Herdenimmunität

[Stephan Gerlach]

Annahme:
Eine Person P0 ist infiziert und in der Lage, während eines bestimmten
Zeitintervalls (Zeitdauer, in der P0 infiziert ist) mit anderen n Personen
P1, ..., Pn
der Population in Kontakt zu kommen und dabei - sofern die betreffende
Person Pk *nicht* immun ist - zu infizieren.

Unter der Annahme, daß alle Personen Pk der Population nicht immun sind,
definiert man die Zufallsvariable

p := Wahrscheinlichkeit, daß P0 mit einer bestimmten Person Pk Kontakt hat
X := Anzahl Personen, mit denen P0 Kontakt hat

Vereinfachend nehmen wir an, daß nur diejenigen Kontakte von P0 zu
anderen Personen gezählt werden, die "intensiv" genug sind (zeitlich
lang genug und örtlich nah genug), eine Infektion hervorzurufen.

Dann gilt
X = Anzahl Personen, die von P0 infiziert werden

Basisreproduktionszahl
r0 := E(X)

Hierbei ist X binomialverteilt, und damit gilt
r0 = n*p.

Nun nimmt man an, daß ein Anteil q der Population immun ist (z.B. wegen
einer bereits "durchgemachten" Infektion oder einer Impfung), also
q := P(Pk ist immun).

Man definiert eine neue Zufallsvariable

Y := Anzahl Personen, die von P0 infiziert werden

Es ist leicht zu zeigen(?), daß Y ebenfalls binomialverteilt ist, aber
mit Parametern n und p*(1-q).

Man definiert weiterhin

Reproduktionszahl
r := E(Y)

Weil Y binomialverteilt ist, gilt dann
r = E(Y) = n*p*(1-q)
und mit r0 = n*p folgt daraus

r = r0*(1-p),

was auch anschaulich/heuristisch einleuchtend ist. D.h. die
Basisreproduktionszahl wird einfach mit dem Anteil der nicht-immunen
Personen zu multipliziert.

Herdenimmunität wird wohl nun üblicherweise definiert als

r < 1,

woraus mit r = r0*(1-p)

p > 1 - 1/r0

folgt. D.h. also mindestens ein Anteil von 1 - 1/r0 der Population muß
immun sein, damit die Herdenimmunität erreicht ist.
r < 1 bedeutet dabei, daß die (infizierte) Person P0 weniger als 1
andere (noch nicht immune) Person infiziert.
Die ganze Idee der Herdenimmunität mit r<1 geht wohl von der Annahme
aus, daß eine immune Person auch keine andere Person mehr infizieren kann.
In diesem Fall wird eine Epidemie nach kurzer Zeit "ins Leere laufen",
da eine infizierte Person zuwenige infizierte "Nachfolger" erzeugt, die
seinerseits wieder infizierte "Nachfolger" erzeugen kann usw.

-------------------------

Übungsaufgabe/Frage:
Wie ist das mit der Herdenimmunität bzw. wie ist diese definiert, wenn
eine immune Person trotzdem noch andere Personen infizieren kann? Gilt
dann immer noch
p > 1 - 1/r0
als Bedingung für die Herdenimmunität?

Das Problem ist hier, daß
- immun
- nicht infizierbar
- kann keine anderen Personen infizieren
nicht mehr äquivalent sind.


Das Problem könnte z.B. auftreten, wenn ein Impfstoff zwar vor Folgen
einer Infektion schützt ("man merkt nichts davon"), aber eine geimpfte
Person trotzdem als Überträger wirken kann.

Theoretisch wäre denkbar, daß fast alle Personen der Population geimpft
sind, aber trotzdem munter weiter alle infektiös sind. Kommt nun eine
nicht geimpfte Person in Kontakt, ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß,
daß sie trotz einer großen Anzahl geimpfter Personen infiziert wird (und
was davon merkt).

[Jens Kallup]

Hallo Stephan,

eine fast so ähnlichen Thread hatten wir doch schon
etwas weiter zurück.

Aber Du willst auch folgendes ansprechen:

Im 1/2 Weltkrieg hatte ein Sanitäter die Idee, als die
schmerzstillenden Medikamente fehlten, isotomisches NaCl
zu verabreichen.
Zum erstaunen des Sanitäters hatte er mit dieser Idee
einen richtigen riecher.
Auch Heute wird dieses Mittel in der Medizin noch erfolgreich
angewandt.

Ich will nicht unterschlagen, das die Produktion dieses
Mittels keine Kosten entstehen lässt (Aufbereitung des NaCl,
die Plastikfläschen, die dann in den medizinischen Müll
landen, wenn diese aufgebraucht werden.

Dieses isotomische Mittel hat die gleiche Konsistenz wie
Blut(teilchen) zu je 2 Teilen, und ist daher unbedenklich.

Jens

[Stephan Gerlach]

Post by Jens Kallup
Hallo Stephan,
eine fast so ähnlichen Thread hatten wir doch schon
etwas weiter zurück.

Welchen denn?
Nein, das ist nicht das Thema.

Post by Jens Kallup
Im 1/2 Weltkrieg hatte ein Sanitäter die Idee, als die
schmerzstillenden Medikamente fehlten, isotomisches NaCl
zu verabreichen.
Zum erstaunen des Sanitäters hatte er mit dieser Idee
einen richtigen riecher.
Auch Heute wird dieses Mittel in der Medizin noch erfolgreich
angewandt.
Ich will nicht unterschlagen, das die Produktion dieses
Mittels keine Kosten entstehen lässt (Aufbereitung des NaCl,
die Plastikfläschen, die dann in den medizinischen Müll
landen, wenn diese aufgebraucht werden.
Dieses isotomische Mittel hat die gleiche Konsistenz wie
Blut(teilchen) zu je 2 Teilen, und ist daher unbedenklich.

[Ralf Schneider]

Post by Jens Kallup
Hallo Stephan,
eine fast so ähnlichen Thread hatten wir doch schon etwas weiter zurück.
Im 1/2 Weltkrieg hatte ein Sanitäter die Idee, als die schmerzstillenden
Medikamente fehlten, isotomisches NaCl zu verabreichen.
Zum erstaunen des Sanitäters hatte er mit dieser Idee einen richtigen
riecher.
Auch Heute wird dieses Mittel in der Medizin noch erfolgreich angewandt.
Ich will nicht unterschlagen, das die Produktion dieses Mittels keine
Kosten entstehen lässt (Aufbereitung des NaCl,
die Plastikfläschen, die dann in den medizinischen Müll landen, wenn
diese aufgebraucht werden.
Dieses isotomische Mittel hat die gleiche Konsistenz wie Blut(teilchen)
zu je 2 Teilen, und ist daher unbedenklich.
Jens

Es gibt anatomische .. und eine isotonische (n, nicht m).

[Franz Luwein]

Hallo,

das Beschriebene ist im Veterinärbereich gut bekannt.
So ist es z.B. bei der Aujeszkysche Krankheit, einer virusbedingten und
hochansteckenden Krankheit die Säugetiere befällt, in Deutschland (und
nicht nur da) verboten zu impfen!
Weil man das natürlich nicht auf Menschen übertragen kann, muss man
zwangsläufig mit den Problemen "leben/sterben" die dadurch entstehen.

Den Kopf in den Sand zu stecken ist nicht hilfreich!
Vielleicht hilft ja RECHNEN wirklich!?

Gruß

Franz

Post by Stephan Gerlach
Eine Person P0 ist infiziert und in der Lage, während eines bestimmten
Zeitintervalls (Zeitdauer, in der P0 infiziert ist) mit anderen n Personen
P1, ..., Pn
der Population in Kontakt zu kommen und dabei - sofern die betreffende
Person Pk *nicht* immun ist - zu infizieren.
Unter der Annahme, daß alle Personen Pk der Population nicht immun sind,
definiert man die Zufallsvariable
p := Wahrscheinlichkeit, daß P0 mit einer bestimmten Person Pk Kontakt hat
X := Anzahl Personen, mit denen P0 Kontakt hat
Vereinfachend nehmen wir an, daß nur diejenigen Kontakte von P0 zu
anderen Personen gezählt werden, die "intensiv" genug sind (zeitlich
lang genug und örtlich nah genug), eine Infektion hervorzurufen.
Dann gilt
X = Anzahl Personen, die von P0 infiziert werden
Basisreproduktionszahl
r0 := E(X)
Hierbei ist X binomialverteilt, und damit gilt
r0 = n*p.
Nun nimmt man an, daß ein Anteil q der Population immun ist (z.B. wegen
einer bereits "durchgemachten" Infektion oder einer Impfung), also
q := P(Pk ist immun).
Man definiert eine neue Zufallsvariable
Y := Anzahl Personen, die von P0 infiziert werden
Es ist leicht zu zeigen(?), daß Y ebenfalls binomialverteilt ist, aber
mit Parametern n und p*(1-q).
Man definiert weiterhin
Reproduktionszahl
r := E(Y)
Weil Y binomialverteilt ist, gilt dann
r = E(Y) = n*p*(1-q)
und mit r0 = n*p folgt daraus
r = r0*(1-p),
was auch anschaulich/heuristisch einleuchtend ist. D.h. die
Basisreproduktionszahl wird einfach mit dem Anteil der nicht-immunen
Personen zu multipliziert.
Herdenimmunität wird wohl nun üblicherweise definiert als
r < 1,
woraus mit r = r0*(1-p)
p > 1 - 1/r0
folgt. D.h. also mindestens ein Anteil von 1 - 1/r0 der Population muß
immun sein, damit die Herdenimmunität erreicht ist.
r < 1 bedeutet dabei, daß die (infizierte) Person P0 weniger als 1
andere (noch nicht immune) Person infiziert.
Die ganze Idee der Herdenimmunität mit r<1 geht wohl von der Annahme
aus, daß eine immune Person auch keine andere Person mehr infizieren kann.
In diesem Fall wird eine Epidemie nach kurzer Zeit "ins Leere laufen",
da eine infizierte Person zuwenige infizierte "Nachfolger" erzeugt, die
seinerseits wieder infizierte "Nachfolger" erzeugen kann usw.
-------------------------
Wie ist das mit der Herdenimmunität bzw. wie ist diese definiert, wenn
eine immune Person trotzdem noch andere Personen infizieren kann? Gilt
dann immer noch
p > 1 - 1/r0
als Bedingung für die Herdenimmunität?
Das Problem ist hier, daß
- immun
- nicht infizierbar
- kann keine anderen Personen infizieren
nicht mehr äquivalent sind.
Das Problem könnte z.B. auftreten, wenn ein Impfstoff zwar vor Folgen
einer Infektion schützt ("man merkt nichts davon"), aber eine geimpfte
Person trotzdem als Überträger wirken kann.
Theoretisch wäre denkbar, daß fast alle Personen der Population geimpft
sind, aber trotzdem munter weiter alle infektiös sind. Kommt nun eine
nicht geimpfte Person in Kontakt, ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß,
daß sie trotz einer großen Anzahl geimpfter Personen infiziert wird (und
was davon merkt).

[Christian Gollwitzer]

Post by Stephan Gerlach
Wie ist das mit der Herdenimmunität bzw. wie ist diese definiert, wenn
eine immune Person trotzdem noch andere Personen infizieren kann? Gilt
dann immer noch
p > 1 - 1/r0
als Bedingung für die Herdenimmunität?
Das Problem ist hier, daß
- immun
- nicht infizierbar
- kann keine anderen Personen infizieren
nicht mehr äquivalent sind.
Das Problem könnte z.B. auftreten, wenn ein Impfstoff zwar vor Folgen
einer Infektion schützt ("man merkt nichts davon"), aber eine geimpfte
Person trotzdem als Überträger wirken kann.

1) Das Modell ist sowieso schon zu einfach, denn es geht davon aus, dass
ein Infizierter zufällig auf empfängliche Personen trifft mit der
Wahrscheinlichkeit 1/r0. Das ist jedoch sicher nicht der Fall, denn die
Verteilung ist räumlich nicht homogen, sondern es läuft eher eine Welle
durch. Blödes Beispiel: Wir impfen von allen deutschsprachigen Menschen
die, die in Deutschland leben. Dann sind die Österreicher und Schweizer
immer noch gefährdet, obwohl die weniger als 1/3 der Deutschsprachigen
ausmachen. Ich hatte mir immer schon mal überlegt, eine kleine
SImulation mit realistischeren Annahmen zu machen, also unterschiedliche
Bevölkerungsdichte und z.B. Levy-Flight für die Fortbewegung etc. Gibt
bestimmt lustige Muster.

Post by Stephan Gerlach
Theoretisch wäre denkbar, daß fast alle Personen der Population geimpft
sind, aber trotzdem munter weiter alle infektiös sind. Kommt nun eine
nicht geimpfte Person in Kontakt, ist die Wahrscheinlichkeit sehr groß,
daß sie trotz einer großen Anzahl geimpfter Personen infiziert wird (und
was davon merkt).

Um das zu beantworten, fehlt eine Angabe. Und zwar glaube ich nicht,
dass ein geimpfte, infizierte Person genauso infektiös ist wie eine
ungeimpfte, denn das Virus kann sich ja nicht ungestört im Körper
replizieren. Wenn dem so wäre, gäbe es gar keine Herdenimmunität. Das
wäre auch doof für die Impfversager, die Quote ist laut Studie bei dem
Biontech-Stoff ja immerhin 5%. Die würden ja dann trotzdem COVID kriegen.

Ansonsten hättest Du in dem simpelsten Modell einfach einen zusätzlichen
Faktor, der die Basisreproduktionszahl runterdrückt.

Christian

[Stephan Gerlach]

Post by Stephan Gerlach
Wie ist das mit der Herdenimmunität bzw. wie ist diese definiert, wenn
eine immune Person trotzdem noch andere Personen infizieren kann? Gilt
dann immer noch
p > 1 - 1/r0
als Bedingung für die Herdenimmunität?

Ich sehe gerade einen Fehler und berichtige mal die betreffende Punkte:

...

r = E(Y) = n*p*(1-q)
und
r0 = n*p

==> r = r0*(1-q)

und mit r < 1 (Herdenimmunität) folgt

q > 1 - 1/r0.

...

Also es muß q statt p heißen. q ist der Anteil der immunen Personen der
Population bzw. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine zufällig gewählte
Person der Population immun ist.

Post by Stephan Gerlach
Das Problem ist hier, daß
- immun
- nicht infizierbar
- kann keine anderen Personen infizieren
nicht mehr äquivalent sind.
Das Problem könnte z.B. auftreten, wenn ein Impfstoff zwar vor Folgen
einer Infektion schützt ("man merkt nichts davon"), aber eine geimpfte
Person trotzdem als Überträger wirken kann.

1) Das Modell ist sowieso schon zu einfach,...

Das ist klar. Genauer sind die Annahmen wie folgt:
- Es gibt eine Population mit n Individuen
- In diese Population kommt eine zusätzliche (infizierte) Person P0 hinein.
- Innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls wird geguckt, ob P0 mit
jedem der n Individuen Kontakt hat oder nicht.

Dieses "Kontakt oder nicht Kontakt haben" wird vereinfachend als
Bernoulli-Kette der Länge angenommen mit der
"Kontakt-Wahrscheinlichkeit" oder "Treff-Wahrscheinlichkeit" p.

... denn es geht davon aus, dass
ein Infizierter zufällig auf empfängliche Personen trifft mit der
Wahrscheinlichkeit 1/r0.

Hmm. Ist die wirklich 1/r0? r0 könnte ja kleiner als 1 sein; in diesem
Fall wäre 1/r0 als Wahrscheinlichkeit unbrauchbar.

1/r0 ist bei Herdenimmunität allerdings eine obere Schranke für die
Wahrscheinlichkeit
1-q = "eine bestimmte Person der Population ist empfänglich".

Das ist jedoch sicher nicht der Fall, denn die
Verteilung ist räumlich nicht homogen, sondern es läuft eher eine Welle
durch. Blödes Beispiel: Wir impfen von allen deutschsprachigen Menschen
die, die in Deutschland leben. Dann sind die Österreicher und Schweizer
immer noch gefährdet, obwohl die weniger als 1/3 der Deutschsprachigen
ausmachen. Ich hatte mir immer schon mal überlegt, eine kleine
SImulation mit realistischeren Annahmen zu machen, also unterschiedliche
Bevölkerungsdichte und z.B. Levy-Flight für die Fortbewegung etc. Gibt
bestimmt lustige Muster.

Dann wird/ist das Infektionsgeschehen vermutlich nicht mehr
trivial/elementar/analytisch lösbar.

Post by Stephan Gerlach
Theoretisch wäre denkbar, daß fast alle Personen der Population
geimpft sind, aber trotzdem munter weiter alle infektiös sind. Kommt
nun eine nicht geimpfte Person in Kontakt, ist die Wahrscheinlichkeit
sehr groß, daß sie trotz einer großen Anzahl geimpfter Personen
infiziert wird (und was davon merkt).

Um das zu beantworten, fehlt eine Angabe. Und zwar glaube ich nicht,
dass ein geimpfte, infizierte Person genauso infektiös ist wie eine
ungeimpfte, denn das Virus kann sich ja nicht ungestört im Körper
replizieren.

Nunja, momentan gehen einige Medienberichte dahin, daß auch geimpfte
Personen sich weiterhin an die Hygienemaßnahmen halten sollen.
Ob der Grund tatsächlich ist, daß diese Personen weiterhin infektiös
sind, oder ob es aus Solidarität mit den Nicht-Geimpften ist, ist mir
allerdings unklar.

Wenn dem so wäre, gäbe es gar keine Herdenimmunität.

Zumindest wenn man "Herdenimmunität" weiterhin einfach definiert als
r < 1
und die Reproduktionszahlen r0 bzw. r weiterhin die Erwartungswerte sind von
X = Anzahl der Personen, die mit P0 Kontakt haben
Y = Anzahl der Personen, die von P0 infiziert werden,
wobei "infiziert werden" nicht mehr äquivalent ist mit "immun gegen die
Krankheit werden".

D.h. wenn man geimpft ist, kann man infiziert werden im Sinne von "man
hat Viren in sich", ist aber immun gegen die Krankheit.

Wenn man stattdessen Y definiert als
Y = Anzahl der Personen, die durch P0 krank werden
und
r = E(Y),
dann wäre dami die Definition
"Herdenimmunität" <==> "r<1"
fragwürdig.

Das
wäre auch doof für die Impfversager, die Quote ist laut Studie bei dem
Biontech-Stoff ja immerhin 5%. Die würden ja dann trotzdem COVID kriegen.

Genau das, und das sogar (irgendwann) ziemlich sicher.

Ansonsten hättest Du in dem simpelsten Modell einfach einen zusätzlichen
Faktor, der die Basisreproduktionszahl runterdrückt.

Wenn man
Y = Anzahl der Personen, die von P0 infiziert werden
r = E(Y)
benutzt (unabhängig davon, ob eine infizierte Person tatsächlich krank
wird)?!