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Fehlerhaftes Kapitel in Lehrbuch
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b***@gmail.com
2018-09-15 20:24:38 UTC
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In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim

Seite 25 steht: Die Menge |N sei axiomatisiert durch:

1 in M (4.1)

(n+1) in M (4.2)

|N Teilmenge von M (4.3)

Was aber ziemlicher Unsinn ist, da z.B. |N = {} auch die obigen
Axiome erfüllt. Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch ,

dass es keinen Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert
wird, dass funktionierende Axiome wiedergegeben werden,
z.B. diejenigen von Peano wie hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

Please sign, the goal is 1000 supporters:
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/
b***@gmail.com
2018-09-15 20:26:58 UTC
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He confused his botched induction schema
(4.1,4.2,4.3), with the natural number axioms.
He NEEDs to state:

1 in |N

forall n (n in |N => (n+1) in |N)

i.e. that |N is ALSO an inductive set, otherwise
it can be anything, including |N = 0.

And you need of course also have a minimum of
axioms about +1, like:

forall n (1 <> n+1)

forall n,m (n+1 = m+1 => n = m)
Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
1 in M (4.1)
(n+1) in M (4.2)
|N Teilmenge von M (4.3)
Was aber ziemlicher Unsinn ist, da z.B. |N = {} auch die obigen
Axiome erfüllt. Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch ,
dass es keinen Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert
wird, dass funktionierende Axiome wiedergegeben werden,
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/
WM
2018-09-16 11:11:51 UTC
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Post by b***@gmail.com
He confused his botched induction schema
(4.1,4.2,4.3), with the natural number axioms.
1 in |N
forall n (n in |N => (n+1) in |N)
Erstens ist damit nicht ℕ definiert sondern auch jede Obermenge von ℕ.
Zweitens ist der Quantor sinnlos, weil

(A) ℕ erst zu definieren ist, also der Bereich noch nicht gegeben ist und selbst wenn der Bereich gegeben wäre
(B) die Implikation (n in |N => (n+1) in |N) bereits den Quantor enthielte. Die Implikation beginnt nämlich "Wenn immer n in |N", das schließt den Allquantor bereits ein. Der Vorsatz "forall n" ist also überflüssig.

Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-16 14:06:39 UTC
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Einzel betrachtet ja, die Mengen die diese zwei Axiom
erfüllen können, können auch grösser als das
beabsichtigte |N sein.

Aber mehrere Axiome werden als Konjunktion betrachtet.
Ich habe ja geschrieben man muss das noch **dazu** nehmen,
damit man Mengen wie

|N={}, aus |N Telmenge von M ausschliessen kann.
Post by WM
Post by b***@gmail.com
He confused his botched induction schema
(4.1,4.2,4.3), with the natural number axioms.
1 in |N
forall n (n in |N => (n+1) in |N)
Erstens ist damit nicht ℕ definiert sondern auch jede Obermenge von ℕ.
Zweitens ist der Quantor sinnlos, weil
(A) ℕ erst zu definieren ist, also der Bereich noch nicht gegeben ist und selbst wenn der Bereich gegeben wäre
(B) die Implikation (n in |N => (n+1) in |N) bereits den Quantor enthielte. Die Implikation beginnt nämlich "Wenn immer n in |N", das schließt den Allquantor bereits ein. Der Vorsatz "forall n" ist also überflüssig.
Gruß, WM
WM
2018-09-16 11:05:19 UTC
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Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
1 in M (4.1)
(n+1) in M (4.2)
|N Teilmenge von M (4.3)
Was aber ziemlicher Unsinn ist
Was aber ziemlicher Unsinn wäre, stände es dort so. Dort aber steht:

++++++++++++

Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3,...} wird durch die folgenden Axiome definiert:

(4.1) 1 ∈ M

(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M

(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.

Diese Menge ist potentiell unendlich, das heißt, zu jeder natürlichen Zahl n kann eine größere natürliche Zahl gefunden werden.

++++++++++++

Es ist also schon wegen der Angabe ℕ = {1,2,3,...} nicht möglich, ℕ als leer anzunehmen, und es wäre ziemlich dämlich, den letzten Satz zu unterschlagen oder anzunehmen, die Axiome (4.1) und (4.2) seien "einfach so" ohne Bezug zu ℕ hingeschrieben.

Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-16 14:03:53 UTC
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ℕ ⊆ M.

Ist üblicherweise übersetzt:

|N Teilmenge von M

Jetzt denk mal nach. Ist {} Teilmenge von M?
D.h. die Axiome sind viel zu schwach um sinnvoll
benutzt werden so können. Erst wenn man

noch den Rest dazu nimmt, macht es sinn. Aber
der Rest ist nicht aufgeführt. Sondern nur obiges
Induktionsschema. Das ist aber Unsinn.
Post by WM
Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
1 in M (4.1)
(n+1) in M (4.2)
|N Teilmenge von M (4.3)
Was aber ziemlicher Unsinn ist
++++++++++++
(4.1) 1 ∈ M
(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M
(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.
Diese Menge ist potentiell unendlich, das heißt, zu jeder natürlichen Zahl n kann eine größere natürliche Zahl gefunden werden.
++++++++++++
Es ist also schon wegen der Angabe ℕ = {1,2,3,...} nicht möglich, ℕ als leer anzunehmen, und es wäre ziemlich dämlich, den letzten Satz zu unterschlagen oder anzunehmen, die Axiome (4.1) und (4.2) seien "einfach so" ohne Bezug zu ℕ hingeschrieben.
Gruß, WM
WM
2018-09-16 21:12:19 UTC
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Post by WM
ℕ ⊆ M.
|N Teilmenge von M
Jetzt denk mal nach. Ist {} Teilmenge von M?
Dort steht nicht, dass |N jede mögliche Teilmenge ist, sondern eine Teilmenge. Es steht dort außerdem, dass |N die beiden ersten Axiome erfüllt.

Aber auch ohne diesen Hinweis würde sich jeder einigermaßen intelligente Leser fragen, wozu der Aufwand betrieben wird, wenn am Ende die leere Menge möglich wäre.
Post by WM
D.h. die Axiome sind viel zu schwach um sinnvoll
benutzt werden so können.
Nein. Es werden intelligente Leser angesprochen, die zumindest ein Fachabitur vorweisen können, keine Logiker.

Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-16 22:02:29 UTC
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Mit welchem Satz steht dass |N (4.1) und (4.2)
erfüllen soll? Es steht nur "Die Menge |N wird durch
folgende Axiome definiert."

1 in M (4.1)

n in M => (n+1) in M (4.2)

Erfullt M (4.1) und (4.2), so gilt
|N Teilmenge von M (4.3)

Aber Axiome können das nicht sein. Wenn das Axiome
wären würde man das universell quantifiziert lesen.
Nämlich so würden die ersten beiden Axiom gelesen:

forall M(1 in M) (4.1)

forall n,M(n in M => (n+1) in M)

Was auch Unsinn ist. Also ist es die Inferenz Regel
der Peano Induktion, die auch später im Buch verwendet
wird. Nur ist Peano Induktion Axiom Nr.5,

die restlichen Axiome wurden wohl alle unter
den Teppich gekehrt durch die Verkürzung der
Darstellung. Jedenfalls macht diese konfuse

Darstellung einem Lehrbuch keinerlei Ehre.
Hier ist der Buchausschnitt:

https://books.google.ch/books?id=65-lCQAAQBAJ&lpg=PR4&ots=bOGMbSpjTW&dq=978-3-11-037734-7%20pdf&hl=de&pg=PA25#v=onepage&q=978-3-11-037734-7%20pdf&f=false
Post by WM
Post by WM
ℕ ⊆ M.
|N Teilmenge von M
Jetzt denk mal nach. Ist {} Teilmenge von M?
Dort steht nicht, dass |N jede mögliche Teilmenge ist, sondern eine Teilmenge. Es steht dort außerdem, dass |N die beiden ersten Axiome erfüllt.
Aber auch ohne diesen Hinweis würde sich jeder einigermaßen intelligente Leser fragen, wozu der Aufwand betrieben wird, wenn am Ende die leere Menge möglich wäre.
Post by WM
D.h. die Axiome sind viel zu schwach um sinnvoll
benutzt werden so können.
Nein. Es werden intelligente Leser angesprochen, die zumindest ein Fachabitur vorweisen können, keine Logiker.
Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-16 22:03:03 UTC
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Please sign, the goal is 1000 supporters:
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/

The petition will be online for 12 months.
Post by b***@gmail.com
Mit welchem Satz steht dass |N (4.1) und (4.2)
erfüllen soll? Es steht nur "Die Menge |N wird durch
folgende Axiome definiert."
1 in M (4.1)
n in M => (n+1) in M (4.2)
Erfullt M (4.1) und (4.2), so gilt
|N Teilmenge von M (4.3)
Aber Axiome können das nicht sein. Wenn das Axiome
wären würde man das universell quantifiziert lesen.
forall M(1 in M) (4.1)
forall n,M(n in M => (n+1) in M)
Was auch Unsinn ist. Also ist es die Inferenz Regel
der Peano Induktion, die auch später im Buch verwendet
wird. Nur ist Peano Induktion Axiom Nr.5,
die restlichen Axiome wurden wohl alle unter
den Teppich gekehrt durch die Verkürzung der
Darstellung. Jedenfalls macht diese konfuse
Darstellung einem Lehrbuch keinerlei Ehre.
https://books.google.ch/books?id=65-lCQAAQBAJ&lpg=PR4&ots=bOGMbSpjTW&dq=978-3-11-037734-7%20pdf&hl=de&pg=PA25#v=onepage&q=978-3-11-037734-7%20pdf&f=false
Post by WM
Post by WM
ℕ ⊆ M.
|N Teilmenge von M
Jetzt denk mal nach. Ist {} Teilmenge von M?
Dort steht nicht, dass |N jede mögliche Teilmenge ist, sondern eine Teilmenge. Es steht dort außerdem, dass |N die beiden ersten Axiome erfüllt.
Aber auch ohne diesen Hinweis würde sich jeder einigermaßen intelligente Leser fragen, wozu der Aufwand betrieben wird, wenn am Ende die leere Menge möglich wäre.
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D.h. die Axiome sind viel zu schwach um sinnvoll
benutzt werden so können.
Nein. Es werden intelligente Leser angesprochen, die zumindest ein Fachabitur vorweisen können, keine Logiker.
Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-16 22:07:51 UTC
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"forall M(1 in M) (4.1)" wäre ein ziemliches
Unsinn Axiom für Peano. Es gibt auch Mengen
ohne 1 darin. Genauso das zweite "forall n,M
(n in M => (n+1) in M) (4.2)".

Hier sind einige Gegenbeispiele:

[A] Even = {2,4,6,...}

[B] Primes = {1,2,3,5,7,11,13,...}

Das sind Gegenbeispiele falls (4.1) und (4.2)
Axiome wären. [A] Even=M ist eine Menge ohne
1 in M. [B] Primes=M ist eine Menge ohne
n in M => n+1 in M.
Post by b***@gmail.com
Mit welchem Satz steht dass |N (4.1) und (4.2)
erfüllen soll? Es steht nur "Die Menge |N wird durch
folgende Axiome definiert."
1 in M (4.1)
n in M => (n+1) in M (4.2)
Erfullt M (4.1) und (4.2), so gilt
|N Teilmenge von M (4.3)
Aber Axiome können das nicht sein. Wenn das Axiome
wären würde man das universell quantifiziert lesen.
forall M(1 in M) (4.1)
forall n,M(n in M => (n+1) in M)
Was auch Unsinn ist. Also ist es die Inferenz Regel
der Peano Induktion, die auch später im Buch verwendet
wird. Nur ist Peano Induktion Axiom Nr.5,
die restlichen Axiome wurden wohl alle unter
den Teppich gekehrt durch die Verkürzung der
Darstellung. Jedenfalls macht diese konfuse
Darstellung einem Lehrbuch keinerlei Ehre.
https://books.google.ch/books?id=65-lCQAAQBAJ&lpg=PR4&ots=bOGMbSpjTW&dq=978-3-11-037734-7%20pdf&hl=de&pg=PA25#v=onepage&q=978-3-11-037734-7%20pdf&f=false
Post by WM
Post by WM
ℕ ⊆ M.
|N Teilmenge von M
Jetzt denk mal nach. Ist {} Teilmenge von M?
Dort steht nicht, dass |N jede mögliche Teilmenge ist, sondern eine Teilmenge. Es steht dort außerdem, dass |N die beiden ersten Axiome erfüllt.
Aber auch ohne diesen Hinweis würde sich jeder einigermaßen intelligente Leser fragen, wozu der Aufwand betrieben wird, wenn am Ende die leere Menge möglich wäre.
Post by WM
D.h. die Axiome sind viel zu schwach um sinnvoll
benutzt werden so können.
Nein. Es werden intelligente Leser angesprochen, die zumindest ein Fachabitur vorweisen können, keine Logiker.
Gruß, WM
WM
2018-09-17 12:06:10 UTC
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Post by b***@gmail.com
Mit welchem Satz steht dass |N (4.1) und (4.2)
erfüllen soll?
Dort stehet einleitend: "Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ= {1,2,3,...} ..." Damit ist Axiom (4.1) erfüllt.

Außerdem steht dort weiterhin: "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden". Das lässt darauf schließen, dass diese Axiome erforderlich sind - wenn ein Leser das bis dahin immer noch nicht gemerkt hat. Allerdings sind mir solche Fälle bisher nicht bekanntgeworden.
Post by b***@gmail.com
Es steht nur "Die Menge |N wird durch
folgende Axiome definiert."
1 in M (4.1)
n in M => (n+1) in M (4.2)
Erfullt M (4.1) und (4.2), so gilt
|N Teilmenge von M (4.3)
Und aus dem Kontext ergibt sich zweifelsfrei, dass auch |N die Axiome (4.1) und (4.2) erfüllt.

Merkwürdig, dass viele "Logiker" die Peano Axiome zur Definition der natürlichen Zahlen akzeptieren, obwohl sich leicht beweisen lässt, dass sie das nicht schaffen. Ein einfaches Beispiel ist die Folge (1/n).

Außerdem lässt sich leicht zeigen, dass für jede natürliche Zahl gilt, dass sie zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, auf den pot. unendlich viele Zahlen folgen. Die Anwendung des Allquantors ist hier also ein schwerer Fehler.

Aber das ficht die "Logiker" nicht an. Irgendwie scheint Logik den Denkapparat zu schwächen.

Gruß, WM
b***@gmail.com
2018-09-17 12:45:59 UTC
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Egal, die Petition sagt nicht das Peano verwendet werden
muss. Es wird nur ein Beispiel von einigermassen
funktionierenden Axiomen angegeben, die zumindest Unsinn
Mengen wie |N={} ausschliessen.

Auch Peano ist nicht ein vollständiges Axiomensystem,
weil wie Gödel schon gezeigt hat, es kein vollständiges,
rekursive aufzählendes, Axiomensystem, für Arithmetik
geben kann. Aber es sollte zumindest,

das erlauben zu tun, was auch im Buch gemacht wird.
Ansonsten kann sich der Autor ja damit behelfen, dass
er auf existierende Literatur verweisst. Aber hier wurde
offensichtlich Müll zusammengekleistert.
Post by WM
Post by b***@gmail.com
Mit welchem Satz steht dass |N (4.1) und (4.2)
erfüllen soll?
Dort stehet einleitend: "Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ= {1,2,3,...} ..." Damit ist Axiom (4.1) erfüllt.
Außerdem steht dort weiterhin: "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2) allein können die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden". Das lässt darauf schließen, dass diese Axiome erforderlich sind - wenn ein Leser das bis dahin immer noch nicht gemerkt hat. Allerdings sind mir solche Fälle bisher nicht bekanntgeworden.
Post by b***@gmail.com
Es steht nur "Die Menge |N wird durch
folgende Axiome definiert."
1 in M (4.1)
n in M => (n+1) in M (4.2)
Erfullt M (4.1) und (4.2), so gilt
|N Teilmenge von M (4.3)
Und aus dem Kontext ergibt sich zweifelsfrei, dass auch |N die Axiome (4.1) und (4.2) erfüllt.
Merkwürdig, dass viele "Logiker" die Peano Axiome zur Definition der natürlichen Zahlen akzeptieren, obwohl sich leicht beweisen lässt, dass sie das nicht schaffen. Ein einfaches Beispiel ist die Folge (1/n).
Außerdem lässt sich leicht zeigen, dass für jede natürliche Zahl gilt, dass sie zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, auf den pot. unendlich viele Zahlen folgen. Die Anwendung des Allquantors ist hier also ein schwerer Fehler.
Aber das ficht die "Logiker" nicht an. Irgendwie scheint Logik den Denkapparat zu schwächen.
Gruß, WM
ich
2018-09-18 00:34:44 UTC
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Post by WM
Außerdem steht dort weiterhin: "Schon mit Hilfe der Axiome (4.1) und (4.2)
allein können die natürlichen Zahlen sofort gebildet werden".
Das mag dort stehen, es ist aber -je nach Sichtweise- entweder falsch, oder unsinnig.

Hinweis: In Ihren "Axiomen" (4.1) und (4.2) taucht das Symbol "IN" gar nicht auf, daher machen diese beiden "Axiome" auch keine Aussage(n) über IN.

Würde Ihre beiden "Axiome" allerdings lauten:

(4.1') 1 e IN
(4.2') n e IN => (n + 1) e IN

sähe die Sache schon anders aus. Dann wüsste man sofort, dass 1 e IN, 1 + 1 e IN, (1 + 1) + 1 e IN ist, etc.
Post by WM
Das lässt darauf schließen, dass diese Axiome erforderlich sind
Jedenfalls gibt es diese Axiome -(4.1') und (4.2')- in Peanos Axiomensystem; und das nicht ohne Grund.

Leider schließen diese beiden Axiome nicht aus, dass z. B. IN = {1} ist. Das wäre dann der Fall, wenn gelten würde 1 = 1 + 1 = (1 + 1) + 1 = ...
Dass dem NICHT so ist, wird auch durch das so ergänzte/erweiterte Axiomensystem leider nicht erzwungen.
Post by WM
Und aus dem Kontext ergibt sich zweifelsfrei, dass auch IN die Axiome (4.1)
und (4.2) erfüllt.
Nö, und drum schreibt man das in der Regel auch EXPLIZIT hin (siehe Peano-Axiome). Jedenfalls seit etwa mehr als 100 Jahren.
Post by WM
Außerdem lässt sich leicht zeigen, dass für jede natürliche Zahl gilt, dass
sie zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, auf den [...] unendlich viele
Zahlen folgen.
Zumindest kann man das im Kontext der Peano-Axiome und/oder einer einschlägigen Mengenlehre ableiten/beweisen; die Bezugnahme auf irgendwelche "Anfangsabschnitte" braucht man da gar nicht: Es gilt für jedes n e IN, dass noch unendliche viele natürliche Zahlen auf n "folgen" (also großer sind als n).
ich
2018-09-18 00:39:31 UTC
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Post by ich
Zumindest kann man das im Kontext der Peano-Axiome und/oder einer einschlägigen
Mengenlehre ableiten/beweisen; die Bezugnahme auf irgendwelche "Anfangs-
abschnitte" braucht man da gar nicht: Es gilt für jedes n e IN, dass
noch unendliche viele natürliche Zahlen auf n "folgen" (also großer sind als n).
Satz: An e IN: unendlich({m e IN : n < m}).
ich
2018-09-17 23:54:15 UTC
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Post by WM
++++++++++++
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3,...} wird durch die folgenden
(4.1) 1 ∈ M
(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M
(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.
++++++++++++
Es ist also schon wegen der Angabe ℕ = {1,2,3,...} nicht möglich, ℕ als leer
anzunehmen ...
Diese "Angabe" befindet sich aber VOR der Satzteil: "...wird durch die _folgenden_ Axiome definiert:"

Wenn Sie das also als Teil Ihres Axiomensystems ansehen wollen, dann sollten sie es besser DANACH hinschreiben, also z. B. so:

(1) 1 e IN

(2) 2 e IN

(3) 3 e IN
Post by WM
(4.1) 1 ∈ M
(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M
(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.
Üblicherweise beschränkt man sich (seit Peano) darauf, lediglich

(1) 1 e IN

(oder 0 e IN) zu konstatieren. Denn selbst mit "Ihren" Axiomen (1), (2), (3) würde z. B. 2 = 1 + 1 oder 3 = 2 + 1 noch nicht herleitbar/beweisbar sein, denn es fehlt noch der logisch-mathematische "Zusammenhang" zwischen 1, 2 und 3.

Aus diesem Grund zieht man es vor, 2, 3, .., 9 zu DEFINIEREN und zwar so:

2 := 1 + 1
3 := 2 + 1
:
9 := 8 + 1

Auf diese Weise hat man dann schon 8 weitere "Ziffern" (neben "1") eingeführt; dass diese tatsächlich (jeweils paarweise verschiedene) natürliche Zahlen bezeichnen, kann man aus den 4 folg. Peano-Axiomen herleiten:

(1) 1 e IN
(2) An(n e IN -> n + 1 e IN)
(3) An(n e IN -> (n + 1 =/= 1))
(4) An,m(n,m e IN -> (n + 1 = m + 1 -> n = m))

Statt (4) kann man auch die äquivalente Formulierung

(4') An,m(n,m e IN -> (n =/= m -> n + 1 =/= m + 1)

heranziehen.

Daraus ergibt sich dann z. B. folgendes: Aus (1) und (2) folgt unmittelbar 1 + 1 e IN. Mit der Def. 2 := 1 + 1, also 2 e IN. Des weiteren folgt aus (1) und (3): 1 + 1 =/= 1, also 2 =/= 1. Aus 2 e IN und (2) folgt 2 + 1 e IN. Mit Def 3 := 2 + 1, also 3 e IN. Des weiteren folgt aus 2 e IN und (3): 2 + 1 =/= 1, also 3 =/= 1 und aus 2 =/= 1 und (4'): 2 + 1 =/= 1 + 1, also 3 =/= 2, etc.

Übrigens genügen diese 4 Axiome (in einem üblichen mengentheoretischen Kontext) auch, um zu _beweisen_, dass IN unendlich (eine unendliche Menge) ist. Siehe dazu z. B. das Buch "Zahlen" von Ebbinghaus et al.

DAS rechtfertigt dann auch die von Ihnen oben zitierte Schreibweise von IN:

IN = {1, 2, 3, ...} ,

die man häufig sieht.

Ihr ständigen Hinweise auf ein mathematisches Vorwissen (also z. B. das Wissen darum, dass 1, 2, 3 natürliche Zahlen sind, und dass 1 + 1 =/= 1 ist, etc.) gehen VÖLLIG FEHL: Aufgabe der Axiome ist es gerade, dieses "Vorwissen" durch ein logisch-mathematisches System zu ERSETZEN aus dem (zusammen mit einschlägigen Definitionen) u. a. all das ABLEITBAR/BEWEISBAR ist, was üblicherweise zum "mathematischen Vorwissen" gehört, welches man z. B. bei einem Fachhochschulabsolventen VORAUSSETZEN kann.

So ist also z. B. aus den Peano-Axiomen zusammen mit der Definition

n < m :<-> Ek e IN: n + k = m

(und der oben erwähnten Definition von 2) BEWEISBAR, dass 1 < 1 + 1, also 1 < 2 ist.

Hier noch einmal die Literatur-Empfehlung:

Edmund Landau, Grundlagen der Analysis (1930).

P.S. Und nein, die Menge der natürlichen Zahlen wird NICHT durch die von Ihnen aufgeführten "Axiome" (4.1), (4.2) und (4.3) "definiert", auch dann nicht, wenn man noch die Axiome (1), (2) und (3) hinzunimmt.
ich
2018-09-18 09:27:50 UTC
Antworten
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Ihre ständigen Hinweise auf ein mathematisches Vorwissen (also z. B. das
Wissen darum, dass 1, 2, 3 natürliche Zahlen sind, und dass 1 + 1 =/= 1
ist, etc.) gehen VÖLLIG FEHL: Aufgabe der Axiome ist es gerade, dieses
"Vorwissen" durch ein logisch-mathematisches System zu ERSETZEN, aus dem
(zusammen mit einschlägigen Definitionen) u. a. all das ABLEITBAR/BEWEISBAR
ist, was üblicherweise zum "mathematischen Vorwissen" gehört, welches man
z. B. bei einem Fachhochschulabsolventen VORAUSSETZEN kann.
So ist also z. B. aus den Peano-Axiomen zusammen mit der Definition
n < m :<-> Ek e IN: n + k = m
[...] BEWEISBAR, dass
An e IN: n < n + 1

gilt. Daraus können wir dann mit den Definitionen für 2, 3, .., 9 sofort _schließen_, das gilt:

1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9

(wobei _hier_ noch keine "Transitivität" der <-Relation mit-behauptet werden soll).

Der "Verweis" auf ein diesbezügliches Vorwissen kann also durch einen entsprechenden Satz (inklusive Beweis) ersetzt werden.

Hinweis: Die Mathematik gilt als "die beweisende Wissenschaft".

Selbst ein Lehrbuch mit dem Titel "Mathematik für die ersten Semester" sollte dem bis zu einem gewissen Grad Rechnung tragen.

Man kann in so einem Werk natürlich auch mathematisch korrekte/beweisbare Aussagen (Sätze) "ohne Beweis" quasi als "mathematische Tatsachen" mitteilen, z. B. den Umstand, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist.
H0Iger SchuIz
2018-09-17 09:39:50 UTC
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Oftmals Falschs "Buch" war hier und andernorts schon mehrfach Gegenstand
von Kritik. Es ist dabei -- räusper -- nie gut weggekommen.

Der Prefosser ist nunmal kein Mathematiker. Da darf es einen micht
wundern, wenn er sich wenig bis gar nicht mit Mathematik auskennt.

An der Hochschule Augsburg hielt er wohl "Vorlesungen", in denen
Rechentechniken vermittelt wurden. Solche schmücken sich üblicherweise
mit dem Titel "Mathematik für ...".
Post by b***@gmail.com
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/
Und was soll das? Was genau ist er Gegenstand der Petition? Worum wird
da gebeten? Und an wen richtet sie sich?
b***@gmail.com
2018-09-17 12:40:53 UTC
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Aus der Petition:

"Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch , dass es keinen
Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert wird, dass
funktionierende Axiome wiedergegeben werden, z.B.
diejenigen von Peano wie hier:"
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

Sprich Lehrbuch einstampfen, und nur wieder herausgeben
falls der Müll korrigiert wird.
Post by H0Iger SchuIz
Post by b***@gmail.com
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/
Und was soll das? Was genau ist er Gegenstand der Petition? Worum wird
da gebeten? Und an wen richtet sie sich?
b***@gmail.com
2018-09-17 12:42:10 UTC
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Permalink
Die Petition läuft für 1-Jahr, das Ziel sind
1000 Supporter. Danach kann man das Ding de Gruyter
schicken, sie sollen den Müll aus dem Verkehr ziehen.
Post by b***@gmail.com
"Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch , dass es keinen
Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert wird, dass
funktionierende Axiome wiedergegeben werden, z.B.
diejenigen von Peano wie hier:"
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
Sprich Lehrbuch einstampfen, und nur wieder herausgeben
falls der Müll korrigiert wird.
Post by H0Iger SchuIz
Post by b***@gmail.com
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/
Und was soll das? Was genau ist er Gegenstand der Petition? Worum wird
da gebeten? Und an wen richtet sie sich?
H0Iger SchuIz
2018-09-17 15:49:08 UTC
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Post by b***@gmail.com
"Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch , dass es keinen
Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert wird, dass
funktionierende Axiome wiedergegeben werden, z.B.
diejenigen von Peano wie hier:"
"Wäre wohl angebracht" ist keine Formulierung für eine Forderung.
Post by b***@gmail.com
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
Sprich Lehrbuch einstampfen, und nur wieder herausgeben
falls der Müll korrigiert wird.
Das wäre ein Forderung, die steht aber nicht in der Petition.
Post by b***@gmail.com
Die Petition läuft für 1-Jahr,
das Ziel sind
1000 Supporter. Danach kann man das Ding de Gruyter
schicken, sie sollen den Müll aus dem Verkehr ziehen.
Machen die dann bestimmt. Pfft. Als ob die Anzahl der "Supporter" eine
Rolle spielte. Fachliche Mängelkannst du dem Verlag auch als (fachliche
berufene) Einzelperson anzeigen. Ich befürchte nur, das interessiert die
genau so wenig. Wenn die in irgendeiner Form 'ne Qualitätskontrolle
hätte, gäbe es das Buch nicht.

hs
b***@gmail.com
2018-09-17 16:30:18 UTC
Antworten
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Man kann die Petition editieren, falls die Formulierung
noch nicht optimal ist. Die jetzige Formulierung
hat mich 15 Sekunden gekostet.

Genauso viel Zeit hat es mich gekostet den Fehler
in dem Buch zu finden, sticht sofort ins Auge.
Ich hatte allerdings vorher schon die Vermutung

dass da etwas nicht stimmt, da WM auf sci.logic oder
sci.math in entsprechenden Diskussionen sein eigenes
Buch referenziert hatte.
Post by H0Iger SchuIz
Post by b***@gmail.com
"Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch , dass es keinen
Unsinn verbreitet, und dahingehend korrigiert wird, dass
funktionierende Axiome wiedergegeben werden, z.B.
diejenigen von Peano wie hier:"
"Wäre wohl angebracht" ist keine Formulierung für eine Forderung.
Post by b***@gmail.com
https://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome
Sprich Lehrbuch einstampfen, und nur wieder herausgeben
falls der Müll korrigiert wird.
Das wäre ein Forderung, die steht aber nicht in der Petition.
Post by b***@gmail.com
Die Petition läuft für 1-Jahr,
das Ziel sind
1000 Supporter. Danach kann man das Ding de Gruyter
schicken, sie sollen den Müll aus dem Verkehr ziehen.
Machen die dann bestimmt. Pfft. Als ob die Anzahl der "Supporter" eine
Rolle spielte. Fachliche Mängelkannst du dem Verlag auch als (fachliche
berufene) Einzelperson anzeigen. Ich befürchte nur, das interessiert die
genau so wenig. Wenn die in irgendeiner Form 'ne Qualitätskontrolle
hätte, gäbe es das Buch nicht.
hs
Ralf Bader
2018-09-18 05:01:12 UTC
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Post by b***@gmail.com
Man kann die Petition editieren, falls die Formulierung
noch nicht optimal ist.
Heißt das, daß ein eventueller Unterzeichner dieser Petition damit
rechnen muß, über kurz oder lang etwas ganz anderes abgesegnet zu haben?
b***@gmail.com
2018-09-18 11:17:54 UTC
Antworten
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Ja natürich. Es ist auch besonders wichtig dass
jeder Unterzeichner seine Kreditkartennummer Preis gibt,
und dann indirekt durch Unterzeichnung der Petition,

zustimmt, dass mir eine beliebig hohe Überweisung
zugestanden wird. Ich meine so laufen ja alle
Petitionen oder?

Die Website heisst ja nicht umsonst care2, also
im wesentlich care2me.

Spass bei Seite, man kann auch Signaturen wieder löschen:
https://www.care2.com/my/petitionsite/manage_signatures

Die Petition läuft 360 Tage, das Ziel sind 1000 Unterschriften:
https://www.thepetitionsite.com/de/135/815/763/fehlerhaftes-kapitel-in-lehrbuch/
Post by Ralf Bader
Post by b***@gmail.com
Man kann die Petition editieren, falls die Formulierung
noch nicht optimal ist.
Heißt das, daß ein eventueller Unterzeichner dieser Petition damit
rechnen muß, über kurz oder lang etwas ganz anderes abgesegnet zu haben?
ich
2018-09-17 20:43:31 UTC
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Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
++++++++++++++++++++++++++++

Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3,...} wird durch die folgenden Axiome definiert:

(4.1) 1 ∈ M

(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M

(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.

++++++++++++++++++++++++++++
Post by b***@gmail.com
Was aber ziemlicher Unsinn ist, da z.B. IN = {} auch die obigen
Axiome erfüllt. Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch,
dass es keinen Unsinn verbreitet und dahingehend korrigiert
wird, dass funktionierende Axiome wiedergegeben werden [...]
Diese Erkenntnis (bezüglich WMs Unsinnsaxiome) sind nicht wirklich neu. Hier etwas aus sci.math (um 2016):

Me:
^^^
Post by b***@gmail.com
Same problem with WM's broken "axiom system" for the natural numbers.
There you cant't even prove/derive the statement
1 e IN .
WM:
^^^
Post by b***@gmail.com
You and he [Dan Christense] probably cannot. It would require the ability to
read text, because the first axiom is 1 e IN.
Me:
^^^

No, it isn't (unfortunately). Your broken "axiom system" actually is (translation by me):

"The set of natural numbers IN = {1, 2, 3, ...} is defined with the following axioms:

(4.1) 1 e M
(4.2) n e M => (n + 1) e M
(4.3) If M satisfies (4.1) and (4.2), then IN c M holds "

You have been told repeatedly that especially the following axioms _are missing_:

(1) 1 e IN
(2) n e IN => (n + 1) e IN .

Otherwise you can NOT prove

1 e IN ,

not even

IN =/= {}

from the axioms proper of your system.*)
______________

*) Actually, (4.1) and (4.2) can't be considered _axioms_ of your system (but you are too dumb to get it). Since (4.1) would state that FOR EVERY SET M: 1 e M. Ok, IN THIS CASE we might indeed derive 1 e IN from your "axiom" system. On the other hand, in this case (4.3) wouldn't make any sense, any more.

Me (again):
^^^^^^^^^^^

Hence a MUCH better version of your "axiom system" would be:

(1) 1 e IN
(2) An(n e IN => n + 1 e IN)
(3) AM(1 e M & An(n e M => n + 1 e M) => IN c M) .

Still not good enough but better than your original approach! (Actually, (3) should be tweaked a little bit in addition.)

At least THIS axiom system would allow for the derivation of the following two theorems:

1 e IN
and
1+1 e IN .

But we STILL could not prove from this axiom system that

1+1 =/= 1 .

To be able do this an additional axiom would be necessary. For example

(4) An(n e IN => n + 1 =/= 1)

would do.

NOW we could prove

1+1 =/= 1 .

Hence we now would get from our (extended) axiom system:

1 e IN, 1+1 e IN and 1+1 =/= 1 .

With other words

card(IN) >= 2 .

A beginning.

Me (again 2):
^^^^^^^^^^^^^

Maybe a recent reply to one of WM's posts may help:

================

Obviously you tried to "reproduce" the introduction (definition) of the natural numbers _as a certain subset of of the real numbers_ (after the real numbers have been introduced, say, axiomatically).

To accomplish this we refer to the notion of an /inductive set/.

(Def.:) A subset M of IR is called /inductive/ if the following conditions are satisfied:

1. 1 e M
2. x e M => x + 1 e M

Looks familiar, doesn't it?

(Def.:) /IN/ is the intersection of all inductive sets.

Source:
https://de.wikipedia.org/wiki/Nat%C3%BCrliche_Zahl#Die_natürlichen_Zahlen_als_Teilmenge_der_reellen_Zahlen

Now your "axiom" (4.3) is NOT just a paraphrase of the definition mentioned above. It is a STATEMENT concerning IN (not a proper definition).

You completely screwed up EVERYTHING!

First of all, this approach (if done correctly) presupposes "the real number system". Hence addition (+) is already introduced and hence "available" for defining the natural numbers.

Secondly, that's the REASON why such an approach does not have to mention the two "Peano axioms"

An e IN: n + 1 =/= 1 ,
An,m e IN: n + 1 = m + 1 => n = m .

I guess that's the ultimate reason why they do not appear in your "system". (Though you obviously didn't realize the dependency of this approach on (IR, +).)

Finally, after defining /IN/ the way mentioned above it's easy enough to prove that IN is the smallest inductive set. (That's where your statement (4.3) comes into play. Though in the context of this approach it's not an axiom, but a theorem.)

My GUESS is that for your "axiom system" you borrowed material from the book "Analysis I" by Martin Barner and Friedrich Flohr, pp. 22-23 - things that you quite obviously didn't understand.

================
b***@gmail.com
2018-09-17 21:08:15 UTC
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Danke.
Diese Quelle wäre 100x besser gewesen:

https://books.google.ch/books?id=orouh15VgsQC&lpg=PP1&hl=de&pg=PA22#v=onepage&q&f=false

Da wird Zermelos Z_0 durchgespielt, aus dem
Papier von 1908, und dann erscheint Prof Mucke
Funks Unsinn als Satz, aber nicht als Axiomensystem.

Allerdings die abgewandelt Form, bei der aus
M c |N und dem Induktionsschema, was hier
Induktionssatz heisst, dann M = |N folgt.

Please sign, the goal is 1000 supporters:
https://www.thepetitionsite.com/de/takeaction/135/815/763/

The petition will run for 360 days.
Post by ich
My GUESS is that for your "axiom system" you borrowed material from the book "Analysis I" by Martin Barner and Friedrich Flohr, pp. 22-23 - things that you quite obviously didn't understand.
ich
2018-09-17 21:25:12 UTC
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Post by ich
Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
++++++++++++++++++++++++++++
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3,...} wird durch die folgenden
(4.1) 1 ∈ M
(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M
(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.
++++++++++++++++++++++++++++
Post by b***@gmail.com
Was aber ziemlicher Unsinn ist, da z.B. IN = {} auch die obigen
Axiome erfüllt. Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch,
dass es keinen Unsinn verbreitet und dahingehend korrigiert
wird, dass funktionierende Axiome wiedergegeben werden [...]
Diese Erkenntnis (bezüglich WMs Unsinnsaxiomen) sind nicht wirklich neu. [...]
Am Ende zeigt sich, dass eine Korrektur nicht allzu aufwändig wäre, wenn nur das Verständnis und der Wille da währen.

Z. B. könnte man m. E. die folgende Variante der Peano-Axiome gelten lassen:

(1) 1 e IN
(2) An(n e IN => n + 1 e IN)
(3) An(n e IN => n + 1 =/= 1)
(4) An,m(n,m e IN => (n + 1 = m + 1 => n = m))
(5) AM(1 e M & An(n e IN => (n e M => n + 1 e M)) => IN c M)

Warum Mückenheim offenbar nicht dazu in der Lage ist, die VORZÜGE dieses System gegenüber seinen Unsinns-Axiomen zu sehen, entzieht sich meinem Verständnis aber.

@Herr Mückenheim: Ja, Herr Mückenheim, obigem System kann man SOFORT entnehmen, dass 1 e IN ist (denn das ist als Axiom formuliert, steht also schon so da). Auch kann man dann -mit (2)- sofort darauf schließen, dass 1 + 1 e IN ist (eben WEIL 1 e IN ist und (2) besagt, dass mit 1 e IN auch 1 + 1 e IN ist). Aus (3) erhält man nun sofort, dass 1 + 1 =/= 1 ist (dies wieder mit 1 e IN).

Den obigen Axiomen zufolge gilt also 1 e IN, 1 + 1 e IN und 1 =/= 1 + 1. D. h. wir können also nun mit Fug und Recht schon mal hinschreiben:

IN = {1, 1 + 1} u IN'

bzw. mit der Definition 2 := 1 + 1:

IN = {1, 2} u IN'

wobei wir uns bezüglich IN' noch nicht festlegen wollen. (Im "Prinzip" könnte IN' also auch die leere Menge sein.) Man kann aber (auf der Basis obiger Axiome und einer entsprechenden Definition des Begriffs /unendliche Menge/) leicht zeigen, das IN' dann eine unendliche Menge sein muss.

Wir dürfen damit also auch schreiben:

IN = {1, 2, ...} ,

so wie man es kennt/gewohnt ist.

(In der Tat kann mit der zusätzlichen Definition 3 := 2 + 1 *leicht* gezeigt werden, dass gilt: IN = {1, 2, 3, ...}. So wie Sie es im einleitenden Satz Ihres verunglückten "Aximensystems" *informell* behauptet haben, Herr Mückenheim.)
b***@gmail.com
2018-09-17 21:31:23 UTC
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Es ist ganz einfach, Herr Mückenheim kann nicht
"Logik" lesen. Weder Implikation A => B ist ihm
zugänglich, noch Quantoren forall x A(x).

Siehe sci.math und sci.logic. Es gibt noch
mehr solche Blüten von Herr Mückenheim, z.B.
dies hier, der Kommentar ist von ihm:

"The second formula is not "true sometimes". If
the model allows x=1 then the formula is false
in that model. Period. – Wilhelm"
Two formulas with different free
variables not semantically equivalent
https://math.stackexchange.com/q/2910116/4414

Nur über seine Leiche wird er Fehler zugeben.
Post by ich
Warum Mückenheim offenbar nicht dazu in der Lage ist,
die VORZÜGE dieses System gegenüber seinen Unsinns-
Axiomen zu sehen, entzieht sich meinem Verständnis aber.
b***@gmail.com
2018-09-17 21:37:05 UTC
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Wobei es schwierig ist Herr Mückenheim
festzunageln, da er meisst vom Thema
abweicht, und tausend neue Sachen erfindet.

Sodass seine Antworten, ja, das Durcheinander
nur erhöhen. Das sieht man auch hier. Wenn
nichts mehr hilft beschimpft er übel dann

diejenigen die sich auf z.B. auf Logik beziehen,
und appeliert an was? Keine Ahnung.
Post by b***@gmail.com
Es ist ganz einfach, Herr Mückenheim kann nicht
"Logik" lesen. Weder Implikation A => B ist ihm
zugänglich, noch Quantoren forall x A(x).
Siehe sci.math und sci.logic. Es gibt noch
mehr solche Blüten von Herr Mückenheim, z.B.
"The second formula is not "true sometimes". If
the model allows x=1 then the formula is false
in that model. Period. – Wilhelm"
Two formulas with different free
variables not semantically equivalent
https://math.stackexchange.com/q/2910116/4414
Nur über seine Leiche wird er Fehler zugeben.
Post by ich
Warum Mückenheim offenbar nicht dazu in der Lage ist,
die VORZÜGE dieses System gegenüber seinen Unsinns-
Axiomen zu sehen, entzieht sich meinem Verständnis aber.
ich
2018-09-17 22:20:49 UTC
Antworten
Permalink
Post by b***@gmail.com
Wobei es schwierig ist Herr Mückenheim
festzunageln, da er meisst vom Thema
abweicht, und tausend neue Sachen erfindet.
Sodass seine Antworten, ja, das Durcheinander
nur erhöhen. Das sieht man auch hier. Wenn
nichts mehr hilft beschimpft er übel dann
diejenigen die sich auf z.B. auf Logik beziehen,
und appelliert an was? Keine Ahnung.
Gerne verweist er dann aber auch auf kryptische Aussagen, die er in diesen und anderen Zusammenhängen gemacht hat. So steht z. B. unter seinem "Axiomensystem" die ähh Aussage:

"Diese Menge ist potentiell unendlich, das heißt, zu jeder natürlichen
Zahl n kann eine größere natürliche Zahl gefunden werden."

Ich tue mir schwer, das überhaupt als mathematische Aussage aufzufassen. Erst mal taucht hier AUS DEM NICHTS die Behauptung auf:

Diese Menge [also offenbar IN] ist potentiell unendlich ...

Aha... aber es folgt dann ja noch etwas, das offenbar einen doppelten Zweck erfüllen soll: Es soll 1. offenbar eine (implizite) Definition des Begriffs /potentiell unendlich/ geliefert werden und 2. soll behauptet werden, DASS dem so ist:

...das heißt, zu jeder natürlichen Zahl n kann eine größere
natürliche Zahl gefunden werden."

Einem Menschen mit auch nur minimaler mathematischer Bildung muss so ein Sprachgebrauch (in diesem Zusammenhang) aufstoßen.

Daher trennen wir das mal sauber auf:

Def. (nach Mückenheim):

Eine (nichtleere) Menge natürlicher Zahlen heißt /potentiell unendlich/,
wenn zu jeder natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl gefunden
werden kann.

Bedauerlicherweise ist die "Sprechweise" von "[kann] gefunden werden" ebenfalls recht "unmathematisch"... "Kann gefunden werden"? Wo denn, im Garten unter dem Lindenbaum? Und von wem, von mir, Mückenheim, einem Computer? Usw. usf. Eine derartige Formulierung (mit Modalbezug) findet man in der Regel in solch grundlegenden mathematischen Definitionen nicht. Vielmehr bezieht man sich da auf EXISTENZ. Das folgende könnte man also allenfalls als eine MATHEMATISCHE Definition gelten lassen:

Eine (nichtleere) Menge M natürlicher Zahlen heißt /potentiell unendlich/,
wenn zu es zu jeder natürlichen Zahl in M eine größere natürliche Zahl
in M gibt.

Aber nun sehen wir, dass sich diese Definition mit der Definition des Begriffs "unendlich Menge" (bzw. /unendlich/ auf Mengen bezogen) schlägt. Jedenfalls GIBT es schon den Begriff der /unendlichen Menge/ uns es gilt der Satz:

Eine (nichtleere) Menge M natürlicher Zahlen ist unendlich,
gdw. es zu jeder natürlichen Zahl in M eine größere natürliche Zahl
in M gibt.

Was also Mückenheim hier mit der _obskuren_ Referenz auf "potentiell unendlich" sagen will, ist bei genauerer mathematischer Analyse seiner "Aussage" mehr als unklar.

Was man allerdings (z. B. ausgehend von den Peano-Axiomen) vielleicht etwas flapsig formulieren könnte, wäre allenfalls:

"Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist unendlich, da es zu jeder
natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt (und IN nicht
leer ist)."

Allerdings eben nur nach einer vorhergehenden Definition von /unendlich/ und /größer als/ (auf IN).

Dazu kann man sich ja auf den obigen Satz beziehen: "Eine (nichtleere) Menge M natürlicher Zahlen ist unendlich, gdw. es zu jeder natürlichen Zahl in M eine größere natürliche Zahl in M gibt" --- man braucht dazu dann lediglich zu zeigen, dass gilt: IN =/= {} und An e IN Em e IN: n < m.

Dass man aus Mückenheims "Axiomen" bzw. seinem "System" natürlich NICHT ableiten kann, dass IN =/= {} und An e IN Em e IN: n < m gilt, sei nur am Rande erwähnt. (Die Definition von "<" auf IN findet sich jedenfalls nicht in seinem "System" und selbst WENN dem so wäre, müsste erst noch gezeigt werden, dass IN =/= {} und An e IN Em e IN: n < m "gilt" bzw. hergeleitet werden kann.)
ich
2018-09-17 22:28:36 UTC
Antworten
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Post by ich
Dass man aus Mückenheims "Axiomen" bzw. seinem "System" natürlich NICHT
ableiten kann, dass IN =/= {} und An e IN Em e IN: n < m gilt, sei nur am
Rande erwähnt. (Die Definition von "<" auf IN findet sich jedenfalls nicht in
seinem "System" und selbst WENN dem so wäre, müsste erst noch gezeigt werden,
dass IN =/= {} und An e IN Em e IN: n < m "gilt" bzw. hergeleitet werden kann.)
Ich empfehle dem Herrn Professor die Lektüre des inzwischen klassischen Werkes:

Grundlagen der Analysis von Edmund Landau.

Quelle: https://www.amazon.de/Grundlagen-Analysis-Berliner-Studienreihe-Mathematik/dp/3885381117
ich
2018-09-17 21:36:48 UTC
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Post by ich
Post by b***@gmail.com
In ISBN 978-3-11-037734-7
Mathematik für die ersten Semester
von Wolfgang Mückenheim
++++++++++++++++++++++++++++
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3,...} wird durch die folgenden
(4.1) 1 ∈ M
(4.2) n ∈ M ==> n+1 ∈ M
(4.3) Erfüllt M (4.1) und (4.2), so gilt ℕ ⊆ M.
++++++++++++++++++++++++++++
Post by b***@gmail.com
Was aber ziemlicher Unsinn ist, da z.B. IN = {} auch die obigen
Axiome erfüllt. Es wäre wohl angebracht für ein Lehrbuch,
dass es keinen Unsinn verbreitet und dahingehend korrigiert
wird, dass funktionierende Axiome wiedergegeben werden [...]
Diese Erkenntnis (bezüglich WMs Unsinnsaxiomen) sind nicht wirklich neu. [...]
Am Ende zeigt sich, dass eine Korrektur nicht allzu aufwändig wäre, wenn nur das Verständnis und der Wille da wären.

Z. B. könnte man m. E. die folgende Variante der Peano-Axiome gelten lassen:

(1) 1 e IN
(2) An(n e IN => n + 1 e IN)
(3) An(n e IN => n + 1 =/= 1)
(4) An,m(n,m e IN => (n + 1 = m + 1 => n = m))
(5) AM(1 e M & An(n e IN => (n e M => n + 1 e M)) => IN c M)

Warum Mückenheim offenbar nicht dazu in der Lage ist, die VORZÜGE dieses System gegenüber seinen Unsinns-Axiomen zu sehen, entzieht sich meinem Verständnis aber.

@Herr Mückenheim: Ja, Herr Mückenheim, obigem System kann man SOFORT entnehmen, dass 1 e IN ist (denn das ist als Axiom formuliert, steht also schon so da). Auch kann man dann -mit (2)- sofort darauf schließen, dass 1 + 1 e IN ist (eben WEIL 1 e IN ist und (2) besagt, dass mit 1 e IN auch 1 + 1 e IN ist). Aus (3) erhält man nun sofort, dass 1 + 1 =/= 1 ist (dies wieder mit 1 e IN).

Den obigen Axiomen zufolge gilt also 1 e IN, 1 + 1 e IN und 1 =/= 1 + 1. D. h. wir können also nun mit Fug und Recht schon mal hinschreiben:

IN = {1, 1 + 1} u IN'

bzw. mit der Definition 2 := 1 + 1:

IN = {1, 2} u IN'

wobei wir uns bezüglich IN' noch nicht festlegen wollen. (Im "Prinzip" könnte IN' also auch die leere Menge sein.) Man kann aber (auf der Basis obiger Axiome und einer entsprechenden Definition des Begriffs /unendliche Menge/) leicht zeigen, das IN' dann eine unendliche Menge sein muss.

Wir dürfen damit also auch schreiben:

IN = {1, 2, ...} ,

so wie man es kennt/gewohnt ist.

(In der Tat kann mit der zusätzlichen Definition 3 := 2 + 1 *leicht* gezeigt werden, dass gilt: IN = {1, 2, 3, ...}. So wie Sie es im einleitenden Satz Ihres verunglückten "Axiomensystems" *informell* behauptet haben, Herr Mückenheim.)
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