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Kubische Gleichung aus Maximum und Minimum modellieren
(zu alt für eine Antwort)
Udo
2017-03-22 08:09:13 UTC
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Hallo,

in einer Matheeinführung für Studienanfänger lese ich den kritischen Satz,
Schüler könnten zwar im Rahmen der Kurvendiskussion Minima und Maxima
bestimmen (differenzieren), aber den umgekehrten Weg, aus einem gegebenen

Maximum x = 2
Minimum x =-6

eine Funktion zu modellieren, würden sie i.d.R. nicht schaffen.
Also hab ich das mal versucht (obwohl meine Schulzeit schon ein paar Jahrzehnte zurückliegt).

Ansatz: kubische Gleichung

Allgemeine Form: y = ax^3 + bx^2 + cx + d
Erste Ableitung: y' = 3ax^2 + 2bx + c
Zweite Ableitung: y'' = 6ax + 2b

Was weiß ich?
Bei den Werten x = 2 und x = -6 ist die erste Ableitung gleich Null, also
(1) f'(x= 2) = 0, das ergibt: 12a + 4b + c = 0
(2) f'(x=-6) = 0, das ergibt: 108a - 12b + c = 0
Gleichung (2) - (1) ergibt: 96a - 16b = 0
und somit 6a = b

bei den Werten x = 2 und x = -6 ist die zweite Ableitung
(3) f''(x = 2) < 0 (Maximum),
also 12a + 2b < 0, woraus sich ergibt: 6a < -b
(4) f''(x = -6)> 0 (Minimum),
also -36a + 2b > 0, woraus sich ergibt: 18a < b

Kann ich bei Ungleichungen analog verfahren? Also
Gleichung (4) - (3), was ergibt: 12a < 2b
und somit 6a < b

dann hab ich da stehen aus den Bedingungen
der 1. Ableitung: 6a = b
der 2. Ableitung: 6a < b

Ich denke, mir ist da irgendwo ein Denkfehler unterlaufen - ich komme nicht weiter bzw. sehe nicht, was falsch ist. Wie geht es jetzt weiter?
Wäre für Hilfe dankbar.

Grüße
Udo
Carlo XYZ
2017-03-22 08:32:04 UTC
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Post by Udo
Kann ich bei Ungleichungen analog verfahren? Also
Gleichung (4) - (3), ...
Darfst du nicht.

Bei Ungleichungen ist nur die Addition immer OK,
wenn beides Mal der gleiche Typ Ungleichheitszeichen
vorhanden ist (bzw.: <+<= wird zu < und >+>= zu >).

Will man subtrahieren, multipliziert man, wenn
man unsicher ist, besser erst insgesamt mit -1
( dann dreht sich < oder <= zu > bzw. >=
und > oder >= zu < bzw. <= ) und addiert danach.
Roland Franzius
2017-03-22 09:32:51 UTC
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Post by Udo
Hallo,
in einer Matheeinführung für Studienanfänger lese ich den kritischen Satz,
Schüler könnten zwar im Rahmen der Kurvendiskussion Minima und Maxima
bestimmen (differenzieren), aber den umgekehrten Weg, aus einem gegebenen
Maximum x = 2
Minimum x =-6
eine Funktion zu modellieren, würden sie i.d.R. nicht schaffen.
Also hab ich das mal versucht (obwohl meine Schulzeit schon ein paar Jahrzehnte zurückliegt).
Ansatz: kubische Gleichung
Allgemeine Form: y = ax^3 + bx^2 + cx + d
Erste Ableitung: y' = 3ax^2 + 2bx + c
Zweite Ableitung: y'' = 6ax + 2b
Was weiß ich?
Bei den Werten x = 2 und x = -6 ist die erste Ableitung gleich Null, also
(1) f'(x= 2) = 0, das ergibt: 12a + 4b + c = 0
(2) f'(x=-6) = 0, das ergibt: 108a - 12b + c = 0
Gleichung (2) - (1) ergibt: 96a - 16b = 0
und somit 6a = b
bei den Werten x = 2 und x = -6 ist die zweite Ableitung
(3) f''(x = 2) < 0 (Maximum),
also 12a + 2b < 0, woraus sich ergibt: 6a < -b
(4) f''(x = -6)> 0 (Minimum),
also -36a + 2b > 0, woraus sich ergibt: 18a < b
Kann ich bei Ungleichungen analog verfahren? Also
Gleichung (4) - (3), was ergibt: 12a < 2b
und somit 6a < b
dann hab ich da stehen aus den Bedingungen
der 1. Ableitung: 6a = b
der 2. Ableitung: 6a < b
Ich denke, mir ist da irgendwo ein Denkfehler unterlaufen - ich komme nicht weiter bzw. sehe nicht, was falsch ist. Wie geht es jetzt weiter?
Wäre für Hilfe dankbar.
Die Ableitung hat zwei Nullstellen bei x=2,-6 und ist ein quadratisches
Polynom

f'(x) = a (x-2)(x+6) = a( x^2+4x-12 )
f''(x) = a(2 x + 4)
f''(2) = 4 a Maximum
f''(-6) = -8 a Minimum

-> a > 0
Die Stammfunktion ist dann
f(x)= a( 1/3 x^3 + 2 x^2 -12 x )+ const

Der direkte Ansatz läuft am besten als Polynom 3. Grades in (x+6) um das
Minimum herum

f(x) = a + b/2 (x+6)^2 + c/3 (x+6)^3
f'(x) = b (x+6) + c (x+6)^2
= b ( (x-2)+ 8) + c ((x-2)+8)^2
= 8 b +64c + (b + 16 c) (x-2) + c (x-2)^2

Für ein Minimum bie x=2 muss c<0 und (b + 16 c) =0 sein.

Während der erste Weg trivial ist, ist die Umentwicklung von
Taylorreihen oder Polynomen für die meisten Studienanfänger in der Tat
etwas Neues.


Wenn Schüler das nicht können, kann deren Lehrer offenbar auch nichts.
--
Roland Franzius
Carlo XYZ
2017-03-22 09:49:18 UTC
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Post by Udo
in einer Matheeinführung für Studienanfänger lese ich den kritischen Satz,
Schüler könnten zwar ...
Nebenbeitipp: ARTE 22:40, heute Abend.
Udo
2017-03-23 06:47:10 UTC
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Post by Carlo XYZ
Nebenbeitipp: ARTE 22:40, heute Abend.
Danke für diesen Tipp - ich hab mir die Sendung angeschaut, war sehr interessant.Ich wusste gar nicht, dass in Oberwolfach (fast vor meiner Haustüre) ein mathematisches Institut existiert.

Zu den Lösungshinweisen bedanke ich mich sehr herzlich. Dank Detlef habe ich meinen Ansatz zu Ende führen können. Und die Lösung von Roland - quasi von unten nach oben - ist vom Ansatz her kreativer als meine Schema-F-Vorgehensweise.
Vielen Dank für Eure Hilfe!

Freundliche Grüße
Udo

Detlef Müller
2017-03-22 17:12:14 UTC
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Post by Udo
Hallo,
in einer Matheeinführung für Studienanfänger lese ich den kritischen Satz,
Schüler könnten zwar im Rahmen der Kurvendiskussion Minima und Maxima
bestimmen (differenzieren), aber den umgekehrten Weg, aus einem gegebenen
Maximum x = 2
Minimum x =-6
eine Funktion zu modellieren, würden sie i.d.R. nicht schaffen. Also
hab ich das mal versucht (obwohl meine Schulzeit schon ein paar
Jahrzehnte zurückliegt).
Ansatz: kubische Gleichung
Allgemeine Form: y = ax^3 + bx^2 + cx + d
Erste Ableitung: y' = 3ax^2 + 2bx + c
Zweite Ableitung: y'' = 6ax + 2b
Was weiß ich?
Bei den Werten x = 2 und x = -6 ist die erste Ableitung gleich Null, also
(1) f'(x= 2) = 0, das ergibt: 12a + 4b + c = 0
(2) f'(x=-6) = 0, das ergibt: 108a - 12b + c = 0
Gleichung (2) - (1) ergibt: 96a - 16b = 0
und somit 6a = b
Hier nicht mittendrin aufhören!
Mit zwei Gleichungen sollten sich auch zwei Unbestimmte
eliminieren lassen.

Du hast schon b = 6a, nun kannst Du auch c noch mit a ausdrücken:
Aus 12a + 4b + c = 0 ergibt sich
12a + 4*6*a + c = 0 und damit
c = -36 a

Nun hast Du die Bedingungen zu Extremstellen maximal
"ausgelutscht" und damit gezeigt, daß die Funktion die
Gestalt

f(x) = a(x^3 + 6x^2 - 36x) + d

hat.

Welche Rolle spielt das d hier für Art Position der Extrema?

Probier mal das eine oder andere a aus (Null verbietet sich natürlich,
da ja dann kein Polynom 3. Grades mehr da steht).

Welche Bedingung an a ergibt die Bedingung an die 2-te Ableitung?

Dein Ansatz führt so durchaus zum Ziel, so findest Du sogar auf einen
Schlag alle Polynome dritten Grades, die der Forderung genügen.

Ein etwas "abgedrehterer" Ansatz wäre mit Funktionen der Gestalt
a*exp(-(x-x0)^2), die jeweils bei x0 ein Maximum (a>0) oder Minimum
(a<0) haben und dann recht schnell gegen 0 gehen ... da wird die
Argumentation allerdings wohl anspruchsvoller (hab es nicht
probiert).

Man könnte auch eine Sinus-Funktion entsprechend stauchen und
verschieben ... das sollte ganz ohne Differentialrechnung
klappen.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
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