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Ich bin auf dieses Problem gestossen ...
(zu alt für eine Antwort)
Juergen Ilse
2020-12-18 17:15:28 UTC
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Hallo,

ich bin auf dieses youtube-Video gestossen, und bin auf eine andere Loesung
als der Autor des Videos gestossen, die jedoch mit seiner Loesung numerisch
uebereinzustimmen scheint. Da ich in keoinem der beiden Loesungswege einen
Fehler finde, gehe ich davon aus, dass die Werte beider Losungen tatsaechlich
uebereinstimmen, aber wie koennte man das analytisch (ohne Zuhilfenahme dieser
Geographiee-Frage) beweisen?

Das Video ist dieses hier:



Entgegen der Anfangs im Video gezeigten Figur aendert er doe Figur spaeter
im Video noch einmal ab, um aufzuzeigen, dass eine von vielen getroffene
Falschannahme inkorrekt ist (er hat im spaeteren Video die linke senkrechte
Linie von 4 auf 3 verkuerzt). Der Autor erklaert seine Loesung ab etwa 2:00.
Der Autor kommt mit der (interessanten) Methode auf die Quadratwurzel aus 71.
Meine Loesung basiert auf der Figur, die im Video an der Stelle 2:20 zu
sehen ist. Waehrend der Autor anschliessen die Figur noch dreht un trans-
formiert verzichte ich darauf, um die Laenge der "blauen Linie" in der
Figur zu ermitteln. Mit seiner (zugegebenermassen einfacheren) Methode
ermittelt der Autor des Videos die Laenge der blauen Linie mit der Quadrat-
wurzel aus 80. Meine Ueberlegung ausgehend von der Figur an der Stelle 2:20
basieren nun auf der Aehnlichkeit der beiden zu sehenden Dreiecke. Die Drei-
ecke stimmen offenbar in 2 Winkeln (und damit auch im dritten Wikel) ueber-
ein und sind daher aehnlich. Deswegen ist das Verhaeltnis entsprechender
Seiten beider Dreiecke auch immer identisch. Betrachten wir nun die zweite
schwarze Linie, die von der blauen Linie in zweit Teile geteilt wird, so
muss daher das Verhaeltnis der beiden Teile dier Linie wie 4 zu 5 sein.
Da beide Teilstuecke der Linie zusammen die Laenge 4 haben, muss das uerzere
Zeilstueck die Laenge 1,5 ubd das laengere die Laenge 2,5 haben. Mit diesen
Angaben laesst sich nach Pythagoras von jedem der beiden Dreiecke die Laenge
der Hypothenuse bestimmen. Die beiden Hypothenusen sind demnach Quardatwurzel
aus 11,25 und Quadratwurzel aus 31,25 lang. Die Laenge der blauen Linie ist
die Summe beider Hypothenusenlaengen, also (ich kuerze ab jetzt Quadratwurzel
mit sqrt ab) sqrt(11,25)+sqrt(31,25). Der Autor des Videos hat die Laenge mit
sqrt(80) ermittelt. Ab da sind unsere Vorgehensweisen wieder gleich. Nun ist
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
ist. Oder das (wenn man denn weiter rechnet):
(sqrt(11,25)+sqrt(31,25))^2-9=71
bzw.
sqrt((sqrt(11,25)+sqrt(31,25)^2-9)=sqrt(71)
ist. Oder ist in einer der beiden Berechnungen (neiner oder der des Autors
des Videos) ein Fehler drin, den ich uebersehen habe?
Die beiden Ausdruecke sqrt(11,25)+sqrt(31,25) und sqrt(80) scheinen auch
tatsaechlich den selben Wert zu haben (gnu bc mit scale=1000 errechnet fuer
beide Ausdruecke den *selben* Wert bzw. die Differenz zu exakt 0). Ich sehe
einfach aktuell keinen analytischen Beweis fuer die leichheit beider Aus-
druecke. Hat irgendwer dazu vielleicht mehr Ideen als ich?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Alfred Flaßhaar
2020-12-18 17:55:30 UTC
Permalink
Am 18.12.2020 um 18:15 schrieb Juergen Ilse:
(...)
Post by Juergen Ilse
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
(...)

Stelle die Dezimalzahlen als echte Brüche (nicht gemischte Zahlen) dar
und wende Wurzelregeln an. Die Gleichung ist korrekt.

Gruß, Alfred Flaßhaar
Juergen Ilse
2020-12-18 18:47:04 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Post by Juergen Ilse
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
(...)
Stelle die Dezimalzahlen als echte Brüche (nicht gemischte Zahlen) dar
und wende Wurzelregeln an. Die Gleichung ist korrekt.
Dann erhalte ich:

sqrt(45/4)+sqrt/125/4)=sqrt(80)=sqrt(320/4)

Danke fuer den Wink mit dem Zaunpfahl. Wenn ich beide Seiten quadriere,
erhalte ich:

45/4+2*sqrt(45/4)*sqrt(125/4)+125/4=80

Wenn ich nun aus dem Produkt der Wurzel die >Wurzel aus dem Produkt mache
und auch den Faktor 2 mit unter die Wurzel ziehe, erhalte ich:

45/4+sqrt(4*45*125/16)+125/4=80

Den Ausdruck in der Wurzel ausmultipliziert und es ergibt sich:

45/4+sqrt(22500/16)+125/4=80

Da sqrt(22500)=150 und sqrt(16 4 ist:

45/4+150/4+125/4=320/4=80

Ich hatte das wirklich nicht gesehen. Manchmal hat man ein Brett vor dem Kopf.

Tschuess,
Juergen ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Torn Rumero DeBrak
2020-12-18 20:09:51 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Post by Juergen Ilse
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
(...)
Stelle die Dezimalzahlen als echte Brüche (nicht gemischte Zahlen) dar
und wende Wurzelregeln an. Die Gleichung ist korrekt.
sqrt(45/4)+sqrt/125/4)=sqrt(80)=sqrt(320/4)
Danke fuer den Wink mit dem Zaunpfahl. Wenn ich beide Seiten quadriere,
45/4+2*sqrt(45/4)*sqrt(125/4)+125/4=80
Wenn ich nun aus dem Produkt der Wurzel die >Wurzel aus dem Produkt mache
45/4+sqrt(4*45*125/16)+125/4=80
45/4+sqrt(22500/16)+125/4=80
Es ist mir unverständlich, warum die meisten Leute sich das
(mathematische) Leben unnötig schwer machen und immer mit großen Zahlen
jonglieren müssen, wie hier beim Ausmultiplizieren.
Einfacher ist es doch, folgende Umformungen zu machen:
2*sqrt(45/4)*sqrt(125/4) = 2*sqrt(9*5/4)*sqrt(25*5/4)
=
2*sqrt(9)*sqrt(5)/sqrt(4)*sqrt(25)*sqrt(5)/sqrt(4)
= 2*3/2*5/2*sqrt(5)*sqrt(5)
= 3*5*5/2
Das ist zwar erst einmal etwas mehr Schreibaufwand, verhindert aber
Rechenfehler mit unhandlich großen Zahlen.
Juergen Ilse
2020-12-18 20:20:19 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Torn Rumero DeBrak
Post by Juergen Ilse
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Post by Juergen Ilse
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
(...)
Stelle die Dezimalzahlen als echte Brüche (nicht gemischte Zahlen) dar
und wende Wurzelregeln an. Die Gleichung ist korrekt.
sqrt(45/4)+sqrt/125/4)=sqrt(80)=sqrt(320/4)
Danke fuer den Wink mit dem Zaunpfahl. Wenn ich beide Seiten quadriere,
45/4+2*sqrt(45/4)*sqrt(125/4)+125/4=80
Wenn ich nun aus dem Produkt der Wurzel die >Wurzel aus dem Produkt mache
45/4+sqrt(4*45*125/16)+125/4=80
45/4+sqrt(22500/16)+125/4=80
Es ist mir unverständlich, warum die meisten Leute sich das
(mathematische) Leben unnötig schwer machen und immer mit großen Zahlen
jonglieren müssen, wie hier beim Ausmultiplizieren.
Die Zahlen sind hier so "passend", dass (zumindest bei mir) das ausmulti-
plizieren auch der "grossen Zahlen" hier problemlos im Kopf gelingt.
4*125 ist 500 (und damit ein "halber tausender). somit ist 45*125*4 gleich
45/2 tausender, sprich 22500. Das ist (zumindest fuer nich) nicht schwieriger
als mit den Faktorzerlegungen herumzuhantieren.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Jens Kallup
2020-12-19 09:05:00 UTC
Permalink
Hallo, und Guten Morgen,

ich habe die Befürchtung, das mit der Digitalisierung
in Deutschland, besonders an den Grundschulen dazu
führt, das die Kinder das (Hand)schriftliche Schreiben
sowie das Denken verlernen.

Gruß, Jens

P.S.: Frohe Weihnachtszeit.
Stephan Gerlach
2020-12-19 22:18:27 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
ich bin auf dieses youtube-Video gestossen, und bin auf eine andere Loesung
als der Autor des Videos gestossen, die jedoch mit seiner Loesung numerisch
uebereinzustimmen scheint.
Meinst du mit "andere Lösung" einen anderen Lösungsweg, oder eine
Lösung, die scheinbar (algebraisch) anders "aussieht"?
Post by Juergen Ilse
Da ich in keoinem der beiden Loesungswege einen
Fehler finde, gehe ich davon aus, dass die Werte beider Losungen tatsaechlich
uebereinstimmen, aber wie koennte man das analytisch (ohne Zuhilfenahme dieser
Geographiee-Frage) beweisen?
http://youtu.be/kfijuP5HDjU
Entgegen der Anfangs im Video gezeigten Figur aendert er doe Figur spaeter
im Video noch einmal ab, um aufzuzeigen, dass eine von vielen getroffene
Falschannahme inkorrekt ist (er hat im spaeteren Video die linke senkrechte
Linie von 4 auf 3 verkuerzt).
Ja, ich hatte zunächst nicht weiter geschaut und die Lösung mit der
Seitenlänge "4" statt "3" berechnet und kam auf x=8.
Ändert aber am Rechenweg nichts.

Die erläuterte Fehlannahme liegt wohl daran, daß die Skizze nicht
maßstäblich ist.
Post by Juergen Ilse
Der Autor erklaert seine Loesung ab etwa 2:00.
Der Autor kommt mit der (interessanten) Methode auf die Quadratwurzel aus 71.
Stimmt. Offenbar hat er nach einer besonders eleganten Methode gesucht.

Ich hab' das Ganze "brute-Force" gelöst mit der (meistens sicher
funktionierenden) Methode "suche ein Dreieck, in dem mindestens 3
gegebene Größen vorhanden sind, rechne dort möglichst viel aus, gehe zum
nächsten Dreieck usw., solange, bis in einem dieser Dreiecke x vorkommt".

Wenn ich mal die Punkte von links oben in alphabetischer Reihenfolge mit
A, B, C, D, E
bezeichne, war meine Strategie:
- Dreieck BCD (rechtwinklig): berechne Strecke CD
- Dreieck BCD (nochmal): berechne Winkel BDC
- Dreieck BDE (gleichschenklig): berechne Winkel BDE
- Dreieck BDE (nochmal): berechne Strecke BE (die "blaue Linie")
- Dreieck ABE (rechtwinklig): berechne Strecke x=AE

Das benötigt also 5 (Zwischen-)Größen, um zur gesuchten Größe x zu kommen.

Wenn man alles exakt rechnet und ohne Näherungswerte, erfordert dies
allerdings Kenntnis trigonometrischer Formeln/Zusmamenhänge zwischen
z.B. Sinus, Arkuscosinus usw.

Z.B. braucht man
cos(arccos(x)+pi/2) = -sqrt(1-x²).
Post by Juergen Ilse
Meine Loesung basiert auf der Figur, die im Video an der Stelle 2:20 zu
sehen ist. Waehrend der Autor anschliessen die Figur noch dreht un trans-
formiert verzichte ich darauf, um die Laenge der "blauen Linie" in der
Figur zu ermitteln. Mit seiner (zugegebenermassen einfacheren) Methode
ermittelt der Autor des Videos die Laenge der blauen Linie mit der Quadrat-
wurzel aus 80. Meine Ueberlegung ausgehend von der Figur an der Stelle 2:20
basieren nun auf der Aehnlichkeit der beiden zu sehenden Dreiecke. Die Drei-
ecke stimmen offenbar in 2 Winkeln (und damit auch im dritten Wikel) ueber-
ein und sind daher aehnlich. Deswegen ist das Verhaeltnis entsprechender
Seiten beider Dreiecke auch immer identisch. Betrachten wir nun die zweite
schwarze Linie, die von der blauen Linie in zweit Teile geteilt wird, so
muss daher das Verhaeltnis der beiden Teile dier Linie wie 4 zu 5 sein.
Da beide Teilstuecke der Linie zusammen die Laenge 4 haben, muss das uerzere
Zeilstueck die Laenge 1,5 ubd das laengere die Laenge 2,5 haben. Mit diesen
Angaben laesst sich nach Pythagoras von jedem der beiden Dreiecke die Laenge
der Hypothenuse bestimmen. Die beiden Hypothenusen sind demnach Quardatwurzel
aus 11,25 und Quadratwurzel aus 31,25 lang. Die Laenge der blauen Linie ist
die Summe beider Hypothenusenlaengen, also (ich kuerze ab jetzt Quadratwurzel
mit sqrt ab) sqrt(11,25)+sqrt(31,25).
Solche komplizierten Überlegungen (die aber natürlich die Verwendung von
sin(), cos(), arcsin(), arccos() ersparen), hatte ich mir gar nicht gemacht.
Post by Juergen Ilse
Der Autor des Videos hat die Laenge mit
sqrt(80) ermittelt. Ab da sind unsere Vorgehensweisen wieder gleich. Nun ist
meine Frage: Wie kann man analytisch beweisen, dass
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
ist.
Man könnte so vorgehen, als würde man eine Wurzelgleichung mit 3 Wurzeln
lösen:
Beide Seiten quadrieren, auf der linken Seite binomische Formel
anwenden, Wurzelgesetz sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b) benutzen, nach der
danach noch vorhandenen Wurzel umstellen, nochmal quadrieren.
Dann sollte eine wahre Aussage da stehen.

Achtung: Natürlich ist das eine "wacklige" Beweismethode, da man nicht
aus der zu zeigenden Aussage eine wahre Aussage herleiten sollte,
sondern umgekehrt. Also ist zu beachten, ob alle Schritte tatsächlich
äquivalent sind.
Post by Juergen Ilse
(sqrt(11,25)+sqrt(31,25))^2-9=71
bzw.
sqrt((sqrt(11,25)+sqrt(31,25)^2-9)=sqrt(71)
ist. Oder ist in einer der beiden Berechnungen (neiner oder der des Autors
des Videos) ein Fehler drin, den ich uebersehen habe?
Ich denke nicht, da ich ebenfalls sqrt(71) rausbekommen.
Unwahrscheinlich, daß 3 Leute mit verschiedenen Methoden dieselbe
falsche Lösung bekommen.
Post by Juergen Ilse
Die beiden Ausdruecke sqrt(11,25)+sqrt(31,25) und sqrt(80) scheinen auch
tatsaechlich den selben Wert zu haben (gnu bc mit scale=1000 errechnet fuer
beide Ausdruecke den *selben* Wert bzw. die Differenz zu exakt 0). Ich sehe
einfach aktuell keinen analytischen Beweis fuer die leichheit beider Aus-
druecke. Hat irgendwer dazu vielleicht mehr Ideen als ich?
Wie gesagt das Ganze als Wurzelgleichung betrachten und solange
quadrieren, bis keine Wurzeln mehr vorhanden sind.
Das ist u.U. (wie ebenfalls gesagt) kein richtiger Beweis, aber wenn
eine wahre Aussage da steht, ist es zumindest ein Indiz dafür, daß
sqrt(11,25)+sqrt(31,25)=sqrt(80)
wahr sein könnte.
Besser ist natürlich, das Ganze direkt mit Wurzelgesetzen zu beweisen,
wozu ich wohl erstmal die Dezimalbrüche in Brüche Zähler/Nenner
umwandeln würde.
--
Post by Juergen Ilse
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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