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Nostalgie 10
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Ganzhinterseher
2020-10-16 15:42:01 UTC
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Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik läßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich ohne Heranziehung nicht-prädikativer Prozesse - das überabzählbar Unendliche nicht erfassen. [Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin (1928) 326]

Es gibt demnach das Problem, dass zwar alle natürlichen Zahlen konstruiertbar sind, nicht aber alle reellen Zahlen (weil nur abzählbar viele kommunizierbare Bezeichnungen, aber überabzählbar viele reelle Zahlen existieren). Konstruierbar ist zwar ein reelles Intervall, nicht aber alle seine einzelnen Punkte.

Damit stellt sich sogleich ein schönes neues Paradoxon zum Binären Baum ein - sicher zur Freude der Freunde des kontraintuitiven Denkens:
Der Binäre Baum ist konstruierbar, denn er besteht aus abzählbar vielen Knoten und Kanten.
Der Binäre Baum ist nicht konstruierbar, denn er besteht aus überabzählbar vielen Pfaden.

Ich danke Ulrich Diez, der die Überlegungen zur Konstruierbarkeit mit seiner Frage "What does 'exist' mean in which context?" anregte.
https://groups.google.com/forum/#!search/%22What$20does$20$27exist$27$20mean$20in$20which$20context$3F%22/sci.math/lMFHmqT39XU/O6a9S0TK9KAJ
Wer den Binären Baum noch nicht kennt, findet ihn z. B. in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-10-17 11:00:52 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Nicht nur innerhalb der Mengenlehre, sondern in der ganzen Mathematik läßt sich, wie es scheint, auf rein konstruktivem Wege - namentlich ohne Heranziehung nicht-prädikativer Prozesse - das überabzählbar Unendliche nicht erfassen. [Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" Springer, Berlin (1928) 326]
mit "nicht prädikativer Prozesse" wurde/wird gemeint:
- Der Prozess *wird* ein gutes Ende nehmen
* hier auf: *wird* und "gutes Ende"
* Mengenlehre mit natürlichen Zahlen: *wird* ein "Ende" nehmen:
= im Unendlichen: "wird ein Ende" => falsche Aussage
= überabzählbar : "wird ein Ende" => falsche Aussage, da
- *jede* natürliche Zahl *konstruktierbar* ist - Beweis:
00 = 0
11 = 3
100 = 4 <-- *Überzahl* -> 1
101 = 5
111 = 6
1000 = 7 <-- *Überzahl* -> 1

Das kann bis aleph_n wiederholt werden !
ACHTUNG:
- da aber die Rechenkapazität beschränkt ist, ich nenne hier mal
32-Bit CPU's, die bis 2^(32-1) Zahlen - also ~ 4 GigaByte an Daten
darstellen können, ist und bleibt die *Überzahl* 1
- im Prinzip/theoretisch können aber Zahlen mit weitaus höheren
Inhalt dargestellt werden: Beweis:
= es existiert ein Algorithmus, der bis 2^(16-1) an Daten auf einer
32-Bit CPU berechnet, dann einen Stopp macht, an der Stelle, an
der das Ergebnis aufgeschrieben wird,
anschließend wird das Ergebnis ab geeigneter Stelle abgetrennt,
und als nächstes wird dann das zweite Ergebnis berechnet,
Im Folge dessen, werden ALLE Ergebniss als Zeichenkette / Strung
aufgeschrieben und miteinander kombiniert.
- Es ist halt hier auch nur wieder die Frage: "Wieviel Ressourcen
stehen zur Verfügung?"
Ich kann ja nicht den ganzen Regenwald abholzen, um mit den davon
gewonnen Holz Papier herzustellen, um die Ergebnisse festzuhalten.
Post by Ganzhinterseher
Es gibt demnach das Problem, dass zwar alle natürlichen Zahlen konstruiertbar sind, nicht aber alle reellen Zahlen (weil nur abzählbar viele kommunizierbare Bezeichnungen, aber überabzählbar viele reelle Zahlen existieren). Konstruierbar ist zwar ein reelles Intervall, nicht aber alle seine einzelnen Punkte.
das ist Wirrwahr, da ohne Begründung, siehe meine obige Begründung...
bestimmt...
Post by Ganzhinterseher
Der Binäre Baum ist konstruierbar, denn er besteht aus abzählbar vielen Knoten und Kanten.
Das ist auch Quatsch, und ohne Begründung.
Wie hoch oder: welche Zahl ist gemeint, die als Binärzahl dargestellt
werden soll?
Post by Ganzhinterseher
Der Binäre Baum ist nicht konstruierbar, denn er besteht aus überabzählbar vielen Pfaden.
Auch Quatsch, und ohne Begründung.
Hier das *nicht* ist falsch.
siehe meine Begründung oben.
Post by Ganzhinterseher
Ich danke Ulrich Diez, der die Überlegungen zur Konstruierbarkeit mit seiner Frage "What does 'exist' mean in which context?" anregte.
https://groups.google.com/forum/#!search/%22What$20does$20$27exist$27$20mean$20in$20which$20context$3F%22/sci.math/lMFHmqT39XU/O6a9S0TK9KAJ
mein Englisch ist ein wenig begrenzt, weshalb ich mir hier mal einen
deutschen Kommentar verkneife.
Post by Ganzhinterseher
Wer den Binären Baum noch nicht kennt, findet ihn z. B. in https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf
Was ich mir nicht entgingen hab lassen, ihr komisches Buch zu
betrachten, was hier sicherlich als Schleichwerbung angesehen
werden kann - das nur mal zur Info.

Auf der Seite 296 - unten, die Darstellung eines binären Baumes.
Das ist ein wenig Humbug.

WM - Ihr Baum dargestellt (mit einer Bit / Busbreite von 2:

00 Level: 1
/ \
0 1 Level: 2
/ \ / \
0 1 0 1 Level: 3

Mein Baum, so wie das normalerweise praktiziert wird (
- die kleinste/kleinere Zahl der "binären Zahl" *immer* links
also die 0 !
- die größere Zahl der "binären Zahl" *immer* rechts !

Das ergibt dann:

00 Level: 0 - *Überzahl* : 0 = 0 = 0 = 0
/ \
0 1 Level: 1 - *Überzahl* : 1 = 1 = 10 = 2
/ \ / \
0 0 0 1 Level: 2 - *Überzahl* : 1 = 10 = 110 = 4


Wie man hier schön sehen kann, ist die *Überzahl* immer 1
in einen binären Baum.
Und zum Erstaunen, ja, in Level 2, muss die Bitweite um 2 Bit,
also 4 digits, bestehend aus 0 und 1
- kleinste Zahl 9: 0000
- größte Zahl 15: 1111

In meinen gezeigten Baum extistiert also: von unten nach oben:
011, von vorne aufgefüllt mit einer 0: 0011

Da es keine weiteren Level in diesen Baum gibt, können die
führenden nullen abgeschnitten werden - es bleibt immer noch
eine 2 Bit Zahl.

Da nun die vordersten beiden nullen abgeschnitten sind, ergibt
sich logischer weise folgender Baum:

0
\
1
/ \
0 1

und daraus wird dann wieder: 11, also

0
\
1
\
1

Da Taschenrechner oder Computer nicht gerade schlau
sind, werden bei Berechnung immer ein feste, breite
Bitbreite benötigt - draus ergibt sich dann das Schema
(kein Baum !!! ):

0
01
001

alle 3 Level werden werden dann auf der rechten Seite
wieder mit nullen aufgefüllt und anschließend addiert.
Das ergibt dann folgendes Schema:

0000
0001
0010

nun binär addiert:
0000
+ 0001
+ 0010
------
= 0011_2 oder: 4_10

=> 11 zur Basis 2 (binär)
=> 4 zur Basis 10 (dezimal)
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Jens
Jens Kallup
2020-10-17 11:11:10 UTC
Permalink
     00         Level: 0  - *Überzahl* : 0  =  0 =   0  = 0
   /    \
  0      1      Level: 1  - *Überzahl* : 1  =  1 =  1  = 1
 / \    / \
0   0  0   1    Level: 2  - *Überzahl* : 1  = 10 = 10  = 2 <-- Typo
  0000
+ 0001
+ 0010
------
= 0011_2  oder:    3_10 <-- Typo
=> 11 zur Basis  2 (binär)
=>  3 zur Basis 10 (dezimal) <-- Type

Jens
Juergen Ilse
2020-10-19 12:29:21 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Jens Kallup
= überabzählbar : "wird ein Ende" => falsche Aussage, da
00 = 0
11 = 3
100 = 4 <-- *Überzahl* -> 1
101 = 5
111 = 6
1000 = 7 <-- *Überzahl* -> 1
Kleine Korrektur:

110 = 6
111 = 7
1000 = 8

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Me
2020-10-17 12:01:06 UTC
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