Discussion:
Durchseuchung nach ungebremster Ausbreitung eines Parasiten
(zu alt für eine Antwort)
Uwe Bosse
2020-05-04 10:49:26 UTC
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Hallo zusammen,
hier eine praktisch nicht so relevante aber mathematisch reizvolle Frage:
Wir nehmen an, ein Parasit breite sich in einer (sehr großen) Population aus.
Die Basisreproduktionszahl sei hierbei R_0. Im Schnitt infiziere also jeder
Infektiöse in der Zeit, in der er infektiös ist, R_0 viele andere Wirte, sofern
diese noch nicht infiziert waren. Wer einmal infiziert wurde kann nicht wieder
infizieren.
Soweit also ganz normale epidemologische Annahmen, die ja dann auch dazu führen,
dass man feststellt, dass bei einer Durchseuchungsanteil der Population von
(R_0-1)/R die weitere Ausbreitung endemisch ist, es also zu keinem Zuwachs der
Zahl der Infektiösen mehr kommt. Das ist ja das Maß an Herdenimmunität, die eine
Population vor diesem Parasiten schützt. (Jede neue Infektionskette läuft sich
von alleine rasch tot)
Jetzt die Frage: Wenn die Ausbreitung ungebremst verläuft, die Population also
keine Maßnahmen ergreift, dann wird es am Ende trotzdem Individuen geben, die
nicht infiziert wurden, einfach weil sie Glück hatten. Wie groß ist der
Durchseuchungsgrad am Ende der Epidemie? Nach meinen Überlegungen hängt er nur
von R_0 ab, und es kommt überraschend die e-Funktion ins Spiel. Und natürlich
ist er größer als (R_0-1)/R_0.

Doch bevor ich diese Überlegungen darlege und damit die Vielfalt von möglichen
Ansätzen beschränke würden mich eure Berechnungen und Ansätze interessieren.

Liebe Grüße, Uwe
Jan Bruns
2020-05-04 19:09:02 UTC
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Post by Uwe Bosse
Jetzt die Frage: Wenn die Ausbreitung ungebremst verläuft, die
Population also keine Maßnahmen ergreift, dann wird es am Ende trotzdem
Individuen geben, die nicht infiziert wurden, einfach weil sie Glück
hatten. Wie groß ist der Durchseuchungsgrad am Ende der Epidemie? Nach
meinen Überlegungen hängt er nur von R_0 ab, und es kommt überraschend
die e-Funktion ins Spiel. Und natürlich ist er größer als (R_0-1)/R_0.
Wovon denn auch sonst, wenn R_0 der einzige in deinem Modell
auftauchende, und somit auch der einzig in Frage kommende Parameter ist?

Gruss

Jan Bruns
Stephan Gerlach
2020-05-04 21:46:23 UTC
Permalink
Post by Uwe Bosse
Hallo zusammen,
Wir nehmen an, ein Parasit breite sich in einer (sehr großen) Population aus.
Die Basisreproduktionszahl sei hierbei R_0. Im Schnitt infiziere also jeder
Infektiöse in der Zeit, in der er infektiös ist, R_0 viele andere Wirte, sofern
diese noch nicht infiziert waren. Wer einmal infiziert wurde kann nicht wieder
infizieren.
Soweit also ganz normale epidemologische Annahmen, die ja dann auch dazu führen,
dass man feststellt, dass bei einer Durchseuchungsanteil der Population von
(R_0-1)/R die weitere Ausbreitung endemisch ist, es also zu keinem Zuwachs der
Zahl der Infektiösen mehr kommt. Das ist ja das Maß an Herdenimmunität, die eine
Population vor diesem Parasiten schützt. (Jede neue Infektionskette läuft sich
von alleine rasch tot)
Jetzt die Frage: Wenn die Ausbreitung ungebremst verläuft, die Population also
keine Maßnahmen ergreift, dann wird es am Ende trotzdem Individuen geben, die
nicht infiziert wurden, einfach weil sie Glück hatten. Wie groß ist der
Durchseuchungsgrad am Ende der Epidemie? Nach meinen Überlegungen hängt er nur
von R_0 ab, und es kommt überraschend die e-Funktion ins Spiel. Und natürlich
ist er größer als (R_0-1)/R_0.
Doch bevor ich diese Überlegungen darlege und damit die Vielfalt von möglichen
Ansätzen beschränke würden mich eure Berechnungen und Ansätze interessieren.
Ich hatte das schonmal versucht, allerdings - was die Sache schwierig
gemacht hatte - die Zeit mit einbezogen.

Erste Variante, einfacher, mit der (unrealistischen) Annahme, daß
infizierte Personen immer infiziert bleiben:
<https://de.sci.mathematik.narkive.com/QXVvcvEB/coronavirus-pessimistische-prognose>.

Zweite, realistischere Variante (immer noch mit Vereinfachungen), unter
der Annahme, daß infizierte Personen geheilt (und damit immun) werden
können:
<https://de.sci.mathematik.narkive.com/cUfYyF4K/coronavirus-geheilte-personen-mit-in-die-berechnung-einbeziehen>.

Aber ich glaube, daß ist nicht ganz das, was du suchst.
Denn du scheinst eine Frage nach einem Limes für t gegen unendlich zu
stellen, umgangssprachlich: "Was passiert nach hinreichend langer Zeit"?
--
Post by Uwe Bosse
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
Walter H.
2020-05-05 18:14:26 UTC
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Post by Uwe Bosse
Wir nehmen an, ein Parasit breite sich in einer (sehr großen) Population aus.
eine große Population muss nicht automatisch bedeuten, dass der Parasit
viele Wirte vorfindet;
Post by Uwe Bosse
Die Basisreproduktionszahl sei hierbei R_0.
Im Schnitt infiziere also jeder Infektiöse in der Zeit, in der er infektiös ist, ...
der Terminus technicus "jeder Infektiöse" sagt bereits, dass er jemand
anderen infizifieren kann ...
anders ist die Krankheit bereits zum Ausbruch gekommen, und hier ist man
meist dann nicht mehr infektiös, wenn man geheilt wurde ...
Post by Uwe Bosse
Wer einmal infiziert wurde kann nicht wieder infizieren.
hier meintest Du an Stelle von 'nicht wieder infizieren' das: 'nicht
noch einmal infiziert werden'; was aber in Summe voraussetzt der Parasit
mutiert nicht, denn eine Mutation kann sehr wohl jemanden infizieren
welcher noch selbst infektiös ist oder von einer anderen Mutation
bereits wieder geheilt ist;
Post by Uwe Bosse
Soweit also ganz normale epidemologische Annahmen, die ja dann auch dazu führen,
dass man feststellt, dass bei einer Durchseuchungsanteil der Population von
(R_0-1)/R die weitere Ausbreitung endemisch ist, es also zu keinem Zuwachs der
Zahl der Infektiösen mehr kommt.
siehe Absatz darüber, Deine Annahme ist nicht hinreichend präzise
formuliert;
Uwe Bosse
2020-05-12 17:19:44 UTC
Permalink
Am 05.05.20 um 20:14 schrieb Walter H.:

Mir ist jetzt nicht klar geworden, wo meine Formulierungen zweideutig verstanden
werden können. Eine Präzi8sierung liefere ich gerne, wenn es nötig ist, weil man
nicht weiß, was ich meine.

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