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Explizite Formel per Induktion beweisen
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carlo berlingen
2020-12-19 21:00:49 UTC
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Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
Jens Kallup
2020-12-20 02:47:35 UTC
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Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
Hallo Carlo,

erstmal den Term ausklabustern:

geg.
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3)

Lsg.
bei n := 2
1. Klammer auflösen (von rechts nach links)
2. Potenzen berechnen
3. Division
4. Multiplikation

(2 * 2 - 3) = (4 - 3)
= 1
2^1 = 2

(2 - 1) = 1
(4^1) - 1 = 3

3 / 2^2 = 3/4 = 0.75

1/3 * 3/4 = 3/12 = 1/4 = 0.25 = T(1/4)

Zweiter Akt:
a(n) = 3^T(n)
a(n) = 3^(1/4)
a(n) = 1^(1/4) * 1^(1/4) * 1^(1/4)
a(n) = 1 * 1 * 1
a(n) = 1

Probe:
geg.
a(n+1) = sqrt(3*sqrt(a(n))

Lsg.
a(a(n) + 1) = sqrt(3 * sqrt(a(n))
a( 1 + 1) = sqrt(3 * sqrt( 1))
2^2 = 3^2 * 1^2
4/1 = 3/1 * 3/1 * 1/1
4/1 = 9/1 | 1 div 4
= 9/1 / 4/1
= 9/1 * 1/4
= 9/4
= 2 1/4

Jens
Jens Kallup
2020-12-20 12:46:49 UTC
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Am 20.12.2020 um 03:47 schrieb Jens Kallup:
Lsg.
a(a(n) + 1)   = sqrt(3 * sqrt(a(n))
a(  1  + 1)   = sqrt(3 * sqrt(  1))
         2^2   = 3^2    *   1^2
         4/1  = 3/1 * 3/1  *   1/1
         4/1  = 9/1                 | 1 div 4

Fehler: ---%< schnipp ------------------
              = 9/1 / 4/1
              = 9/1 * 1/4
              = 9/4
              = 2 1/4 | woops: Fehler !!!
Fehler: --->% schnapp ------------------
Ergänzung:
= 9/4 * 4/1
= sqrt(36)/sqrt(4)
= 6/2
= 3
Herleitung:
Potenz-Addition: (m + n) * a = m*a + n*a

Aussage:
a(n)
a(a(1) + 1) = 3

Lsg.
= a * a(1) + a * 1
= a * a(1)^2 + a^1
= a + a + a
= 1 + 1 + 1
= 2 + 1
= 3

im zweiten Schritt nicht beirren lassen,
wir haben da einmal das Objekt selbst und
eine Referenz darauf, macht nach Adam Rieß 2
Also 2x a = a * a = a^2.

Gruß, Jens
Stephan Herrmann
2020-12-20 10:43:24 UTC
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carlo berlingen <***@t-online.de> writes:

Hallo Carlo,
Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
wo hängt es denn?
Deine Induktionsvoraussetzung ist a(n) = 3^T(n) für ein n.
Die Induktionsbehauptung ist dann a(n+1) = 3^T(n+1)

Mit der Definition und und der Induktionsbehauptung erhälst Du

a(n+1) = sqrt(3*sqrt(3^T(n)))

Mit Exponentialschreibweise schreibt man

a(n+1) = 3^(1/2) * (3^T(n))^(1/4)
= 3^( (1/2) + (1/4)*T(n) )
= 3^( (2 + T(n))/4 )

Um die Behauptung zu beweisen bleibt zu zeigen:

T(n+1) = (T(n) + 2) / 4

...

HTH

Stephan
Stephan Gerlach
2020-12-21 19:46:34 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Hallo Carlo,
Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
wo hängt es denn?
Deine Induktionsvoraussetzung ist a(n) = 3^T(n) für ein n.
Die Induktionsbehauptung ist dann a(n+1) = 3^T(n+1)
Mit der Definition und und der Induktionsbehauptung erhälst Du
a(n+1) = sqrt(3*sqrt(3^T(n)))
Mit Exponentialschreibweise schreibt man
a(n+1) = 3^(1/2) * (3^T(n))^(1/4)
= 3^( (1/2) + (1/4)*T(n) )
= 3^( (2 + T(n))/4 )
T(n+1) = (T(n) + 2) / 4
Das läßt sich wiederum elementar (wenn auch vielleicht etwas mühselig)
beweisen, mit Bruchrechnung, Potenzgesetzen... usw.
--
Post by Jens Kallup
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Stephan Herrmann
2020-12-21 19:56:40 UTC
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Post by Stephan Gerlach
Post by Jens Kallup
Hallo Carlo,
Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am
Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
[...]
Post by Stephan Gerlach
Post by Jens Kallup
T(n+1) = (T(n) + 2) / 4
Das läßt sich wiederum elementar (wenn auch vielleicht etwas mühselig)
beweisen, mit Bruchrechnung, Potenzgesetzen... usw.
Ja. Einfacher wird wird es, wenn man den Ausdruck für T(n)
umformt zu

2 4^n - 4
T(n) = - * -------
3 4^n

Dann wird auch gleich das asymptotische Verhalten der Folge klar.
--
Stephan
Alfred Flaßhaar
2020-12-20 16:40:11 UTC
Permalink
Post by carlo berlingen
Guten Abend zusammen,
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er Potenzen, für deren Exponenten ich folgenden Term ermittelt habe: T(n)=1/3*(4^(n-1)-1)/2^(2*n-3).
Um a(n)=3^T(n) per Induktion nachzuweisen hänge ich am Induktionsschritt fest.
Jede Hilfe ist willkommen.
Carlo
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.

Gruß, Alfred Flaßhaar
Jens Kallup
2020-12-20 20:16:55 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~ernst/Lehre/AD/Folien/adKapitel3.pdf

sowas?
Post by Alfred Flaßhaar
Gruß, Alfred Flaßhaar
Jens
Alfred Flaßhaar
2020-12-21 07:25:34 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.
http://www.mathe.tu-freiberg.de/~ernst/Lehre/AD/Folien/adKapitel3.pdf
sowas?
Ja.
Stephan Herrmann
2020-12-20 23:11:50 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
Post by carlo berlingen
Aus der Rekusionsgleichung a(n+1)=sqrt(3*sqrt(a(n)) erhalte ich 3er
[...]
Post by Alfred Flaßhaar
Das asymptotische Verhalten der Rekursion zu untersuchen finde ich
interessanter als diesen Formelkram.
Der Fixpunkt 0 ist abstoßend während 3^(2/3) sehr attraktiv ist.
--
Stephan
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