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Neue Erkenntnisse aus Augsburg (unit fractions)
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-10-11 13:42:19 UTC
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"[.] unit fraction with less than aleph_0 unit fractions between
itself and 0 [...] must exist, if the real line is continuous"

(W. Mückenheim, sci.logic)
Alfred Flaßhaar
2020-10-11 14:43:16 UTC
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Post by Me
"[.] unit fraction with less than aleph_0 unit fractions between
itself and 0 [...] must exist, if the real line is continuous"
(W. Mückenheim, sci.logic)
Und was ist mit "Continued Fractions"?
Ganzhinterseher
2020-10-11 16:51:24 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Post by Me
"[.] unit fraction with less than aleph_0 unit fractions between
itself and 0 [...] must exist, if the real line is continuous"
(W. Mückenheim, sci.logic)
Und was ist mit "Continued Fractions"?
Die unendlichen liegen zwischen den Stammbrüchen und belegen angeblich sogar überabzählbar viele Punkte dazwischen.

Dabei fällt mir ein, dass viele hier Quantorenvertauschung schreien, aber die Feinheiten der Materie nicht überblicken. Ich will daher und da der heutige Sonntag mir einige freie Stunden verschafft, meine Ansichten darüber in Kürze mittheilen.

Die Aussage "es gibt einen natürliche Zahl n, die größer als alle anderen ist", ist falsch, denn man kann sie widerlegen indem man die natürliche Zahl n + 1 anführt.

Das ist anders im Falle der unendlichen Menge dunkler Zahlen. Wie Cantor schon festgestellt hat, ist "ω - ν immer gleich ω" [p. 395] "man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406] Es gibt also einen unveränderlichen Abstand von ω für jede definierbare natürliche Zahl.

Deswegen ist auch der Abstand von ℵo Stammbrüchen zwischen 0 und jedem definierbaren Stammbruch unveränderlich. Nicht nur gibt es zwischen jedem definierbaren 1/n und 0 ℵo Stammbrüche, sondern es gibt ℵo Stammbrüche zwischen jedem definierbaren Stammbruch und 0. Beweis: Es ist nicht möglich, die Kardinalzahl dieser Menge zu reduzieren. Niemand kann das. Aber auf der reellen Zahlengeraden gibt es keine Lücken, schon gar nicht über unendlich viele Punkte, nicht einmal über einen. Deswegen muss der Abstand von mindestens ℵo undefinierbaren Zahlen belegt sein.

Gruß, WM
Ralf Bader
2020-10-11 17:22:56 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Me
"[.] unit fraction with less than aleph_0 unit fractions between
itself and 0 [...] must exist, if the real line is continuous"
(W. Mückenheim, sci.logic)
Und was ist mit "Continued Fractions"?
Die unendlichen liegen zwischen den Stammbrüchen und belegen
angeblich sogar überabzählbar viele Punkte dazwischen.
Dabei fällt mir ein, dass viele hier Quantorenvertauschung schreien,
aber die Feinheiten der Materie nicht überblicken. Ich will daher und
da der heutige Sonntag mir einige freie Stunden verschafft, meine
Ansichten darüber in Kürze mittheilen.
Die Aussage "es gibt einen natürliche Zahl n, die größer als alle
anderen ist", ist falsch, denn man kann sie widerlegen indem man die
natürliche Zahl n + 1 anführt.
Auf diese blödsinnige Ansicht ist außer Ihnen niemand gekommen.
Post by Ganzhinterseher
Das ist anders im Falle der unendlichen Menge dunkler Zahlen. Wie
Cantor schon festgestellt hat, ist "ω - ν immer gleich ω" [p. 395]
"man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν
ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große
Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p.
406] Es gibt also einen unveränderlichen Abstand von ω für jede
definierbare natürliche Zahl.
Was solche Sachen wie "beliebig nahe kommen" anbelangt, sind die
einschlägigen begrifflichen Konzepte seit der Zeit Cantors erheblich
verfeinert worden. Es überrascht nicht, daß Sie davon keine Ahnung
haben, sich aber einbilden, darüber schlau daherschwätzen zu können.
Post by Ganzhinterseher
Deswegen ist auch der Abstand von ℵo Stammbrüchen zwischen 0 und
jedem definierbaren Stammbruch unveränderlich. Nicht nur gibt es
Unveränderlich blödsinnig ist nach wie vor Ihr Geschwafel von "jedem
definierbaren Stammbruch".
Post by Ganzhinterseher
zwischen jedem definierbaren 1/n und 0 ℵo Stammbrüche, sondern es
gibt ℵo Stammbrüche zwischen jedem definierbaren Stammbruch und 0.
Es gibt ℵo Stammbrüche zwischen jedem Stammbruch und 0.
unnötig
Post by Ganzhinterseher
Es ist nicht möglich, die Kardinalzahl dieser Menge zu
reduzieren.
Aber wenn schon von Ihnen ein "Beweis" kommt, dann kann es sich
natürlich nur um vollverblödeten Schwachsinn handeln. Eine Komposition
undefinierter und bedeutungsfreier Schwallwörter.
Post by Ganzhinterseher
Niemand kann das.
Ja, das ist hochbedeutsam in einem mathematischen Beweis, daß NIEMAND
irgendetwas kann.
Post by Ganzhinterseher
Aber auf der reellen Zahlengeraden gibt
es keine Lücken,
Wenn man will, gibt es da durchaus Lücken. Aber für solche Dinge sind
Sie auf jeden Fall zu blöde.
Post by Ganzhinterseher
schon gar nicht über unendlich viele Punkte, nicht
einmal über einen. Deswegen muss der Abstand von mindestens ℵo
undefinierbaren Zahlen belegt sein.
Das ist kein Beweis, sondern ein Scheißdreck.
Ganzhinterseher
2020-10-11 18:34:11 UTC
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Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
schon gar nicht über unendlich viele Punkte, nicht
einmal über einen. Deswegen muss der Abstand von mindestens ℵo
undefinierbaren Zahlen belegt sein.
Das ist kein Beweis,
Das ist Deine unbegründete Meinung. Aber Du kannst meine Behauptungen leicht widerlegen: Definiere einfach alle Stammbrüche, so das für die undefinierten das Intervall (0, 1/n) das Maß 0 besitzt.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-10-16 16:27:51 UTC
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Hallo,
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Die Aussage "es gibt einen natürliche Zahl n, die größer als alle
anderen ist", ist falsch, denn man kann sie widerlegen indem man die
natürliche Zahl n + 1 anführt.
Auf diese blödsinnige Ansicht ist außer Ihnen niemand gekommen.
Ich finde das als "unsauber formulierte Beweisidee" gar nicht so verkehrt.
Versucht man das einmal sauber aufzuschreiben, dann wuerde das vielleicht
int etwa so aussehen:

Angenommen, es gaebe eine natuerliche Zahl n, die groesser als alle anderen
natuerlichen Zahlen ist. Dann ist n+1 ebenfalls eine natuerliche Zahl, weil
ja der "Nachfolger'" einer natuerlichen Zahl laut Peano Axiomen ebenfalls
eine natuerliche Zahl ist. Betrachtet man nun die Frage, ob n+1 kleiner als
n sein kann, dann kommt man darauf "kann eigentlich nicht sein". Ich habe
also eine natuerliche zahl n gefunden, die *groesser* als n ist. n kann
folglich *nicht* die "groesste natuerliche Zahl" (eine, die groesser als
alle anderen ist) gewesen sein. Wichtig waere hier, dass man irgend eine
"Mueckenheim-Definierbarkeit" als Eigenschaft von n gar nicht verwendet hat.
Das einzige was man benutzt hat, sind die Peano-Axiome;

1. Ist n eine natuerliche Zahl, dann hat n einen Nachfolger, der von allen
vorgaengern von n verschieden ist und der ebenfalls eine natuerliche Zahl ist.

2. Der Nachfolger einer natuerlichen Zahl n ist groesser als jene natuerliche
Zahl n.

3. ist eine natuerliche Zahl m groesser eine natuerliche Zahl n, dann ist
auch der Nachfolger von m (sprich die natuerliche Zahl m+1)groesser als die
natuerliche Zahl n.
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Das ist anders im Falle der unendlichen Menge dunkler Zahlen.
Welcher der Punkte 1.-3. ist denn fuer "dunkle Zahlen" nicht erfuellt?
Ist 1. nicht erfuellt, haben wir keine natuerliche Zahl mehr, und diese
"dunkle Zahl" waere keine natuerliche Zahl.
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
Wie Cantor schon festgestellt hat, ist "ω - ν immer gleich ω" [p. 395]
Irrelevant, denn omega ist keine natuerliche Zahl.
Post by Ralf Bader
Was solche Sachen wie "beliebig nahe kommen" anbelangt, sind die
einschlägigen begrifflichen Konzepte seit der Zeit Cantors erheblich
verfeinert worden. Es überrascht nicht, daß Sie davon keine Ahnung
haben, sich aber einbilden, darüber schlau daherschwätzen zu können.
Sein Unverstaendnis beginnt nicht erst beim Unverstaendnis von "beliebig nahe",
denn er ist allein schon mit der Vorstellung ueberfordert, dass es unendlich
viele verschiedene endliche natuerliche Zahlen geben koennte (in der Mathe-
matik ist aber genau das der Fall).

Tschuess
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-10-17 11:57:53 UTC
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Post by Juergen Ilse
1. Ist n eine natuerliche Zahl, dann hat n einen Nachfolger, der von allen
vorgaengern von n verschieden ist und der ebenfalls eine natuerliche Zahl ist.
2. Der Nachfolger einer natuerlichen Zahl n ist groesser als jene natuerliche
Zahl n.
3. ist eine natuerliche Zahl m groesser eine natuerliche Zahl n, dann ist
auch der Nachfolger von m (sprich die natuerliche Zahl m+1)groesser als die
natuerliche Zahl n.
Post by Ganzhinterseher
Das ist anders im Falle der unendlichen Menge dunkler Zahlen.
Welcher der Punkte 1.-3. ist denn fuer "dunkle Zahlen" nicht erfuellt?
Die stillschweigend daraus abgeleitet Annahme, dass der gesamte Anfangsabschhnitt 1, 2, 3, ..., n existiert, ist für dunkle Zahlen nicht mehr erfüllt.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Wie Cantor schon festgestellt hat, ist "ω - ν immer gleich ω" [p. 395]
Irrelevant, denn omega ist keine natuerliche Zahl.
Aber Null ist eine ganze Zahl und es gibt auf der Zahlengerade keine Lücke zwischen 0 und allen Stammbrüchen, so wie sie in der Matheologie zwischen omega und allen natürlichen Zahlen geduldet und gebilligt wird, falls Matheologen überhaupt darüber nachdenken.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-10-19 11:32:07 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
1. Ist n eine natuerliche Zahl, dann hat n einen Nachfolger, der von allen
vorgaengern von n verschieden ist und der ebenfalls eine natuerliche Zahl ist.
2. Der Nachfolger einer natuerlichen Zahl n ist groesser als jene natuerliche
Zahl n.
3. ist eine natuerliche Zahl m groesser eine natuerliche Zahl n, dann ist
auch der Nachfolger von m (sprich die natuerliche Zahl m+1)groesser als die
natuerliche Zahl n.
Post by Ganzhinterseher
Das ist anders im Falle der unendlichen Menge dunkler Zahlen.
Welcher der Punkte 1.-3. ist denn fuer "dunkle Zahlen" nicht erfuellt?
Die stillschweigend daraus abgeleitet Annahme, dass der gesamte Anfangsabschhnitt 1, 2, 3, ..., n existiert, ist für dunkle Zahlen nicht mehr erfüllt.
Das wuerde aber bedeuten, dass die "dunklen Zahlen" nicht zur Menge der
natuerlichen Zahlen (der "kleinsten induktiven Menge, die die 1 enthaelt")
gehoeren koennten, denn alle (direkten und indirekten) Nachfolger der 1
haben die Eigenschaft, dass der zugehoerige Anfangsabschnitt der natuer-
lichen Zahlen keine "Luecken" hat.

Ich gehe hier von der Definition aus:
Eine induktive Menge ist eine nicht leere Menge, die mit jedem ihrer Elemente
auch dessen Nachfolger enthaelt.

Die Menge der natuerlichen Zahlen ist die "minimale induktive Menge, die die 1
(oder falls man die 0 auch als natuerliche Zahl ansieht, die 0) enthaelt".

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-10-19 17:36:40 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Die stillschweigend daraus abgeleitet Annahme, dass der gesamte Anfangsabschhnitt 1, 2, 3, ..., n existiert, ist für dunkle Zahlen nicht mehr erfüllt.
Das wuerde aber bedeuten, dass die "dunklen Zahlen" nicht zur Menge der
natuerlichen Zahlen (der "kleinsten induktiven Menge, die die 1 enthaelt")
gehoeren koennten, denn alle (direkten und indirekten) Nachfolger der 1
haben die Eigenschaft, dass der zugehoerige Anfangsabschnitt der natuer-
lichen Zahlen keine "Luecken" hat.
Das würde bedeuten, dass diese Menge nicht die Kardinalzahl aleph_0 hat. Denn für alle aleph_0 natürlichen Zahlen gilt

U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1] ,

für die lückenlos mit dem Ausgangspunkt 1 oder 0 verbindbaren Zahlen gilt dagegen

[1/n, 1] =/= (0, 1] .

Es fehlen also bei Verwendung ausschließlich dieser Zahlen immer aleph_0 Endsegmente.
Post by Juergen Ilse
Eine induktive Menge ist eine nicht leere Menge, die mit jedem ihrer Elemente
auch dessen Nachfolger enthaelt.
Da ist eine intuitiv schwer erfassbare Kröte zu schlucken: Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Post by Juergen Ilse
Die Menge der natuerlichen Zahlen ist die "minimale induktive Menge, die die 1
(oder falls man die 0 auch als natuerliche Zahl ansieht, die 0) enthaelt".
Jede definierte Zahl n ist mit dem Nullpunkt in ununterbrochener Folge verbunden: 1, 2, 3, ..., n. Ebenso ihr Nachfolger und ihr 10^0^10^10-faches. Nur kommen auf diese Weise niemals mehr zusammen, als diese Zahlen messen können, also endlich viele. Wenn dennnoch aleph_0, also mehr als alle definierbaren natürlichen Zahlen messen können, zusammenkommen sollen, dann müssen die meisten dunkel und nicht zum Messen geeignet sein.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-10-19 20:16:12 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Ganzhinterseher
2020-10-20 08:43:48 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.

Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger, sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat. Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.

Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1] ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben. Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell definierbar.

Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-10-20 11:08:01 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.
Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger, sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat. Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.
Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1] ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben. Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell definierbar.
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten.
"Definierbar" oder "individuell definierbar"? Du schmeisst am laufenden Meter mit solchen wirren und undefinierten Begriffen umher. Kein Wunder, dass ausser dir keiner deinen Wortsalat akzeptiert.
Ganzhinterseher
2020-10-21 18:21:19 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten.
"Definierbar" oder "individuell definierbar"?
Wenn ich "definierbar" sage, so meine ich stets "individuell definierbar". Das betone ich nur manchmal noch ausdrücklich, weil viele meinen, mit |N schon alle natürlichen Zahlen "definiert" zu haben.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-10-21 20:29:02 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten.
"Definierbar" oder "individuell definierbar"?
Wenn ich "definierbar" sage, so meine ich stets "individuell definierbar". Das betone ich nur manchmal noch ausdrücklich, weil viele meinen, mit |N schon alle natürlichen Zahlen "definiert" zu haben.
Ich kann mich eigentlich nur Ralf Bader anschliessen. Deine schwachsinnige individuelle Definierbarkeit hat mit Mathematik rein gar nichts zu tun.
Ganzhinterseher
2020-10-22 08:24:28 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten.
"Definierbar" oder "individuell definierbar"?
Wenn ich "definierbar" sage, so meine ich stets "individuell definierbar". Das betone ich nur manchmal noch ausdrücklich, weil viele meinen, mit |N schon alle natürlichen Zahlen "definiert" zu haben.
Ich kann mich eigentlich nur Ralf Bader anschliessen. Deine [...] individuelle Definierbarkeit hat mit Mathematik rein gar nichts zu tun.
Jedenfalls zeigt sich, dass nicht alle ℵo natürlichen Zahlen individuell definiert werden können, sondern dass ℵo natürliche Zahlen nicht individuell definiert werden können. Und damit kann man diese auch nicht zum Nummerieren von Listen und sonstigen Mengen anwenden.

Über Geschmack sollte man nicht streiten, aber ich finde das schön, denn es beseitigt sehr viele Antinomien.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-10-20 14:41:38 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.
Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger, sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat. Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.
Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1] ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben. Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell definierbar.
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.
Gruß, WM
Wie ist das denn mit der 5 in der induktiven Anordnung 1,2,3,... ? Muss man da wirklich alle Elemente von |N\{1,2,3} durchforsten oder genügt es auf die 4 hinzuweisen?

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-10-21 18:27:30 UTC
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Post by Michael Klemm
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.
Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger, sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat. Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.
Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1] ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben. Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell definierbar.
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.
Wie ist das denn mit der 5 in der induktiven Anordnung 1,2,3,... ? Muss man da wirklich alle Elemente von |N\{1,2,3} durchforsten oder genügt es auf die 4 hinzuweisen?
Für individuell definierbare Zahlen genügt es, den Anfangsabschnitt zu kennen.
1, 2, 3, 4, 5 zeigt, dass die 5 definierbar ist. Aber auch undefinierbare Zahlen haben Vorgänger und Nachfolger. Nur sind sie eben nicht in Relation mit der 1 zu setzen. Das geht nur, wenn der Kehrwert aus einem Intervall [1/n, 1] stammt, dessen n individuell definiert ist. Aber wir wissen, dass zwischen diesem 1/n und 0 noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen. Sie gehören zu dunklen natürlichen Zahlen, von denen man ℵo man nicht individuell definieren kann.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-10-22 09:56:53 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht. Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.
Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger, sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat. Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.
Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1] ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben. Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell definierbar.
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.
Wie ist das denn mit der 5 in der induktiven Anordnung 1,2,3,... ? Muss man da wirklich alle Elemente von |N\{1,2,3} durchforsten oder genügt es auf die 4 hinzuweisen?
Für individuell definierbare Zahlen genügt es, den Anfangsabschnitt zu kennen.
1, 2, 3, 4, 5 zeigt, dass die 5 definierbar ist. Aber auch undefinierbare Zahlen haben Vorgänger und Nachfolger. Nur sind sie eben nicht in Relation mit der 1 zu setzen. Das geht nur, wenn der Kehrwert aus einem Intervall [1/n, 1] stammt, dessen n individuell definiert ist. Aber wir wissen, dass zwischen diesem 1/n und 0 noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen. Sie gehören zu dunklen natürlichen Zahlen, von denen man ℵo man nicht individuell definieren kann.
Gruß, WM
Das bereits von Fermat benutzte induktive Schema 1,2,3,... definiert die natürlichen Zahlen aber weder die Menge |N noch ℵo, noch die Folge (1,2,3,...).

Gruß
Michael
Ganzhinterseher
2020-10-22 18:04:54 UTC
Permalink
Post by Michael Klemm
Das bereits von Fermat benutzte induktive Schema 1,2,3,... definiert die natürlichen Zahlen aber weder die Menge |N noch ℵo,
Das tun auch die Peano-Axiome nicht.

Gruß, WM
Michael Klemm
2020-10-23 12:53:15 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Das bereits von Fermat benutzte induktive Schema 1,2,3,... definiert die natürlichen Zahlen aber weder die Menge |N noch ℵo,
Das tun auch die Peano-Axiome nicht.
Gruß, WM
Das wird aber nicht besser, wenn man d=4, e=5 und f=6 setzt.

Gruß
Michael

Ralf Bader
2020-10-20 16:11:33 UTC
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Am Montag, 19. Oktober 2020 22:16:13 UTC+2 schrieb
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Natürlich hat jede definierte Zahl einen definierten Nachfolger.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Das ist richtig.
Post by h***@gmail.com
Aber mit deiner schwachsinnigen Definition von "definiert" hast du
keine Ahnung, ob der Nachfolger auch schon belegt wurde oder nicht.
Du kannst ihn zwar selbst belegen, aber dann weisst du nichts über
dessen Nachfolger, und so weiter. Dein ganzer Ansatz ist
hirnrissig.
Nein, er ist kontraintuitiv. Aber das sollte einen Mengenlehrer doch nicht schrecken.
Jede individuell definierte Zahl hat nicht nur einen Nachfolger,
sondern X Nachfolger, wobei X eine beliebig große individuell
definierte Zahl ist, die selbst wieder beliebig viele Nachfolger hat.
Trotzdem kommst Du an aleph_0 Zahlen nicht heran.
Beweis: Definiere ein n so groß wie Du kannst, setze es in [1/n, 1]
ein und erkenne, dass trotzdem aleph_0 Stammbrüche draußen bleiben.
Dann vergrößere n immer und immer wieder. Du hast dann eine Folge
ohne Ende. Trotzdem bleiben immer aleph_0 Stammbrüche draußen. Wenn
es denn so viele gibt, so sind sie jedenfalls nicht individuell
definierbar.
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist
jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf
an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.
Mückenheim, vielleicht sind Sie zu blöde, das zu bemerken, aber über
Ihre idiotischen "definierbaren Zahlen" haben WIR überhaupt nie
irgendetwas behauptet. Das ist absolut irre: Alleine Sie kommen mit
Ihren blödsinnigen Hirngespinsten daher und unterstellen anderen, mit
diesen herumzuwurschteln. Nehmen Sie gefälligst zur Kenntnis, daß WIR
mit Ihren depperten "definierbaren Zahlen" nichts zu tun haben.
Ganzhinterseher
2020-10-21 18:36:47 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Die Behauptung, dass alle definierbaren ganz |N ausmachten, ist
jedenfalls nicht aufrechtzuerhalten. Dabei kommt es gar nicht darauf
an, wie weiter der Einzelne vorgestoßen ist.
über Ihre "definierbaren Zahlen" haben WIR
Pluralis Majestatis (oder Majestix?)
überhaupt nie irgendetwas behauptet.
Es wurde hier mehrfach behauptet, dass alle natürlichen Zahlen definierbar seien. Das ist falsch.

m ist nicht beliebig wählbar, denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden, zwischen dem und 0 noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.

Deren Existenz wird durch U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1] bewiesen.
Nehmen Sie gefälligst zur Kenntnis, daß WIR
mit Ihren depperten "definierbaren Zahlen" nichts zu tun haben.

Du begibst Dich einer großen Chance. Schon an mehreren Punkten des Globus wird an dunklen Zahlen geforscht.

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-10-22 03:22:28 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Es wurde hier mehrfach behauptet, dass alle natürlichen Zahlen definierbar seien. Das ist falsch.
Wie falsch?
kommt einer, der nennt 10.
kommt nen anderer, der nenn 10 + 1 := 11.
dann kommt der erste wieder und nennt 11 + 1 := 12.
rtc. pp. ..

das vollkommen popolores ...
Post by Ganzhinterseher
m ist nicht beliebig wählbar, denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden,
das ist richtig!
Warum?
weil 1 dividiert durch 0 nicht machbar ist.

ob man nun das Interval
so: { } oder
so: [ ] oder
so: ( )
schreibt ist doch erstmal egal.
Post by Ganzhinterseher
zwischen dem und 0
also Sie meinen, dem Interval [1/n, 1] und 0 ?
ich dachte. dass mit der Null wäre schon geklärt ?
Post by Ganzhinterseher
noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.
also Sie meinen aleph_0 - 1 ?
weil zwischen 0 und aleph_0 liegt ja 1 und (aleph_0 - 1).

das wäre also n und ((n+1) - 1)
wobei n bei 1 anfängt:

1 .. ((1 + 1) - 1)
1 .. ( 2 - 1)
1 .. 1

Und was ist der logische Schluß?
Na?
genau: zwischen einer Einheit liegt genau "eine" Einheit des selben.
Sprich: 1 Meter dividiert durch 1 Meter dividiert durch 1 Meter ist
eigentlich popolores, weil, die Einheit, die ändert sich ja nicht und
bleibt bestehen.

Jetzt kann natürlich der Professor aber schlau herkommen und sagen:
"ok, weil die Null nicht genommen werden kann, dann nehmen wir halt
Null komma eins."
Am nächsten Tag kommter wieder und sagt: "ach, mir ist was besseres
eingefallen als Null komma 1, nehmen wir doch noch eine 1 dazu und
erweitern Null komma 1 durch Null komma 11." etc. pp. ..

Hey Leute, fast Euch doch mal an die Birne.
Post by Ganzhinterseher
Deren Existenz wird durch U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1] bewiesen.
da wird garnix bewiesen.

[1/(n+1), 1/n] = (0, 1]

kann ja schonmal überhaupt nicht stimmen - warum? siehe oben und
nochmal:

für n =/= 0 und n > 0 und n max. := 1
daraus ergibt sich:

[1/(1+1), 1/1] = (0, 1] | boom
[1/(2 ), 1/1] = (0, 1] | boom
[0.5 , 1 ] = (0, 1] | und nochmal boom


[1/(n+1), 1/n] = (0, 1]
A
|
+------- hier: diese null ist quatsch [1]

[1] muss mindestens > 0 sein:
zum Beispiel 0.1 oder 0.11 oder 0.01 oder 0.001,
ach lassmer doch den Quatsch.

was mir an Euren Posts hier immer wieder auffällt ist, das
keine aber auch nirgends eine Vereinbarkeit getroffen wird.
So sehe ich nirgends eine Notiz, die besagt, das:
"Betrachten wir nur die |N = { 1,2,3, ... }." (1). oder
"Betrachten wir die |Q } (2).

Wie so schön in Wikipedia steht:
https://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl

ist die Divisionsaufgabe 3 dividiert durch 4 oder 3 durch 4
oder 3:4 oder 3/4 oder 3 viertel oder
3
---
4

innerhalb von |N oder |Z *nicht* lösbar!

Weil da eben null Komma sieben-fünf oder 0.75 als Ergebnis
heraus kommt und in der Betrachtung von (1) *nicht* gelöst
werden kann.
Post by Ganzhinterseher
Du begibst Dich einer großen Chance. Schon an mehreren Punkten des Globus wird an dunklen Zahlen geforscht.
Ja, dunkle Materie.
So werden mit physikalischen Kräften der dunkler Materie - siehe Kraft
und Masse von dunklen/schwarzen Löchern - neue "harte" Werkstoffe
erprobt.
Aber dunkle Materie kann alles und nichts sein.
Das Gegenstück zu trocken ist nass/feucht.
Das Gegenstück zu fern ist nah.
etc. pp. ..

Sich darüber zu unterhalten, ist genauso Haarspalterei wir
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Jens
Ganzhinterseher
2020-10-22 08:56:18 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Es wurde hier mehrfach behauptet, dass alle natürlichen Zahlen definierbar seien. Das ist falsch.
Wie falsch?
kommt einer, der nennt 10.
kommt nen anderer, der nenn 10 + 1 := 11.
dann kommt der erste wieder und nennt 11 + 1 := 12.
etc. pp. ..
Ja, so geht es immer weiter, ohne Ende, unbegrenzt, schrankenlos. Trotzdem gibt es noch etwas jenseits alles Erreichbaren, nämlich eine aktuale Unendlichkeit von natürlichen Zahlen.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
m ist nicht beliebig wählbar, denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden,
das ist richtig!
Warum?
weil 1 dividiert durch 0 nicht machbar ist.
Nein, zwischen 0 und 1/n liegen noch ℵo Stammbrüche, von denen ℵo Stammbrüche nicht zu natürlichen Zahlen gehören, deren Größe angebbar ist. Man weiß nur, dass es natürliche Zahlen sein müssen.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
zwischen dem und 0
also Sie meinen, dem Interval [1/n, 1] und 0 ?
Ja.
Post by Jens Kallup
ich dachte, das mit der Null wäre schon geklärt ?
Es geht nicht um die Null, sondern um das offene Intervall (0, 1/n) für beliebig gewähltes n.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.
also Sie meinen aleph_0 - 1 ?
weil zwischen 0 und aleph_0 liegt ja 1 und (aleph_0 - 1).
Nein ich meine nicht, sondern habe darauf hingewiesen, dass auf jede beliebig wählbare natürliche Zahl noch ℵo natürliche Zahlen folgen, von denen ℵo nicht wählbar sind. Aber sie sind vorhanden, wie man an ihrer pauschalen Verwendung in

U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1]

erkennen kann.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Deren Existenz wird durch U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1] bewiesen.
da wird garnix bewiesen.
Das kann man so sehen. Aber unter der Voraussetzung, dass alle natürlichen Zahlen existieren, die dort eingesetzt werden, wird die Existenz dunkler Zahlen bewiesen. Sollten andererseits keine dunklen Zahlen existieren, dann besäße die reelle Zahlengerade Lücken, wenn auch potentiell unendlich kleine.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Du begibst Dich einer großen Chance. Schon an mehreren Punkten des Globus wird an dunklen Zahlen geforscht.
Ja, dunkle Materie.
Nein, dunkle Zahlen.
Post by Jens Kallup
Sich darüber zu unterhalten, ist genauso Haarspalterei wir
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
= -1/12 nach Euler

oder ω nach Cantor, denn der fand
1 + 2 + 3 + ... = ω
1 + 1/2 + 1/3 + ... = ω
[Cantor an Mittag-Leffler, 3. 3. 1883]

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-10-22 09:05:29 UTC
Permalink
Re: immer diese Haarspalterei hier ...
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Es wurde hier mehrfach behauptet, dass alle natürlichen Zahlen definierbar seien. Das ist falsch.
Wie falsch?
kommt einer, der nennt 10.
kommt nen anderer, der nenn 10 + 1 := 11.
dann kommt der erste wieder und nennt 11 + 1 := 12.
etc. pp. ..
Ja, so geht es immer weiter, ohne Ende, unbegrenzt, schrankenlos. Trotzdem gibt es noch etwas jenseits alles Erreichbaren, nämlich eine aktuale Unendlichkeit von natürlichen Zahlen.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
m ist nicht beliebig wählbar, denn 1/m kann nur aus einem Intervall [1/n, 1] *gewählt* werden,
das ist richtig!
Warum?
weil 1 dividiert durch 0 nicht machbar ist.
Nein, zwischen 0 und 1/n liegen noch ℵo Stammbrüche, von denen ℵo Stammbrüche nicht zu natürlichen Zahlen gehören, deren Größe angebbar ist. Man weiß nur, dass es natürliche Zahlen sein müssen.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
zwischen dem und 0
also Sie meinen, dem Interval [1/n, 1] und 0 ?
Ja.
Post by Jens Kallup
ich dachte, das mit der Null wäre schon geklärt ?
Es geht nicht um die Null, sondern um das offene Intervall (0, 1/n) für beliebig gewähltes n.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
noch ℵo dunkle Stammbrüche liegen, von denen man ℵo man nicht entnehmen kann.
also Sie meinen aleph_0 - 1 ?
weil zwischen 0 und aleph_0 liegt ja 1 und (aleph_0 - 1).
Nein ich meine nicht, sondern habe darauf hingewiesen, dass auf jede beliebig wählbare natürliche Zahl noch ℵo natürliche Zahlen folgen, von denen ℵo nicht wählbar sind. Aber sie sind vorhanden, wie man an ihrer pauschalen Verwendung in

U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1]

erkennen kann.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Deren Existenz wird durch U_(n ∈ ℕ) [1/(n+1), 1/n] = (0, 1] bewiesen.
da wird garnix bewiesen.
Das kann man so sehen. Aber unter der Voraussetzung, dass alle natürlichen Zahlen existieren, die dort eingesetzt werden, wird die Existenz dunkler Zahlen bewiesen. Sollten andererseits keine dunklen Zahlen existieren, dann besäße die reelle Zahlengerade Lücken, wenn auch potentiell unendlich kleine.
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Du begibst Dich einer großen Chance. Schon an mehreren Punkten des Globus wird an dunklen Zahlen geforscht.
Ja, dunkle Materie.
Nein, dunkle Zahlen.
Post by Jens Kallup
Sich darüber zu unterhalten, ist genauso Haarspalterei wir
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
1 + 2 + 3 + ... = -1/12 nach Euler

oder ω nach Cantor, denn der fand
1 + 2 + 3 + ... = ω
1 + 1/2 + 1/3 + ... = ω
[Cantor an Mittag-Leffler, 3. 3. 1883]

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-10-22 10:56:09 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Ja, so geht es immer weiter, ohne Ende, unbegrenzt, schrankenlos. Trotzdem gibt es noch etwas jenseits alles Erreichbaren, nämlich eine aktuale Unendlichkeit von natürlichen Zahlen.
und wer sagt, wie groß aleph_0 oder aleph_1 ist?
man weiß ja nur, das zwischen aleph_1 und aleph_0,
(aleph_0 + 1) sowie (aleph_1 - 1) liegen kann.

also würd hier doch das Pferd von hinten aufgezurrt.
Warum?
Es steht fest, das es aleph_0 schon geben musste,
also Aller Anfang Anfang. Also was existenzielles,
also 1 (oder 0 + 1 := 1).
Weiteres Wissen über aleph_1 haben wir nicht, da wir
Menschen mit unseren beschränkten Denken nicht darüber
hinaus kommen.
Wir Wissen aber folglich aleph_0, das vor der Zukunft
ja von irgendjemanden/irgendwas und irgendwann ein Ei
oder sonstwas gelegt werden musste, also (Zukunft
minus Gegenwart := 1 - 1 := 0).

Die Betrachtung geht also tendenziell nicht nach oben,
sondern nach unten bzw. von Ihrer Denkweise her, von
rechts nach links - so wie Computer Daten einlesen.
Aber das hatten wir ja auch schon mal hier als rege
Disukussionsrunde.

Daher ist Ihre hier präsentierte mathematische Weise,
eine Philosophische Denkweise.
Anders kann ich mir das nicht erklären.

Von daher würde ich sagen, Sie berichten über Dinge,
von denen wir bereits Wissen, das diese so sind, bis
hin zu dem was wir noch nicht Wissen.

Also: Menge Wissen W := ( ..., -1, 0].

Wobei ..., -1 für bereits erworbenes Wissen steht und
0 für erkenntnislos.

Dann würde also aus 1/n, n*, also n/1.
Und das steht im mathematischen Disput ja auch nichts
im Wege.
Also die Rechnung: 0/1 , das geht.

Das würde so im Deutschunterricht:
"Ich hatte es nicht zur Kenntnis genommen, und wusste
es daher nicht genauer."
Das hört sich irgendwie an wie "Plusquamperfekt".

Das hat aber weiters nichts mit Mathematik zu tun, denn
in der Mathematik kann 0 - also nichts, nicht mehr durch
irgendetwas größeres teilen.
Das geht einfach nicht.
Post by Ganzhinterseher
Nein, zwischen 0 und 1/n liegen noch ℵo Stammbrüche, von denen ℵo Stammbrüche nicht zu natürlichen Zahlen gehören, deren Größe angebbar ist. Man weiß nur, dass es natürliche Zahlen sein müssen.
Jetzt wollen wir uns mal nicht lächerlich machen - oder?
Wenn wir bei |N bleiben, dann kann nur noch für n, die
Zahl minus "eins" (-1) und 1 in Frage kommen.
Alle anderen gewurstel kann man vergessen.
Da gibts nichts weiteres.
Weil:
1/ 1 := 1
1/-1 := -1

der Rest kann *nicht* mit |N dargestellt werden:
1/2 := 0.5 __
1/3 := 0.3333
1/4 := 0.25
1/5 := 0.2 __
1/6 := 0.1666 ______
1/7 := 0.142857142857
1/8 := 0.125 __
1/9 := 0.111111
1/10 := 0.1 __
1/11 := 0.0909 __
1/12 := 0.0833333 _______
1/13 := 0.076923007692300769230

also bleibt für Ihre aleph_0 Stammbrüche nur noch
-1 und 1 übrig.
Die 0 ist ja ein Sonderfall.
Das sind 2 Zahlen.
Diese 2 Zahlen haben aber nichts an Bedeutung im Sinne
von 1/2 oder der gleichen. Weil 1/2 := 0.5 := =/= |N.

Man könnte jetzt hin und her haderezerten mit Reziproke
und hasste nicht gesehen.
Es bleibt wies ist:

1/-1 := -1
1^(-1) := 1

-1 + 1 := 0 := O := man dreht sich hier nur im Kreis.

Jens
Ganzhinterseher
2020-10-22 18:06:08 UTC
Permalink
Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Ja, so geht es immer weiter, ohne Ende, unbegrenzt, schrankenlos. Trotzdem gibt es noch etwas jenseits alles Erreichbaren, nämlich eine aktuale Unendlichkeit von natürlichen Zahlen.
und wer sagt, wie groß aleph_0
Cantor: Die Mengen mit endlicher Kardinalzahl heißen "endliche Mengen", alle anderen wollen wir "transfinite Mengen" und die ihnen zukommenden Kardinalzahlen "transfinite Kardinalzahlen" nennen. Die Gesamtheit aller endlichen Kardinalzahlen ν bietet uns das nächstliegende Beispiel einer transfiniten Menge; wir nennen die ihr zukommende Kardinalzahl (§ 1) "Alef-null",

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-10-11 15:27:31 UTC
Permalink
Post by Me
"[.] unit fraction with less than aleph_0 unit fractions between
itself and 0 [...] must exist, if the real line is continuous"
(W. Mückenheim, sci.logic)
Zwischen jedem definierbaren Stammbruch 1/n und 0 existieren ℵo Stammbrüche. Zwischen jedem definierbaren Stammbruch und 0 besteht aber keine Lücke, sondern die Zahlengerade ist stetig. Also existieren dort aleph_0 Punkte undefinierbarer Stammbrüche (sowie Punkte zwischen diesen - für gläubige Matheologen sogar überabzählbar viele). Die Kardinalzahl dieser Menge ist nicht reduzierbar.

Damit ist die Existenz undefinierbarer Zahlen bzw. Punkte bewiesen.

Gruß, WM
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