Discussion:
ein Knobelei-spiel und Permutationen
(zu alt für eine Antwort)
Andreas L.
2020-01-01 19:39:10 UTC
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tl;dr? Eine Beschreibung eines Knobelspiels mit etwas Mathematik
und Fragen hintendran.

Ich habe letztens ein Knobelspiel in die Hand bekommen, das man
als "3-segmentierte Kugel mit einem Gürtel aus 13 Zahlentaferln"
beschreiben kann. Jedes Taferl hat eine eindeutige Zahl, die auf
der Ober- und Unterseite draufsteht, aber mit verschiedener
Hintergrundfarbe (weiß und gelb). Die 13 Taferln reichen genau
um die Kugel herum.

(Das Ding hat keinen Namen aufgedruckt, und für Google habe ich
offenbar noch keine zielführenden Suchwörter gefunden. Auffällig
ist ein "Auge"-symbol mit 4 Wimpern nach oben und unten, aber
auch dazu hab ich nichts relevantes gefunden. Wenn es jemand
wiedererkennt und den Namen weiß: bitte nennen!)

Man hat 2 Aktionen zur Auswahl:
1) den Taferl-Gürtel drehen
2) das Mittelsegment der Kugel drehen, wobei dann drei Taferln
des Gürtels mit drei anderen Taferln Platz tauschen.

Wenn wir (leicht vereinfacht) die Taferl-inhalte im Gürtel aufschreiben:
2|3 4 5|
1 | |6
13 | |7
12| |8
|11 10 9|
Wobei die vertikalen Linien die Segmente der Kugel beschreiben.

Linearisiert dargestellt wäre das nun:
1 2 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13
Eine Gürteldrehung z.B. um 4 Taferln gegen den Uhrzeigersinn
zu folgender Anordnung führen:
5 6 | 7 8 9 | 10 11 12 | 13 1 2 | 3 4

Eine Drehung des Mittelsegments führt von:
1 2 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13
zu:
1 2 | 11 10 9 | 6 7 8 | 5 4 3 | 12 13

Soweit hätten wir eine Permutationsuntergruppe von P_13, die von
zwei erzeugenden Permutationen erzeugt wird:
- der zyklischen Vertauschung "z", wobei z^13 = id ist
- der Mittelsegmentdrehung "m", wobei m^2 = id ist

Vereinfacht ist das insofern, als dass die Mittelsegmentdrehung
nun Taferl-rückseiten nach vorne bringt, und Vorderseiten nach
hinten. Eigentlich müsste man die Rückseiten mitbetrachten, also
mit Permutationsuntergruppen von P_26 arbeiten. Für eine Darstellung
eines "Spielstands" reicht es aber, jenen Taferln, deren Hinterseite
sichtbar ist, ein negatives Vorzeichen zu verpassen:

1 2 | -11 -10 -9 | 6 7 8 | -5 -4 -3 | 12 13


Jetzt mach ich mal Pause und schau, ob das überhaupt irgendjemanden
interessiert (zumindest mehr als "definierbare" Zahlen).

Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Nach meinen eigenen "Forschungen" halte ich es für sehr unwahrscheinlich
dass z.B.: 2 1 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13 erreichbar ist, oder
eben allgemeiner: einzelne Transpositionen.
Juergen Ilse
2020-01-01 23:13:34 UTC
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Post by Andreas L.
Ich habe letztens ein Knobelspiel in die Hand bekommen, das man
als "3-segmentierte Kugel mit einem Gürtel aus 13 Zahlentaferln"
beschreiben kann. Jedes Taferl hat eine eindeutige Zahl, die auf
der Ober- und Unterseite draufsteht, aber mit verschiedener
Hintergrundfarbe (weiß und gelb). Die 13 Taferln reichen genau
um die Kugel herum.
[...]

Ich kann mir sehr gut vorstellen, wie das Ding aussieht, habe aber so etwas
noch nie in den Haenden gehabt und weiss auch nicht, wie so ein Ding heisst.
Post by Andreas L.
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Meine Vermutuung waere, dass nur Positionen erreichbar sind, die sich durch
eine gerade Anzahl von Vertauschungen nebeneinanderliegender Zahlen erreichen
laesst ...
Post by Andreas L.
Nach meinen eigenen "Forschungen" halte ich es für sehr unwahrscheinlich
dass z.B.: 2 1 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13 erreichbar ist, oder
eben allgemeiner: einzelne Transpositionen.
Wenn du auch einzelne Vertauschungen nebeneinander liegender Zahlen erreichen
koenntest, koenntest du beliebige Stellungen erreichen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Martin Vaeth
2020-01-02 05:18:28 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Andreas L.
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Meine Vermutuung waere, dass nur Positionen erreichbar sind, die sich durch
eine gerade Anzahl von Vertauschungen nebeneinanderliegender Zahlen erreichen
laesst ...
So leicht ist es nicht, zumindest nicht, wenn man zunächst die Rückseiten
ignoriert: Das Umschlagen des Mittelsegments ist eine ungerade Permutation.
(Es werden 3+2=5 Paare vertauscht.) Die zyklische 13-er Permutation ist gerade
(weil 13 eine ungerade Zahl ist).

Bei den Rückseiten wird allerdings immer eine gerade Anzahl vertauscht:
Hier kann man also tatsächlich schon mal festhalten, dass die Anzahl der
sichtbaren Rückseiten immer gerade ist. Dummerweise besteht aber die
einzige Möglichkeit, diese gerade Permutation auszuführen, darin,
bei den Zahlen selbst eine ungerade Permuation auszuführen. Dies kann
möglicherweise zu weiteren Einschränkungen bzgl. der Rückseiten führen,
wenn man die Vorderseiten nicht verändern will.
Andreas Leitgeb
2020-01-02 22:58:43 UTC
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Post by Martin Vaeth
Post by Juergen Ilse
Post by Andreas L.
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Meine Vermutuung waere, dass nur Positionen erreichbar sind, die sich durch
eine gerade Anzahl von Vertauschungen nebeneinanderliegender Zahlen erreichen
laesst ...
Danke Martin & Jürgen!
Post by Martin Vaeth
So leicht ist es nicht, zumindest nicht, wenn man zunächst die Rückseiten
ignoriert: Das Umschlagen des Mittelsegments ist eine ungerade Permutation.
(Es werden 3+2=5 Paare vertauscht.) Die zyklische 13-er Permutation ist gerade
(weil 13 eine ungerade Zahl ist).
Diese "3+2" Paare beim Umschlagen des Mittelsegments kann ich gerade nicht
nachvollziehen... Was meinst du damit?
Post by Martin Vaeth
Hier kann man also tatsächlich schon mal festhalten, dass die Anzahl der
sichtbaren Rückseiten immer gerade ist. Dummerweise besteht aber die
einzige Möglichkeit, diese gerade Permutation auszuführen, darin,
bei den Zahlen selbst eine ungerade Permuation auszuführen.
Ja, weil ja die Rückseiten nicht separat von den Vorderseiten vertauscht
werden können. Selbst wenn man das Ding zerlegen und anders neu
zusammensetzen würde :-) Auf das echte P_26 Modell bezogen hätten wir
von vornherein nur gerade Permutationen, aber davon halt nur die "durch 4
teilbaren" erreichbar :-)
Post by Martin Vaeth
Dies kann
möglicherweise zu weiteren Einschränkungen bzgl. der Rückseiten führen,
wenn man die Vorderseiten nicht verändern will.
Ja, experimentell konnte ich feststellen, dass
13 12 | 11 10 9 | 8 7 6 | 5 4 3 | 1 2
erreichbar ist.
3-er Zyklen, z.B. 1 ... 10 12 | 13 11 sind auch erreichbar.

Wenn man nun nur jene Stellungen betrachtet, bei denen nur Oberseiten
sichtbar sind, dann wäre wohl die Hälfte aller P_13 erreichbar.

Eine obere Abschätzung für die Anzahl der insgesamt erreichbaren Stellungen
wäre wohl card( P_13 ) * 2^13 -- einige davon wären nur erreichbar, wenn
man das Ding auseinandernehmen, und die Täfelchen beliebig neu anordnen
könnte.

Da immer nur eine gerade Anzahl von Täfelchen die Seiten wechseln kann,
und deswegen auch unabhängig von der Farbe keine ungeraden Permutationen
entstehen können, und die Anzahl der gerade sichtbaren Hinterseiten stets
gerade ist, ergibt sich, dass 13!/2 * 2^12 meine neue "Arbeitshypothese"
für die gesamte Anzahl an Konstellationen ist. Wohl noch weit über dem, was
man mit aktueller Computer Hardware vollständig aufzählen könnte.

PS:
auf 13! * 2^12 kommt man, wenn man das Umdrehen des ganzen Dings
auch als gültigen Zug betrachtet: in Transpositionen gerechnet wären
das 13 Farb-transpositionen, und eine Spiegelung der Anordnung im Gürtel.
f***@mathematik.uni-siegen.de
2020-03-05 12:14:18 UTC
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Post by Andreas L.
tl;dr? Eine Beschreibung eines Knobelspiels mit etwas Mathematik
und Fragen hintendran.
Ich habe letztens ein Knobelspiel in die Hand bekommen, das man
als "3-segmentierte Kugel mit einem Gürtel aus 13 Zahlentaferln"
beschreiben kann. Jedes Taferl hat eine eindeutige Zahl, die auf
der Ober- und Unterseite draufsteht, aber mit verschiedener
Hintergrundfarbe (weiß und gelb). Die 13 Taferln reichen genau
um die Kugel herum.
(Das Ding hat keinen Namen aufgedruckt, und für Google habe ich
offenbar noch keine zielführenden Suchwörter gefunden. Auffällig
ist ein "Auge"-symbol mit 4 Wimpern nach oben und unten, aber
auch dazu hab ich nichts relevantes gefunden. Wenn es jemand
wiedererkennt und den Namen weiß: bitte nennen!)
Das Teil ist als BrainBall bekannt.
Post by Andreas L.
1) den Taferl-Gürtel drehen
2) das Mittelsegment der Kugel drehen, wobei dann drei Taferln
des Gürtels mit drei anderen Taferln Platz tauschen.
2|3 4 5|
1 | |6
13 | |7
12| |8
|11 10 9|
Wobei die vertikalen Linien die Segmente der Kugel beschreiben.
1 2 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13
Eine Gürteldrehung z.B. um 4 Taferln gegen den Uhrzeigersinn
5 6 | 7 8 9 | 10 11 12 | 13 1 2 | 3 4
1 2 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13
1 2 | 11 10 9 | 6 7 8 | 5 4 3 | 12 13
Soweit hätten wir eine Permutationsuntergruppe von P_13, die von
- der zyklischen Vertauschung "z", wobei z^13 = id ist
- der Mittelsegmentdrehung "m", wobei m^2 = id ist
Vereinfacht ist das insofern, als dass die Mittelsegmentdrehung
nun Taferl-rückseiten nach vorne bringt, und Vorderseiten nach
hinten. Eigentlich müsste man die Rückseiten mitbetrachten, also
mit Permutationsuntergruppen von P_26 arbeiten. Für eine Darstellung
eines "Spielstands" reicht es aber, jenen Taferln, deren Hinterseite
1 2 | -11 -10 -9 | 6 7 8 | -5 -4 -3 | 12 13
Jetzt mach ich mal Pause und schau, ob das überhaupt irgendjemanden
interessiert (zumindest mehr als "definierbare" Zahlen).
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Nach meinen eigenen "Forschungen" halte ich es für sehr unwahrscheinlich
dass z.B.: 2 1 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13 erreichbar ist, oder
eben allgemeiner: einzelne Transpositionen.
Es sind tatsächlich alle Positionen erreichbar. Wenn Du Lösungstipps haben möchtest, melde Dich noch mal!


Viele Grüße Jan
Andreas Leitgeb
2020-03-10 17:05:48 UTC
Permalink
Post by f***@mathematik.uni-siegen.de
Post by Andreas L.
Ich habe letztens ein Knobelspiel in die Hand bekommen, das man
als "3-segmentierte Kugel mit einem Gürtel aus 13 Zahlentaferln"
beschreiben kann. ...
Das Teil ist als BrainBall bekannt.
Ja, danke, habe ich seither dann noch herausgefunden, aber die
Diskussion hier war zu dem Zeitpunkt schon abgeebbt...
Post by f***@mathematik.uni-siegen.de
Post by Andreas L.
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Nach meinen eigenen "Forschungen" halte ich es für sehr unwahrscheinlich
dass z.B.: 2 1 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13 erreichbar ist, oder
eben allgemeiner: einzelne Transpositionen.
Es sind tatsächlich alle Positionen erreichbar. Wenn Du Lösungstipps
haben möchtest, melde Dich noch mal!
Ich bin mir nachwievor sicher, dass man mit den weißen Tafelseiten nicht
auf die absteigende Folge 13,12,11,...,1 kommen kann. Wenn es doch geht,
dann bitte um den entsprechenden Lösungstipp.
Andreas Leitgeb
2020-03-12 21:49:12 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
Post by f***@mathematik.uni-siegen.de
Post by Andreas L.
Vorweg aber: Das Ziel (der Zweck meines Beitrags) wäre es, ein Gefühl
dafür zu bekommen, welche Anordnungen überhaupt "erreichbar" sind.
Nach meinen eigenen "Forschungen" halte ich es für sehr unwahrscheinlich
dass z.B.: 2 1 | 3 4 5 | 6 7 8 | 9 10 11 | 12 13 erreichbar ist, oder
eben allgemeiner: einzelne Transpositionen.
Es sind tatsächlich alle Positionen erreichbar. Wenn Du Lösungstipps
haben möchtest, melde Dich noch mal!
Ich bin mir nachwievor sicher, dass man mit den weißen Tafelseiten nicht
auf die absteigende Folge 13,12,11,...,1 kommen kann. Wenn es doch geht,
dann bitte um den entsprechenden Lösungstipp.
Nach einem kurzen Austausch per Email muss ich nun zugeben, dass ich
mich geirrt habe.

Es ist also tatsächlich möglich, die absteigende Folge auf weißen
Tafel-seiten mit den gegebenen Operationen zu erreichen. (letztlich
muss man dafür nichteinmal den Ball umdrehen)

Danke für den Hinweis, Jan!

PS: *Eine* solche Sequenz besteht aus den folgenden 45 Tafelkranz-drehungen
mit jeweils einer Mittelsegment-drehung dazwischen:
12 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 3 2 2 2
2 2 7 0 9 8 5 5 8 8 10 - Die Zahlen geben hier die jeweiligen Kranz-
Drehweiten an. In die letzten 7 Ziffern davon floss Jans Hinweis ein.

PPS: Offenbar hat sich in die Diskussion um die Anwendung der Theorie zu
geraden und ungeraden Permutationen ein Fehler eingeschlichen.

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