Post by Hans CrauelStephan Gerlach schrieb
Post by Stephan GerlachAber aus negativen (reellen) Zahlen darf man ungerade Wurzeln
ziehen?
Ja. "Wir" legen das so fest, daß eine Wurzel existiert, wenn es eine
reelle Zahl w gibt mit w^n = z (was ja bei ungeradem Wurlelexponent n
immer der Fall ist).
Sicher kann man das, doch wozu? Man gewinnt wenig, verliert
jedoch viel.
Es wird in der Regel als nachvollziehbarer aufgefaßt, wenn man wie
erwähnt einfach sagt
"wenn w^n = z ist, dann heißt w n-te Wurzel aus z".
Anders gesagt: Es erscheint "natürlicher", -2 als 3. Wurzel aus -8
erstmal zuzulassen, anstatt zu sagen
"das ginge zwar prinzipiell, aber das wollen wir nicht, weil negative
Zahlen bei Wurzeln generell unerwünscht sind, denkt nur an gerade
Wurzelexponenten, da geht es ja auch nicht".
Es gibt auf den ersten Blick keine Notwenigkeit, sowas wie sqrt[3](-8)
im Reellen zu "verbieten", nur weil es bei geradem Wurzelexponent
problematisch wäre.
Nur wenn keine Lösung existiert oder Mehrdeutigkeit vermieden werden
soll, muß man in die Definition "eingreifen".
Post by Hans CrauelPost by Stephan GerlachDazu kommt die Festlegung, daß bei geradem Wurzelexponent (und
nichtnegativem Radikand) die Wurzel w definitionsgemäß positiv sein
soll, um Mehrdeutigkeit zu vermeiden.
Exponenten der Form 1/n sind nicht besonders interessant.
Ja. Dennoch spricht das nicht unbedingt gegen ungerade Wurzelexponenten,
wenn man erstmalig Wurzeln definiert (und noch gar nicht bei
nicht-ganzzahligen Exponenten ist).
Post by Hans CrauelInteressant sind reelle Exponenten.
Natürlich; und in diesem Fall wird's mit negativem a auch sehr schwierig.
Post by Hans CrauelRationale Exponenten
der Form m/n sind ein erster Schritt, schon in der Mittelstufe
vermittelbar, diese definiert man vermittels
a^{n/m} = (a^n)^{1/m} = (a^{1/m})^n
für natürliche Zahlen n und nichtnegative a (die zweite Gleichung
ist dafür - einfach - zu verifizieren).
Man definiert wohl didaktisch sinnvollerweise zunächst mal
a^{1/m} = sqrt[m]{a},
was auch für negative a ginge.
Ansonsten, für allgemeine Zähler n, könnte man einfach sagen
"wenn bei der Rechnung (im Rellen) nicht definierte Terme oder
geradzahlige Wurzelexponenten mit a<0 'entstehen', gilt diese Regel
(genauer: Definition)
a^{n/m} = (a^n)^{1/m} = (a^{1/m})^n
eben nicht".
D.h. z.B. ist demnach (-8)^(2/6) definiert, aber es ist *nicht*
identisch mit ((-8)^2)^{1/6} oder ((-8)^{1/6})^2.
Post by Hans CrauelFür den allgemeinen Fall braucht man dann die Exponentialfunktion.
Ja.
Post by Hans CrauelPost by Stephan GerlachMan hat (a^n)^{1/m} = (a^{1/m})^n = a^{n/m} für natürliche Zahlen n
und m [...]
Und das will man denn schon. Für negative a ist mit deinem
Vorschlag zwar a^(1/3) definiert, a^(2/6) jedoch nicht, sofern
man weiter wie oben "rechnen" will.
Und genau das (wie oben "rechnen") kann man dann eben nicht.
a^(2/6) ist/wäre demnach einfach definiert als
"kürze erstmal 2/6 und rechne (falls möglich) die 'neue' entstehende
Potenz aus",
einfach ganz lapidar weil 2/6 in der Klammer steht und demnach "zuerst"
berechnet werden muß.
Post by Hans CrauelNatürlich kann man jetzt a^(m/n) vermittels der teilerfremden
Form des Bruchs auch für negative a definieren, doch dann
muss man beim Rechnen mit Exponenten hässliche
Fallunterscheidungen machen - sobald einem ein allgemeines
a^(n/m) unterkommt, muss man Teilerfremdheit von n und m
sicherstellen, wenn man negative z zulassen will.
Post by Stephan GerlachWenn man mit Wurzeln aus negativen Zahlen rechnen will, so
wie es etwa bei Herleitungen zu Zugehörigkeiten zu L^p-Räumen gern
gemacht wird, muss man dann bei Exponenten-Arithmetik aufpassen wie
ein Luchs.
Nicht, daß das jetzt zu weit führt, aber: Bei welchen Herleitungen genau?
In der Stochastik häufiger mal, aber schon bei der Hölder-Ungleichung
tauchen duale Exponenten p und q = p/(p-1) auf (so dass man
1/p + 1/q = 1 hat).
Da müßte ich/man jetzt gucken, ob die in entsprechenden Beweisen
verwendeten Basen a irgendwo negativ sind. AFAIR nicht(?).
Post by Hans CrauelOder bei der Lyapunov-Ungleichung.
Gut, da nimmt man oft gleich komplexe a und arbeitet
durchgängig nur mit |a|^p.
Post by Stephan GerlachSo dass es oft einfacher wird, wenn man doch lieber
Wurzeln aus negativen Zahlen von vornherein ausschließt.
Ich finde jetzt folgende Fallunterscheidung (nur im Reellen) nicht so
Wenn der Wurzelexponent gerade ist, dann sind alle beteiligten Zahlen
positiv (oder 0).
Wenn der Wurzelexponent ungerade ist, dann dürfen Radikand und
Wurzel-Wert "alles" sein, also auch negativ.
Leicht vermittelbar schon, aber für Verallgemeinerungen nicht
nützlich. Dass man in Einzelfällen auf der Suche nach w^n = a
für negative a welche findet, erfordert keine Definition der
Wurzelfunktion *^(1/n) : R -> R (nur) für ungerade n.
Erfordert vielleicht nicht; man stellt eben einfach nur fest "daß es
(prinzipiell) geht". Daß da nicht viel dran verallgemeinerbar ist, steht
auf einem anderen Blatt.
Post by Hans CrauelPost by Stephan GerlachDer "Witz" ist zudem, daß ich bei "meinem" (0=1)-Beweis an keiner
einzigen Stelle eine Wurzel aus einer negativen Zahl benutzt habe.
Der Fehler liegt hier einfach in einer fehlerhaften Anwendung eines
Potenzgesetzes.
"Fehlerhaft" würde ich es nicht nennen.
Naja, doch:
Ich habe einfach das Potenzgesetz (egal ob als tatsächliches Gesetz oder
als Definition)
(a^m)^n = a^(m*n)
benutzt, obwohl das(!) im Reellen nur in folgenden Fällen gilt:
I. a>0, und dann dürfen m und n reell sein, oder...
II. a reell (auch negativ möglich), und m und n sind ganzzahlig.
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Post by Hans CrauelEigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)