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carlo berlingen
2017-04-17 22:03:52 UTC
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Hallo zusammen,
Ich experimentiere mit einer Collatz-ähnlichen Folge der Form
n -> n/3 falls n mod 3 = 0
n -> 2n+1 falls n mod 3 = 1
n - > 2n-1 falls n mod 3 = 2
Gibt es einen Beweis, dass diese Folge stets in 9, 3, 1 endet?
Ich vermute, dass zwei verschachtelte monoton fallende Teilfolgen auftreten.
Für Kommentare und Hinweise bin ich dankbar.
Carlo
Klaus Loeffler
2017-04-18 06:33:18 UTC
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Post by carlo berlingen
Hallo zusammen,
Ich experimentiere mit einer Collatz-ähnlichen Folge der Form
n -> n/3 falls n mod 3 = 0
n -> 2n+1 falls n mod 3 = 1
n - > 2n-1 falls n mod 3 = 2
Gibt es einen Beweis, dass diese Folge stets in 9, 3, 1 endet?
Ich vermute, dass zwei verschachtelte monoton fallende Teilfolgen auftreten.
Für Kommentare und Hinweise bin ich dankbar.
Hallo Carlo,

Da der Nachfolger des Nachfolgers eines Folgengliedes in allen Fällen
außer bei 1 kleiner ist, wie die Übergänge
3k -> k, 3k+1 -> 6k+3 -> 2k+1, 3k+2 -> 6k+3 -> 2k+1
zeigen, gibt es zu jedem Folgeglied, das größer als 1 ist, ein
kleineres. Die Folge erreicht also die 1 - und das notwendigerweise von
3 aus, so dass die Folge immer zu 3 - 1 kommen muss (und alternierend
dort verbleibt).
Und da der Vorgänger von 3 nur 1 oder 9 sein kann, ist deine Vermutung
richtig, außer wenn die Folge mit 1 oder 3 beginnt.

Klaus-R.
Jens Kallup
2017-04-18 12:44:06 UTC
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Post by carlo berlingen
Hallo zusammen,
Ich experimentiere mit einer Collatz-ähnlichen Folge der Form
n -> n/3 falls n mod 3 = 0
n -> 2n+1 falls n mod 3 = 1
n - > 2n-1 falls n mod 3 = 2
Gibt es einen Beweis, dass diese Folge stets in 9, 3, 1 endet?
Ich vermute, dass zwei verschachtelte monoton fallende Teilfolgen auftreten.
Für Kommentare und Hinweise bin ich dankbar.
Carlo
9 / 3 = 3 Rest 0 -> 3 * 3 = 9 + 0 = 9 <--- 9
8 / 3 = 2 Rest 2 -> 3 * 2 = 6 + 2 = 8
7 / 3 = 2 Rest 1 -> 3 * 2 = 6 + 1 = 7
6 / 3 = 2 Rest 0 -> 3 * 2 = 6 + 0 = 6 <--- 6
5 / 3 = 1 Rest 2 -> 3 * 1 = 3 + 2 = 5
4 / 3 = 1 Rest 1 -> 3 * 1 = 3 + 1 = 4
3 / 3 = 1 Rest 0 -> 3 * 1 = 3 + 0 = 3 <--- 3
2 / 3 = 0 Rest 2 -> 3 * 0 = 0 + 2 = 2

Mit Division und Rest = MOD (3)
entsprechen die ersten grundlegende 3 Zahlen:

| 3, 6, 9 |

Schema erkannt? Pssst nicht weitersagen !
Top Secret!!! 0 2 1 :-o

jetzt kann man einsetzen für n :

3 / 3 = 1 => 1 mod(3) = 1 <-- true
2 * 3 + 1 = 7 => 7 mod(3) = 1 <-- true
2 * 3 - 1 = 5 => 5 mod(3) = 2 <-- false = warum = [1]

Antwort [1]:
2 mod(3) = 2 wäre periodisch, und nicht in 3,6,9 enthalten !!!
periodisch deshalb, weil kein ende, da immer das gleiche bei
gleichzeitger links Verschiebung.

Im obigen Schaubild ist stets ein Rest von Null, bzw. ein
vielfaches von 3.

Ja, genau: "vielfaches": Das heißt: Wievel Zahlen erhalten wir
bei einer Division mit Rest = modulo(3) im Bereich von 2 bis 9 .

Gruß
Jens

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