Discussion:
Neue Erkenntnisse aus Augsburg (c = aleph_0)
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-10-10 10:10:59 UTC
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"An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = aleph_0"

(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
Ganzhinterseher
2020-10-13 12:49:13 UTC
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Post by Me
"An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = aleph_0"
(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
Wer's gaubt und die Konsequenzen dunker Zahlen noch nicht sieht, darf auch

An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | >= aleph_0

schreiben. Aber Deine kurze Schlusskette:

Auf jeden definierbaren Stammbruch 1/n folgen noch aleph_0 Stammbrüche,
daraus folgt nicht, dass aleph_0 dunkle Stammbrüche auf alle definierbaren Stammbrüche folgen.

ist ein Kurzschluss.

Wenn auf der reellen Achse gewisse Punkte existieren, deren jeder aleph_0 (oder sogar mehr als aleph_0) Punkte vom Nullpunkt entfernt ist, dann liegen zwischen allen diesen gewissen Punkten und dem Nullpunkt aleph_0 Punkte.

Dein Kurzschluss ist darauf zurückzuführen, dass Du nicht zwischen definierbaren und undefinierbaren Punkten unterscheidest.

Gruß, WM
Me
2020-10-13 13:43:42 UTC
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Post by Me
"An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = aleph_0"
(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
Wer's <bla>
Nun, im Kontext der Mengenlehre gilt

An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = | (0, 1/n) | = c
mit
c = | IR |

und daher (wegen c =/= aleph_0):

An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | =/= aleph_0 .
Wenn auf der reellen Achse gewisse Punkte existieren, deren jeder aleph_0
(oder sogar mehr als aleph_0) Punkte vom Nullpunkt entfernt ist, dann liegen
zwischen allen diesen gewissen Punkten und dem Nullpunkt aleph_0 Punkte."
Mal von der "zweifelhaften" Formulierung "xxx Punkte vom Nullpunkt entfernt" abgesehen, ist das ein schönes Beispiel für Ihre Totalversagen in Bezug auf Aussagen, die Quantoren enthalten.
Ganzhinterseher
2020-10-13 17:00:01 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
"An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = aleph_0"
(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
Nun, im Kontext der Mengenlehre gilt
An e IN: | (0, 1] \ [1/n, 1] | = | (0, 1/n) | = c
mit
c = | IR |
Tja, aber der ist unrettbar falsch, ob dunkle Zahlen existieren oder nicht.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn auf der reellen Achse gewisse Punkte existieren, deren jeder aleph_0
(oder sogar mehr als aleph_0) Punkte vom Nullpunkt entfernt ist, dann liegen
zwischen allen diesen gewissen Punkten und dem Nullpunkt aleph_0 Punkte."
Mal von der "zweifelhaften" Formulierung "xxx Punkte vom Nullpunkt entfernt" abgesehen,
Die Formulierung ist gerechtfertigt, wenn die Menge der Punkte unendlich ist. Falls omega aktual unendlich ist, dann ist auch die Menge der dunklen natürlichen Zahlen unendlich und damit auch die Menge der Stammbrüche.
Post by Me
ist das ein schönes Beispiel für Ihre Totalversagen in Bezug auf Aussagen, die Quantoren enthalten.
Im Gegenteil, die Quantoren werden hier offensichtlich nur von Toren gebraucht oder besser missbraucht.

Es können nicht gleichzeitig alle definierbaren Punkte einen Abstand von 0 haben und keinen Anstand von 0 haben.

Fakt ist: ~∃n ∈ ℕ_def: |(0, 1/n)| = 0
==> ∀n ∈ ℕ_def: |(0, 1/n)| =/= 0 .

Da jeder definierbare Punkt einen Abstand von unendlich vielen Punkten vom Nullpunkt besitzt, ist keiner näher daran. Das sollte selbst einem QuanToren einleuchten. Die unendlich vielen Punkte, die zwischen 0 und allen definierbaren Punkten liegen, müssen aber eine Belegung besitzen. Denn es gibt keine Lücken auf der Zahlengerade. Und der Nullpunkt ist im Gegensatz zum wolkenverhangenen omega klar, deutlich und unverrückbar fast.

Gruß, WM
Me
2020-10-13 17:44:35 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Falls omega aktual unendlich ist, dann ist auch die Menge der dunklen
natürlichen Zahlen unendlich und damit auch die Menge der Stammbrüche.
Das mag in Wolkenmückenheim so sein, im Rahmen der Mathematik ist die Menge der Stammbrüche unendlich, weil die Menge der natürlichen Zahlen es ist. (Es gibt nämlich eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen.)
Roalto
2020-10-13 18:07:40 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Falls omega aktual unendlich ist, dann ist auch die Menge der dunklen
natürlichen Zahlen unendlich und damit auch die Menge der Stammbrüche.
Das mag in Wolkenmückenheim so sein, im Rahmen der Mathematik ist die Menge der Stammbrüche unendlich, weil die Menge der natürlichen Zahlen es ist. (Es gibt nämlich eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen.)
Nun hör doch endlich auf! Er ist halt zu blöde für solche Dinge. Er ist eben der Grömaz, was solls, keiner nimmt ihn ernst.
Großmäulig propagiert er hier Mathematiker, die denken wie er, aber er nennt sie nicht.
Viel Spass weiterhin
Roalto
Me
2020-10-13 18:39:39 UTC
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Post by Roalto
Nun hör doch endlich auf! Er ist halt zu blöde für solche Dinge. Er ist eben
der Grömaz, was solls, keiner nimmt ihn ernst.
Ist ja schon gut. Werde mich wieder etwas zurückhalten.
Post by Roalto
Großmäulig propagiert er hier Mathematiker, die denken wie er, aber er nennt sie nicht.
Ja. Ganze 12 Stück soll's davon geben. Möchte mal wissen, ob es die wirklich gibt, und wenn ja, was mit denen los ist.

Dass es natürlich auch Mathematiker gibt, die der "klassischen Mathematik" eher "skeptisch" gegenüberstehen, ist ja bekannt. Allerdings fußen die Ansichten dieser Leute wohl eher nicht auf der Unfähigkeit, Quantoren korrekt zu benutzen (und ähnlichen Problemen).

Vielleicht mal einen Blick wert:

Rudolf Taschner, Vom Kontinuum zum Integral: Eine Einführung in die intuitionistische Mathematik, 2018.
Ganzhinterseher
2020-10-13 20:41:17 UTC
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Post by Me
Ja. Ganze 12 Stück soll's davon geben. Möchte mal wissen, ob es die wirklich gibt, und wenn ja, was mit denen los ist.
Sie verstehen, sich von den Fesseln der Verdummung zu lösen. Denn dass jede Zahl einen Abstand von unendlich vielen Zahlen vom Nullpunkt hat, aber keine Zahlenmenge existiert, die diesen Anstand repräsentiert, ist unmöglich.

Selbstverständlich werde ich den Matheologen keine privaten Korrespondenten zum Begeifern vorwerfen- Nur ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen nicht mehr durchweg abgelehnt.

Gruß, WM
Carlo XYZ
2020-10-13 20:53:42 UTC
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...ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen nicht mehr durchweg abgelehnt.
Gibt es dort eine genaue Definition, welche natürliche Zahl dunkel ist
und welche nicht? Wenn nein, ist es müßig, über "ablehnen" zu sprechen.
Ganzhinterseher
2020-10-13 21:15:20 UTC
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Post by Carlo XYZ
...ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen nicht mehr durchweg abgelehnt.
Gibt es dort eine genaue Definition, welche natürliche Zahl dunkel ist
und welche nicht? Wenn nein, ist es müßig, über "ablehnen" zu sprechen.
Nun für die strikte Ablehnung reichen offenbar sehr lasche Definitionen.

Aber es gibt mehrere Definitionen. Die einfachste ist wohl diese: Sei L die größte jemals benannte Zahl, dann sind alle größeren Zahlen dunkel und bleiben es.

Leider ist die präzise Bestimmung nicht einfach, denn die Menge der in einem System zu einer gegebene Zeit dezimal oder auf sonstige Weise fixierbaren Zahlen kann wachsen und schrumpfen.

Am einfachsten und anschaulichsten ist jedoch die Betrachtung des Intervalls (0, 1/n). Was auch immer für Anstrengungen gemacht werden, aleph_0 Stammbrüche liegen zwischen allen definierten Stammbrüchen und 0. Auch hier ist die einfachste und ultimative Grenze (0, 1/L).

Gruß, WM
Me
2020-10-13 22:39:14 UTC
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in sci.math wird das [Geschwafel von] dunklen Zahlen nicht mehr durchweg
abgelehnt.
Ich glaube, so etwas fällt unter "Wahrnehmungsverzerrungen".

Meinst Du solche Postings, wie das von Zelos z. B.?

"can you stop with your fucking dark shit? It has no place in mathematics because its shit you're pulling out of your fucking arse!" (***@gmail.com)
Ralf Bader
2020-10-14 07:13:06 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Carlo XYZ
...ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen
nicht mehr durchweg abgelehnt.
Das ist natürlich überzeugend, wenn in der dortigen freak show etwas
nicht durchweg abgelehnt wird.
Post by Ganzhinterseher
Post by Carlo XYZ
Gibt es dort eine genaue Definition, welche natürliche Zahl dunkel
ist und welche nicht? Wenn nein, ist es müßig, über "ablehnen" zu
sprechen.
Nun für die strikte Ablehnung reichen offenbar sehr lasche
Definitionen.
Mückenheim, Ihre "Definitionen" sind nicht lasch, sondern Scheißdreck.
Post by Ganzhinterseher
Aber es gibt mehrere Definitionen. Die einfachste ist wohl diese: Sei
L die größte jemals benannte Zahl, dann sind alle größeren Zahlen
dunkel und bleiben es.
Leider ist die präzise Bestimmung nicht einfach, denn die Menge der
in einem System zu einer gegebene Zeit dezimal oder auf sonstige
Weise fixierbaren Zahlen kann wachsen und schrumpfen.
Laut Ihrem Krampfhaufen
https://arxiv.org/pdf/math/0505649.pdf
"Of course, there is no largest natural number. By short cuts like
10^10^10...
we are able to express numbers with precisely known values surpassing
any desired magnitude", was ja nun auch dieses L einschließen würde.
Es wurde Ihnen zwar schon vor längerer Zeit erklärt, warum das unter den
von Ihnen gemachten Voraussetzungen falsch sein muß, aber Sie haben sich
in Ihrer üblichen Manier geweigert, das zur Kenntnis zu nehmen. Aber
vielleicht können Sie sich ja noch mit Ihrem Zweitneuron wenigstens auf
eine Variante Ihres Schwachsinns verständigen. Nehmen wir mal an, im
Gegensatz zu Ihrem Geschwalle über "physical constraints" gäbe es so ein
L. Dann ist die Frage, was eine "in einem System...fixierbare Zahl" sein
soll...(von wem "fixierbar"? Dem, der die Matrix eingerichtet hat, oder
ihren Insassen? Das wäre nur eine Frage, weitere würden folgen, wenn ich
etwa an die in Ihrem Gefasel gelegentlich Elementarteilchen zugeordneten
Koordinaten denke)
Post by Ganzhinterseher
Am einfachsten und anschaulichsten ist jedoch die Betrachtung des
Intervalls (0, 1/n). Was auch immer für Anstrengungen gemacht werden,
aleph_0 Stammbrüche liegen zwischen allen definierten Stammbrüchen
und 0. Auch hier ist die einfachste und ultimative Grenze (0, 1/L).
Die ganze Chose liegt doch daran, daß es für Sie aufgrund Ihrer
Unendlichkeitsdyskalkulie ein undurchschaubares Rätsel darstellt, was
bei der Zerlegung des Einheitsintervalle in jene unendlich vielen
Teilintervalle unmittelbar rechts der 0 herumliegt. Dieses Rätsel
versuchen Sie nun durch die Wahnidee zu "lösen", da wären "dunkle
Zahlen" beteiligt. Das entspricht zwar Ihrer üblichen Faseltaktik,
Fragen nach der Bedeutung Ihrer Wahnwörter durch die Kreation von
Synonymen zu "beantworten", aber dadurch wird natürlich nichts besser.
Beispielsweise gibt es in Ihrer Krampfwelt keine Grenzwerte mehr, obwohl
Sie ja ständig über solche dummes Zeug faseln. Auch da hilft Ihr
üblicher Schwachsinn, daß sich der Grenzwert irgendwie (wie, wird nicht
verraten) aus dem "Bildungsgesetz" der Folge ergäbe. Also ein
Bildungsgesetz für Folgenglieder, die nicht existieren, über die aber in
der Definition der Konvergenz einer Folge eine Aussage gemacht wird.

Und, was noch einigermaßen konsequent wäre, Ultrafinitist wollen Sie ja
auch nicht sein. Tja, dann ist eben saudummer Schwachsinn alternativlos.
Ganzhinterseher
2020-10-14 09:41:36 UTC
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Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
...ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen
nicht mehr durchweg abgelehnt.
Das ist natürlich überzeugend, wenn in der dortigen freak show etwas
nicht durchweg abgelehnt wird.
Es gibt dort auch vernunftbegabte Teilnehmer. Eine Freak-Show findet man eher hier unter den KommentaToren und denen, die sie positiv bewerten.
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Aber es gibt mehrere Definitionen. Die einfachste ist wohl diese: Sei
L die größte jemals benannte Zahl, dann sind alle größeren Zahlen
dunkel und bleiben es.
Leider ist die präzise Bestimmung nicht einfach, denn die Menge der
in einem System zu einer gegebene Zeit dezimal oder auf sonstige
Weise fixierbaren Zahlen kann wachsen und schrumpfen.
https://arxiv.org/pdf/math/0505649.pdf
"Of course, there is no largest natural number. By short cuts like
10^10^10...
we are able to express numbers with precisely known values surpassing
any desired magnitude", was ja nun auch dieses L einschließen würde.
Dieses L wird durch Betrachtung des gesamten Universums und der Ewigkeit gewonnen. Man kann wohl zu beliebig großen Zahlen kommen, aber wenn alles gelaufen ist, dann ist eine Zahl die größte. Zu größeren ist dann offenbar niemand gekommen. Und diese Zahl benutze ich hier als obere Abschätzung. Jede noch größere würde allerdings zum selben Resultat führen.
Post by Ralf Bader
Es wurde Ihnen zwar schon vor längerer Zeit erklärt, warum das unter den
von Ihnen gemachten Voraussetzungen falsch sein muß,
Das mag so sein. Ich will das auch nicht felsenfest behaupten. Aber es ändert nichts an der Existenz von L.
Post by Ralf Bader
aber Sie haben sich
in Ihrer üblichen Manier geweigert, das zur Kenntnis zu nehmen.
Nein, ich meine schon, dass ich die Behauptung auch früher nicht bedingungslos verteidigt habe. Aber ich halte viel vom Erfindungsgeist.
Post by Ralf Bader
Nehmen wir mal an, im
Gegensatz zu Ihrem Geschwalle über "physical constraints" gäbe es so ein
L.
Es steht nicht im Gegensatz. Am Ende aller Zeit, zumindest nach dem Ende jeden Lebens wird eine Zahl die größte jemals definierte gewesen sein. Ich sage nicht, dass man sie kennen kann. Aber sie wird existiert haben.
Post by Ralf Bader
Dann ist die Frage, was eine "in einem System...fixierbare Zahl" sein
soll...(von wem "fixierbar"?
Das Ganze ist viel zu kompliziert, um es aus dem Ärmel zu schütteln, weil jedes System natürlich eine Software zum Laufen braucht und einen Speicher dafür, der also nicht zum Speichern der Zahlen verwendet werden kann. Um es zu erleichtern betrachten wir einen kleinen Speicher, etwa eine Hard Disk und fragen uns, welche Zahl man wie darauf schreiben kann, so dass ein Leser sie eindeutig identifizieren kann. Dann sind natürlich die Gehirne und die für Peripherie benötigten Ressourcen vom Zahlenspeicher getrennt, was die Minimierung der ersteren und die Maximierung des letzteren ausschließt.

Wie gesagt, ein interessantes Thema, aber für die Existenz der größten Zahl L eines Systems oder des Universums nicht wichtig.
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Am einfachsten und anschaulichsten ist jedoch die Betrachtung des
Intervalls (0, 1/n). Was auch immer für Anstrengungen gemacht werden,
aleph_0 Stammbrüche liegen zwischen allen definierten Stammbrüchen
und 0. Auch hier ist die einfachste und ultimative Grenze (0, 1/L).
Die ganze Chose liegt doch daran, daß es für Sie aufgrund Ihrer
Verweigerung des Glaubens an die Matheologie
Post by Ralf Bader
ein undurchschaubares Rätsel darstellt, was
bei der Zerlegung des Einheitsintervalle in jene unendlich vielen
Teilintervalle unmittelbar rechts der 0 herumliegt. Dieses Rätsel
versuchen Sie nun durch die Wahnidee zu "lösen", da wären "dunkle
Zahlen" beteiligt.
Was da herumliegt, ist nach Cantor nicht erkennbar, denn er sagte, dass "ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. [E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932)]

Damit steht fest, dass es sich bei dem, was unmittelbar am Nullpunkt liegt, nicht um definierbare Zahlen handeln kann. Aber es sind ℵo Punkte belegt, wenn ℵo natürliche Zahlen existieren.
Post by Ralf Bader
Beispielsweise gibt es in Ihrer welt keine Grenzwerte mehr,
Das ist falsch. Grenzwerte haben nichts mit aktual unendlich vielen Termen zu tun, sondern werden allein durch Algorithmen bestimmt.
Post by Ralf Bader
daß sich der Grenzwert irgendwie (wie, wird nicht
verraten) aus dem "Bildungsgesetz" der Folge ergäbe.
Woraus denn wohl sonst? Ohne Bildungsgesetz kann die Folge nichts aussagen, denn fast alle Glieder liegen ja hinter dem Glied a_L und sind damit unbekannt. Sie könnten gar nicht existieren, wenn jedes einzeln erzeugt werden müsste.
Post by Ralf Bader
Also ein
Bildungsgesetz für Folgenglieder, die nicht existieren,
Es genügt zu beweisen, dass die Glieder sich einem Wert immer weiter annähern.
Post by Ralf Bader
über die aber in
der Definition der Konvergenz einer Folge eine Aussage gemacht wird.
Dazu braucht man nicht alle Glieder zu berechnen, sondern man kann abschätzen. Zum Beispiel wird kein Glied der Folge 1/n größer sein als sein Vorgänger. Das kann man aber auch für die dunklen Glieder aussagen, denn jede dunkle natürliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die größer als ihr Vorgänger und kleiner als ihr Nachfolger ist.
Post by Ralf Bader
Und, was noch einigermaßen konsequent wäre, Ultrafinitist wollen Sie ja
auch nicht sein.
Wie gesagt: Dunkle Zahlen existieren, wenn |N eine aktual unendliche Menge ist. Über dunkle Zahlen kann man Aussagen treffen, die auch die Berechnung von Grenzwerten zulassen.

Gruß, WM
Me
2020-10-14 09:50:03 UTC
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Post by Ganzhinterseher
bei dem, was unmittelbar am Nullpunkt liegt
Könnten Sie diesen Ort etwas genauer beschreiben? Kein x e IR mit x > 0, liegt offenbar "unmittelbar am Nullpunkt", denn zu jedem solchen x gibt es noch ein y e IR, y > 0, das zwischen 0 und x liegt, z. B. x/2.

Wenn aber KEIN x e IR, x > 0, "unmittelbar am Nullpunkt liegt", was dann? Die Mückenheimschen Phantomzahlen?
Ganzhinterseher
2020-10-14 10:55:59 UTC
Permalink
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
bei dem, was unmittelbar am Nullpunkt liegt
Könnten Sie diesen Ort etwas genauer beschreiben?
Das ist ein Ausdruck Ralf Baders: "bei der Zerlegung des Einheitsintervalle in jene unendlich vielen Teilintervalle unmittelbar rechts der 0 herumliegt." Ich verstehe darunter die Punkte, die zwischen 0 und jedem fixirbaren positiven Punkt liegen.
Post by Me
Kein x e IR mit x > 0, liegt offenbar "unmittelbar am Nullpunkt", denn zu jedem solchen x gibt es noch ein y e IR, y > 0, das zwischen 0 und x liegt, z. B. x/2.
Genau. Und zwischen 0 und jedem solchen definierbaren Punkt gibt es noch aleph_0 undefinierbare Punkte.
Post by Me
Wenn aber KEIN x e IR, x > 0, "unmittelbar am Nullpunkt liegt", was dann?
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen. Wir wissen ja nur, dass zwei definierbare Punkte nicht unmittelbar benachbart sein können. Wir wissen aber auch, dass 0 und (0, 1] unmittelbar benachbart sind, denn dazwischen liegt absolut nichts. Nun ist (0, 1] ja keine Zahl. Aber wir wissen, dass die Zahlengerade lückenlos mit Zahlen belegt ist. Und wir wissen, dass um *jeden* definierbaren Punkt aleph_0 dunkle liegen, denn die Null ist ja nur ein spezielles Beispiel.

Gruß, WM
Me
2020-10-14 11:06:26 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Wenn aber KEIN x e IR, x > 0, "unmittelbar am Nullpunkt liegt", was dann?
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen.
Offenbar hast Du Ralfs Beitrag nicht aufmerksam genug gelesen:

"Die ganze Chose liegt doch daran, daß es für Sie aufgrund Ihrer
Unendlichkeitsdyskalkulie ein undurchschaubares Rätsel darstellt,
was bei der Zerlegung des Einheitsintervalle in jene unendlich vielen
Teilintervalle unmittelbar rechts der 0 herumliegt. Dieses Rätsel
versuchen Sie nun durch die Wahnidee zu "lösen", da wären "dunkle
Zahlen" beteiligt. Das entspricht zwar Ihrer üblichen Faseltaktik,
Fragen nach der Bedeutung Ihrer Wahnwörter durch die Kreation von
Synonymen zu "beantworten", aber dadurch wird natürlich nichts besser."

(Ralf Bader)

EOD
Me
2020-10-14 11:37:13 UTC
Permalink
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen. [...] wir wissen, dass die
Zahlengerade lückenlos mit [reellen] Zahlen belegt ist. Und wir wissen,
dass um *jeden* definierbaren Punkt aleph_0 dunkle liegen, denn die Null
ist ja nur ein spezielles Beispiel.
Ihre "dunklen Zahlen" haben eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den infinitesimalen Zahlen aus der Non-Standard Analysis. :-)

"Die infinitesimalen Zahlen sind dem Betrage nach kleiner als jede positive reelle Zahl."

Solche Zahlen liegen z. B. auch zwischen der 0 und sämtlichen reellen Zahlen:

"In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl."

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl

Siehe dazu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis

Und ja:

"Wir wissen, dass um *jeden* [reellen] Punkt aleph_0 [infinitesimale Zahlen] liegen":

"In nonstandard analysis, a monad (also called halo) is the set of points infinitesimally close to a given point."

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(nonstandard_analysis)
Ganzhinterseher
2020-10-14 21:16:59 UTC
Permalink
Post by Me
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen. [...] wir wissen, dass die
Zahlengerade lückenlos mit [reellen] Zahlen belegt ist. Und wir wissen,
dass um *jeden* definierbaren Punkt aleph_0 dunkle liegen, denn die Null
ist ja nur ein spezielles Beispiel.
Ihre "dunklen Zahlen" haben eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den infinitesimalen Zahlen aus der Non-Standard Analysis. :-)
"Die infinitesimalen Zahlen sind dem Betrage nach kleiner als jede positive reelle Zahl."
Die dunklen Zahlen sind natürliche bzw. reelle Zahlen, und verhalten sich so wie es dafür üblich und angemessen ist. Sie lassen sich nur nicht adressieren, benennen, definieren.
Post by Me
"In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl."
Das ist für dunkle Zahlen nicht so. Eine dunkle natürliche Zahl ist nur größer als jede individuell definierbare Zahl.

Kurz: Ich will keine neuen Zahlen einführen, sondern lediglich darauf hinweisen, dass wir aleph_0 natürliche Zahlen nicht adressieren, benennen, definieren können, wenn es aktual unendlich viele Zahlen gibt.

In der klassischen Mathematik mit ihrer potentiellen Unendlichkeit gibt es diese Zahlen schlichtweg gar nicht. Man kann sie schaffen. In Cantors aktualer Unendlichkeit sind sie halt schon da:

Da wir uns aber durch unsre Arbeiten der breiten Heerstraße des Transfiniten versichert, sie wohl fundiert und sorgsam gepflastert haben, so öffnen wir sie dem Verkehr und stellen sie als eiserne Grundlage, nutzbar allen Freunden des potentialen Unendlichen, im besonderen aber der wanderlustigen Herbartschen "Grenze" bereitwilligst zur Verfügung; gern und ruhig überlassen wir die rastlose der Eintönigkeit ihres durchaus nicht beneidenswerten Geschicks; wandle sie nur immer weiter, es wird ihr von nun an nie mehr der Boden unter den Füßen schwinden. [Cantor]

Allerdings hat Cantor die Beleuchtung vergessen, und die Nachrüstung erweist sich auf weiten Strecken als unmöglich.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-10-16 13:32:41 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Kurz: Ich will keine neuen Zahlen einführen, sondern lediglich darauf hinweisen, dass wir aleph_0 natürliche Zahlen nicht adressieren, benennen, definieren können, wenn es aktual unendlich viele Zahlen gibt.
Das ist nichts als hanebuechener Schwachsinn, aber keine Mathematik.
Post by Ganzhinterseher
In der klassischen Mathematik mit ihrer potentiellen Unendlichkeit
Die aktuelle Mathematik, kennt bereits seit 100 Jahren bei Mengen keine
"potentielle Unendlichkeit" mehr, die von "aktualer Unendlichkeit"
verschieden waere.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Juergen Ilse
2020-10-16 13:28:27 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Me
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen. [...] wir wissen, dass die
Zahlengerade lückenlos mit [reellen] Zahlen belegt ist. Und wir wissen,
dass um *jeden* definierbaren Punkt aleph_0 dunkle liegen, denn die Null
ist ja nur ein spezielles Beispiel.
Ihre "dunklen Zahlen" haben eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit den infinitesimalen Zahlen aus der Non-Standard Analysis. :-)
"Die infinitesimalen Zahlen sind dem Betrage nach kleiner als jede positive reelle Zahl."
"In der Mathematik ist eine positive Infinitesimalzahl ein Objekt, welches bezüglich der Ordnung der reellen Zahlen größer ist als null, aber kleiner als jede noch so kleine positive reelle Zahl."
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Infinitesimalzahl
Siehe dazu auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtstandardanalysis
"In nonstandard analysis, a monad (also called halo) is the set of points infinitesimally close to a given point."
Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Monad_(nonstandard_analysis)
Klingt so. Allerdings ist "non standard Analysis" nicht mein Ding.
Ich weiss nicht, welche Konsequenzen diese Idee auf den Rest der
Analysis haette, sprich welche Unterschiede es alles zwischen der
Standard Analysis und "non standard Analysis" im einzelnen gibt
(ich vermute, dass die Unterschiede erheblich und WM mit Sicherheit
*nicht* bekannt sind).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-10-16 21:31:06 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Allerdings ist "non standard Analysis" nicht mein Ding.
Ich weiss nicht, welche Konsequenzen diese Idee auf den Rest der
Analysis haette, sprich welche Unterschiede es alles zwischen der
Standard Analysis und "non standard Analysis" im einzelnen gibt
(ich vermute, dass die Unterschiede erheblich und WM mit Sicherheit
*nicht* bekannt sind).
Im wesentlichen lassen sich in der Non-Standard-Analysis die Ergebnisse der "klassischen" Analysis "replizieren". Nur ist halt der Zugang ein anderer.
Eigentlich eine ganze nette/hübsche Sache. Hat sich allerdings nicht wirklich durchgesetzt.

1973 meinte Gödel noch: "there are good reasons to believe that non-standard analysis, in some version or other, will be the analysis of the future."

Wenn Du keine Probleme mit längeren Zitaten hast, Gödel etwas ausführlicher zum Thema:

"I would like to point out a fact that was not explicitly mentioned by Professor Robinson, but seems quite important to me; namely that non-standard analysis frequently simplifies substantially the proofs, not only of elementary theorems, but also of deep results. This is true, e.g., also for the proof of the existence of invariant subspaces for compact operators, disregarding the improvement of the result; and it is true in an even higher degree in other cases. This state of affairs should prevent a rather common misinterpretation of non-standard analysis, namely the idea that it is some kind of extravagance or fad of mathematical logicians. Nothing could be further from the truth. Rather there are good reasons to believe that non-standard analysis, in some version or other, will be the analysis of the future.

One reason is the just mentioned simplification of proofs, since simplifications facilitates discovery. Another, even more convincing reason, is the following: Arithmetic starts with the integers and proceeds by successively enlarging the number system by rational and negative numbers, irrational numbers, etc. But the next quite natural step after the reals, namely the introduction of infinitesimals, has simply been omitted. I think, in coming centuries it will be considered a great oddity in the history of mathematics that the first exact theory of infinitesimals was developed 300 years after the invention of the differential calculus. I am inclined to believe that this oddity has something to do with another oddity relating to the same span of time, namely the fact that such problems as Fermat’s, which can be written down in ten symbols of elementary arithmetic, are still unsolved 300 years after they have been posed. Perhaps the omission mentioned is largely responsible for the fact that, compared to the enormous development of abstract mathematics, the solution of concrete numerical problems was left far behind." (K. Gödel, 1973)
Juergen Ilse
2020-10-16 13:10:51 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Die dunklen Zahlen könnten das Rätsel lösen.
"Dunkle Zahlen" koennen gar keine Probleme loesen, sie wuerden aber jede
Menge Inkonsistenzen in der Mathematik einfuehren ...
Post by Ganzhinterseher
Wir wissen ja nur, dass zwei definierbare Punkte nicht unmittelbar
benachbart sein können. Wir wissen aber auch, dass 0 und (0, 1]
unmittelbar benachbart sind, denn dazwischen liegt absolut nichts.
Abgesehen davon, dass SIE wieder mit einer "intuitiven" statt einer wirklich
mathematisch exakten Definition von "unmittelbar benachbart" daherkommen:

Das dort oben ist kein Widerspruch. Das halboffene Intervall ]0;1] hat kein
minimales Element (keinen "amweitesten links liegenden Punkt"), und das ist
etwas, was eben *keinen Widerspruch darstellt, auch wenn IHNEN das nicht ein-
leuchtet. Es mag da einen Widerspruch zu IHREN Vorstellungen vorliegen, aber
hier geht es nicht um IHRE wirren Vorstellungen von Mathematik, sondern um
Mathematik an sich (unabhaengig von IHREN Vorstellungen davon), und da gibt
es eben *KEINEN* Widerspruch.
Post by Ganzhinterseher
Nun ist (0, 1] ja keine Zahl.
Das stimmt auffallend.
Post by Ganzhinterseher
Aber wir wissen, dass die Zahlengerade lückenlos mit Zahlen belegt ist.
... und wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales
Element gibt. Es gibt auch kein minimales rationales Element. Ebensowenig
ein minimales rationales Element. Es ist sogar so, dass zu jedem irrationalen
Element dieses Intervalls ein kleineres rationales Element (sogar ein
kleineres rationales Element der Form 1/n mit n element |N) gibt, und das
es ebenso zu jedem solchen rationalen Element ein kleineres irrationales
Element in diesem Intervall gibt (eben deshalb, weil das Intervall nach
unten offen ist). Und mein, das ist kein Widerspruch in der Mathematik, auch
wenn SIE Probleme damit haben, sich das *ohne* "dunkle Zahlen" vorzustellen.
In der Mathematik gibt es da auch ohne "dunkle Zahlen" keienrlei Widerspruch.
Wenn SIE zu unfaehig sind, um sich das vorzustellen, ist das kein Problem
der Mathematik, sondern ganz allein IHR Problem.
Post by Ganzhinterseher
Und wir wissen, dass um *jeden* definierbaren Punkt aleph_0 dunkle liegen,
Nein, so einen Schwachsinn wissen wir eben nicht, weil es in der Mathematik
eben *keine* "dunklen Zahlen" gibt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-10-16 14:12:58 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Aber wir wissen, dass die Zahlengerade lückenlos mit Zahlen belegt ist.
... und wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales
Element gibt.
Das hat nichts damit zu tun, dass alle n in |N durch ihre Kehrwerte 1/n repräsentiert werden können. Hätten diese alle einen Abstand von aleph_0 Punkten vom Nullpunkt, dann käme kein Kehrwert ihm näher. Aber was käme ihm näher um die aleph_0 Punkte zu belegen?

Gruß, WM
Me
2020-10-16 21:48:18 UTC
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wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales Element gibt.
Das hat nichts damit zu tun, dass alle n in IN durch ihre Kehrwerte 1/n
repräsentiert werden können. Hätten diese alle einen Abstand von aleph_0
Punkten vom Nullpunkt, dann käme kein Kehrwert ihm näher. Aber was käme
ihm näher um die aleph_0 Punkte zu belegen?
So etwas nennt an im Englischen "a word salad".

Hint: A word salad, or schizophasia, is a "confused or unintelligible mixture of seemingly random words and phrases", most often used to describe a symptom of a neurological or mental disorder.

[...]

Word salad may describe a symptom of neurological or psychiatric conditions in which a person attempts to communicate an idea, but words and phrases that may appear to be random and unrelated come out in an incoherent sequence instead. Often, the person is unaware that he or she did not make sense. It appears in people with dementia and schizophrenia, as well as after anoxic brain injury."

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Word_salad
Me
2020-10-16 21:50:46 UTC
Permalink
wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales Element gibt.
Das hat nichts damit zu tun, dass alle n in IN durch ihre Kehrwerte 1/n
repräsentiert werden können. Hätten diese alle einen Abstand von aleph_0
Punkten vom Nullpunkt, dann käme kein Kehrwert ihm näher. Aber was käme
ihm näher um die aleph_0 Punkte zu belegen?
So etwas nennt man im Englischen "a word salad".

Hint: A word salad, or schizophasia, is a "confused or unintelligible mixture of seemingly random words and phrases", most often used to describe a symptom of a neurological or mental disorder.

[...]

Word salad may describe a symptom of neurological or psychiatric conditions in which a person attempts to communicate an idea, but words and phrases that may appear to be random and unrelated come out in an incoherent sequence instead. Often, the person is unaware that he or she did not make sense. It appears in people with dementia and schizophrenia, as well as after anoxic brain injury."

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Word_salad
Ganzhinterseher
2020-10-17 13:39:20 UTC
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Post by Me
wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales Element gibt.
Das hat nichts damit zu tun, dass alle n in IN durch ihre Kehrwerte 1/n
repräsentiert werden können. Hätten diese alle einen Abstand von aleph_0
Punkten vom Nullpunkt, dann käme kein Kehrwert ihm näher. Aber was käme
ihm näher um die aleph_0 Punkte zu belegen?
So etwas nennt man im Englischen "a word salad"
wenn man zu wenige Neuronen schalten kann. Dort oben steht Schulwissen.

Matheologen glauben ohne Verständnis und ohne weiteres:

Zwischen allen natürlichen Zahlen und omega existiert eine Lücke der Größe omega Einheiten.

Das führt zum Satz: Zwischen 0 und allen Stammbrüchen besteht eine Lücke von omega Punkten bzw. Intervallen.

Die können aber nicht alle ignoriert werden.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-10-16 14:13:05 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Aber wir wissen, dass die Zahlengerade lückenlos mit Zahlen belegt ist.
... und wir wissen, dass es in dem halboffenen Intervall kein minimales
Element gibt.
Das hat nichts damit zu tun, dass alle n in |N durch ihre Kehrwerte 1/n repräsentiert werden können. Hätten diese alle einen Abstand von aleph_0 Punkten vom Nullpunkt, dann käme kein Kehrwert ihm näher. Aber was käme ihm näher um die aleph_0 Punkte zu belegen?

Gruß, WM
Me
2020-10-16 21:55:13 UTC
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Post by Juergen Ilse
Es gibt auch kein minimales rationales Element. Ebensowenig
ein minimales rationales Element.
Vermutlich sollte es hier éinmal statt "rationales" "irrationales" heißen. :-P
Juergen Ilse
2020-10-19 11:17:14 UTC
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Hallo,
Post by Me
Post by Juergen Ilse
Es gibt auch kein minimales rationales Element. Ebensowenig
ein minimales rationales Element.
Vermutlich sollte es hier éinmal statt "rationales" "irrationales" heißen. :-P
Stimmt. Du vermutest hier genau richtig.

Tschuess,
Juergen Ulse (***@usenet-verwaltung.de)

Roalto
2020-10-13 22:05:16 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Ja. Ganze 12 Stück soll's davon geben. Möchte mal wissen, ob es die wirklich gibt, und wenn ja, was mit denen los ist.
Sie verstehen, sich von den Fesseln der Verdummung zu lösen. Denn dass jede Zahl einen Abstand von unendlich vielen Zahlen vom Nullpunkt hat, aber keine Zahlenmenge existiert, die diesen Anstand repräsentiert, ist unmöglich.
Selbstverständlich werde ich den Matheologen keine privaten Korrespondenten zum Begeifern vorwerfen- Nur ein Hinweis: in sci.math wird das Konzept der dunklen Zahlen nicht mehr durchweg abgelehnt.
Großmäuliges Geschwätz!
Viel Spass weiterhin
Roalto
Juergen Ilse
2020-10-15 15:19:33 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Ja. Ganze 12 Stück soll's davon geben. Möchte mal wissen, ob es die wirklich gibt, und wenn ja, was mit denen los ist.
Sie verstehen, sich von den Fesseln der Verdummung zu lösen.
s/Verdummung/Erkenntnis/

... und nein, ich moechte mich *nicht* von den "Fesseln der Erkenntnis" loesen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-10-13 20:31:01 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Falls omega aktual unendlich ist, dann ist auch die Menge der dunklen
natürlichen Zahlen unendlich und damit auch die Menge der Stammbrüche.
im Rahmen der Mathematik ist die Menge der Stammbrüche unendlich, weil die Menge der natürlichen Zahlen es ist.
(Es gibt nämlich eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen.)
Unter dieser Prämisse solltest Du bemerken, dass die Stammbrüche weit von 0 entfernt bleiben, weil die natürlichen Zahlen weit von omega entfernt bleiben.

Cantor bemerkte schon "ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. Quotes from E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932).

Und auch wenn Herr Bader meint, dass "was solche Sachen wie 'beliebig nahe kommen' anbelangt, sind die einschlägigen begrifflichen Konzepte seit der Zeit Cantors erheblich verfeinert worden", so ist das allenfalls als wolkiges Geschwätz zu bewerten, denn seit Cantors Zeit sind die definierbaren natürlichen Zahlen dem omega um keinen Deut näher gekommen, und sie werden das auch in fernster Zukunft nicht tun. Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 näher kommen als auf aleph_0 dunkle Elemente?

Aber dass nicht unendlich viele Punkte neben der Null fehlen, sollte Dir klar sein. Oder möchtest Du auf rationales Denken ganz verzichten?

Gruß, WM
Me
2020-10-13 22:30:21 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Unter dieser Prämisse solltest Du bemerken, dass die Stammbrüche weit von 0
entfernt bleiben, weil <blubber>
Ganz im Gegenteil. Es ist vielmehr so, dass die Zahlen 1/n "ihrem Ziel 0 beliebig nahe kommen" (können).

Hinweis: Für jedes noch so kleine epsilon > 0 gibt es ein n e IN, so dass 0 < 1/n < epsilon ist.

Gibt es eigentlich EINEN mathematischen Sachverhalt, den Du verstehst?
Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 näher kommen als <blubber>
Weil es KEIN x e IR, x > 0 gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass 0 < 1/n < x ist, Dumbo!
Post by Ganzhinterseher
Aber
Was auch immer.
Ganzhinterseher
2020-10-14 06:30:46 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Unter dieser Prämisse solltest Du bemerken, dass die Stammbrüche weit von 0
entfernt bleiben
Ganz im Gegenteil. Es ist vielmehr so, dass die Zahlen 1/n "ihrem Ziel 0 beliebig nahe kommen" (können).
Trotzdem bleiben ℵo dunkle Zahlen zwischen 0 und 1/n. Ja, das ist so be beliebiger Nähe.
Post by Me
Hinweis: Für jedes noch so kleine epsilon
ist das so.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 näher kommen
Weil es KEIN x e IR, x > 0 gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass 0 < 1/n < x ist,
Das ist falsch. Du kannst ein solches nicht definieren. Aber Deine Unfähigkeit ändert nichts am Sachverhalt.

Gruß, WM
Me
2020-10-14 08:29:17 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 [beliebig nahe] kommen [können]?
Weil es KEIN x e IR, x > 0, gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass
0 < 1/n < x ist.
Das ist falsch.
Dein, Du Crank. Das ist Grundwissen Analysis I.

Man muss sich doch sehr über die "Hochschule Augsburg" wundern, die solche Typen wie Dich Vorlesungen mit Bezug zum Thema "Mathematik" halten lässt.
Ganzhinterseher
2020-10-14 09:43:14 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 [beliebig nahe] kommen [können]?
Weil es KEIN x e IR, x > 0, gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass
0 < 1/n < x ist.
Das ist falsch.
Dein, Du Das ist Grundwissen Analysis I.
Analysis ist eine Branche der Mathematik und hat nichts mit Matheologie zu tun.

Du solltest Dich im Parallelfaden über die Implikation informieren.
WENN ℵo, also aktual unendlich viele natürliche Zahlen existieren, DANN sind ℵo Stammbrüche kleiner als jeder definierbare Stammbruch.

Zum Beweis betrachte die größte jemals definierte Zahl L. Die Menge der Stammbrüche {1/1, 1/2, 1/3, ..., 1/L} ist endlich. Also ist die Menge der Stammbrüche {1/(L+1), 1/(L+2), 1/(L+3), ... } unendlich. Diese Stammbrüche liege zwischen allen definierbaren Stammbrüchen und 0. Und sie sind nicht definierbar, da L die größte im Verlaufe der Ewigkeit im unendlichen Universum jemals definierte Zahl ist.

Da es sich um natürliche Zahlen handelt, wissen wir aber, dass jede größer als ihr Vorgänger und kleiner als ihr Nachfolger ist.

Gruß, WM
Me
2020-10-14 09:59:30 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 [beliebig nahe] kommen [können]?
Weil es KEIN x e IR, x > 0, gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass
0 < 1/n < x ist.
Das ist falsch.
Nein, das ist Grundwissen Analysis I.
Analysis <blubber>
Was hat dieses dumme Geschwalle mit dem Umstand zu tun, dass Du nicht einmal über das Grundwissen aus Analysis I verfügst?
Me
2020-10-14 09:57:19 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Weshalb sollten also die Stammbrüche der 0 [beliebig nahe] kommen [können]?
Weil es KEIN x e IR, x > 0, gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass
0 < 1/n < x ist.
Das ist falsch.
Nein, Du Crank. Das ist Grundwissen Analysis I.

Man muss sich doch sehr über die "Hochschule Augsburg" wundern, die solche Typen wie Dich Vorlesungen mit Bezug zum Thema "Mathematik" halten lässt.
Juergen Ilse
2020-10-16 13:43:49 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Weil es KEIN x e IR, x > 0 gibt, für das KEIN n e IN existiert, so dass 0 < 1/n < x ist,
Das ist falsch.
Nein, das ist korrekt. Das ist naemlich *exakt* die Bedingung dafuer, dass
die 'Folge a(n)=1/n ein e Nullfolge ist (und das haben soweit ich mich er-
innere noch nicht einmal SIE bestritten).

Die Definition von "Grenzwerten von Folgen" basieren auf der Definition
des Begriffs Nullfolge: x ist Grenzwert der Folge a(n) <-> die Folge a(m)-x
eine Nullfolge ist. Wie lautet denn IHRER Meinung nach die Definition der
Nullfolge, wenn nicht:

a(n) heisst Nullfolge, wenn gilt:

fuer alle epsilon groesser 0 (beliebig aber fest) gibt es ein n0 element |N
mit n > n0 daraus folgt a(n) < epsilon.

Das "fuer alle" ist in diesem Fall so zu lesen wie ein "fuer jedes beliebige"
in der "Umgangssprache".

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
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