zweige.
Ein Standardbereich (Hauptzweig) ist:

φ = arg(z) ∈ (−π,π], k = 0 .

Dann erhält man
1^(1/3) + ln(1) + 1 = 0
1 + 1 + 1 = 0
2 + 1 = 0 | minus 2
0 + -1 = -2 | plus 2
1 = 0 | div k = 1/3
0,3 = 0

Gruß
Jens
IV
2017-05-13 13:49:47 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Was gibt es da nicht zu verstehen?
Als Gleichung würde ein natürlicher ln von z zum Beispiel: e^w = z
erfüllen: z E |C \{0}
Im Unterschied zum reellen ln ist w nicht eindeutig bestimmt, da e^2 ^k
^pi ^i = 1 ist.
Für diese Multifunktion hat man doch aber eigentlich Ln zu schreiben, und
nicht ln. Oder?

Wenn der Kontext, z. B. in einer Publikation, nicht gegeben ist, welche
Konventionen gelten dann?
Eigentlich hat man ja zu unterscheiden zwischen ln und Ln. Wobei Ln keine
Funktion ist, sondern eine Multifunktion. Was aber ist mit z. B. z^{1/3} und
a^z gemeint - die Funktion, oder die Multifunktion, bei z \in D \subset
\mathbb{C}? Die Unterscheidung durch Groß- oder Kleinschreibung ist hier ja
anders als beim Logarithmus nicht möglich. Welche Konventionen gelten dafür?
Jens Kallup
2017-05-13 14:13:53 UTC
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Post by IV
Für diese Multifunktion hat man doch aber eigentlich Ln zu schreiben,
und nicht ln. Oder?
Wenn der Kontext, z. B. in einer Publikation, nicht gegeben ist, welche
Konventionen gelten dann?
Eigentlich hat man ja zu unterscheiden zwischen ln und Ln. Wobei Ln
keine Funktion ist, sondern eine Multifunktion. Was aber ist mit z. B.
z^{1/3} und a^z gemeint - die Funktion, oder die Multifunktion, bei z
\in D \subset \mathbb{C}? Die Unterscheidung durch Groß- oder
Kleinschreibung ist hier ja anders als beim Logarithmus nicht möglich.
Welche Konventionen gelten dafür?
unter ln oder auch log (auf Taschenrechnern) kann man den common 10er
Logaritmus verstehen.
Also zur Basis 10

unter Ln versteht man den natürlichen Logaritmus zur Basis e = 2,71
der Eulerzahl.

log(10) = 1
ln(e) = 1

---------

z^{1/3} steht für eine Menge, die, wie jedes Kind weiss, unendlich ist.
Ich hab ja geschrieben "Periode", heißt:
_
1/3 = 0,3333.... oder z = {0,3}

oder: Null Periode 3


a^z steht für unbestimmte Potenz z, also a hoch n, wobei n |N sein kann.
das a kann ein Ausdruck (Term, der gekürzt wurde, oder Zahl, mit der
die Potenz gerechnet werden soll)

Auch hier gilt der Standard hoch ^z = 2
oder: hoch ^n n = 4

dann würde zum Beispiel:

2^2 = 2 * 2 = 4
2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16


kleiner Exkurs:
Die 2 is übrigends die kleinste Basis, die ein Computer versteht:
0 und 1 ergeben 2 Zustände.
Die 0 oder 1 wird hier auch kleinste Information als Bit bestimmt
8 solcher nullen und einsen ergeben 1 Byte, mit 1 Byte kann man
1 Zeichen darstellen.

Die Potenz 4 wird als doppelt angesehen.
Man brauch also nur noch 2^4 auf den Taschenrechner eingeben, um
die Zahl 2 mit 4 zu potenzieren.
Dies erleichtert natürlich die Arbeit und den Schreibaufwand sowie
die Ressourcen (A4 Blätter)

Ok, des dazu

Gruß
Jens
IV
2017-05-13 16:55:47 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Für diese Multifunktion hat man doch aber eigentlich Ln zu schreiben, und
nicht ln. Oder?
Wenn der Kontext, z. B. in einer Publikation, nicht gegeben ist, welche
Konventionen gelten dann?
Eigentlich hat man ja zu unterscheiden zwischen ln und Ln. Wobei Ln keine
Funktion ist, sondern eine Multifunktion. Was aber ist mit z. B. z^{1/3}
und a^z gemeint - die Funktion, oder die Multifunktion, bei z \in D
\subset \mathbb{C}? Die Unterscheidung durch Groß- oder Kleinschreibung
ist hier ja anders als beim Logarithmus nicht möglich. Welche
Konventionen gelten dafür?
unter ln oder auch log (auf Taschenrechnern) kann man den common 10er
Logaritmus verstehen.
Nun frug ich zwar "Welche Konventionen gelten dafür?" Aber alles hier ist
doch im Kontext des Betreffs und der Anfangsfrage gemeint.

Ich sehe jetzt: Gleichungen T(z,Ln(z))=0 und T(z,\ln(z))=0, T ein
mathematischer Term, scheinen irgendwie dieselbe Lösungsmenge zu haben.
Könnt Ihr das bestätigen?
Warum muß das so sein?
Dann ist es also egal, ob man in einer Gleichung "ln(z)" oder "Ln(z)"
schreibt?
Jens Kallup
2017-05-13 20:45:02 UTC
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Post by IV
Nun frug ich zwar "Welche Konventionen gelten dafür?" Aber alles hier
ist doch im Kontext des Betreffs und der Anfangsfrage gemeint.
steht doch im Text - klein "ln" - 10ner Basis = dekadisch
groß "Ln" - natürlich - in e = 2.71
Post by IV
Ich sehe jetzt: Gleichungen T(z,Ln(z))=0 und T(z,\ln(z))=0, T ein
mathematischer Term, scheinen irgendwie dieselbe Lösungsmenge zu haben.
Könnt Ihr das bestätigen?
Warum muß das so sein?
Dann ist es also egal, ob man in einer Gleichung "ln(z)" oder "Ln(z)"
schreibt?
T(Beschreibung) = 0

linke Seite beschreibt einen Tern bzw. Rechenanwendung.
Dies kann sein:

1,) 1 + 2 = T(1 + 2) = T(3) = 3
2,) 1 - 1 = T(1 - 1) = T(0) = 0

für T kann dann eingesetzt werden:

3 = 0 oder
0 = 0

wobei 3 = 0 richtig sein kann !!!

Beispiel (3 = 0):
Elektrotechnik: Reihenschaltung mit 3 Baugruppen (Widerstände, mit
dennen eine Messung vorgenommen werden soll). Dort kann auf den
Meßpunkt -A die Große 3 und an den Meßpunkt +B 0 gemessen werden,
da ja Widerstände die Stromstärke verringern, aber noch eine Restmenge
an Strom vorhanden ist, der kaum spürbar ist, aber als Null(strom)linie
bezeichnet wird.
Als Vergleich dazu kann in der Physik die kleinsten aller Teilchen, die
Quanten zu rate nehmen.
Denn diese kann man kaum als solche messen, sie sind vorhanden und haben
daher eine Ladung. Wir entnehmen uns immer ein Stückchen von den blupper
Blasen an Energie und können dann einen Augeblichk lang begeistert
staunen, das aus dem vermeintlichen "Nichts" Energie entsteht.

Beispiel (0 = 0): Nullstellenberechnung.

Damit kann ich Dir also nur "halbwegs" bestätigen, da, wie Du schon
schreibst, der Kontext wichtig ist.

Egal ist 88 und ergibt keine richtige Lösung.
ln(z) beschreibt was anderes als
Ln(z) !!!

für ln(z), schreib lieber log(z) - nur Empfehlung von mir, muss man
nicht.

Wenn da eine Aufgabe ist, die rechts und links das selbe Ergebnis
liefert, dann hast halt Glück.
Wobei auch wieder zu beachten ist, wenn man mit Konstanten arbeitet:

T(Pi) = 3,14

Manchmal gilt das T nicht allgemein als Term, sondern as boolsches
TRUE !!!
Somit ist "T(Pi) = TRUE(PI)" : womit man 1 = 1 oder 0 = 0 setzen kann
und die Aufgabe/Aussage:

T(Pi) = TRUE(Pi)
T(Pi) = TRUE(3,14)
T(3,14) = TRUE(3,14)
1 = 1

somit war ist.
Natürlich kann man sich die letzten 2 Überlegungen sparen, da ja schon
in der ersten erkennbar ist, das beide Seiten gleich und damit aus-
blanciert, das gleiche Ergebnis liefert.

Wenn man nun davon ausgehen will, das nach Definition für sich stehende
Konstanten auf Null "0" gesetzt werden, dann ergibt T(Pi) = 0 natürlich
nicht 1 = 0, sondern: 0 = 0 (da Anfangs nicht bekannt ist womit Pi
belegt/zugewiesen ist).

Also Ergbnis gleich TRUE, obgleich FALSE !!!

Das mag zwar jetzt ein wenig verwirren.
Aber sage mal, das nach einigen Überlegungen die obigen Aussagen klar
sein sollten.

Tja, und zu guter letzt, die dritte Möglichkeit - hab das schon oben
erwähnt:

T(n) = 0 n E |N > 0

n = 1 = T(1) = 0 1 = 0 = FALSE

Gruß
Jens
IV
2017-05-13 21:06:29 UTC
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Post by Jens Kallup
unter ln oder auch log (auf Taschenrechnern) kann man den common 10er
Logaritmus verstehen.
steht doch im Text - klein "ln" - 10ner Basis = dekadisch groß "Ln" -
natürlich - in e = 2.71
ln/log auf Taschenrechnern: Irgendwo habe ich gelesen, daß solche falschen
Funktionssymbole auf Taschenrechnern oftmals von den Marketingabteilungen
vorgegeben werden - aus falschem oder fehlendem mathematischem Verständnis.
Ich möchte aber wissen, wie die Konventionen in der Mathematik sind. Da ist
log_2 = ld, log_10 = lg, und log_e = ln. Aber darum gehr es hier nicht.

ln und Ln haben zwar denselben Wertebereich, aber unterschiedliche
Definitionsbereiche. Ist also der kleingeschriebene Logarithmus ln in einer
Gleichung mit komplexem Definitionsbereich immer die Logarithmus-Funktion?
Es wär' nett wenn Ihr dazu antworten könntet. Meine Mathematikbücher und
Recherchestichwörter geben das nicht her.
Roland Franzius
2017-05-14 08:28:58 UTC
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Post by IV
Post by Jens Kallup
unter ln oder auch log (auf Taschenrechnern) kann man den common 10er
Logaritmus verstehen.
steht doch im Text - klein "ln" - 10ner Basis = dekadisch groß "Ln" -
natürlich - in e = 2.71
ln/log auf Taschenrechnern: Irgendwo habe ich gelesen, daß solche
falschen Funktionssymbole auf Taschenrechnern oftmals von den
Marketingabteilungen vorgegeben werden - aus falschem oder fehlendem
mathematischem Verständnis.
Ich möchte aber wissen, wie die Konventionen in der Mathematik sind. Da
ist log_2 = ld, log_10 = lg, und log_e = ln. Aber darum gehr es hier nicht.
ln und Ln haben zwar denselben Wertebereich, aber unterschiedliche
Definitionsbereiche. Ist also der kleingeschriebene Logarithmus ln in
einer Gleichung mit komplexem Definitionsbereich immer die
Logarithmus-Funktion?
Es wär' nett wenn Ihr dazu antworten könntet. Meine Mathematikbücher und
Recherchestichwörter geben das nicht her.
Kleiner Ausflug in die Mathematik:

Definition des log als Stammfunktion von 1/x mit Wert 0 in x=1

log(x) = int_1^x du/u, x > 0

Als Logarithmus zur Basis b wird der Quotient

log(b,x) = log(x)/log(b), x>0, b>0

bezeichnet.

Der Wertebereich des natürlichen log auf der poitiven reellen Achse ist

-oo <log(x) <oo

denn

log(1/x) = int_1^(1/x) du/u, x > 0

mit Substitution u->1/v, du -> -1/v^2 dv (1<u<x) -> (1/x <v <1)

log(1/x) = int_1^(1/x du/u, x > 0
= - int_1^x dv/v
= -log(x)

Die Produktregel ergibt sich durch Auftrennung des Integrationsweges
1->ab = 1->a + a->ab

a,b,ab >0:

log (a b) = int_1^a*b du/u
= int_1^a du/u + int_a^ab du/u
= log(a) + int_1^b (d (a u)/(a u))
= log (a) + log (b)

Die letzte Gleichung ist falsch auf Wegen in der komplexen Ebene, wenn
der zusammengesetze Weg aus den Wege 1-> a b und 1->a + a -> ab, den
Nullpunkt umrundet.

Die Umkehrfunktion heißt exp:

exp(log x) = x x>0 reell

log(exp(x)) = x -oo < x < oo

Die allgemeine Potenz wird für positive Basis b über die
Exponetialfunktion definiert

b^x = exp(log (b) x) = exp(log(b))^x

und damit erklärt sich auch die Definition von lg x = log(x)/log(10)

b^(log(b,x)) = exp(log(x)) = x

Da der Integrand 1/x nur einen einfachen Pol in x=0 hat, hat man
Eindeutigkeit des log, wenn die komplexe Ebene zB auf der negativen
reelen Achse aufgeschnitten wird, so dass kein Integrationsweg den
Nullpunkt um 2^pi oder mehr umrunden kann.

Die Exponentialfunktion ist zunächst auf der ganzen reellen Achse
definiert. Dort ist sie unendlich oft differenzierbar wegen

exp' = (log'o exp)^(-1) = (exp^(-1))^(-1) =exp

Daraus resultiert trivialerweise ihre reelle Taylor-Reihenentwicklung
exp x = sum_k 1/k! x^k

Die Reihe konvergiert für jedes komplexe z und erbt von log das
Additionstheorem

log(a b) = log(a) + log(b) -> a b = exp(log(a)+log(b)) = exp(log(a))
exp(log (b))

oder mit weglassen von log
exp(a) epx(b) = exp (a+b)

Die Taylorreihe des log ist trivialerweise das Integral der
geometrischen Reihe

1/(1-x) = sum x^n (-1<x<1)

int_0^x (1/(1-u)) du = int_1^(1/(1-x)) du/u = -log(1-x) (0<x<1)
-log(1-x) = sum_k x^(k+1)/(k+1)

log(x) = -sum (1-x)^(1-x)/(k+1)

die ebenso wie die geometrische Reihe nur auf (-1<x<1) konvergiert.

Um den komplexen Logarithmus zu konstruieren, wird jedem Punkt in der
komplexen Ebene die Menge aller Wege von z=1 nach z = x+iy mit dem Wert
des Integrals über dz/z auf diesem Weg zugeordnet. Der Wert ist abhängig
von der Zahl der Umrundungen des Nullpunkt z=0 durch den Integrationsweg C

log_C ( x + i y) = int_C dz/z =
int_gradenWeg dz/z + 2pi i Windungszahl

Bezeichnet mit man phi=arctan (y/x) den Winkel des Strahls(0,0)->(x,y)
gegen die x-Achse, dann hat man

= int_1^(r e^(i phi)) dz/z + 2 n pi i
= log(r e^(i phi) + 2 n pi i
= log(r) + i ( phi + 2n pi )

Umgekehrt ist der arctan nichts anderes als ein log

arctan x = int_0^x du/(1+u^2) =
1/2 (int_0^x du/(1+iu) + int_0^x du/(1-iu)) =
i/2 (log (1-i x) -log(1+i x) = i/2 log((1-i x)/(1+i x))

mit der Taylorreihe, wieder aus der geometrischen Reihe gewonnen

int dx/(1+x^2) = int sum (-1)^n x^(2n) = int sum (-1)^n/(2n+1) x^(2n+1)

mit zwei Polen bei x=+-i

Nun setzt Berhard Riemann die Riemannsche Fläche als Definitonsbereich
des log zusammen. Er nimmt ein von -oo bis +oo durchnummeriertes
numeriertes Deck von Bättern identischer Exemplare der offenen komplexen
Ebene, aus der die Punkte z=0 und z=oo entfernt werden.

Die Blätter werden jeweils längs der negative Halbachse x+iy, x<0, y=0
aufgeschnitten und benachbarte Blätter paarweise n an n+1 bei positivem
Umlauf um den Nullpunkt längs des Schnitts verklebt. Der Wert des
Logarithmus ist der Wert auf Blatt n ist der Wert im Blatt 0 + 2pi i*
Nummer des Blatts.

Damit ist die Umkehrfunktion der exp-Funktion, die die Periodizität
exp(z + 2 pi i n) = exp(z) und damit über der komplexen Ebene nicht
global umkehrbar ist, auf der Riemann-Fläche des log eine eindeutige
Umkehrung.
--
Roland Franzius
IV
2017-05-14 10:23:40 UTC
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Post by IV
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
ln und Ln haben zwar denselben Wertebereich, aber unterschiedliche
Definitionsbereiche. Ist also der kleingeschriebene Logarithmus ln in
einer Gleichung mit komplexem Definitionsbereich immer die
Logarithmus-Funktion?
Es wär' nett wenn Ihr dazu antworten könntet. Meine Mathematikbücher und
Recherchestichwörter geben das nicht her.
Definition des log ...
Nun hast Du Dir so viel Arbeit gemacht. Sei mir bitte nicht böse, aber all
das steht ja in den Mathematikbüchern.

Ich aber möchte doch nur wissen:
Wie hat man ln(z) in einer Gleichung mit komplexem z zu interpretieren, wenn
dazu nichts Anderes angegeben ist? Immer als Hauptwert des Logarithmus, oder
immer als Ln(z)? Gibt es dafür eine Konvention?
(Oder sollte das doch in Deiner Antwort stehen? Tut mir leid, aber ich hab's
auf die Schnelle nicht gefunden. Könnt Ihr mir noch kurz sagen, wo das dort
steht?)
IV
2017-05-14 10:53:17 UTC
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Damit ist die Umkehrfunktion der exp-Funktion, die die Periodizität exp(z
+ 2 pi i n) = exp(z) und damit über der komplexen Ebene nicht global
umkehrbar ist, auf der Riemann-Fläche des log eine eindeutige Umkehrung.
Mein Ziel ist es, eine Antwort auf die Frage zu finden, ob die
"Funktionsbezeichner" (z. B. ln, ^(1/n), arcin) in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes dazu angegeben ist, Funktionen sind, oder
aber mehrwertige/mehrdeutige "Funktionen" (Multifunktionen), die ja keine
Funktionen sind.
Wenn man sich nicht nur auf die Hauptwerte beschränkt, sind die komplexen
"Funktionen" über einem Definitionsbereich \subset \mathbb{C} ja mehrwertig.
Über ihrer Riemannschen Fläche (keine Ahnung wie man mit diesem graphischen
Gebilde rechnet - bin kein Mathematiker) sind sie jedoch einwertig. Wie kann
man in der Riemannflächen-Darstellung zwischen einstelligen Funktionen mit
D --> \mathbb{C}^n und mehrstelligen Funktionen mit D^m --> \mathbb{C}^n (D:
Definitionsbereich, D \subset \mathbb{C}, m > 1) unterscheiden?

Gibt es auch Riemannsche Flächen für mehrstellige komplexe Funktionen mit
D^m --> \mathbb{C}^n, m > 1?
H0Iger SchuIz
2017-05-14 14:36:06 UTC
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Post by IV
Hallo,
es tut mir leid, aber auch nach etwas längerer Recherche habe ich bisher
noch keine Antwort auf meine Frage unten gefunden. Vielleicht habe ich nicht
die richtigen Bücher und Stichwörter. Könnt Ihr bitte helfen?
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen Unbekannten,
wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder bezeichnen sie die
mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen Logarithmen
in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Wie will das jemand beantworten können? Da keiner die betreffenden
Quellen(?) kennt, wird auch kaum jemand beurteilen können, was gemeint
ist.

hs

hs
IV
2017-05-14 16:10:17 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Wie will das jemand beantworten können? Da keiner die betreffenden
Quellen(?) kennt, wird auch kaum jemand beurteilen können, was gemeint
ist.
Hallo HoIger,
wie immer vielen Dank für Deinen Hinweis.
Na, wer weiß, daß es eine allgemeingültige Konvention gibt bezüglich der
Unterscheidung zwischen ln/Ln, arcsin/Arcsin usw., oder wer weiß, daß es
keine solche Konvention gibt, der wird wissen, wie diese einfache Frage zu
beantworten ist.
U. a. Bronstein/Semendjajew und Bronstein/Semendjajew/Musiol/Mühlig bringen
diese Konvention, aber ist die auch heute noch verbindlich? Wenn ja, dann
müßtet Ihr die doch kennen, und die Antwort wäre schnell gefunden.

Die Literaturstelle um die es mir erstmal geht, ist ja immer noch:
Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans. Amer. Math.
Soc. 27 (1925) (1) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
Aber ich kann nicht von Euch verlangen, daß Ihr aus diesem Text für mich
heraussucht, welche Definitions- und Wertebereiche dort gemeint sind.
Außerdem bräuchte ich eine Antwort auf die Frage im Allgemeinen.

(Meine übergeordnete Frage ist, ob Ritts Satz nur für die komplexen
Elementaren F u n k t i o n e n gilt, oder auch für die ihnen
zugeordneten M u l t i funktionen.)
Jens Kallup
2017-05-14 17:15:45 UTC
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Post by IV
(Meine übergeordnete Frage ist, ob Ritts Satz nur für die komplexen
Elementaren F u n k t i o n e n gilt, oder auch für die ihnen
zugeordneten M u l t i funktionen.)
meinst Du Seite 74 ff, II Some Lemmas ?
IV
2017-05-14 17:42:51 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
(Meine übergeordnete Frage ist, ob Ritts Satz nur für die komplexen
Elementaren F u n k t i o n e n gilt, oder auch für die ihnen
zugeordneten M u l t i funktionen.)
meinst Du Seite 74 ff, II Some Lemmas ?
Also eigentlich dachte ich ja, daß die allgemeine Frage nach einer
allgemeingültigen Konvention einfacher zu beantworten ist.
Und nun hast Du Dir wieder Mühe mit dem Artikel gemacht. Vielen Dank dafür.

"Seite 74 ff, II Some Lemmas": Eigentlich geht es schon vorher los, gleich
auf der ersten Seite des Artikels, Seite 68, im ersten und zweiten Absatz:
"The elementary functions are understood here to be those which are obtained
in a finite number of steps by performing algebraic operations and taking
exponentials and logarithms.
...
We prove that if F(z) and its inverse are both elementary, there exist n
functions ...".
Ich kann nirgendwo im Artikel eine Definition seiner Elementaren Funktionen
entdecken - wie schon anderswo geschrieben: ich verstehe die analytischen
Teile seiner Beweise überhaupt nicht, ich bin kein Mathematiker.

"by performing algebraic operations and taking exponentials and logarithms":
Was ist damit gemeint - nur die Funktionen, oder auch die Multifunktionen?
z^(1/2) ist genau dann eine algebraische Funktion, wenn sie die sie
definierende algebraische Gleichung, im Ritt-Artikel Gleichung 2, erfüllt.
Diese Gleichung wird doch aber nicht nur durch den Hauptzweig erfüllt,
sondern auch durch alle anderen Zweige von z^(1/2), also durch sqrt(2)
und -sqrt(2). Also sind doch nach dem Stand der ersten beiden Absätze des
Artikels auch die Multifunktionen zugelassen.
An welcher Stelle des Artikels werden Multifunktionen ausgeschlossen?
(Aber ich wollte Euch eigentlich nicht so viel Arbeit machen.
Vielleicht könt Ihr einfachheitshalber rasch die allgemeine Frage nach einer
allgemeingültigen Konvention für die Bezeichner in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten beantworten, dann sind wir hier sofort fertig, und ich nerve
Euch hier, zumindest damit, nicht weiter. (Einige hier fühlten sich ja durch
meine Fragen belästigt.))
Jens Kallup
2017-05-14 18:07:53 UTC
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hihi,

schaust mal im Wiki:

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion

http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Log/02/
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Exp/02/


Zitat:
"Dabei gibt es keine allgemeingültige Definition, wann eine Funktion
elementar genannt wird und wann nicht."

wohl deshalb, weil es mehr als eine gibt - also Multifun(ktional).

und weil es soviele gibt:

1. meine Definition, oder schnörkel:
Eine Funktion ist gekennzeichnet durch die Eindeutigkeit der
betrachteten Zuordnung(en).

Btw: Mengen können auch Funktionen nach dieser Definition sein!

2. Historisch findet man nach Leibniz’ Verwendung des Begriffs
„Funktion“ eine erste Definition von Johann Bernoulli (1667 – 1748),
aus dessen Familie (neben ihm vor allem sein Bruder Jakob und sein Sohn
Daniel) viele fundamentale Beiträge zur Mathematik stammen:

„On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composé de
quelque manière que soit de cette grandeur variable et de constants.“

3. In Bernoullis Ansatz können Funktionen durch einen geschlossenen
mathematischen Ausdruck (Funktionsterm) beschrieben werden. Dabei
unterscheidet Bernoulli eine „variable Größe“ und die „Funktion dieser
variablen Größe“ („eine Quantität, die auf irgendeine Weise aus der
variablen Größe und aus Konstanten zusammengesetzt wird“), wobei er
unter „Größe“ eine geometrische Größe versteht.

Leonhard Euler (1701 – 1783), ein Schüler Johann Bernoullis, schließt
an dessen Arbeiten an und erweitert im Laufe seiner extrem ergiebigen
Schaffenszeit den Funktionsbegriff, indem er explizit einen
algebraischen Funktionsaspekt (Funktionsterm) und einen geometrischen
Funktionsaspekt (Funktionsgraph) nebeneinander stellt:

Auf Euler geht auch die heutzutage übliche und sehr intuitive
Schreibweise:

f(x)
zurück.

Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente einer nicht-
leeren Men ge A zu den Elementen einer Menge B, geschrieben f : A -> B.

Dies ist mal nicht so mathematisch gewesen, aber:
ist Dir damit geholfen?

Gruß
Jens
IV
2017-05-14 20:13:17 UTC
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Post by Jens Kallup
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
https://de.wikipedia.org/wiki/Elementare_Funktion
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Log/02/
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Exp/02/
...
ist Dir damit geholfen?
Beantwortet das denn die von mir hier gestellte Frage nach der Existenz
einer allgemeingültigen Konvention über den Definitionsbereich von
Gleichungen von komplexen Unbekannten? Oder beantwortet das die von mir hier
gestellte Frage nach den in Ritts Artikel zugrundegelegten
Definitionsbereichen?
(Die Fragen, die Du angesprochen hast, hatte ich ja hier schon an anderer
Stelle mit Begriffen wie Mengen-/Tupel-/Vektorfunktionen und
zahlenwertige/mengenwertige/tupelwertige/vektorwertige Funktionen
beantworten können.)
Jens Kallup
2017-05-14 22:36:32 UTC
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Raw Message
naja, ehrlich gesagt komme ich nicht mit Deiner Fragestellung
zurecht. Auf der einen Seite willst Du wissen, was man für eine
Konvention von Logarithmen verwenden. Dann kommst mit Funktionen
und Multifunktionen und nun zwischenbei an komplexe Unbekannten.

Da schneidet sich irgendwie die denkweise?
Ich gebe Dir Tipps, und Du versuchts diese Tipps nicht dazu mal
alleine zu suchen - zum Beispiel in Büchern oder anderen vertrauens-
würdiger Internetstellen zu Wissen zu machen.

Tjor, das tut mir langsam leid.
Ich gebe mir die Mühen, doch komme nur an Unverständnisse.
Bitte sagt es mir, wenn ich zu undeutsch schreibe.

Also für letzte diese Woche:
1. komplexe Zahlen |C sind dazu gedacht, um Gleichungen wie x^2 + 1 = 0
zu lösen. Dazu wird das *i* als imaginäre *i* Einheit eingeführt.

wenn wir mit i rechnen wollen, definieren wir uns einfach eine neue Zahl
dies ist der Fall, da wir ja keine negativen Wurzel Werte berechnen
können.

Also Definition: Wurzel(-1) = i

man kann zwar damit nix anfangen, aber das geile ist, man kann damit
rechnen. Zum Beispiel:

"hoch 2": i^2 = -1 oder <--+
|
"hoch 3": i^3 = i * i * i |
-> i^3 = i * i^2 |
-> i^3 = i <---------+ (-1) = -i -> = (i-1)

oder wie ich hier schon oft geschrieben habe, da x^1 das selbe ist wie
1^1 = 1 ist, so ist hier i = -i oder anders ausgedrück -1.
oben rechts, der eingeklammerte Term (i-1) ist eine Einheit und man darf
diese nur als eine solche verstehen und nicht aufteilen.
Weil es ja in einen anderen Fall lauten könnte: x3 + x4 .. ok genug
gesabbelt - hoffe Du erkennst das.

Zurück:
Da i also nun 1 sein kann haben wir folgenden Term:
i = (1 - 1)
i = 0

"hoch 4": i^4 = i^4 = i^2 * i^2
i^4 = -1 * -1
i^4 = 1 (siehe ^Anmerkung

Anmerkung:
nach Grundlagenmathematik ergibt minus mal minus gleich plus.

man kann auch teilen:

1 i^4
- = --- = -1 * i^4 = i^3 = -1
i i

Da wir nun wissen, wie man mit komplexen Zahlen rechnet, können
wir verschiedene Aufgabenstellungen die im Kontext der |C liegen
erfinden, rechnen, knubbeln ....

Zum Beispiel eine neue Definition:
man nimmt eine reele Zahl a und eine andere reele Zahl b:

c = a + i * b

Das Ergebnis in c ist dann komplex.
Setzt man Null in a und b ein, bekommt man eine reele Zahl |R.

a hat auch einen Namen = reelteil
i * b hat auch einen = imaginärteil

Nun kann man seine Nichtszahlen in einen Graphen eintragen.
x-Achse = reelteil
y-Achse = imaginarteil

der Betrag oder die Länge, die aus dem P0 des Graphen zu den
Punkt des Ergebnisses lässt sich so berechnen:

c = a + i * b oder
|c| = sqrt(a^2 + b^2)

und zum Schluß:
ersetzt man alle *i* durch *-i* erhält man eine komplexe konjugation:

c = a - i * b

und was kann man nun mit komplexen Zahlen anfangen, nun folgendes:

c_1 + c_2
= (a_1 + i * b_1) + (a_2 + i * b_2) | da plus, ausklammern möglich:
= a_1 + a_2 + i * b_1 + i * b_2
= (a_1 + a_2) + i * (b_1 + b_2)
=-=-=-=-=-= =-=-=-=-=-=-=-=
Realteil imaginär Teil

ich habe leider keine allgemeine Definition für das was Du suchst, aber
ich hoffe denkanstöße gegeben zu haben.

Gruß
Jens
IV
2017-05-15 16:06:44 UTC
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Raw Message
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Auf der einen Seite willst Du wissen, was man für eine Konvention von
Logarithmen verwendet. Dann kommst Du mit Funktionen und Multifunktionen
und nun zwischenbei mit komplexen Unbekannten.
Ich möchte Euch doch nicht so viel unnötige Arbeit machen. Ich möchte doch
nur die Frage oben beantwortet haben.
H0Iger SchuIz
2017-05-15 08:09:15 UTC
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Raw Message
Post by IV
Hallo HoIger,
Hallo Jürgen,
Post by IV
wie immer vielen Dank für Deinen Hinweis.
Na, wer weiß, daß es eine allgemeingültige Konvention gibt bezüglich der
Unterscheidung zwischen ln/Ln, arcsin/Arcsin usw., oder wer weiß, daß es
keine solche Konvention gibt, der wird wissen, wie diese einfache Frage zu
beantworten ist.
Vielleicht ist die Frage gar nicht so einfach zu beantworten, sonst
hätt's vielleicht jemand getan.
Post by IV
U. a. Bronstein/Semendjajew und Bronstein/Semendjajew/Musiol/Mühlig bringen
diese Konvention, aber ist die auch heute noch verbindlich? Wenn ja, dann
müßtet Ihr die doch kennen, und die Antwort wäre schnell gefunden.
Aha.
Post by IV
Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans. Amer. Math.
Soc. 27 (1925) (1) 68-90
Hey, dieser Text ist fast hundert Jahre alt. Wie soll man da wissen, was
der Autor damals gemeint haben könnte? Mich erwischt der schon auf dem
falschen Fuß, wenn er z.B. $F(Z)$ statt $F$ schreibt. Da werde ich mich
wohl nicht aus dem Fenster lehnen und heruminterpretieren, an welche
Konventionen er sich _damals_ gehalten haben könnte.

Und welche Konventionen heute gelten, spielt dafür überhaupt keine
Rolle.
Post by IV
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
Aber ich kann nicht von Euch verlangen, daß Ihr aus diesem Text für mich
heraussucht, welche Definitions- und Wertebereiche dort gemeint sind.
Nee, da musste schon selbst kucken.
Post by IV
Außerdem bräuchte ich eine Antwort auf die Frage im Allgemeinen.
Die gibt es womöglich gar nicht. Was hast du davon, wenn dir jemand
erklärt, diese oder jene Konvention gelte, und die Autoren der
betreffenden Papers haben sich eben nicht daran gehalten?

hs
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-15 01:10:10 UTC
Permalink
Raw Message
IV wrote:
^^
Dort gehört Dein richtiger Name hin.
[…] auch nach etwas längerer Recherche habe ich bisher
noch keine Antwort auf meine Frage unten gefunden.
Das ist überraschend. <https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl> ist
nicht so schwierig zu finden. Im Zweifelsfall steht es ausserdem in der
Aufgabenstellung oder man kann den Aufgabensteller fragen.
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Ja.
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Gesucht sind offenbar komplexe Zahlen z = a + b i, die die Gleichung
erfüllen.

Das Problem ist zunächst, dass in z^(1/3) die Potenz keine ganze Zahl ist.
Definiert ist

z^ω := e^(ω ln(z)),

„wobei ln(z) für den _Hauptwert_ des komplexen Logarithmus steht (siehe
unten).“ Nur „[i]m Fall ω ∈ ℤ […] stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse
mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.“ (ibid.)
--
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
IV
2017-05-15 16:13:51 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Ja.
Gut, prima! Danke! Bist Du sicher?
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by IV
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Gesucht sind offenbar komplexe Zahlen z = a + b i, die die Gleichung
erfüllen.
Das Problem ist zunächst, dass in z^(1/3) die Potenz keine ganze Zahl ist.
Definiert ist
z^ω := e^(ω ln(z)),
„wobei ln(z) für den _Hauptwert_ des komplexen Logarithmus steht (siehe
unten).“ Nur „[i]m Fall ω ∈ ℤ […] stimmen alle in Frage kommenden
Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.“
(ibid.)
Na, oben schriebst Du aber, daß, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die
Hauptzweige gemeint sind.
Oder habe ich Dich falsch verstanden?
(Ich habe in der Eingangsfrage oben extra ein Komma vor dem "oder". Dein
"Ja" oben bezieht sich also auf den Hauptsatz.)
Die Frage bleibt also: Gibt es eine entsprechende allgemeingültige
Konvention oder nicht?
Thomas 'PointedEars' Lahn
2017-05-15 21:39:46 UTC
Permalink
Raw Message
IV wrote:
^^
Reparieren, sonst Scorefile-Eintrag. (Ich diskutiere im Usenet nicht mit
einer Versicherung.)
Post by IV
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by IV
Bezeichnen die "Funktionssymbole" in Gleichungen mit komplexen
Unbekannten, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die Hauptzweige, oder
bezeichnen sie die mehrwertigen komplexen "Funktionen"?
Ja.
Gut, prima! Danke! Bist Du sicher?
Ja.
Post by IV
Post by Thomas 'PointedEars' Lahn
Post by IV
Also wie hat man z. B. die komplexen Wurzeln oder die komplexen
Logarithmen in gegebenen Gleichungen zu verstehen?
Beispiel (z \in \mathbb{C}): z^(1/3) + ln(z) + 1 = 0
Gesucht sind offenbar komplexe Zahlen z = a + b i, die die Gleichung
erfüllen.
Das Problem ist zunächst, dass in z^(1/3) die Potenz keine ganze Zahl
ist. Definiert ist
z^ω := e^(ω ln(z)),
„wobei ln(z) für den _Hauptwert_ des komplexen Logarithmus steht (siehe
unten).“ Nur „[i]m Fall ω ∈ ℤ […] stimmen alle in Frage kommenden
Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.“
(ibid.)
Na, oben schriebst Du aber, daß, wenn nichts Anderes gesagt ist, nur die
Hauptzweige gemeint sind.
Nein.
Post by IV
Oder habe ich Dich falsch verstanden?
Ja.
Post by IV
(Ich habe in der Eingangsfrage oben extra ein Komma vor dem "oder".
Das ist syntaktisch falsch (weil es sich nicht um einen Hauptsatz handelt)
und ändert auch daher nichts an meiner Antwort.
Post by IV
Dein "Ja" oben bezieht sich also auf den Hauptsatz.)
Nein.
Post by IV
Die Frage bleibt also: Gibt es eine entsprechende allgemeingültige
Konvention oder nicht?
Ja.
--
PointedEars

Twitter: @PointedEars2
Please do not cc me. / Bitte keine Kopien per E-Mail.
IV
2017-05-16 18:50:25 UTC
Permalink
Raw Message
Ja.
...
Nein.
Ich verbessere: Die Frage bleibt also: Gibt es eine entsprechende
allgemeingültige Konvention?
Jens Kallup
2017-05-16 21:02:46 UTC
Permalink
Raw Message
mensch keule, du bist aber anstrengend !!!

ich habe dir ein posting in diesen thread
geschrieben - alles klein gekaut und nun das.
willst uns trollen?

mit deiner oben gestellten OPF gibt es weder
für -deiner meinung nach- normale funktion noch
für multifunktionen eine norm.

und jetzt pass auf, ich drücks dir auf die nase:
diese aufgabe(n) sind unnütz, aber aus mathematischer
sicht machen sie spaß mit ihnen zu rechnen.

man hat nix von

meine jüte - jetz sag bloß nicht von wem du das
hier hast.
ich plädiere ja dafür, daß du mal deine birne
benutzt und versuchst texte zu interpretieren.

ist schon schlimm das du das nichtmal halbwegs
hinbekommst, und dann noch texte zu rate ziehst,
die du nicht verstehst, weil da eine doppelte
interpretation erforderlich:
1. den ausgangstext in muttersprache übertragen
2. den muttersprachentext interpretieren
3. sinn verstehen
4. anwenden können
5. mit den original vergleichen und ggf. fehler
finden bzw. abgleichen
6. mit anderen sprechen

seh dir meinen forschen wortlaut nicht als angriff
an deine person.
aber ich bin dafür, das diese gruppe hier ein gewisses
niveau bebehält.

So passta
Christian Gollwitzer
2017-05-16 21:50:24 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
seh dir meinen forschen wortlaut nicht als angriff
an deine person.
aber ich bin dafür, das diese gruppe hier ein gewisses
niveau bebehält.
Dafür sorgst Du, das stimmt.

Christian
H0Iger SchuIz
2017-05-17 14:43:56 UTC
Permalink
Raw Message
Post by Jens Kallup
aber ich bin dafür, das diese gruppe hier ein gewisses
niveau bebehält.
Sagte er Eiswürfel zu glühenden Kohle: "Alter, du bist viel zu kalt."

hs

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