Discussion:
Wer kann denn noch etwas Geometrie?
(zu alt für eine Antwort)
Siegfried Neubert
2020-04-06 14:47:02 UTC
Permalink
Moin moin, ich schrieb ja schon,
ich habe da dieses Rätselbuch geschenkt bekommen ...

Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen.
Genau auf der Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X),
in dem die Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd -
Teil eines jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.

Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y) einschlagen,
damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich Teile teilt.

A
/ \
Y=? \
/ | \
/ | \
/ | \
/ | \
B-------------X---------C (Diese Skizze dient nur der Übersicht!)

Frage: Sei x=|BX|, y=|BY|, a=|BC|, b=|AC| und c=|BA|

Wie findet man Y damit ABC in zwei gleiche Teile zerfällt,
oder ergibt sich Y bzw. y=?

Viel Spaß, viele Grüße - bleibt Gesund

Siggi N.
Robin Koch
2020-04-06 15:36:18 UTC
Permalink
Post by Siegfried Neubert
Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges
Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen. Genau auf der
Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X), in dem die
Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd - Teil eines
jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.
Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y)
einschlagen, damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich
Teile teilt.
Zur geometrischen Ermittlung von Y:

|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v

Noch einer, Bildschirme sind heute größer...

|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v

1. Man konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC als Schnittpunkt
zweier der drei Seitenhalbierenden. (Seitenhalbierende teilen ein
Dreieck aus Proportionalitätsgründen in gleich große Teile.)

2. Man zeichne die Gerade XS ein, die - weil sie durch den Schwerpunkt
geht - das Dreieck in zwei gleichgroße Hälften zerlegt.

3. Y ist nun der Schnittpunkt von s und AB.

Ob/Wie sich y = |BY| eindeutig berechnet habe ich mir noch nicht überlegt.
--
Robin Koch
Siegfried Neubert
2020-04-06 17:18:11 UTC
Permalink
Post by Robin Koch
Post by Siegfried Neubert
Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges
Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen. Genau auf der
Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X), in dem die
Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd - Teil eines
jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.
Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y)
einschlagen, damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich
Teile teilt.
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
Noch einer, Bildschirme sind heute größer...
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
1. Man konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC als Schnittpunkt
zweier der drei Seitenhalbierenden. (Seitenhalbierende teilen ein
Dreieck aus Proportionalitätsgründen in gleich große Teile.)
2. Man zeichne die Gerade XS ein, die - weil sie durch den Schwerpunkt
geht - das Dreieck in zwei gleichgroße Hälften zerlegt.
3. Y ist nun der Schnittpunkt von s und AB.
Ob/Wie sich y = |BY| eindeutig berechnet habe ich mir noch nicht überlegt.
--
Robin Koch
Moin, Glückwunsch, darauf bin ich nicht gekommen.
Das mit dem S... leutet aber ein! Danke.

Und ja, man kan y=f(ABC;x) angeben!

Gruß Siggi N.
Siegfried Neubert
2020-04-07 18:16:18 UTC
Permalink
Post by Siegfried Neubert
Post by Robin Koch
Post by Siegfried Neubert
Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges
Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen. Genau auf der
Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X), in dem die
Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd - Teil eines
jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.
Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y)
einschlagen, damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich
Teile teilt.
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
Noch einer, Bildschirme sind heute größer...
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
1. Man konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC als Schnittpunkt
zweier der drei Seitenhalbierenden. (Seitenhalbierende teilen ein
Dreieck aus Proportionalitätsgründen in gleich große Teile.)
2. Man zeichne die Gerade XS ein, die - weil sie durch den Schwerpunkt
geht - das Dreieck in zwei gleichgroße Hälften zerlegt.
3. Y ist nun der Schnittpunkt von s und AB.
Ob/Wie sich y = |BY| eindeutig berechnet habe ich mir noch nicht überlegt.
--
Robin Koch
Moin, Glückwunsch, darauf bin ich nicht gekommen.
Das mit dem S... leutet aber ein! Danke.
Und ja, man kan y=f(ABC;x) angeben!
Gruß Siggi N.
Moin, ich bin noch einiges schuldig!


Da übr den Schwerpunkt "S" schon bekannt, ersteinmal zur Konstruktion von Y
- bei gegebenem ABC und X, gelegen auf auf BC
(mit der Länge x abgetragen auf BC, mit X zwischen B und C):

Sei M der Mittelpunkt zwischen B und C.
Betrachte MA sowie XA und die Parallele dazu durch M.
Y sei der Punkt an dem diese Parallel das Dreieck ABC (außer in M) schneidet.
(Außerdem schneidet die Parallele durch M die Gerade durch A und B in y.
Das muß - je nach Lage von X - nicht der Punkt Y sein.)

Die Flächen von ABM und AMC sind gleich, da Grundlinie BC/2 und gleiche Höhe!

Je nachdem ob X links oder rechts vom M liegt,
sind auch die Flächen von AXM bzw. AMX sowie AMY bzw. AYM gleich,
da de Grundlinie AM, und gleiche Höhen durch die Parallele.

QED


Die Formel für y=f(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


Die Formel für y=f(x) kann nun geometrisch daraus gefolgert werden,
daß die Parallelen den Winkel zwischen BA und BC schneiden.

Einfacher, so finde ich, findet man (Achtung, doppelte Bezeichner!):

Sei in einem geeigneten Koordinatensystem mit B in (0,0).
A = (a1,a2) hier der Vektor von B nach A und
B = (0,b) der Vektor von B nach C.

Dann sollte gelten: |A x B| = 2|xA x yB| od. 1 = 2xy od.

y= f(x)= 1/(2x) - y abgetragen von 0 bis y auf der Geraden durch B und A.

Ich würde mich über Kommentare freuen.

VG Siggi
Siegfried Neubert
2020-04-07 20:11:51 UTC
Permalink
Post by Siegfried Neubert
Post by Robin Koch
Post by Siegfried Neubert
Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges
Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen. Genau auf der
Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X), in dem die
Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd - Teil eines
jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.
Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y)
einschlagen, damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich
Teile teilt.
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
Noch einer, Bildschirme sind heute größer...
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
1. Man konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC als Schnittpunkt
zweier der drei Seitenhalbierenden. (Seitenhalbierende teilen ein
Dreieck aus Proportionalitätsgründen in gleich große Teile.)
2. Man zeichne die Gerade XS ein, die - weil sie durch den Schwerpunkt
geht - das Dreieck in zwei gleichgroße Hälften zerlegt.
3. Y ist nun der Schnittpunkt von s und AB.
Ob/Wie sich y = |BY| eindeutig berechnet habe ich mir noch nicht überlegt.
--
Robin Koch
Moin, Glückwunsch, darauf bin ich nicht gekommen.
Das mit dem S... leutet aber ein! Danke.
Und ja, man kan y=f(ABC;x) angeben!
Gruß Siggi N.
Moin, ich bin noch einiges schuldig!


Da übr den Schwerpunkt "S" schon bekannt, ersteinmal zur Konstruktion von Y
- bei gegebenem ABC und X, gelegen auf auf BC
(mit der Länge x abgetragen auf BC, mit X zwischen B und C):

Sei M der Mittelpunkt zwischen B und C.
Betrachte MA sowie XA und die Parallele dazu durch M.
Y sei der Punkt an dem diese Parallel das Dreieck ABC (außer in M) schneidet.
(Außerdem schneidet die Parallele durch M die Gerade durch A und B in y.
Das muß - je nach Lage von X - nicht der Punkt Y sein.)

Die Flächen von ABM und AMC sind gleich, da Grundlinie BC/2 und gleiche Höhe!

Je nachdem ob X links oder rechts vom M liegt,
sind auch die Flächen von AXM bzw. AMX sowie AMY bzw. AYM gleich,
da de Grundlinie AM, und gleiche Höhen durch die Parallele.

QED


Die Formel für y=f(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


Die Formel für y=f(x) kann nun geometrisch daraus gefolgert werden,
daß die Parallelen den Winkel zwischen BA und BC schneiden.

Einfacher, so finde ich, findet man (Achtung, doppelte Bezeichner!):

Sei in einem geeigneten Koordinatensystem mit B in (0,0) und (x) Kreuzoperator.
A = (a1,a2) hier der Vektor von B nach A und
B = (0,b) der Vektor von B nach C.
Verkürzt könnte man Schreiben X= xA (der Punkt X ist der Vektor X= xA, x Skalar)

Dann sollte gelten: |A (x) B| = 2|xA (x) yB| od. 1 = 2xy od.

y= f(x)= 1/(2x) - y abgetragen von 0 bis y auf der Geraden durch B und A.
(Y und y sind i.d.R. verschieden!)

Ich würde mich über Kommentare freuen.

VG Siggi
Siegfried Neubert
2020-04-08 17:49:34 UTC
Permalink
...
Post by Siegfried Neubert
Sei in einem geeigneten Koordinatensystem mit B in (0,0) und (x) Kreuzoperator.
A = (a1,a2) hier der Vektor von B nach A und
B = (0,b) der Vektor von B nach C.
Verkürzt könnte man Schreiben X= xA
(der Punkt X ist der Vektor X= xA, 0<= x <= 1 Skalar) - Nachtrag, Pardon!
Post by Siegfried Neubert
Dann sollte gelten: |A (x) B| = 2|xA (x) yB| od. 1 = 2xy od.
y= f(x)= 1/(2x) - y abgetragen von 0 bis y auf der Geraden durch B und A.
(Y und y sind i.d.R. verschieden!)
Ich würde mich über Kommentare freuen.
VG Siggi
neu...@tuhh.de
2020-10-17 12:22:43 UTC
Permalink
Post by Robin Koch
Post by Siegfried Neubert
Ein Vater stirbt und vererbt seinen beiden Kindern ein dreieckiges
Grundstück (mit den Eckpunkten ABC) zu gleichen Teilen. Genau auf der
Verbindung BC steht ein alter Baum (an der Stelle X), in dem die
Kinder vormals spielten, und der - sich daran erinnernd - Teil eines
jeden der 2 Teilgrundstücke werden soll.
Wo auf der Linie die durch BA geht muß man dann den Pflock (Y)
einschlagen, damit die Verbindung XY das Dreieck ABC in zwei gleich
Teile teilt.
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
Noch einer, Bildschirme sind heute größer...
|
|
|
S
P
O
I
L
E
R
S
P
A
C
E
|
|
|
v
1. Man konstruiere den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC als Schnittpunkt
zweier der drei Seitenhalbierenden. (Seitenhalbierende teilen ein
Dreieck aus Proportionalitätsgründen in gleich große Teile.)
2. Man zeichne die Gerade XS ein, die - weil sie durch den Schwerpunkt
geht - das Dreieck in zwei gleichgroße Hälften zerlegt.
3. Y ist nun der Schnittpunkt von s und AB.
Ob/Wie sich y = |BY| eindeutig berechnet habe ich mir noch nicht überlegt.
--
Robin Koch
Moin, ich muß mich - glaube ich - korrigieren:

Betrachte das Dreieck ABC mit |BC|= g als Grundlinie und der Höhe h.
Der Schwerpunkt teilt die Höhe im Verhältnis 2:1.
Die Schenkel des Dreiecks schneiden aus der Parallele zur Grundlinie in 1/3 der Höhe eine zweite Grundlinie g'=2g/3
Damit ergibt sich

(g+g')/2*h/3 + g'/2*2h/3= 5/9gh/2 + 4/9gh/2= gh/2 d.h. der Schwerpunkt "halbiert" nicht die Flächen!

QED

Wäre schön, wenn das jemand verifiziert, meinen Rechnungen kann man nicht trauen! ;-)

Gruß Siggi N.

Loading...