Discussion:
Kann eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben?
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-08-04 14:16:03 UTC
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Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde der
aussehen?
Mir fällt im Moment bloß ein: F: R --> r^2, x |-> F(x,y).
Hans Crauel
2018-08-04 21:11:27 UTC
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IV schrieb
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
Sowas nennt man auch Kurven. Ein Beispiel:

f(t) = exp(t) (cos t, sin t) fuer t in I, I Intervall in R.

Schreibweise als Zeile oder als Spalte ist moeglich. Wenn man
Lineare Algebra damit machen will, nimmt man vorzugsweise die
Spalten-Schreibweise.

Hans
IV
2018-08-04 21:14:02 UTC
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Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
Sowas nennt man auch Kurven.
Ja, natürlich, die sind auch zweidimensional. Aber was ist mit der Abbildung
einer Geraden auf eine Fläche?
Hans Crauel
2018-08-04 21:16:21 UTC
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IV schrieb
Post by IV
Post by Hans Crauel
Sowas nennt man auch Kurven.
Ja, natürlich, die sind auch zweidimensional. Aber was ist mit
der Abbildung einer Geraden auf eine Fläche?
Was soll daran anders sein?

Hans
IV
2018-08-04 21:53:11 UTC
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Post by Hans Crauel
Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
Sowas nennt man auch Kurven.
Ja, natürlich, die sind auch zweidimensional. Aber was ist mit der
Abbildung einer Geraden auf eine Fläche?
Was soll daran anders sein?
WIe würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf eine
Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das auch eine
Funktion einer Veränderlichen?
Hans CraueI
2018-08-05 10:18:21 UTC
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IV schrieb
Post by IV
WIe würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf eine
Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das auch eine
Funktion einer Veränderlichen?
Fuer x aus [0,1) mit Dezimalentwicklung x = sum x_k 10^{-k} = 0, x1 x2 x3 ...
nimm

f(x) = (sum x_{2k} 10^{-k}, sum x_{2k+1} 10^{-k}) in [0,1) x [0,1);

die Summe wird jeweils ueber k aus den natuerlichen Zahlen genommen.
Da ist der Funktionsterm.
Offenbar ist f surjektiv ebenso wie auch injektiv.

Hans
IV
2018-08-05 10:48:18 UTC
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Post by Hans CraueI
Wie würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf eine
Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das auch
eine Funktion einer Veränderlichen?
Fuer x aus [0,1) mit Dezimalentwicklung x = sum x_k 10^{-k} = 0, x1 x2 x3
... nimm
f(x) = (sum x_{2k} 10^{-k}, sum x_{2k+1} 10^{-k}) in [0,1) x [0,1);
die Summe wird jeweils ueber k aus den natuerlichen Zahlen genommen.
Da ist der Funktionsterm.
Offenbar ist f surjektiv ebenso wie auch injektiv.
Ist das auch eine Funktion einer Veränderlichen?
Kannst Du den Funktionsterm bitte mal in expliziter Abhängigkeit von x
darstellen?
Hans Crauel
2018-08-05 11:30:57 UTC
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IV schrieb
Hans Crauel schrieb
Post by Hans CraueI
Fuer x aus [0,1) mit Dezimalentwicklung x = sum x_k 10^{-k} = 0, x1 x2 x3
... nimm
f(x) = (sum x_{2k} 10^{-k}, sum x_{2k+1} 10^{-k}) in [0,1) x [0,1);
die Summe wird jeweils ueber k aus den natuerlichen Zahlen genommen.
Da ist der Funktionsterm.
Offenbar ist f surjektiv ebenso wie auch injektiv.
Ist das auch eine Funktion einer Veränderlichen?
Ganz offensichtlich, ja. Eine Funktion von x aus [0,1).
Kannst Du den Funktionsterm bitte mal in expliziter Abhängigkeit von x
darstellen?
Steht doch in expliziter Abhaengigkeit von x da:
Nimm die Dezimalentwicklung von x, also x = sum x_k 10^{-k}, und ordne
fuer jedes k in N diesem x die k'te Stelle seiner Dezimalentwicklung zu
(ausgeschrieben, fuer jedes k in N: G(x) = 10^k x - (10^k x (mod 1)),
das gibt gerade x_k; bei variierendem k schreibt man am besten G_k).
Dann nimm diese dem x zugeordneten Koeffizienten (x1, x2, x3, ...) =
(G_1(x), G_2(x), G_3(x), ....) und bilde die Dezimalentwicklungen
jeweils zu den geraden und zu den ungeraden Indizes.

Das kann man natuerlich auch in der Form

f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})

schreiben, oder auch in einer etwas unuebersichtlichen Formel,
hier nur fuer die erste Komponente:

sum (10^{2k}x - (10^{2k}x (mod 1))) 10^{-k},

wenn das x ganz direkt im Funktionsterm erscheinen soll. Die
Summe wird dabei stets ueber k in N genommen.

Hans
IV
2018-08-05 12:40:27 UTC
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Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Und das Bild ist eine Fläche, keine Kurve?
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x)), worin g eine
Funktion ist, auch eine Fläche sein, nicht wie ich bisher dachte nur eine
Kurve?
H0Iger SchuIz
2018-08-05 12:50:09 UTC
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Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Und das Bild ist eine Fläche, keine Kurve?
Kurven sind Bilder stetiger Fuktionen. Dieses Funktion sieht mir nicht
sonderlich stetig aus.
Post by IV
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x)),
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.

hs
IV
2018-08-05 13:12:28 UTC
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Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x))
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.
h(z) = (g1(z), g2(z))
Mit g2(z) = g(g1(z)) ergibt sich:
h(z) = (g1(z), g(g1(z))
g1(z) = x
f(x) = (x, g(x))
Detlef Müller
2018-08-05 14:16:21 UTC
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Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie
würde der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x))
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.
h(z) = (g1(z), g2(z))
Mit g2(z) = g(g1(z)) ...
So ein g existiert hier nicht.
g1(z) hängt nur von den gradzahligen Dezimalstellen von z
ab.
Also lässt sich g2(z) nicht aus g1(z) rekonstruieren!

Bei der Konstruktion von f gibt es im übrigen das Problem,
daß 0.1000... = 0.0999999... ist, die Reihendarstellung muß
also noch irgendwie eindeutig gemacht werden.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Hans Crauel
2018-08-05 15:00:29 UTC
Permalink
Detlef MÃŒller schrieb
Bei der Konstruktion von f gibt es im ÃŒbrigen das Problem,
daß 0.1000... = 0.0999999... ist, die Reihendarstellung muß
also noch irgendwie eindeutig gemacht werden.
Ja. Das ist allerdings ein Problem der Dezimalentwicklung (wie
auch der Entwicklung zu jeder anderen Basis) allgemein und ist
nicht fuer die vorliegende Frage spezifisch. Fuer gewoehnlich
nimmt man die abbrechende Entwicklung.

Die Uneindeutigkeit uebertraegt sich vorliegend uebrigens auf
beide Komponenten der Funktionswerte, also: Die Darstellung
von x ist genau dann nicht eindeutig, wenn die Darstellungen
beider Komponenten nicht eindeutig sind (wenn ich nicht gerade
etwas uebersehe).

Hans
IV
2018-08-05 15:11:58 UTC
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Post by Detlef Müller
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie
würde der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x))
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.
h(z) = (g1(z), g2(z))
Mit g2(z) = g(g1(z)) ...
So ein g existiert hier nicht.
Zwischen sum_k G_{2k}(x) 10^{-k} und sum_k G_{2k+1}(x) 10^{-k}) existiert
keine Funktion und keine Relation?
H0Iger SchuIz
2018-08-05 16:19:33 UTC
Permalink
Post by IV
Zwischen sum_k G_{2k}(x) 10^{-k} und sum_k G_{2k+1}(x) 10^{-k}) existiert
keine Funktion und keine Relation?
Auch hier kann man natürlich eine triviale Relation zwischen diesen
Zahlen definieren. Das muss man sich aber nicht ankucken. Sondern sehen,
dass die Informationen in den Ziffern in disjunkte Teile zerschlagen
erden, so dass man aus dem einen Teil den anderen nicht rekonstruieren
kann. Wenn man von einer zweistelligen Zahl nur die Zehnerstelle kennt,
kann man daraus ja auch nicht auf die Einerstelle schließen.

hs
Detlef Müller
2018-08-05 17:05:27 UTC
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Post by IV
Post by Detlef Müller
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie
würde der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x))
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.
h(z) = (g1(z), g2(z))
Mit g2(z) = g(g1(z)) ...
So ein g existiert hier nicht.
Zwischen sum_k G_{2k}(x) 10^{-k} und sum_k G_{2k+1}(x) 10^{-k})
existiert keine Funktion und keine Relation?
In dem Sinne, daß man aus u=sum_k G_{2k}(x) 10^{-k} keine
Rückschlüsse auf v=sum_k G_{2k+1}(x) 10^{-k} machen kann,
ja.

Es ist wie bei einer Projektion: wenn man nur u kennt,
ist v völlig frei wählbar und umgekehrt (Holger hat ja schon
erwähnt, daß f ansonsten schwerlich surjektiv sein kann).
Das zugehörige Urbild x zu gegebenen u und v entsteht dann durch die
"Verschränkung" der Dezimalstellen.

Die in meinem Link (Posting von 13:33) angegebene surjektive Abbildung
von [0,1] nach [0,1]^2 ist obendrein stetig, was zum Zeitpunkt der
Entdeckung großes Erstaunen auslöste.
Die zuerst gefundene "Verschränkung" hat man als hochgradig unstetigen
"unnatürlichen" Sonderling noch geschluckt.
Dann ging es sogar stetig ... spätestens stückweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr Flächenfüllend sein.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Hans Crauel
2018-08-07 01:15:44 UTC
Permalink
Detlef MÃŒller schrieb zu
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k}),
Post by Detlef Müller
Die in meinem Link (Posting von 13:33) angegebene surjektive Abbildung
von [0,1] nach [0,1]^2 ist obendrein stetig, was zum Zeitpunkt der
Entdeckung großes Erstaunen auslöste.
Die zuerst gefundene "VerschrÀnkung" hat man als hochgradig unstetigen
"unnatÃŒrlichen" Sonderling noch geschluckt.
Diese Abbildung, die ja eigentlich wohl die Umkehrung der Verschraenkung
ist, scheint mir aber auch stetig zu sein. Zu eps geq 10^{-n} tut es
delta = 10^{-2n}, oder uebersehe ich da was?

Die Umkehrabbildung ist nicht stetig. Tatsaechlich gibt es keine
stetige injektive Abbildung von (einer offenen Menge im) R^n nach R.

Waere naemlich f eine solche, so ist fuer alle x_1, x_2 in R^n
f(x_1) ungleich f(x_2).
Waehle zwei (stetige) Wege w_1, w_2 von x_1 nach x_2, die keine
gemeinsamen Punkte ungleich x_1 und x_2 haben (ggf. muss man x_1
und x_2 aus einer Zusammenhangskomponente der Menge waehlen).

Die Komposition von f mit einem beliebigen Weg w von x_1 nach x_2,
definiert auf [a,b], ist eine stetige Funktion mit f(w(a)) = f(x_1),
f(w(b)) = f(x_2), und nimmt nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert
dazwischen an, insbesondere etwa (f(x_1) + f(x_2))/2 (um einen
benannt zu haben).

Fuer die beiden Wege w_1 und w_2 von oben gibt es also t_1 und
t_2, so dass f(w_1(t_1)) = f(w_2(t_2)) ( = (f(x_1) + f(x_2))/2).
Das ist jedoch wegen w_1(t_1) ungleich w_2(t_2) ein Widerspruch
zur Injektivitaet von f. Also kann es kein injektives f geben.
Post by Detlef Müller
Dann ging es sogar stetig ... spÀtestens stÌckweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr FlÀchenfÌllend sein.
Gibt es ein ganz schnelles Argument dafuer?

Hans
Martin Vaeth
2018-08-07 05:46:03 UTC
Permalink
Detlef Müller schrieb zu
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k}),
Diese Abbildung, die ja eigentlich wohl die Umkehrung der Verschraenkung
ist, scheint mir aber auch stetig zu sein. Zu eps geq 10^{-n} tut es
delta = 10^{-2n}, oder uebersehe ich da was?
Die Umkehrabbildung ist nicht stetig.
Irgendwas passt nicht zusammen:

Wenn f stetig wäre, so müsste die Umkehrabbildung eigentlich sein
(d.h. Urbilder kompakter Mengen sind kompakt) und damit stetig,
da alle abgeschlossenen Teilmengen von [0,1] kompakt und
das Bild von f Hausdorff ist.

Also entweder ist f nicht stetig oder nicht bijektiv,
oder die Umkehrabbildung ist doch stetig...

Wo der Fehler steckt, sehe ich auf Anhieb auch nicht, aber es
wird wohl mit der Nicht-Eindeutigkeit der Zahlendarstellung
zusammenhängen.
Post by Detlef Müller
Dann ging es sogar stetig ... spätestens stückweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr Flächenfüllend sein.
Gibt es ein ganz schnelles Argument dafuer?
Ich vermute, gemeint ist "stückweise stetig differenzierbar",
also insbesondere Lipschitz. Wenn man [0,1] als [0,1]x{0}
interpretiert, kann die Funktion das Lebesgue-Maß dann
höchstens um die Lipschitzkonstante vergrößern, es bleibt
also eine 2-dimensionale Nullmenge.
"Rektifizierbar" würde natürlich auch ausreichen.
Ob nur "differenzierbar" (ohne "stetig") oder ev. sogar
"f.ü. differenzierbar" ausreichen könnte, ist mir unklar...
Martin Vaeth
2018-08-08 19:27:45 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Post by Detlef Müller
Dann ging es sogar stetig ... spätestens stückweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr Flächenfüllend sein.
Ob nur "differenzierbar" (ohne "stetig") oder ev. sogar
"f.ü. differenzierbar" ausreichen könnte, ist mir unklar...
Die Antwort ist sehr interessant:

1. „Fast überall differenzierbar“ ist nicht ausreichend, auch nicht,
wenn man „fast überall“ als „co-mager“ interpretiert:
Ein Gegenbeispiel ist z.B. eine von Lebesgue konstruierte
flächenfüllende stetige Kurve, die nur auf der Cantor-Menge
nicht-differenzierbar ist.

2. „Überall differenzierbar“ ist hingegen massig ausreichend.
Es genügt sogar, dass in jedem Punkt jeweils mindestens eine der
Koordinatenfunktionen differenzierbar ist, und dass mindestens
eine der Koordinatenfunktionen Lebesgue-messbar ist:
Das Bild hat dann automatisch inneres Lebesgue-Maß 0.

Der Beweis zu 2. steht in
Morayne, Michał, On Differentiability of Peano Type Functions,
Coll. Math. 53, 1987(1), 129-132.

Obwohl der Beweis (mit Hilfssatz) weniger als 2 Seiten lang ist,
ist er dermaßen kompliziert (und verweist dabei auf tiefe
Ergebnisse aus den schwer zugänglichen Büchern von
Ryll-Nardzewski und Sierpinski), dass der Beweis zwar
in Lehrbüchern über raumfüllende Kurven und andere kuriose
Funktionen zitiert, aber anscheinend noch in keinem dieser
Bücher handlich aufbereitet wurde.

Es scheint auch kein kürzerer Beweis unter der stärkeren
Voraussetzung bekannt zu sein, dass beide Koordinatenfunktionen
überall differenzierbar sind.

3. Lässt man die Voraussetzung der Messbarkeit von einer
der beiden Koordinatenfunktionen weg, so ist die Existenz
einer flächenfüllenden Kurve wie in 2. äquivalent zur
Kontinuumshypothese. Ähnliches gilt für höhere Dimensionen.
Für abzählbare Dimensionen (Hilbertwürfel) hingegen geht
es selbst unter der Annahme der Kontinuumshypothese nicht mehr.

Ersteres wird ebenfalls in obiger Arbeit von Morayne bewiesen,
die letzte Aussage habe ich als Übungsaufgabe gefunden.
Hans Crauel
2018-08-08 21:22:56 UTC
Permalink
Martin Vaeth schrieb
1. „Fast ÃŒberall differenzierbar“ ist nicht ausreichend, [...]
2. „Überall differenzierbar“ ist hingegen massig ausreichend. [...]
3. [Ohne] Messbarkeit [...] aequivalent zur Kontinuumshypothese.
Danke fuer die Muehe und die erschoepfende Antwort, mit der
die Frage nach einem "ganz schnellen Argument" wohl mit `nein'
zu beantworten ist.
FÌr abzÀhlbare Dimensionen (HilbertwÌrfel) hingegen geht
es selbst unter der Annahme der Kontinuumshypothese nicht mehr.
Ersteres wird ebenfalls in obiger Arbeit von Morayne bewiesen,
die letzte Aussage habe ich als Übungsaufgabe gefunden.
Es gibt auch Autoren, die ungeloeste Probleme als Uebungsaufgaben
stellen (und dabei so ehrlich sind, das nicht unerwaehnt zu lassen).

Hans
Martin Vaeth
2018-08-10 09:34:21 UTC
Permalink
Post by Hans Crauel
Post by Martin Vaeth
Ersteres wird ebenfalls in obiger Arbeit von Morayne bewiesen,
die letzte Aussage habe ich als Übungsaufgabe gefunden.
Es gibt auch Autoren, die ungeloeste Probleme als Uebungsaufgaben
stellen (und dabei so ehrlich sind, das nicht unerwaehnt zu lassen).
Das Buch ist "Strange functions in real analysis" von Krazishvili,
und auch wenn er oft schwere Übungsaufgaben stellt, waren sie
eigentlich meistens mit Mitteln aus dem entsprechenden Kapitel
(oder analogen Beweisen) lösbar.
Zudem diskutiert er zwei Übungsaufgaben lang vorher tiefe
Eigenschaften von R^\omega, die man dazu vermutlich braucht.
Andererseits: Die dritte Übungsaufgabe vorher lautet sinngemäß:
Es sei f:R\to\R^2 surjektiv und in jeweils mindestens einer
Koordinate differenzierbar. Man zeige, dass f nicht messbar ist.
Also i.W. der Satz von Morayne. (Den anderen Satz von Morayne hat
er aber ausführlich gezeigt; vielleicht gibt es Analogien in den
Beweisen.)
Martin Vaeth
2018-08-10 09:42:03 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Das Buch ist "Strange functions in real analysis" von Krazishvili,
Gemeint war: Alexander B. Kharazishvili
Mit Namen habe ich es nicht so...

Martin Vaeth
2018-08-09 05:18:48 UTC
Permalink
Post by Martin Vaeth
Ryll-Nardzewski und Sierpinski
Gemeint war: Kuratowski und Saks.
(Die anderen beiden Namen betrafen den anderen Satz).
Detlef Müller
2018-08-07 12:53:54 UTC
Permalink
Detlef Müller schrieb zu
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k}),
[...]
Die zuerst gefundene "Verschränkung" hat man als hochgradig unstetigen
"unnatürlichen" Sonderling noch geschluckt.
Diese Abbildung, die ja eigentlich wohl die Umkehrung der Verschraenkung
ist, scheint mir aber auch stetig zu sein. Zu eps geq 10^{-n} tut es
delta = 10^{-2n}, oder uebersehe ich da was?
Betrachten wir mal f(0.1) = (0.1,0) und das Verhalten der ersten
Komponente g(x) bei Näherung an 0.1 von links.

Ist x<0.1 und nähert sich eine Folge x_k von links der Zahl 0.1,
so ist für hinreichend große k stets x_k=0.09* und somit ist
g(x_k)>0.09.
Wenn der linksseitige Grenzwert existiert, dürfte er 0.9999... = 1
sein, Allerdings ist g(0.1)=0, g kann also bei 0.1 nicht stetig
sein.
Wenn man sich mal g(x) plottet (auf drei bis vier Stellen), sieht
man auch die Sprungstellen bei jedem abbrechenden Dezimalbruch.

Damit sollte sich der Haken bei Deiner Epsilon/Delta-Idee etwas
konkreter finden lassen als mit Martins etwas abstrakterer Begründung
der Unstetigkeit.
Aus Temperaturgründen verfolge ich das mal nicht
weiter :)

[...]
Die Umkehrabbildung ist nicht stetig. Tatsaechlich gibt es keine
stetige injektive Abbildung von (einer offenen Menge im) R^n nach R.
(natürlich ist n>1)
Waere naemlich f eine solche, so ist fuer alle x_1, x_2 in R^n
f(x_1) ungleich f(x_2).
Waehle zwei (stetige) Wege w_1, w_2 von x_1 nach x_2, die keine
gemeinsamen Punkte ungleich x_1 und x_2 haben (ggf. muss man x_1
und x_2 aus einer Zusammenhangskomponente der Menge waehlen).
Die Komposition von f mit einem beliebigen Weg w von x_1 nach x_2,
definiert auf [a,b], ist eine stetige Funktion mit f(w(a)) = f(x_1),
f(w(b)) = f(x_2), und nimmt nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert
dazwischen an, insbesondere etwa (f(x_1) + f(x_2))/2 (um einen
benannt zu haben).
Fuer die beiden Wege w_1 und w_2 von oben gibt es also t_1 und
t_2, so dass f(w_1(t_1)) = f(w_2(t_2)) ( = (f(x_1) + f(x_2))/2).
Das ist jedoch wegen w_1(t_1) ungleich w_2(t_2) ein Widerspruch
zur Injektivitaet von f. Also kann es kein injektives f geben.
wobei (f(x_1) + f(x_2))/2 weder f(x_1) noch f(x_2) sein kann, also
t_1, t_2 nicht in der Menge {a,b} sein können.
(um w_1(t_1) ungleich w_2(t_2) näher zu begründen).

Schöne Anwendung des ZWS!

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Detlef Müller
2018-08-07 13:09:58 UTC
Permalink
Detlef Müller schrieb zu
[...]
Dann ging es sogar stetig ... spätestens stückweise differenzierbare
Kurven können aber nicht mehr Flächenfüllend sein.
Gibt es ein ganz schnelles Argument dafuer?
Das habe ich irgendwo als Fußnote ohne Beweis gefunden (ohne
die Bedingung, daß die Ableitung stetig sein müsste) und dann
einfach geglaubt ...
Die klassischen flächenfüllenden Kurven sind wohl nirgends
differenzierbar, aber offenbar könnt man ja in so eine
Kurve jederzeit ein differenzierbares Schleifchen
einbauen, "nirgends differenzierbar" ist also jedenfalls
keine notwendige Bedingung).

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
H0Iger SchuIz
2018-08-05 15:57:52 UTC
Permalink
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Also kann das Bild einer Funktion x |-> f(x) = (x, g(x))
Obiges Beispiel ist nicht in dieser Form, seh' nochmal hin.
h(z) = (g1(z), g2(z))
Was sind denn jetzt? h, g1 und g2? Eben waren wir noch bei f und g. Wozu
werden die neuen Bezeichner eingeführt und was bezeichnen sie?
Post by IV
Mit g2(z) = g(g1(z))
Woher kommt diese Gleichung?
Post by IV
h(z) = (g1(z), g(g1(z))
Soweit. Syntaktisch ok.
Post by IV
g1(z) = x
Woher soll das kommen?
Post by IV
f(x) = (x, g(x))
Und was hat das davor Gesagte mit f zu tun?

Obiges Beispiel war
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by Hans Crauel
f(x) = (sum G_{2k}(x) 10^{-k}, sum G_{2k+1}(x) 10^{-k})
Ich glaube kaum, dass sum G_{2k}(x) 10^{-k} = x gilt.

Mit der Abbildungsvorschrift x |-> (x, g(x)) dürfte es jedenfalls schwer
werden eine Fläche zu füllen, da von es für jedes x nur ein y gibt, so
dass (x,y) im Bild liegt. D.h. die Punkte "darüber" und "darunter"
werden nicht "erwischt".

hs
IV
2018-08-05 16:58:20 UTC
Permalink
Post by H0Iger SchuIz
Post by H0Iger SchuIz
Kurven sind Bilder stetiger Fuktionen.
Mit der Abbildungsvorschrift x |-> (x, g(x)) dürfte es jedenfalls schwer
werden eine Fläche zu füllen, da von es für jedes x nur ein y gibt, so
dass (x,y) im Bild liegt. D. h. die Punkte "darüber" und "darunter" werden
nicht "erwischt".
Wird also für die Abbildung eines Intervalls auf eine Fläche eine Funktion x
|-> (g1(x), g2(x)) gebraucht?
H0Iger SchuIz
2018-08-05 11:36:23 UTC
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Post by IV
Post by Hans CraueI
Wie würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf eine
Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das auch
eine Funktion einer Veränderlichen?
Fuer x aus [0,1) mit Dezimalentwicklung x = sum x_k 10^{-k} = 0, x1 x2 x3
... nimm
f(x) = (sum x_{2k} 10^{-k}, sum x_{2k+1} 10^{-k}) in [0,1) x [0,1);
die Summe wird jeweils ueber k aus den natuerlichen Zahlen genommen.
Da ist der Funktionsterm.
Offenbar ist f surjektiv ebenso wie auch injektiv.
Ist das auch eine Funktion einer Veränderlichen?
Ich zähle mal durch

x

Hm, ich zähle noch mal nach, ja eine (in Worten: 1) Veränderliche.
Post by IV
Kannst Du den Funktionsterm bitte mal in expliziter Abhängigkeit von x
darstellen?
Kann Hans bestimmt, wenn du erklärst (natürlich auf Deutsch), was du mit
"expliziter Abhängigkeit" meinst. Dabei könntest du vielleicht noch
nachliefern, was nach deiner Vorstellung als Funktionsterm gilt.

Aber als Tipp zum Selberbasteln: die jeweilige Ziffer bekommt man, indem
durch Multiplikation mit einer geeigneten Zehmerpotenz, Abschneiden der
"hinteren" Ziffern mit der unteren Gauß-Klammer und Abschneiden der
"vorderen" Ziffern mit Hilfe eines Divisionsrests.

Den Term kann man dann entsprechend für die Ziffern in obigen
Funktionsterm einsetzen. Ist das dann explizit und abhängig genug? Wird
womöglich nicht sonderlich übersichtlich. Hat das außer Rechenknobelei
einen sittlichen Nährwert? Ich habe jedenfalls im Moment keine Lust,
dass im Detail aufzuschreiben.

hs
Detlef Müller
2018-08-05 11:33:34 UTC
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Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie
würde der aussehen?
Sowas nennt man auch Kurven.
Ja, natürlich, die sind auch zweidimensional. Aber was ist mit der
Abbildung einer Geraden auf eine Fläche?
Was soll daran anders sein?
WIe würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf
eine Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das
auch eine Funktion einer Veränderlichen?
Klar, allerdings wird die Abbildungsvorschrift einen Grenzwert
enthalten, z.B. hier:

https://math.stackexchange.com/questions/2009818/how-to-construct-a-space-filling-curve-in-the-first-place

in Form von unendlichen Summen.

Im Beispiel geht es allerdings nur vom Einheitsintervall ins
Einheitsquadrat.

Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
Hans Crauel
2018-08-05 11:50:55 UTC
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Detlef MÃŒller schrieb
Post by Detlef Müller
WIe wÃŒrde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf
eine Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das
auch eine Funktion einer VerÀnderlichen?
Klar, allerdings wird die Abbildungsvorschrift einen Grenzwert
enthalten
Das trifft ebenso auf die Exponentialfunktion sowie auf die Sinus-
und die Cosinus-Funktion zu. Wer diese Funktionen akzeptiert, darf
nicht ablehnen, wenn Funktionen mit Zuhilfenahme einer (validen)
Grenzwertbildung definiert werden.

Hans
H0Iger SchuIz
2018-08-05 11:57:00 UTC
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Post by Detlef Müller
Im Beispiel geht es allerdings nur vom Einheitsintervall ins
Einheitsquadrat.
Die Ebene füllt man mit dove tailing mit Einheitsquadraten.

hs
Andreas Leitgeb
2018-08-06 14:57:20 UTC
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Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Post by Hans Crauel
Post by IV
Kann denn eine Funktion R --> R^2 einen Funktionsterm haben? Wie würde
der aussehen?
Sowas nennt man auch Kurven.
Ja, natürlich, die sind auch zweidimensional. Aber was ist mit der
Abbildung einer Geraden auf eine Fläche?
Was soll daran anders sein?
WIe würde ein Funktionsterm einer Funktion, die die reelle Achse auf eine
Ebene abbildet, aussehen? Ich kann's mir nicht vorstellen. Ist das auch eine
Funktion einer Veränderlichen?
Stichwort: "Raumkurve".

Ein schönes Beispiel, das Google dafür fand, ist:
http://modellsammlung.uni-goettingen.de/index.php?lang=de&r=5&sr=21&m=166

Auf der breiteren Rückwand würdest du dabei z.B. die eine Einzel-Koordinaten-
funktion sehen, und am Boden die andere. Die x-Achse geht dabei nach links
leicht hinunter.

Was du auf der schmalen Rückwand siehst, ist da genau die Bildmenge der
Funktion als Teilmenge der Ebene.

PS: Die Beschreibung auf der Seite spricht hier von einer Raumkurve
I->R^3, aber das Foto passt meiner Meinung nach besser zu deiner
Frage nach einer Funktion R->R^2.

noch ein PS:
hättest du auf der breiten Rückwand eine Sinus Kurve, und am Boden eine
Cosinus Kurve, dann wäre der Draht eine Spirale, und die Bildmenge ein
Kreis.
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