Explizite Formel per Induktion beweisen

[carlo berlingen]

Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

[Jens Kallup]

Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

Hallo Carlo,

erstmal den Term ausklabustern:

geg.
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3)

Lsg.
bei n := 2
1. Klammer auflösen (von rechts nach links)
2. Potenzen berechnen
3. Division
4. Multiplikation

(2 * 2 - 3) = (4 - 3)
= 1
2^1 = 2

(2 - 1) = 1
(4^1) - 1 = 3

3 / 2^2 = 3/4 = 0.75

1/3 * 3/4 = 3/12 = 1/4 = 0.25 = T(1/4)

Zweiter Akt:
a(n) = 3^T(n)
a(n) = 3^(1/4)
a(n) = 1^(1/4) * 1^(1/4) * 1^(1/4)
a(n) = 1 * 1 * 1
a(n) = 1

Probe:
geg.
a(n+1) = sqrt(3*sqrt(a(n))

Lsg.
a(a(n) + 1) = sqrt(3 * sqrt(a(n))
a( 1 + 1) = sqrt(3 * sqrt( 1))
2^2 = 3^2 * 1^2
4/1 = 3/1 * 3/1 * 1/1
4/1 = 9/1 | 1 div 4
= 9/1 / 4/1
= 9/1 * 1/4
= 9/4
= 2 1/4

Jens

[Jens Kallup]

Am 20.12.2020 um 03:47 schrieb Jens Kallup:
Lsg.
a(a(n) + 1)   = sqrt(3 * sqrt(a(n))
a(  1  + 1)   = sqrt(3 * sqrt(  1))
         2^2   = 3^2    *   1^2
         4/1  = 3/1 * 3/1  *   1/1
         4/1  = 9/1                 | 1 div 4

Fehler: ---%< schnipp ------------------
              = 9/1 / 4/1
              = 9/1 * 1/4
              = 9/4
              = 2 1/4 | woops: Fehler !!!
Fehler: --->% schnapp ------------------
Ergänzung:
= 9/4 * 4/1
= sqrt(36)/sqrt(4)
= 6/2
= 3
Herleitung:
Potenz-Addition: (m + n) * a = m*a + n*a

Aussage:
a(n)
a(a(1) + 1) = 3

Lsg.
= a * a(1) + a * 1
= a * a(1)^2 + a^1
= a + a + a
= 1 + 1 + 1
= 2 + 1
= 3

im zweiten Schritt nicht beirren lassen,
wir haben da einmal das Objekt selbst und
eine Referenz darauf, macht nach Adam Rieß 2
Also 2x a = a * a = a^2.

Gruß, Jens

[Stephan Herrmann]

carlo berlingen <***@t-online.de> writes:

Hallo Carlo,

Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

wo hängt es denn?
Deine Induktionsvoraussetzung ist a(n) = 3^T(n) für ein n.
Die Induktionsbehauptung ist dann a(n+1) = 3^T(n+1)

Mit der Definition und und der Induktionsbehauptung erhälst Du

a(n+1) = sqrt(3*sqrt(3^T(n)))

Mit Exponentialschreibweise schreibt man

a(n+1) = 3^(1/2) * (3^T(n))^(1/4)
= 3^( (1/2) + (1/4)*T(n) )
= 3^( (2 + T(n))/4 )

Um die Behauptung zu beweisen bleibt zu zeigen:

T(n+1) = (T(n) + 2) / 4

...

HTH

Stephan

[Stephan Gerlach]

Post by Jens Kallup
Hallo Carlo,

Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

wo hängt es denn?
Deine Induktionsvoraussetzung ist a(n) = 3^T(n) für ein n.
Die Induktionsbehauptung ist dann a(n+1) = 3^T(n+1)
Mit der Definition und und der Induktionsbehauptung erhälst Du
a(n+1) = sqrt(3*sqrt(3^T(n)))
Mit Exponentialschreibweise schreibt man
a(n+1) = 3^(1/2) * (3^T(n))^(1/4)
= 3^( (1/2) + (1/4)*T(n) )
= 3^( (2 + T(n))/4 )
T(n+1) = (T(n) + 2) / 4

Das läßt sich wiederum elementar (wenn auch vielleicht etwas mühselig)
beweisen, mit Bruchrechnung, Potenzgesetzen... usw.

[Stephan Herrmann]

Post by Stephan Gerlach

Post by Jens Kallup
Hallo Carlo,

Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

[...]

Post by Stephan Gerlach

Post by Jens Kallup
T(n+1) = (T(n) + 2) / 4

Das läßt sich wiederum elementar (wenn auch vielleicht etwas mühselig)
beweisen, mit Bruchrechnung, Potenzgesetzen... usw.

Ja. Einfacher wird wird es, wenn man den Ausdruck für T(n)
umformt zu

2 4^n - 4
T(n) = - * -------
3 4^n

Dann wird auch gleich das asymptotische Verhalten der Folge klar.

[Alfred Flaßhaar]

Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo

Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Jens Kallup]

Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~ernst/Lehre/AD/Folien/adKapitel3.pdf

sowas?

Post by Alfred Flaßhaar
Gruß, Alfred Flaßhaar

Jens

[Alfred Flaßhaar]

Post by Jens Kallup

Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~ernst/Lehre/AD/Folien/adKapitel3.pdf
sowas?

Ja.

[Stephan Herrmann]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by carlo berlingen
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er

[...]

Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.

Der Fixpunkt 0 ist abstoßend während 3^(2/3) sehr attraktiv ist.