Discussion:
Hilbert gegen Schoenflies. Wer hat recht?
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Ganzhinterseher
2020-07-10 15:29:08 UTC
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Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten; [A. Schoenflies:
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung, (1906) 19 - 25.]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=244547

Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt,
stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die
meist durch das Unendliche verschuldet sind. [!] So wenn z. B. im
Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß
in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in
einem Beweise zulässig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal
gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen. [D. Hilbert:
"Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1925) 161 - 190]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816

Gruß, WM
Me
2020-07-10 16:20:36 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch. Nun gab es aber 1906 weder eine axiomatische Mengenlehre noch ein allgemein anerkanntes (und explizit festgelegtes) logisches System, in welchem man die axiomatische Mengenlehre hätte formulieren können (wenn wir von Freges Versuch einer logischen Begründung der Mathematik bzw. Mengenlehre einmal absehen).

Eine (brauchbare) axiomatische Mengenlehre gibt es erst seit Zermelo (1908) ebenso eine erste Formulierung der sog. Typentheorie durch Russell (1908). Ein ausgearbeitetes "formallogisches System" als Basis "der Mathematik" gibt es dann mit der PM von Russell und Whitehead (1910) (auch hier wollen wir wieder von Freges Arbeiten -Begriffsschrift und Grundgesetze der Arithmetik- absehen).

1928 beschrieben dann Hilbert und Ackermann in "Grundzüge der Theoretischen Logik" ein System, das man heute als "Prädikatenlogik erster Stufe" kennt (dieses wurde aber schon von Hilbert in einer Vorlesung 1917/18 vorweggenommen). Dieses System wurde dann zur Grundlage der (meisten) modernen axiomatischen Mengenlehren, insbesondere von ZF(C).
Post by Ganzhinterseher
Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt,
stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die
meist durch das Unendliche verschuldet sind. So wenn z. B. im
Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß
in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in
einem Beweise zulässig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal
"Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1925) 161 - 190]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816
Später hat man das dann alles explizit "festgeklopft". Insbesondere besteht also heute ein Beweis im Kontext der Mengenlehre aus ENDLICH vielen Beweisschritten, und -wie Hilbert schon sagt- wie könnte es auch anders sein?

"In a Hilbert-style deduction system, a formal deduction is a finite sequence of formulas in which each formula is either an axiom or is obtained from previous formulas by a rule of inference. These formal deductions are meant to mirror natural-language proofs, although they are far more detailed."

Source: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_system

Historisch:

"Das originale ZF-System ist verbal [...]. Die erste präzise prädikatenlogische Formalisierung der reinen ZF-Mengenlehre schuf Thoralf Skolem 1929 (noch ohne Fundierungsaxiom)."

https://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Geschichte

_______________________

Beschäftige Dich doch zur Abwechslung mal mit der MODERNEN axiomatischen Mengenlehre. DIESE ist die einzige Form der Mengenlehre, die HEUTE *mathematisch* noch von Interesse bzw. relevant ist.
Me
2020-07-10 16:48:05 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Denn niemand hat je TATSÄCHLICH mit mehr als endlich vielen "Schlüssen" "operiert". Allerdings kann man natürlich entsprechende Überlegungen anstellen, indem man Schlüsse selbst zum Gegenstand mathematischer Betrachtungen macht, statt unmittelbar mit ihnen zu "operieren".

Vermutlich hat Schoenflies das auch so gemeint.

Als Ergänzung zu dem schon von mir im letzten Posting Gesagten:

"The logical systems within which Frege, Schröder, Russell, Zermelo
and other early mathematical logicians worked were all higher-order.
It was not until the 1910s that first-order logic was even distinguished
as a subsystem of higher-order logic. As late as in the 1920s, higherorder quantification was still quite generally allowed: in fact, it does not
seem as if any major logician, among non-intuitionists, except Thoralf
Skolem restricted himself to first-order logic. Proofs were sometimes
allowed to be infinite and infinitely long expressions were allowed in
the languages that were used."

(Matti Eklund, ON HOW LOGIC BECAME FIRST-ORDER)
Ganzhinterseher
2020-07-10 18:29:44 UTC
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Post by Me
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Denn niemand hat je TATSÄCHLICH mit mehr als endlich vielen "Schlüssen" "operiert".
Falsch.

Dies sind die ersten transfiniten Zahlen Cantors, die Zahlen der
zweiten Zahlklasse, wie sie Cantor nennt. Zu ihnen gelangen wir also
einfach durch ein Hinüberzahlen über das gewöhnliche abzählbare
Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemäße und eindeutig bestimmte,
konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zählens im Endlichen. [D.
Hilbert: "Über das Unendliche" (1925)]

Jeder Schritt des Zählens ist ein Schluss von n auf n+1.
Post by Me
"The logical systems within which Frege, Schröder, Russell, Zermelo
and other early mathematical logicians worked were all higher-order.
It was not until the 1910s that first-order logic was even distinguished
as a subsystem of higher-order logic.
Das war der Anfangs des ganzen Dumfugs. "Mathematical logic" has completely deformed the thinking of mathematicians and of philosophers. Warum sollte man die willkürliche Bedingung beachten, nur über Individuen zu quantifizieren?
Post by Me
As late as in the 1920s, higherorder quantification was still quite generally allowed: in fact, it does not
seem as if any major logician, among non-intuitionists, except Thoralf
Skolem restricted himself to first-order logic. Proofs were sometimes
allowed to be infinite and infinitely long expressions were allowed in
the languages that were used."
Das ist wiederum ein Baustein zum Unsinn. Second-order logic (SOL) quantifies over predicates or relations including functions. SOL cannot be reduced to FOL, according to current set theory, because FOL addresses at most a countably infinite set. Und da sowohl das abzählbare als das überabzählbare nichts weiter als geistige Defekte von Matheologen sind. ist die Unterscheidung ebenso wie die ganze moderne Logik Blödsinn.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-10 18:37:14 UTC
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WM haluziniert: FOL addresses at most a countably
infinite set. Es gibt diese Einschränkung nicht. Ich

glaube Sie haben zu viel geraucht heute. ZFC ist auch
eine FOL Theorie, und es gibt keine Einschränkung dass

das ZFC Universum abzählbar unendlich sein sollte.
Sind ja nicht alle Universen Skolem Universen.

Woher haben Sie eigentlich ihren Hahnebüchenen Unsinn?
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Denn niemand hat je TATSÄCHLICH mit mehr als endlich vielen "Schlüssen" "operiert".
Falsch.
Dies sind die ersten transfiniten Zahlen Cantors, die Zahlen der
zweiten Zahlklasse, wie sie Cantor nennt. Zu ihnen gelangen wir also
einfach durch ein Hinüberzahlen über das gewöhnliche abzählbare
Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemäße und eindeutig bestimmte,
konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zählens im Endlichen. [D.
Hilbert: "Über das Unendliche" (1925)]
Jeder Schritt des Zählens ist ein Schluss von n auf n+1.
Post by Me
"The logical systems within which Frege, Schröder, Russell, Zermelo
and other early mathematical logicians worked were all higher-order.
It was not until the 1910s that first-order logic was even distinguished
as a subsystem of higher-order logic.
Das war der Anfangs des ganzen Dumfugs. "Mathematical logic" has completely deformed the thinking of mathematicians and of philosophers. Warum sollte man die willkürliche Bedingung beachten, nur über Individuen zu quantifizieren?
Post by Me
As late as in the 1920s, higherorder quantification was still quite generally allowed: in fact, it does not
seem as if any major logician, among non-intuitionists, except Thoralf
Skolem restricted himself to first-order logic. Proofs were sometimes
allowed to be infinite and infinitely long expressions were allowed in
the languages that were used."
Das ist wiederum ein Baustein zum Unsinn. Second-order logic (SOL) quantifies over predicates or relations including functions. SOL cannot be reduced to FOL, according to current set theory, because FOL addresses at most a countably infinite set. Und da sowohl das abzählbare als das überabzählbare nichts weiter als geistige Defekte von Matheologen sind. ist die Unterscheidung ebenso wie die ganze moderne Logik Blödsinn.
Gruß, WM
Me
2020-07-10 19:50:07 UTC
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Post by Ganzhinterseher
[...] niemand hat je TATSÄCHLICH mit mehr als endlich vielen "Schlüssen" "operiert".
Falsch.
Nö. Definitiv richtig. :-)

Sorry, Mückenheim, aber wir Menschen sind halt nun mal nicht _allmächtig_. Als endliche Wesen sind wir gewissen Beschränkungen unterworfen.

HIER kann man mal eine Lanze für den sog. "Ultrafinitismus" brechen. Unsere mentalen Möglichkeiten sind definitiv "noch oben hin" beschränkt. Hier ist also auch nix mit "potentiell unendlich".

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Ultrafinitismus

In Hilberts Worten: "Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt, stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die meist durch das Unendliche verschuldet sind. So wenn z. B. im Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in einem Beweise zulässig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen."

*lol* Wenn Du zu blöde bist, die Antworten zu verstehen, solltest Du vielleicht erst gar nicht die entsprechenden Fragen stellen, Mückenheim.
Post by Ganzhinterseher
<Dummschwatz gelöscht>
Ganzhinterseher
2020-07-10 18:00:45 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Dann erkläre doch einmal, wie man eine reelle Zahl in Cantor's liste einfügt, ohne einen endlichen Algorithmus zu verwenden. Letztere gehören alle zu einer nicht überabzählbaren Menge, weshalb der Diagonalbeweis lediglich seine eigene Inkonsistenz beweisen würde.
Post by Me
Eine (brauchbare) axiomatische Mengenlehre gibt es erst seit Zermelo (1908) ebenso eine erste Formulierung der sog. Typentheorie durch Russell (1908).
Sie alle erklären die obige Frage nicht.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die mathematische Literatur findet sich, wenn man darauf acht gibt,
stark durchflutet von Ungereimtheiten und Gedankenlosigkeiten, die
meist durch das Unendliche verschuldet sind. So wenn z. B. im
Sinne einer einschränkenden Bedingung die Forderung betont wird, daß
in der strengen Mathematik nur eine endliche Anzahl von Schlüssen in
einem Beweise zulässig sei - als ob es schon irgend jemandem einmal
"Über das Unendliche", Math. Annalen 95 (1925) 161 - 190]
http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=26816
Später hat man das dann alles explizit "festgeklopft". Insbesondere besteht also heute ein Beweis im Kontext der Mengenlehre aus ENDLICH vielen Beweisschritten, und -wie Hilbert schon sagt- wie könnte es auch anders sein?
Also nochmal: Versuche ohne Ausflüchte in Beleidigungen zu ergründen, wie man nicht endlich definierte reelle Zahlen in Cantors Folge einfügen kann.
Post by Me
Beschäftige Dich doch zur Abwechslung mal mit der MODERNEN axiomatischen Mengenlehre. DIESE ist die einzige Form der Mengenlehre, die HEUTE *mathematisch* noch von Interesse bzw. relevant ist.
Sie beantwortet weder meine oben gestellte Frage noch die Frage, warum Cantor im Intervall (100, 101] weniger als 1 % der Indizes verbaut, die er im ersten verbaut.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-11 15:13:51 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Dann erkläre doch einmal, wie man eine reelle Zahl in Cantor's liste einfügt, ohne einen endlichen Algorithmus zu verwenden.
Jede "unendliche Dezimalzahl" repraesentiert (bei genauer Betrachtung) eine
unendliche Cauchy-Folge rationaler Zahlen (die Eigenschaft "Cauchy-Folge ist
so trivial nachzuweisen, dass selbst SIE das hinbekommen sollten). Damit hat
diese Folge in den reellen Zahlen einen Grenzwert. Es ist nun nicht allzu
abwegig, jeder solchen "unendlichen Dezimalzahl" ihren Grenzwert zuzuordnen
oder auch die "unendliche Dezimalzahl" mit ihrem Grenzwert gleichzusetzen.
Tatsaechlich ist es absolut ueblich genau das zu tun.

Auf der Basis dieser Ueberlegungen konstruiert nun Cantor eine unendliche
Dezimalzahl, deren Grenzwert bei einer vorgegebenen (beliebigen) Abbildung
der natuerlichen Zahlen auf die reellen Zahlen im Intervall [0;1] von den
Bildern aller natuerlilchen Zahlen verschieden ist. Damit ist dann bewiesen,
dass diese vorgegebene Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die Menge der
reellen Zahlen im Intervall [0;1] nicht bijektiv sein kann. Da die Argumen-
tation fuer beliebige Abbildungen der natuerlichen Zahlen auf die reellen
Zahlen in diesem Intervall anwendbar ist, ist damit bewiesen, dass die
natuerlichen Zahlen *nicht* gleichmaechtig zur Menge derreellen Zahlen
im Intervall [0;1] sein koennen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-11 16:06:52 UTC
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Post by Juergen Ilse
Jede "unendliche Dezimalzahl" repraesentiert (bei genauer Betrachtung) eine
unendliche Cauchy-Folge rationaler Zahlen
Leider kann niemand diese Zahlen kennen, denn man kommt immer nur bis zu einer endlichen Ziffer, wenn man keinen Wegweiser in Form eines endlichen Algorithmus hat. Solche gibt es in Cantors Liste aber nicht.
Post by Juergen Ilse
Es ist nun nicht allzu
abwegig, jeder solchen "unendlichen Dezimalzahl" ihren Grenzwert zuzuordnen
oder auch die "unendliche Dezimalzahl" mit ihrem Grenzwert gleichzusetzen.
Es wäre nicht abwegig, wenn es möglich wäre. Ist es aber nicht.

Selbst ein schacher Kopf sollte das erkennen, wenn er eine unendliche Ziffernfolge ohne Algorithmus produzieren möchte.
Post by Juergen Ilse
Tatsaechlich ist es absolut ueblich genau das zu tun.
Leider sterben die Narren nichts aus. Vorschlag: Produziere eine unendliche Ziffernfolge ohne endlichen Algorithmus. Wenn Du den Grenzwert hast, gib alles in dsm bekannt. Wenn Du merkst, dass das, was "absolut üblich ist", unmöglich ist, kannst Du das auch kundtun. Bis dahin viel Glück.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-11 16:46:53 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Jede "unendliche Dezimalzahl" repraesentiert (bei genauer Betrachtung) eine
unendliche Cauchy-Folge rationaler Zahlen
Leider kann niemand diese Zahlen kennen, denn man kommt immer nur bis zu einer endlichen Ziffer, wenn man keinen Wegweiser in Form eines endlichen Algorithmus hat. Solche gibt es in Cantors Liste aber nicht.
Wenn du Probleme mit dieser Vorstellung hast, dann mach es anders: definiere
einfach die rellen Zahlen als "Aequivalenzklssen von Cauchy-Folgen", wobei
zwei Cauchy-Folgen genau dann zur selben Klasse gehoeren, wenn die Differen-
zenfolge eine Nullfolge ist. Die rechenoperationen kann man dann trivialer-
weise als Grenzwerte der resultierenden Folge betrachten, die man als folge
der gliedweise durchgefuehrten Berechnung von je einem Repraesentanten der
jeweiligen Aequivalenzklassen. Die so definierten reellen Zahlen sind iso-
morph zu den mittels anderer Methoden definierten reellen Zahlen und man
kann auch mit ueberschaubarem Aufwand beweisen, dass die rationalen Zahlen
natuerlichen Zahlen isomorph zur entsprechenden Teilmenge der so definierten
reellen Zahlen sind. Damit musst du dann keine Grenzwete mehr zu berechnen
versuchen, sondern du kannst die entsprechende Folge direkt als Repaesentant
der entsprechenden reellen Zahl ansehen ...
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist nun nicht allzu
abwegig, jeder solchen "unendlichen Dezimalzahl" ihren Grenzwert zuzuordnen
oder auch die "unendliche Dezimalzahl" mit ihrem Grenzwert gleichzusetzen.
Es wäre nicht abwegig, wenn es möglich wäre. Ist es aber nicht.
Selbstverstaendlich ist das moeglich (und wenn du es dennoch fuer unmoeglich
haeltsts, nimm die obenstehende Definition der reellen Zahlen, da folgt das
notwendige fuer die folgende Argumentation unmittelbar aus der Definition der
reellen Zahlen).
Post by Ganzhinterseher
Selbst ein schacher Kopf sollte das erkennen, wenn er eine unendliche Ziffernfolge ohne Algorithmus produzieren möchte.
Es ist voellig gleichgueltig, ob man einen Algorithmus zur Generation der
Dezimalziffern in geschlossener Form angeben kann oder nicht. Es aendert
*nichts* an der Tatsache, dass *JEDE* Cauchy-Folge in |Reinen Grenzwert
besitzt. Dazu muss man weder den Grenzwert noch die konkrete Folge angeben.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Tatsaechlich ist es absolut ueblich genau das zu tun.
Leider sterben die Narren nichts aus.
Wie man an IHNEN (leider) nur allzu deutlich sieht ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-12 14:28:20 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Jede "unendliche Dezimalzahl" repraesentiert (bei genauer Betrachtung) eine
unendliche Cauchy-Folge rationaler Zahlen
Leider kann niemand diese Zahlen kennen, denn man kommt immer nur bis zu einer endlichen Ziffer, wenn man keinen Wegweiser in Form eines endlichen Algorithmus hat. Solche gibt es in Cantors Liste aber nicht.
Wenn du Probleme mit dieser Vorstellung hast, dann mach es anders: definiere
einfach die rellen Zahlen als "Aequivalenzklssen von Cauchy-Folgen", wobei
zwei Cauchy-Folgen genau dann zur selben Klasse gehoeren, wenn die Differen-
zenfolge eine Nullfolge ist.
Das kann man nur mit Algorithmen beweisen, nicht mit ZIffernfolgen ohne Algorithmus. Man kann eben nicht alle Ziffern kennen.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es wäre nicht abwegig, wenn es möglich wäre. Ist es aber nicht.
Selbstverstaendlich ist das moeglich (und wenn du es dennoch fuer unmoeglich
haeltsts, nimm die obenstehende Definition der reellen Zahlen, da folgt das
notwendige fuer die folgende Argumentation unmittelbar aus der Definition der
reellen Zahlen).
Du hast wohl noch nicht verstanden: Schreibe eine reelle Zahl als Ziffernfolge auf.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Selbst ein schacher Kopf sollte das erkennen, wenn er eine unendliche Ziffernfolge ohne Algorithmus produzieren möchte.
Es ist voellig gleichgueltig, ob man einen Algorithmus zur Generation der
Dezimalziffern in geschlossener Form angeben kann oder nicht.
Aber es ist wichtig, dass man ohne Algorithmus keine unendliche Ziffernfolge angeben kann.

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-07-12 16:22:22 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Du hast wohl noch nicht verstanden: Schreibe eine reelle Zahl als Ziffernfolge auf.
Z = 1 und 3

1 _
Q = --- = 0,3 = 0,33333...
3
Ganzhinterseher
2020-07-13 13:10:03 UTC
Antworten
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Post by Jens Kallup
Post by Ganzhinterseher
Du hast wohl noch nicht verstanden: Schreibe eine reelle Zahl als Ziffernfolge auf.
Z = 1 und 3
1 _
Q = --- = 0,3 = 0,33333...
3
Das ist ein Algorithmus, hier eine Anleitung zum schreiben von Ziffern. Aber Dein Verständnisfehler ist sehr instruktiv. Selbst "große" Mathematiker sind i.a. unfähig, den Unterschied zu begreifen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-12 21:47:21 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Du hast wohl noch nicht verstanden: Schreibe eine reelle Zahl als Ziffernfolge auf.
Die Existenz einer Zahl ist nicht davon abhaengig, ob sie bereits jemand
aufgeschrieben (noch nicht einmal davon, ob sie jemals jemand aufschreiben
wird). SIE haben keine auch nur annaehernd fuer die Mathematik brauchbare
Vorstellung von Zahlen.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Selbst ein schacher Kopf sollte das erkennen, wenn er eine unendliche Ziffernfolge ohne Algorithmus produzieren möchte.
Es ist voellig gleichgueltig, ob man einen Algorithmus zur Generation der
Dezimalziffern in geschlossener Form angeben kann oder nicht.
Aber es ist wichtig, dass man ohne Algorithmus keine unendliche Ziffernfolge angeben kann.
Man muss die Ziffernfolge nicht angeben, damit die Zahl existiert.
Auch die Zahl Pi existiert, obwohl nie jemand in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung aufzu schreiben (und ja, die ist
auch "definiert" als das Verhaeltnid zwischen Kreisumfang und Kreis-
durchmesser). Aehnlich verhaelt es sich mit der eulerschen Zahl,
mit der Quadratwurzel aus 2, ... Willst du ernsthaft die Existenz
dieser Zahlen anzweifeln, weil niemand je in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung dieser Zahlen anzugeben?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-13 13:01:51 UTC
Antworten
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Du hast wohl noch nicht verstanden: Schreibe eine reelle Zahl als Ziffernfolge auf.
Die Existenz einer Zahl ist nicht davon abhaengig, ob sie bereits jemand
aufgeschrieben
Es geht hier nicht um die Existenz von Zahlen, sondern darum, ob diese Zahlen aus Aufschreibungen von Ziffernfolgen ablesbar sind.
Post by Juergen Ilse
(noch nicht einmal davon, ob sie jemals jemand aufschreiben
wird).
Die Existenz einer Aufschreibung hängt davon ab, ob sie schon mal jemand aufgeschrieben hat und ob sie überhaupt jemand aufschreiben kann.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Aber es ist wichtig, dass man ohne Algorithmus keine unendliche Ziffernfolge angeben kann.
Man muss die Ziffernfolge nicht angeben, damit die Zahl existiert.
Könntest Du erstmal versuchen, das Thema zu begreifen?
Post by Juergen Ilse
Auch die Zahl Pi existiert, obwohl nie jemand in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung aufzu schreiben
Natürlich.
Post by Juergen Ilse
(und ja, die ist
auch "definiert" als das Verhaeltnid zwischen Kreisumfang und Kreis-
durchmesser). Aehnlich verhaelt es sich mit der eulerschen Zahl,
mit der Quadratwurzel aus 2, ... Willst du ernsthaft die Existenz
dieser Zahlen anzweifeln, weil niemand je in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung dieser Zahlen anzugeben?
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung. Bis zu jeder Ziffer ist das eine rational Zahl. Insgesamt werden unendlich viele rationals Zahlen so definiert. Aber nicht pi. pi ist lediglich der Grenzwert, der aber aus der Ziffernfolge nicht ablesbar ist, egal wie weit man sie geschrieben hat.

Damit Du das begreifst, habe ich Dir die obige Aufgabe gestellt.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-13 19:13:10 UTC
Antworten
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Auch die Zahl Pi existiert, obwohl nie jemand in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung aufzu schreiben (und ja, die ist
auch "definiert" als das Verhaeltnid zwischen Kreisumfang und Kreis-
durchmesser). Aehnlich verhaelt es sich mit der eulerschen Zahl,
mit der Quadratwurzel aus 2, ... Willst du ernsthaft die Existenz
dieser Zahlen anzweifeln, weil niemand je in der Lage sein wird,
die komplette Dezimalendarstellung dieser Zahlen anzugeben?
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung.
Natuerlich gibt es die, auch wenn man sie nie komplett wird aufschreiben
koennen, weil sie unendlich viele Ziffern enthaelt, und keines Menschen
Lebenszeit jemls ausreichen wuerde, um sie komplett aufzuschreiben. Das
aendert aber nichts daran, dass diese unendliche Dezimalendarstellung
existiert. Wenn IHRE Phantasie nicht ausreicht, um das zu begreifen,
sollten SIE sich, vielleicht einem Gebiet zuwenden, das weniger Phantasie
erfordert, z.B. der Schriftstellerei, der Musik, der Malerei oder der
Bildhauerei ...
Post by Ganzhinterseher
Bis zu jeder Ziffer ist das eine rational Zahl.
Ja, aber damit ist (egal wie viele Ziffern man bereits ufgefuehrt hat) die
Dezimalendrstellung noch nicht vollstaendig, man kann aber eine weitere
Ziffer der (existierenden) kompletten Dezimalendarstellung hinzufuegen und
damit naeher herankommen ... IHRE saudaemliche Ansicht, eine Zahl sei nur
dann wirklich "definiert", wenn man es schafft, ihre komplette Dezimaldar-
stellung aufzuschreiben, ist so fern ab jeglicher Mathematik wie es nur
sein kann.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-07-14 02:31:29 UTC
Antworten
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung.
Natuerlich gibt es die, auch wenn man sie nie komplett wird aufschreiben
koennen, weil sie unendlich viele Ziffern enthaelt, und keines Menschen
Lebenszeit jemals ausreichen wuerde, um sie komplett aufzuschreiben. Das
aendert aber nichts daran, dass diese unendliche Dezimaldarstellung
existiert.
Wenn wir mal von dem Mückenheim-Krampf absehen, stellt sich an dieser Stelle die Frage, was Du hier mit "existieren" meinst. In welchen Sinne "existiert" diese Dezimaldarstellung? So wie z. B. die Sonne existiert? Und wenn nein, wie dann? (Die gleiche Frage stellt sich auch in Bezug auf endliche Ziffernfolgen oder Zahlen, Mengen, etc.)
Juergen Ilse
2020-07-14 12:22:31 UTC
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Hallo,
Post by Me
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung.
Natuerlich gibt es die, auch wenn man sie nie komplett wird aufschreiben
koennen, weil sie unendlich viele Ziffern enthaelt, und keines Menschen
Lebenszeit jemals ausreichen wuerde, um sie komplett aufzuschreiben. Das
aendert aber nichts daran, dass diese unendliche Dezimaldarstellung
existiert.
Wenn wir mal von dem Mückenheim-Krampf absehen, stellt sich an dieser Stelle die Frage, was Du hier mit "existieren" meinst. In welchen Sinne "existiert" diese Dezimaldarstellung?
Letztendlich ist eine Dezimalendarstellung als Repraesentation einer reellen
Zahl eine Reihe: 3,1415929 ist nur eine Kurzschreibweise fuer 3*10^ß+1*
1*10^-1+4*10^-2+1*10^-3+5*10^-4+9*10^-5+2*10^-7+6*1ß^-8. Eine unendliche
Dezimalzahl ist nun eine unendliche Reihe (dabei ist es voellig gleichgueltig,
man die Ziffernfolge in einem geschlossenen Ausdruck angeben kann, der einem
direkt die Berechnung jeder beliebigen Dezimalstelle erlauben wuerde, oder ob
das nicht geht). Es ist eine unendliche Reihe, sie enthaelt nur positive
Summanden, so dass die "Teilsummenfolge" monoton steigend ist, und sie ist
beschraenkt. Daraus folgt, sie hat (in |R) einen Grenzwert. Wenn diese Be-
dingungen erfuellt sind, nennt man diese (zweifellos existioerende) unendliche
Reihe eine "Dezimalendarstellung" der reellen Zahl, die der Grenzwert dieser
Reihe ist. So wuerde man das normalerweise auffassen (und so lernt man das
i.d.R. auch in der Schule, auch wenn es dort selten so ausfuehrlich erlaeutert
wird).
Post by Me
So wie z. B. die Sonne existiert?
Wir bewegen uns im Bereich der Mathematik, also i.d.R. in einem Umfeld mit
eher "abstralten Objekten". Insofern ist das mit einer "pohysischen Existenz"
eher nicht vergleichbar. Also was meinst du genau? Als "abstraktes mathema-
tisches Objekt" existiert die oben erwaehnte Reihe, und man nennt sie (in der
"verkuerzten Schreibweise") als "Dezimalendarstellung.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-14 13:37:36 UTC
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Post by Juergen Ilse
Es ist eine unendliche Reihe, sie enthaelt nur positive
Summanden, so dass die "Teilsummenfolge" monoton steigend ist, und sie ist
beschraenkt. Daraus folgt, sie hat (in |R) einen Grenzwert.
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Den muss man vorher kennen, und zwar aus einem endlichen Algorithmus.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-15 06:32:35 UTC
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Nö, konvergiert auch ohne endlichen Algorithmus.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist eine unendliche Reihe, sie enthaelt nur positive
Summanden, so dass die "Teilsummenfolge" monoton steigend ist, und sie ist
beschraenkt. Daraus folgt, sie hat (in |R) einen Grenzwert.
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Den muss man vorher kennen, und zwar aus einem endlichen Algorithmus.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-07-15 11:35:41 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Post by Ganzhinterseher
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Den muss man vorher kennen, und zwar aus einem endlichen Algorithmus.
Nö, konvergiert auch ohne endlichen Algorithmus.
Blinder Glaube ist nicht angebracht in der Mathematik.

Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.

Gruß, WM
jvr
2020-07-15 16:22:10 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Post by Ganzhinterseher
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Den muss man vorher kennen, und zwar aus einem endlichen Algorithmus.
Nö, konvergiert auch ohne endlichen Algorithmus.
Blinder Glaube ist nicht angebracht in der Mathematik.
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Gruß, WM
a function f is real analytic on an open set D in the real line if for any x_0\in D one can write

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

in which the coefficients {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots } are real numbers and the series is convergent to f(x) for x in a neighborhood of x_{0}.
Juergen Ilse
2020-07-16 14:36:48 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
Post by Ganzhinterseher
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert sie konvergiert. Den muss man vorher kennen, und zwar aus einem endlichen Algorithmus.
Nö, konvergiert auch ohne endlichen Algorithmus.
Blinder Glaube ist nicht angebracht in der Mathematik.
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3 ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-16 19:58:48 UTC
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Post by Juergen Ilse
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Beliebige Dezimalzahlen müssten zunächst einmal existieren.

Man weiß zwar das für alle x zwischen 0 und 9 gilt x < 10. Damit kann man nachweisen, dass eine wie auch immer gegebene Dezimalziffernfolge nicht divergiert. Das ist aber nicht dasselbe wie die Behauptung, dass eine Dezimalziffernfolge ohne endlichen Algorithmus existiert.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3
Dann ist damit ein endlicher Algorithmus verbunden.

Zum Beispiel der primitivst mögliche: Wähle 2, bestimme das Quadrat, es ist > 3. Verwirf 2, und wähle 1, bestimme das Quadrat, es ist < 3. Also wird 1, beibehalten. Und so weiter.

Das habe ich nun mit endlich vielen Zeichen so simpel erklärt, dass jeder diesen Algorithmus weiterführen kann.

Gruß, WM
jvr
2020-07-16 22:32:43 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Beliebige Dezimalzahlen müssten zunächst einmal existieren.
Man weiß zwar das für alle x zwischen 0 und 9 gilt x < 10. Damit kann man nachweisen, dass eine wie auch immer gegebene Dezimalziffernfolge nicht divergiert. Das ist aber nicht dasselbe wie die Behauptung, dass eine Dezimalziffernfolge ohne endlichen Algorithmus existiert.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3
Dann ist damit ein endlicher Algorithmus verbunden.
Zum Beispiel der primitivst mögliche: Wähle 2, bestimme das Quadrat, es ist > 3. Verwirf 2, und wähle 1, bestimme das Quadrat, es ist < 3. Also wird 1, beibehalten. Und so weiter.
Das habe ich nun mit endlich vielen Zeichen so simpel erklärt, dass jeder diesen Algorithmus weiterführen kann.
Gruß, WM
Also nochmal ein Versuch, Ihnen mathematische Tatsachen näher zu bringen, ohne Sie durch Tex-Code zu verwirren: Zeigen Sie bitte, wo Sie hier eine Formel
sehen.

Definition: Eine Funktion f(z) einer komplexen Variablen z, die in einer offenen Kreisscheibe D differenzierbar ist, wird durch eine Potenzreihe um den Mittelpunkt c der Kreisscheibe dargestellt,

Sum_{n=0}^{\infty}{f^(n)(c)/n!}(z-c)^n.

Die Reihe konvergiert für jeden Punkt z aus D gegen f(z).
Ganzhinterseher
2020-07-17 09:30:44 UTC
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Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Beliebige Dezimalzahlen müssten zunächst einmal existieren.
Man weiß zwar das für alle x zwischen 0 und 9 gilt x < 10. Damit kann man nachweisen, dass eine wie auch immer gegebene Dezimalziffernfolge nicht divergiert. Das ist aber nicht dasselbe wie die Behauptung, dass eine Dezimalziffernfolge ohne endlichen Algorithmus existiert.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3
Dann ist damit ein endlicher Algorithmus verbunden.
Zum Beispiel der primitivst mögliche: Wähle 2, bestimme das Quadrat, es ist > 3. Verwirf 2, und wähle 1, bestimme das Quadrat, es ist < 3. Also wird 1, beibehalten. Und so weiter.
Das habe ich nun mit endlich vielen Zeichen so simpel erklärt, dass jeder diesen Algorithmus weiterführen kann.
Zeigen Sie bitte, wo Sie hier eine Formel
sehen.
Sum_{n=0}^{\infty}{f^(n)(c)/n!}(z-c)^n.
Gruß, WM
jvr
2020-07-17 11:25:38 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Beliebige Dezimalzahlen müssten zunächst einmal existieren.
Man weiß zwar das für alle x zwischen 0 und 9 gilt x < 10. Damit kann man nachweisen, dass eine wie auch immer gegebene Dezimalziffernfolge nicht divergiert. Das ist aber nicht dasselbe wie die Behauptung, dass eine Dezimalziffernfolge ohne endlichen Algorithmus existiert.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3
Dann ist damit ein endlicher Algorithmus verbunden.
Zum Beispiel der primitivst mögliche: Wähle 2, bestimme das Quadrat, es ist > 3. Verwirf 2, und wähle 1, bestimme das Quadrat, es ist < 3. Also wird 1, beibehalten. Und so weiter.
Das habe ich nun mit endlich vielen Zeichen so simpel erklärt, dass jeder diesen Algorithmus weiterführen kann.
Zeigen Sie bitte, wo Sie hier eine Formel
sehen.
Sum_{n=0}^{\infty}{f^(n)(c)/n!}(z-c)^n.
Gruß, WM
Lustig, lustig ist das Geräusch, wenn die Mückenfalle zuschnappt.
Ich schreib hin, was man mit Fug 'Formel' nennen kann, und frage: Hallo,
Mücke, wo sehen Sie eine Formel? Und was macht die Mücke? Denkt sie nach und fragt sich, ob der Köder schmecken wird?
Wir reden nachher nochmal drüber. Unterdessen werden Sie Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel' nachliefern wollen? Gel?
jvr
2020-07-18 13:14:06 UTC
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Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Es ist noch gar nicht so lange her (ok, vielleicht doch schon vor ein paar
Monaten), dass SIE mit dem Majorantenkriterium argumentiert hatten. Eben
dieses kann man verwenden, um die Konvergenz im Falle beliebiger Dezimal-
zahlen nachzuweisen ...
Beliebige Dezimalzahlen müssten zunächst einmal existieren.
Man weiß zwar das für alle x zwischen 0 und 9 gilt x < 10. Damit kann man nachweisen, dass eine wie auch immer gegebene Dezimalziffernfolge nicht divergiert. Das ist aber nicht dasselbe wie die Behauptung, dass eine Dezimalziffernfolge ohne endlichen Algorithmus existiert.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir über ihre Eigenschaften sprechen.
Nehmen wir die Dezimaldarstellung von z.B. der Quadratwurzel aus 3
Dann ist damit ein endlicher Algorithmus verbunden.
Zum Beispiel der primitivst mögliche: Wähle 2, bestimme das Quadrat, es ist > 3. Verwirf 2, und wähle 1, bestimme das Quadrat, es ist < 3. Also wird 1, beibehalten. Und so weiter.
Das habe ich nun mit endlich vielen Zeichen so simpel erklärt, dass jeder diesen Algorithmus weiterführen kann.
Zeigen Sie bitte, wo Sie hier eine Formel
sehen.
Sum_{n=0}^{\infty}{f^(n)(c)/n!}(z-c)^n.
Gruß, WM
Lustig, lustig ist das Geräusch, wenn die Mückenfalle zuschnappt.
Ich schreib hin, was man mit Fug 'Formel' nennen kann, und frage: Hallo,
Mücke, wo sehen Sie eine Formel? Und was macht die Mücke? Denkt sie nach und fragt sich, ob der Köder schmecken wird?
Wir reden nachher nochmal drüber. Unterdessen werden Sie Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel' nachliefern wollen? Gel?
Wie ich sehe, haben Sie noch nicht die Zeit gefunden, den Begriff 'Formel' zu definieren.

Trotzdem werde ich so nett sein, und Ihnen erklären, was das für eine Mückenfalle
gewesen ist, in die Sie hineingeflattert sind.

Der Satz, den ich zitierte, kann genau so gut folgendermaßen ausgedrückt werden:

Fundamentalsatz der Funktionentheorie:
"Jede differenzierbare komplexwertige Funktion in der komplexen Ebene ist analytisch."

Sehen Sie jetzt den Mückenfängertrick? Ohne Namen und ohne irgendwelche Formeln kann man sich auf jede einzelne der 2^(2^alef_0) Funktionen beziehen
und unter diesen eine Untermenge aussondern. Man bezieht sich nämlich nicht
auf namentlich getaufte, formelmäßig beschriebene, einzelne Funktionen,
sondern auf eine Menge von Funktionen, die durch Eigenschaften derselben
bestimmt wird.

Im übrigen ist die Aussage dieses Satzes garnicht als Formel fassbar. Wenn
Sie von der Materie eine Ahnung hätten, wüssten Sie, dass der Satz für
reelle Funktionen falsch ist und was das für eine Bedeutung hat.
Ganzhinterseher
2020-07-19 12:32:18 UTC
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Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären, den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.

Aber was wir hier benötigen, ist nur die zur Dezimaldarstellung einer reellen Zahl geeignete Formel. Dies ist ein Ausdruck, der in möglichst kurzer und jedenfalls eindeutiger Form dem kundigen Leser einen Algorithmus angibt, mit dem jede Ziffer der Darstellung im Prinzip berechnet werden kann.

Darüber hinaus gibt es Formeln für Algorithmen, mit denen andere Folgen, solche ohne Zahlenwert, zum Beispiel Platzhalter für Zahlen, darstellbar sind. Dazu zählt die Reihe SUM a_k.

Deine Abschweifung in das Gebiert der Funktionentheorie fällt unter das Stichwort: Thema verfehlt.

Und nun wollen wir uns wieder dem ursprünglichen Thema zuwenden:

"Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten" sagt A. Schoenflies.

"... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen" sagt D. Hilbert, der über das Endliche hinaus zählen kann.

Gruß, WM
jvr
2020-07-19 13:21:17 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären,
Nee, Mücke, wenn das so wäre, dann hätten Sie gewiss eine Quelle nennen können.
Für Ihre Pseudomathematik, die Mückmeatik, scheint dieser Begriff grundlegende
Bedeutung zu haben. Es ist aber nicht die einzige fehlende Definition. In der
Mückmeatik gibt es ja auch keine Axiome und keine Theoreme und keine Beweise -
also wären Definitionen unnütz. Weiter so. Mutig vorwärts, mit vereinten
Kräften: Mücke, Atomikus und Gabriele Rosinante erobern die Welt!
Post by Ganzhinterseher
den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Aber was wir hier benötigen, ist nur die zur Dezimaldarstellung einer reellen Zahl geeignete Formel.
Nee, Mücke, wenn's um Mathematik ginge, würden wir hier Definitionen und
Beweise für eindeutig formulierte Aussagen finden. Aber sowas gibt es in Mückenhausen nicht.
Post by Ganzhinterseher
Dies ist ein Ausdruck, der in möglichst kurzer und jedenfalls eindeutiger Form dem kundigen Leser einen Algorithmus angibt, mit dem jede Ziffer der Darstellung im Prinzip berechnet werden kann.
Und dass das nicht das ist, worum es in der Mathematik im Allgemeinen geht
zeigt das Beispiel, das ich zu Ihrer Erbauung angeführt hatte.
Post by Ganzhinterseher
Darüber hinaus gibt es Formeln für Algorithmen, mit denen andere Folgen, solche ohne Zahlenwert, zum Beispiel Platzhalter für Zahlen, darstellbar sind. Dazu zählt die Reihe SUM a_k.
Echt? Sehr erfreulich, aber leider recht schwammig. Die Reihe SUM a_k "zählt
dazu"! Das freut mich.
Post by Ganzhinterseher
Deine Abschweifung in das Gebiert der Funktionentheorie fällt unter das Stichwort: Thema verfehlt.
"Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten" sagt A. Schoenflies.
Was hat er denn wohl mit "operieren" gemeint und was versteht er unter
"endlos" und unter "Ketten"? Ja richtig - in Mückenhausen lernt man das im
Kindergarten. Und wer's nicht glaubt, der irrt sich.
Post by Ganzhinterseher
"... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen" sagt D. Hilbert, der über das Endliche hinaus zählen kann.
Ja, wie denn - ich dachte Hilbert sei ein Volltrottel gewesen, der immer nur
brav Cantors Aufsätze in seinen Annalen abgedruckt hat. Und jetzt ist er plötzlich
Ihr Kronzeuge?
Wo genau sehen Sie einen Widerspruch?
Ganzhinterseher
2020-07-19 17:20:47 UTC
Antworten
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Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären,
Nee,
Doch, so ist es.
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Aber was wir hier benötigen, ist nur die zur Dezimaldarstellung einer reellen Zahl geeignete Formel.
Nee,
Es geht um Mathematik, nicht um Polemik.
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Dies ist ein Ausdruck, der in möglichst kurzer und jedenfalls eindeutiger Form dem kundigen Leser einen Algorithmus angibt, mit dem jede Ziffer der Darstellung im Prinzip berechnet werden kann.>
Darüber hinaus gibt es Formeln für Algorithmen, mit denen andere Folgen, solche ohne Zahlenwert, zum Beispiel Platzhalter für Zahlen, darstellbar sind. Dazu zählt die Reihe SUM a_k.
Echt? Sehr erfreulich, aber leider recht schwammig. Die Reihe SUM a_k "zählt
dazu"! Das freut mich.
Post by Ganzhinterseher
Deine Abschweifung in das Gebiert der Funktionentheorie fällt unter das Stichwort: Thema verfehlt.
"Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten" sagt A. Schoenflies.
Was hat er denn wohl mit "operieren" gemeint und was versteht er unter
"endlos" und unter "Ketten"?
Das Zählen ins Unendliche zum Beispiel, das im Unterschied zur Berechnung eines Grenzwertes tatsächlich unendlich viele Schritte, weil Elemente erfasst. (Induktion gabs schon früher.)
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
"... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen" sagt D. Hilbert, der über das Endliche hinaus zählen kann.
Ja, wie denn - ich dachte Hilbert sei ein Volltrottel gewesen, der immer nur
brav Cantors Aufsätze in seinen Annalen abgedruckt hat. Und jetzt ist er plötzlich
Ihr Kronzeuge?
Wo genau sehen Sie einen Widerspruch?
Hîlbert liefert den Widerspruch selbst. Sein Zählen ins Unendliche ist ein unendliches Schließen von n auf n + 1.

Aber Cantors Aufsätze hat er bestimmt nicht abgedruckt, denn Cantor hat nach 1897 nichts mehr veröffentlicht und Hilbert war erst ab 1902 Mitherausgeber.

Gruß, WM
jvr
2020-07-19 18:17:47 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären,
Nee,
Doch, so ist es.
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Aber was wir hier benötigen, ist nur die zur Dezimaldarstellung einer reellen Zahl geeignete Formel.
Nee,
Es geht um Mathematik, nicht um Polemik.
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Dies ist ein Ausdruck, der in möglichst kurzer und jedenfalls eindeutiger Form dem kundigen Leser einen Algorithmus angibt, mit dem jede Ziffer der Darstellung im Prinzip berechnet werden kann.>
Darüber hinaus gibt es Formeln für Algorithmen, mit denen andere Folgen, solche ohne Zahlenwert, zum Beispiel Platzhalter für Zahlen, darstellbar sind. Dazu zählt die Reihe SUM a_k.
Echt? Sehr erfreulich, aber leider recht schwammig. Die Reihe SUM a_k "zählt
dazu"! Das freut mich.
Post by Ganzhinterseher
Deine Abschweifung in das Gebiert der Funktionentheorie fällt unter das Stichwort: Thema verfehlt.
"Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten" sagt A. Schoenflies.
Was hat er denn wohl mit "operieren" gemeint und was versteht er unter
"endlos" und unter "Ketten"?
Das Zählen ins Unendliche zum Beispiel, das im Unterschied zur Berechnung eines Grenzwertes tatsächlich unendlich viele Schritte, weil Elemente erfasst. (Induktion gabs schon früher.)
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
"... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen" sagt D. Hilbert, der über das Endliche hinaus zählen kann.
Ja, wie denn - ich dachte Hilbert sei ein Volltrottel gewesen, der immer nur
brav Cantors Aufsätze in seinen Annalen abgedruckt hat. Und jetzt ist er plötzlich
Ihr Kronzeuge?
Wo genau sehen Sie einen Widerspruch?
Hîlbert liefert den Widerspruch selbst. Sein Zählen ins Unendliche ist ein unendliches Schließen von n auf n + 1.
Aber Cantors Aufsätze hat er bestimmt nicht abgedruckt, denn Cantor hat nach 1897 nichts mehr veröffentlicht und Hilbert war erst ab 1902 Mitherausgeber.
Gruß, WM
Mücke, bitte strengen Sie sich ein wenig an. Wenn Sie einfach zufälligen
Unsinn erzählen, unabhängig davon, was der Gesprächspartner sagt, wird es
langweilig. Man kann sich natürlich über Ihre Wissenslücken und Ihre Überheblichkeit lustig machen, aber das wird auch langweilig, wenn Sie
garnicht mehr nachdenken wollen.

Viel Vergnügen weiterhin. Wann kommt eigentlich der Binäre Baum wirder an die
Reihe? Noch vor Weihnachten?
jvr
2020-07-20 07:21:33 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Aber Cantors Aufsätze hat er bestimmt nicht abgedruckt, denn Cantor hat nach 1897 nichts mehr veröffentlicht und Hilbert war erst ab 1902 Mitherausgeber.
Gruß, WM
Sie haben recht. Hilbert kam erst 1895 nach Göttingen, u.a. um Klein mit der Herausgabe der Annalen zu unterstützen. Hilberts Ausdruck 'Cantors Paradies' stammt aus dem Jahre
1925, also noch viel später.

Dass Hilbert die Bedeutung von Cantors Arbeiten
verstand und ausgenutzt hat, ist jedem klar, der von Mathematik
und Physik ein wenig Ahnung hat. Der Hilbert'sche Raum ist durch die
topologische Eigenschaft der Vollständigkeit charakterisiert. Hilberts berühmter Beweis des Existenzsatzes für das Dirchletproblem der Laplacegleichung ist topologisch - oder, wie man heute sagen würde, funktionalanalytisch.
Aber lassen wir das, denn Sie verstehen ja von all dem nicht die Bohne.
Juergen Ilse
2020-07-19 18:43:25 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären, den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Im ueblichen Schulstoff bis zum Abitur kommt keine mathematisch wirklich
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" vor. Moeglicherweise beruht
IHR mangelndes Verstaendnis mathematischer Sachverhalte mit darauf, dass
SIE keine brauchbare Definition des Begriffs Formel kennen. Andererseits
kennen SIE ja auch keine brauchbare Definition des Begriffs "Definition",
wissen nicht, was ein mathematischer Beweis ist und haben auch nicht be-
griffen, welche Bedeutung "Axiomeluecken sind also noch weitaus umfassender als nur die Unkenntnis einer
mathematisch bauchbaren Definition des Begriffs "Formel" ...
Post by Ganzhinterseher
Aber was wir hier benötigen, ist nur die zur Dezimaldarstellung einer reellen Zahl geeignete Formel. Dies ist ein Ausdruck, der in möglichst kurzer und jedenfalls eindeutiger Form dem kundigen Leser einen Algorithmus angibt, mit dem jede Ziffer der Darstellung im Prinzip berechnet werden kann.
Darüber hinaus gibt es Formeln für Algorithmen, mit denen andere Folgen, solche ohne Zahlenwert, zum Beispiel Platzhalter für Zahlen, darstellbar sind. Dazu zählt die Reihe SUM a_k.
Das duerfte der zweifelsfreie Beweis sein, dass SIE keine mathematisch brauch-
bare Definition des Begriffs "Formel" kennen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-07-19 19:16:24 UTC
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Das dürfte der zweifelsfreie Beweis sein, dass SIE keine mathematisch
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" kennen ...
In diesem Zusammenhang ist ihm auch die Bedeutung von /freien/ vs. /gebundenen/ Variablen (und damit der Unterschied zwischen Aussageformen und Aussagen) nicht klar; analoges gilt wohl auch für den (Begriff des) "Bereich(s)" eines Quantors.

In seinen Augen ist z. B.

ES({} e S & (X e S => X u {X}))

eine korrekte Formulierung des Unendlichkeitsaxioms! :-)

Die Notwendigkeit des Allquantors "AX" vor der Teilformel "(X e S => X u {X})" bestreitet er explizit:

"Usually the formula ES({} e S & AX(X e S => X u {X})) [is] given, but inserting the additional universal quantifier here is not necessary; X e S => P has the same truth value as AX(X e S => P) since the former is true if X !e S and, given the latter, also if X e S, hence for all X. The rule that 'for axioms' a universal quantifier has to be prepended does not apply here."
Me
2020-07-19 19:19:30 UTC
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Das dürfte der zweifelsfreie Beweis sein, dass SIE keine mathematisch
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" kennen ...
In diesem Zusammenhang ist ihm auch die Bedeutung von /freien/ vs. /gebundenen/ Variablen (und damit der Unterschied zwischen Aussageformen und Aussagen) nicht klar; analoges gilt wohl auch für den (Begriff des) "Bereich(s)" eines Quantors.

In seinen Augen ist z. B.

ES({} e S & (X e S => X u {X} e S))

eine korrekte Formulierung des Unendlichkeitsaxioms! :-)

Die Notwendigkeit des Allquantors "AX" vor der Teilformel "(X e S => X u {X})" bestreitet er explizit:

"Usually the formula ES({} e S & AX(X e S => X u {X} e S)) [is] given, but inserting the additional universal quantifier here is not necessary; X e S => P has the same truth value as AX(X e S => P) since the former is true if X !e S and, given the latter, also if X e S, hence for all X. The rule that 'for axioms' a universal quantifier has to be prepended does not apply here." (W. Mückenheim, Transfinity.pdf)
Me
2020-07-19 19:20:18 UTC
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Das dürfte der zweifelsfreie Beweis sein, dass SIE keine mathematisch
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" kennen ...
In diesem Zusammenhang ist ihm auch die Bedeutung von /freien/ vs. /gebundenen/ Variablen (und damit der Unterschied zwischen Aussageformen und Aussagen) nicht klar; analoges gilt wohl auch für den (Begriff des) "Bereich(s)" eines Quantors.

In seinen Augen ist z. B.

ES({} e S & (X e S => X u {X} e S))

eine korrekte Formulierung des Unendlichkeitsaxioms! :-)

Die Notwendigkeit des Allquantors "AX" vor der Teilformel "(X e S => X u {X} e S)" bestreitet er explizit:

"Usually the formula ES({} e S & AX(X e S => X u {X} e S)) [is] given, but inserting the additional universal quantifier here is not necessary; X e S => P has the same truth value as AX(X e S => P) since the former is true if X !e S and, given the latter, also if X e S, hence for all X. The rule that 'for axioms' a universal quantifier has to be prepended does not apply here." (W. Mückenheim, Transfinity.pdf)
Mostowski Collapse
2020-07-19 21:52:55 UTC
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Immernoch keine Antwort zum Typ II Integral?
Was ergibt folgendes in Mückenhausen:

integ_-1^1 1/x^2 dx = ?
Post by Me
Das dürfte der zweifelsfreie Beweis sein, dass SIE keine mathematisch
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" kennen ...
In diesem Zusammenhang ist ihm auch die Bedeutung von /freien/ vs. /gebundenen/ Variablen (und damit der Unterschied zwischen Aussageformen und Aussagen) nicht klar; analoges gilt wohl auch für den (Begriff des) "Bereich(s)" eines Quantors.
In seinen Augen ist z. B.
ES({} e S & (X e S => X u {X} e S))
eine korrekte Formulierung des Unendlichkeitsaxioms! :-)
"Usually the formula ES({} e S & AX(X e S => X u {X} e S)) [is] given, but inserting the additional universal quantifier here is not necessary; X e S => P has the same truth value as AX(X e S => P) since the former is true if X !e S and, given the latter, also if X e S, hence for all X. The rule that 'for axioms' a universal quantifier has to be prepended does not apply here." (W. Mückenheim, Transfinity.pdf)
Ganzhinterseher
2020-07-20 07:41:19 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären, den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Im ueblichen Schulstoff bis zum Abitur kommt keine mathematisch wirklich
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" vor.
Das ist auch nicht nötig, denn man kann nicht alles mit anderen Worten erklären. Einen gewissen Fundus muss man intuitiv lernen, zum Beispiel durch Aufzeigen, wie im Bilderduden. Die Ansicht, dass *alles* definiert werden müsse, zeugt von mangelndem Verständnis der Wissenschaften.

Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.

Gruß, WM
jvr
2020-07-20 07:55:11 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären, den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Im ueblichen Schulstoff bis zum Abitur kommt keine mathematisch wirklich
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" vor.
Das ist auch nicht nötig, denn man kann nicht alles mit anderen Worten erklären. Einen gewissen Fundus muss man intuitiv lernen, zum Beispiel durch Aufzeigen, wie im Bilderduden. Die Ansicht, dass *alles* definiert werden müsse, zeugt von mangelndem Verständnis der Wissenschaften.
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
Gruß, WM
In der Mathematik beschränkt man sich auf wohldefinierte Begriffe. Wenn man
z.B. von "gleichviel" redet bezieht man sich auf eine Relation, die ganz
bestimmte Eigenschaften hat und dann "Äquivalenzrelation" genannt wird.
Eine solche Relation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. Wenn Sie
von unendlichen Mengen mit "gleichviel" Elementen reden, handelt es sich
nicht um einen mathematischen Begriff.
Ganzhinterseher
2020-07-20 10:19:47 UTC
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Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
In der Mathematik beschränkt man sich auf wohldefinierte Begriffe. Wenn man
z.B. von "gleichviel" redet bezieht man sich auf eine Relation, die ganz
bestimmte Eigenschaften hat und dann "Äquivalenzrelation" genannt wird.
Eine solche Relation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. Wenn Sie
von unendlichen Mengen mit "gleichviel" Elementen reden, handelt es sich
nicht um einen mathematischen Begriff.
Wenn eine solche Relation ergibt, dass die Mengen |N und |N nicht gleichviel Elemente besitzen, handelt es sich nicht um eine mathematische Relation. Ebenso, wenn eine Relation behauptet, dass die Mengen der rationalen Zahlen in Einheitsintervallen der reellen Achse nicht gleichviel Elemente besitzen, handelt es sich nicht um eine mathematische Relation. Dasselbe gilt, wenn eine Relation behauptet, dass die Mengen der Elemente oberhalb und unterhalb der Matrix
1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 ...
...
nicht gleichviel Elemente besitzen. Da spielen Symmetrie und Transitivität durchaus eine wichtige Rolle.

Daher muss überhaupt keine Relation definiert werden, um festzustellen, dass die Cantorsche Relation zu Widersprüchen führt.

Man muss kein Ei legen können, um zu beurteilen, ob ein Ei faul ist.

Gruß, WM
jvr
2020-07-20 12:17:23 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Post by Ganzhinterseher
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
In der Mathematik beschränkt man sich auf wohldefinierte Begriffe. Wenn man
z.B. von "gleichviel" redet bezieht man sich auf eine Relation, die ganz
bestimmte Eigenschaften hat und dann "Äquivalenzrelation" genannt wird.
Eine solche Relation ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. Wenn Sie
von unendlichen Mengen mit "gleichviel" Elementen reden, handelt es sich
nicht um einen mathematischen Begriff.
Wenn eine solche Relation ergibt, dass die Mengen |N und |N nicht gleichviel Elemente besitzen, handelt es sich nicht um eine mathematische Relation. Ebenso, wenn eine Relation behauptet, dass die Mengen der rationalen Zahlen in Einheitsintervallen der reellen Achse nicht gleichviel Elemente besitzen, handelt es sich nicht um eine mathematische Relation. Dasselbe gilt, wenn eine Relation behauptet, dass die Mengen der Elemente oberhalb und unterhalb der Matrix
1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 ...
...
nicht gleichviel Elemente besitzen. Da spielen Symmetrie und Transitivität durchaus eine wichtige Rolle.
Daher muss überhaupt keine Relation definiert werden, um festzustellen, dass die Cantorsche Relation zu Widersprüchen führt.
Man muss kein Ei legen können, um zu beurteilen, ob ein Ei faul ist.
Gruß, WM
Es ist nicht der Mühe wert, Ihre Denkfehler nochmal zu diskutieren. Sie werden es niemals kapieren.
h***@gmail.com
2020-07-20 18:55:52 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by jvr
Ihre Definition für den gewaltigen Begriff 'Formel'
Ich sehe keinen Grund, jemandem, der sich als Mathematiker geriert, diesen Begriff zu erklären, den intelligente Schüler in der Mittelstufe so lernen, dass sie die Bedeutung niemals mehr nachfragen müssen. Er umfasst in der Tat ein gewaltiges Gebiet.
Im ueblichen Schulstoff bis zum Abitur kommt keine mathematisch wirklich
brauchbare Definition des Begriffs "Formel" vor.
Das ist auch nicht nötig, denn man kann nicht alles mit anderen Worten erklären. Einen gewissen Fundus muss man intuitiv lernen, zum Beispiel durch Aufzeigen, wie im Bilderduden. Die Ansicht, dass *alles* definiert werden müsse, zeugt von mangelndem Verständnis der Wissenschaften.
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
Andersrum wird ein Schuh daraus, Herr Professor: Wer glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) *nicht* ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und daraus einen Widerspruch herleiten will, sollte am besten den Lehrberuf an den Nagel hängen, vor allem, wenn er täglich demonstriert, dass er keine Ahnung hat, wie ein mathematischer Beweis auszusehen hat.
Me
2020-07-20 19:13:02 UTC
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Wer glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber [...]
Ja, ich weiß, der Unsinn stammt von Mückenheim, aber

1. Es sollte hier wohl heißen

"Wer glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < n+q < n+1 existiert, aber..."

Nein?

2. Die Formulierung ist auch so unsinnig. Vermutlich ist gemeint:

"Wer glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < n+q < n+1 gilt, aber..."

- was vermutlich folgendes bedeuten soll:

"Wer glaubt, dass für alle q mit 0 < q < 1 auch n < n+q < n+1 gilt, aber..."

("für alle n e IN" müsste auch noch irgendwo stehen, aber mit Quantoren hat es unser Herr Mückenheim nicht so.)

Hinweis: "About 90% of the effort in conversing with you is coming up
with things you might be trying to say."

(Gefunden in sci.math in einer Antwort auf ein Post von WM.)
Ganzhinterseher
2020-07-20 20:44:09 UTC
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Post by Me
"Wer glaubt, dass für alle q mit 0 < q < 1 auch n < n+q < n+1 gilt, aber..."
Richtig. Danke.
Post by Me
("für alle n e IN" müsste auch noch irgendwo stehen,
Richtig. Danke.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-07-20 20:40:53 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
Andersrum wird ein Schuh daraus,
Keineswegs. Cantor verteilt im Intervall (100, 101] weniger als 1 % der Indizes, die er im Intervall (0, 1] verteilt. Wer daraus schließt, dass er in beiden Intervallen gleichviele verteilt (weil in beiden Intervallen gleichviele Brüche existieren und Cantor alle Brüche nummeriert), ist mathematisch leicht zu widerlegen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-21 08:57:46 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Keineswegs. Cantor verteilt im Intervall (100, 101] weniger als 1 % der Indizes, die er im Intervall (0, 1] verteilt. Wer daraus schließt, dass er in beiden Intervallen gleichviele verteilt (weil in beiden Intervallen gleichviele Brüche existieren und Cantor alle Brüche nummeriert), ist mathematisch leicht zu widerlegen.
Das argumentieren mit "Prozentanteilen" im Zusammenhang mit unendlichen
Kardinalzahlen ist ein ziemlich sicheres Zeichen von voelligem Unverstaendnis
des Unendlichkeitsbegriffs in der Mathematik ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-21 13:41:20 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Keineswegs. Cantor verteilt im Intervall (100, 101] weniger als 1 % der Indizes, die er im Intervall (0, 1] verteilt. Wer daraus schließt, dass er in beiden Intervallen gleichviele verteilt (weil in beiden Intervallen gleichviele Brüche existieren und Cantor alle Brüche nummeriert), ist mathematisch leicht zu widerlegen.
Das argumentieren mit "Prozentanteilen" im Zusammenhang mit unendlichen
Kardinalzahlen ist ein ziemlich sicheres Zeichen von voelligem Unverstaendnis
des Unendlichkeitsbegriffs in der Mathematik ...
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.

Gruß, WM
Me
2020-07-21 14:15:53 UTC
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Das Argumentieren mit "Prozentanteilen" im Zusammenhang mit unendlichen
Kardinalzahlen ist ein ziemlich sicheres Zeichen von voelligem
Unverstaendnis des Unendlichkeitsbegriffs in der Mathematik ...
Man könnte auch sagen: von Totalverblödung.
Ralf Bader
2020-07-21 22:07:28 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Keineswegs. Cantor verteilt im Intervall (100, 101] weniger als 1
% der Indizes, die er im Intervall (0, 1] verteilt. Wer daraus
schließt, dass er in beiden Intervallen gleichviele verteilt
(weil in beiden Intervallen gleichviele Brüche existieren und
Cantor alle Brüche nummeriert), ist mathematisch leicht zu
widerlegen.
Das argumentieren mit "Prozentanteilen" im Zusammenhang mit
unendlichen Kardinalzahlen ist ein ziemlich sicheres Zeichen von
voelligem Unverstaendnis des Unendlichkeitsbegriffs in der
Mathematik ...
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich. Dabei ist
es gleichgültig, ob aktual oder potentiell abzählbar unendlich, und
auch, ob Sie zu blöde sind, das zu kapieren.
Ganzhinterseher
2020-07-22 10:36:40 UTC
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Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Post by Ralf Bader
Dabei ist
es gleichgültig, ob aktual oder potentiell abzählbar unendlich, und
auch, ob Sie zu blöde sind, das zu kapieren.
Wer nur die Primzahlen erwähnt, vergisst viele natürliche Zahlen. Genau das tut Cantor (zumindest) in den höheren Intervallen, aber höchstwahrscheinlich auch im ersten.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-22 11:03:42 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Wenn man aus einem Wasserhahbn einen Liter herauslaufen laesst, steht ein
Liter Wasser weniger aus diesem Wasserhanh zur Verfuegung, dass ist nicht
verhandelbar ...
Merken SIE eigentlich noch was?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-22 11:35:54 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Wenn man aus einem Wasserhahbn einen Liter herauslaufen laesst, steht ein
Liter Wasser weniger aus diesem Wasserhanh zur Verfuegung, dass ist nicht
verhandelbar ...
Es geht nicht um die Menge. Die besitzt in allen Einheitsintervallen die Mächtigkeit aleph_0, ja sogar in allen Intervallen der Länge 1/10^10000000, was diese Maß ohnehin fragwürdig erscheinen lässt. Es geht vielmehr darum, dass beim Verhältnis 1/100 vieles Brüche vergessen werden. Wer nur alle Hunderter zählt, aber behauptet, alle natürlichen Zahlen gezählt zu haben, der irrt.
Post by Juergen Ilse
Merken SIE eigentlich noch was?
Ja, ich habe bemerkt, dass die Mengenlehre auf Irrtum (im besten Falle) oder Lüge und Betrug aufgebaut ist.

Es gibt keine Rechtfertigung für die Behauptung, dass im Binären Baum mehr Pfade als Knoten existieren, zumal Pfade allein durch Knoten unterscheidbar sind.

Es gibt keinen Rechtfertigung für die Behauptung, dass Dagobert Duck "im Grenzfalle" pleite ist.

Es gibt keine Rechtfertigung für die These, dass in der Cantor-Liste reelle Zahlen auftreten.

Es gibt keine Rechtfertigung dafür, in Hilberts Hotel die logische Reihenfolge und damit die Betrachtung des weitergegebenen Taschentuchs zu verweigern.

Es gibt keine Rechtfertigung für die These des completely scattered space, die in fünf Zeilen widerlegt ist. Siehe "The rationals in natural order on the real line are not countable", sci.math (20 & 21 Jul 2020).

Every point on the real line, scattered or not, is an endpoint of two (at least half-) open intervals. Since two points cannot lie "next to" each other, there is always an open interval between them. Since the complement has no open intervals, every endpoint of a covering interval lies in another covering interval. All overlap. There is no complement. So, if the rational numbers in natural order are countable, then the real line has measure zero.

All dies zeugt von einer erheblichen Beeinträchtigung des Denkvermögens der Protagonisten.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-22 11:56:35 UTC
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Gähn!
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Wenn man aus einem Wasserhahbn einen Liter herauslaufen laesst, steht ein
Liter Wasser weniger aus diesem Wasserhanh zur Verfuegung, dass ist nicht
verhandelbar ...
Es geht nicht um die Menge. Die besitzt in allen Einheitsintervallen die Mächtigkeit aleph_0, ja sogar in allen Intervallen der Länge 1/10^10000000, was diese Maß ohnehin fragwürdig erscheinen lässt. Es geht vielmehr darum, dass beim Verhältnis 1/100 vieles Brüche vergessen werden. Wer nur alle Hunderter zählt, aber behauptet, alle natürlichen Zahlen gezählt zu haben, der irrt.
Post by Juergen Ilse
Merken SIE eigentlich noch was?
Ja, ich habe bemerkt, dass die Mengenlehre auf Irrtum (im besten Falle) oder Lüge und Betrug aufgebaut ist.
Es gibt keine Rechtfertigung für die Behauptung, dass im Binären Baum mehr Pfade als Knoten existieren, zumal Pfade allein durch Knoten unterscheidbar sind.
Es gibt keinen Rechtfertigung für die Behauptung, dass Dagobert Duck "im Grenzfalle" pleite ist.
Es gibt keine Rechtfertigung für die These, dass in der Cantor-Liste reelle Zahlen auftreten.
Es gibt keine Rechtfertigung dafür, in Hilberts Hotel die logische Reihenfolge und damit die Betrachtung des weitergegebenen Taschentuchs zu verweigern.
Es gibt keine Rechtfertigung für die These des completely scattered space, die in fünf Zeilen widerlegt ist. Siehe "The rationals in natural order on the real line are not countable", sci.math (20 & 21 Jul 2020).
Every point on the real line, scattered or not, is an endpoint of two (at least half-) open intervals. Since two points cannot lie "next to" each other, there is always an open interval between them. Since the complement has no open intervals, every endpoint of a covering interval lies in another covering interval. All overlap. There is no complement. So, if the rational numbers in natural order are countable, then the real line has measure zero.
All dies zeugt von einer erheblichen Beeinträchtigung des Denkvermögens der Protagonisten.
Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-22 17:46:43 UTC
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There are countably infinitely many rationals on
the real line. And yes they have a natural order.

Proof:
1) |Q|=|N|.
2) p/q < r/s :<=> ps < rq
Q.E.D.
Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine Rechtfertigung für die These des completely scattered space, die in fünf Zeilen widerlegt ist. Siehe "The rationals in natural order on the real line are not countable", sci.math (20 & 21 Jul 2020).
Ganzhinterseher
2020-07-22 18:15:43 UTC
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Post by Mostowski Collapse
There are countably infinitely many rationals on
the real line. And yes they have a natural order.
1) |Q|=|N|.
Man kann sogar die nach Größe wohlgeordnete Menge aller Brüche konstruieren.

Die Frage, durch welche Umformungen einer wohlgeordneten Menge ihre Anzahl geändert wird, durch welche nicht, läßt sich einfach so beantworten, daß diejenigen und nur diejenigen Umformungen die Anzahl ungeändert lassen, welche sich zurückführen lassen auf eine endliche oder unendliche Menge von Transpositionen, d. h. von Vertauschungen je zweier Elemente. (Cantor)

Wer in diesen Unsinn gern wohlgefällig eintaucht, sollte das auch konsequent tun. Also auf auf und frisch ans Werk!

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-22 19:52:22 UTC
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Nö, Q ist nicht wohlgeordnet via 2).
Sogar Z ist nicht wohlgeordnet via < .
Post by Ganzhinterseher
Post by Mostowski Collapse
There are countably infinitely many rationals on
the real line. And yes they have a natural order.
1) |Q|=|N|.
2) p/q < r/s :<=> ps < rq
Man kann sogar die nach Größe wohlgeordnete Menge aller Brüche konstruieren.
Ganzhinterseher
2020-07-22 11:12:07 UTC
Antworten
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Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Post by Ralf Bader
Dabei ist
es gleichgültig, ob aktual oder potentiell abzählbar unendlich, und
auch, ob Sie zu blöde sind, das zu kapieren.
Wer nur die Primzahlen erwähnt, vergisst viele natürliche Zahlen. Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen Mengen ungleich viele indiziert, irrt. Genau das tut Cantor (zumindest) in den höheren Intervallen, aber höchstwahrscheinlich auch im ersten.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-22 14:47:44 UTC
Antworten
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Post by Ganzhinterseher
denn der erfordert den Glauben der Gläubigen und könnte wie jeder
Irrglaube durch klare Analyse Schaden leiden.
1% von abzählbar unendlich ist immer noch abzählbar unendlich.
Aber von jedem hundert fehlen 99. Und das ist unverhandelbar.
Stimmt. Verhandelbar ist daran gar nichts, es ist unverhandelbarer Unfug.
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Dabei ist
es gleichgültig, ob aktual oder potentiell abzählbar unendlich, und
auch, ob Sie zu blöde sind, das zu kapieren.
Wer nur die Primzahlen erwähnt, vergisst viele natürliche Zahlen.
Eine unendliche Menge kann gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teilmengen
sein. Das ist eine eindeutige Charakterisierung der Eigenschaft "Unendlich-
keit". Das hat auch Dedeking erkannt und so den Begriff der "Dedekind-
Unendlichkeit" geschaffen, der mit anderen Definitionen von Unendlichkeit
letztendlich uebereinstimmt, wie wir heute wissen. Wenn SIE zu beschraenkt
sind, um die "Dedekind-Unendlichkeit" zu begreifen, ist das allein IHR
Pronblkem aber keineswegs eine Widerlegung von irgend etwas.
Post by Ganzhinterseher
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
In jedem endlichen Teilintervall der Indexmenge trifft IHR Argument zu, in
der gesamten *UNENDLICHEN* Indexmenge jedoch *nicht*. Das liegt daran, dass
die (hier *wichtige*) Eigenschaft der "Dedekind-Unendlichkeit" bei endlichen
Mengen eben *NIEMALS* gegeben ist, bei UNENDLICHEN Mengen jedoch *IMMER*.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltungb.de)
Ganzhinterseher
2020-07-22 18:12:35 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
In jedem endlichen Teilintervall der Indexmenge trifft IHR Argument zu, in
der gesamten *UNENDLICHEN* Indexmenge jedoch *nicht*.
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-23 05:42:28 UTC
Antworten
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
In jedem endlichen Teilintervall der Indexmenge trifft IHR Argument zu, in
der gesamten *UNENDLICHEN* Indexmenge jedoch *nicht*.
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
Wenn SIE glauben, dass da ein Irttum vorliegt, dann *BEWEISEN* SIE das.
Nein, "Behauptung" und Unsinn wie "das folgt aus der Logik" sind *KEINE*
mathematisch korrekten Beweise. Beweise lassen sich auf Axiome zurueck-
fuehren. Wenn das bei IHREM Beweisversuch nicht geht, dann ist es kein
Beweis.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-23 13:22:38 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
Wenn SIE glauben, dass da ein Irttum vorliegt, dann *BEWEISEN* SIE das.
In den Intervallen (0, 1) und (100, 101) liegen genau dieselben Nachkommastellen rationaler Zahlendarstellungen vor, lediglich die Vorkommastellen unterscheiden sich.

Cantors Indizierung findet aber bis zu jedem endlichen Index n mehr als hundertmal soviele in (0, 1) wie in (100, 101). Und andere Indizes kommen nicht zur Anwendung.

Das beweist für jeden, der nicht an Wunder glaubt oder daran, dass Cantor nach allen endlichen Indizes doch noch eine Geheimwaffe hat, dass Cantor im Intervall (100, 101) unendlich viele Brüche nicht indiziert.

Gruß WM
Me
2020-07-23 21:01:59 UTC
Antworten
Permalink
Das beweist <bla>
Nein, das beweist "es" nicht.
WM
2020-07-24 12:46:55 UTC
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Post by Me
Nein, das beweist "es" nicht.
Ich beweise lediglich: Wenn alle endlichen Indizes versagen, die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen, dann versagen alle endlichen Indizes, die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen. Ist das ein falscher Schluss?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-24 15:14:20 UTC
Antworten
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Hallo,
Post by WM
Post by Me
Nein, das beweist "es" nicht.
Gar nichts. Ja, das ist so. Weil keiner IHRER klaeglichen "Beweisversuche"
kemals korrekt war. Einer der haeufigsten Fehler in IHREN Beweisversuchen
ist der "Quantorenshift", den ich bereits in einem anderen Beitrag erlaeu-
tert habe.
Post by WM
Wenn alle endlichen Indizes versagen,
Es fehlt die Definition "von "ein Index versagt".
Post by WM
die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen,
Diese Formulierungen sind voellig nichtssagend, wenn es sich um unendliche
Mengen handelt. Man kann *alle* natuerlichen Zahlen mit den durch 1000 teil-
baren Zahlen "abzaehlen", sprich man kann problemlos eine bijektive Abbildung
zwischen allen natuerlichen Zahlen und allen durch 1000 teilbaren natuerlichen
Zahlen angeben. Obwohl nach IHRER Ueberzeugung eine der beiden Mengen "1000
mal so viele Elemente" enthaelt, sind doch beide (nachweisbar) gleichmaechtig.
Post by WM
dann versagen alle endlichen Indizes,
Wenn wir die Menge der natuerlichen Zahlen als "Indexmenge" verwenden, gibt
es *nur* endliche Induzes, da *JEDE* natuerliche Zahl endlich ist (auch wenn
es unendlich viele davon gibt). Das mag IHNEN als Widerspruch erscheinen,
nur ist das eben *kein* Widerspruch, da es zu jeder (endlichen) natuerlichen
Zahl einen "Nachfolger" gibt, der wiederum eine endliche natuerliche Zahl ist,
es gibt also keine "groesste", und genau daran liegt es, dass man die oben
erwaehnte Bijektion zwischen allen natuerlichen Zahlen und allen durch 1000
teilbaren natuerlichen Zahlen hinbekommt, auch wenn letztere "anscheinend"
viel "weniger" sind.
Post by WM
die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen.
Warum? Weil Herr "von ganz hintengarnixblicker" es so fordert? Nein, da muss
gar nichts augeglichen werden.
Post by WM
Ist das ein falscher Schluss?
Ja.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
WM
2020-07-24 16:58:28 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Post by WM
Wenn alle endlichen Indizes versagen,
Es fehlt die Definition "von "ein Index versagt".
Nein, Du hast sie nur nicht verstanden. "Wenn alle endlichen Indizes versagen, das Verhältnis der nummerierten Brüche in den Intervallen auf 1 zu bringen."
Post by Juergen Ilse
Post by WM
die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen,
Diese Formulierungen sind voellig nichtssagend, wenn es sich um unendliche
Mengen handelt.
Es handelt sich um endliche Mengen. Es gibt nur endliche Anfangsabschnitte für endliche natürliche Zahlen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-27 01:47:17 UTC
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Hallo,
Post by WM
Post by Juergen Ilse
Post by WM
Wenn alle endlichen Indizes versagen,
Es fehlt die Definition "von "ein Index versagt".
Nein, Du hast sie nur nicht verstanden. "Wenn alle endlichen Indizes versagen, das Verhältnis der nummerierten Brüche in den Intervallen auf 1 zu bringen."
Es fehlt noch immer die von mir angemahnte Definition. Aber SIE wissen ja
noch nicht einmal, was eine mathematishe Deffinition ist, geschweige denn,
dss SIE eine korrekt formulieren koennten ...
Post by WM
Post by Juergen Ilse
Post by WM
die Indexmenge in beiden Intervallen auszugleichen,
Diese Formulierungen sind voellig nichtssagend, wenn es sich um unendliche
Mengen handelt.
Es handelt sich um endliche Mengen. Es gibt nur endliche Anfangsabschnitte für endliche natürliche Zahlen.
In der Cantorschen Abbildung (von der war doch *eigentlich* hier im Thread
die rede, oder?) ist von ienr Abbildung von der unendlichen Menge der
natuerlichen Zahlen auf die unendliche Menge der rationalen Zahlen die
Rede, oder etwa nicht? Nirgends ist dabei von endlichen Mengen die Rede.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Juergen Ilse
2020-07-23 21:24:39 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Wer glaubt, alle Brüche zu indizieren, aber nachweislich in zwei gleichen
Mengen ungleich viele indiziert, irrt.
Wenn SIE glauben, dass da ein Irttum vorliegt, dann *BEWEISEN* SIE das.
In den Intervallen (0, 1) und (100, 101) liegen genau dieselben Nachkommastellen rationaler Zahlendarstellungen vor, lediglich die Vorkommastellen unterscheiden sich.
Cantors Indizierung findet aber bis zu jedem endlichen Index n mehr als hundertmal soviele in (0, 1) wie in (100, 101). Und andere Indizes kommen nicht zur Anwendung.
Das beweist
... fuer unendliche viele Indizes genau *gar* *nichts*. So ist es. Also wo ist
IHR Bewweis eines Widerspruchs? Der klaegliche Versuch dort oben ist keiner.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
WM
2020-07-24 12:44:34 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Cantors Indizierung findet aber bis zu jedem endlichen Index n mehr als hundertmal soviele in (0, 1) wie in (100, 101). Und andere Indizes kommen nicht zur Anwendung.
Das beweist
... fuer unendliche viele Indizes genau *gar* *nichts*. So ist es.
Falsch. Man wird die Mathematik der Grenzwerte, die sogenannte Analysis, nicht deswegen abschaffen, weil Du nicht in der Lage bist, mit Grenzwerten zu rechnen.

Für Dich und alle anderen Unendlichkeitsfanatiker sei es wiederholt: Alle Indizes sind endlich. Wenn alle endlichen Indizes versagen, dann versagen alle endlichen Indizes? Oder ist das zu kühn geschlossen?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-24 15:21:14 UTC
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Hallo,
Post by WM
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Cantors Indizierung findet aber bis zu jedem endlichen Index n mehr als hundertmal soviele in (0, 1) wie in (100, 101). Und andere Indizes kommen nicht zur Anwendung.
Das beweist
... fuer unendliche viele Indizes genau *gar* *nichts*. So ist es.
Falsch. Man wird die Mathematik der Grenzwerte, die sogenannte Analysis, nicht deswegen abschaffen, weil Du nicht in der Lage bist, mit Grenzwerten zu rechnen.
Es geht dabei aber nicht um Grenzwerte" sondern um eine bijektive Abbilfung.
Die "nicht Bijektivitaet" koennen Sie nicht anhand ihrer welcher fuer die
Frage der Bijektivitaet voellig irrelevanter Grenzwerte zeigen, sondern nur
dadurch, dass sie eine Verletzung der Bijektivitaet nachweisen, also entweder
einen Bruch, der bei dieser Abbildung *nicht* als Bild auftaucht (Verstoss
gegendie Surjektivitaet) oder zwei natuerliche Zahlen, die auf den selben
Bruch abgebildet werden (Verstoss gegen die Injektivitaet). Solange SIE
weder dsas eine noch das andere von diesen beiden nachweisen koennen, koennen
SIE die Bijektivitaet der Abbildung *nicht* widerlegen.
Post by WM
Für Dich und alle anderen Unendlichkeitsfanatiker sei es wiederholt: Alle
Indizes sind endlich.
Ja. Da es aber unendlich viele davon gibt, ist das voellig irrelevant.
Post by WM
Wenn alle endlichen Indizes versagen,
Was soll denn "ein Index versagt" bedeuten? Das haben SIE noch NIE definiert.
Aber mit der Erwartung einer mathematisch korrekten Definiti0on habe ich bei
IHNEN vermutlich bereits viel zu hohe Ansprueche gestellt ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Hagen Schwaß
2020-07-20 22:17:46 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Aber jemand, der glaubt, dass für alle 0 < q < 1 auch n < q + < n+1 existiert, aber in (1, oo) nur ebensoviele rationale Zahlen wie in (0, 1) existieren, und das kein Widerspruch ist, dem ist wohl alles ein wenig zu hoch.
"In der Dezimalschreibweise werden irrationale Zahlen mit einer nicht periodischen, unendlichen Anzahl von Dezimalstellen dargestellt (z. B. 0,10110111011110…), d. h., sie sind unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche. Bekannte irrationale Zahlen sind die Eulersche Zahl e und die Kreiszahl π, die darüber hinaus transzendent sind."

Das ist wieder nur Brot, nur mit dem Hinweis, dass 1/3 nicht dazu gehört, was mein Pseudocode schon lange kann, weil er bei 1/3 schnell terminiert.
Ganzhinterseher
2020-07-21 13:41:05 UTC
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Post by Hagen Schwaß
"In der Dezimalschreibweise werden irrationale Zahlen mit einer nicht periodischen, unendlichen Anzahl von Dezimalstellen dargestellt (z. B. 0,10110111011110…), d. h., sie sind unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche.
Irrationale Zahlen sind keine Brüche.

0,10110111011110… ist eine endliche Anweisung, die eine irrationale Zahle definiert. Die Zahl kann durch Brüche beliebig genau approximiert aber niemals durch eine Zifferndarstellung angegeben werden.

Gruß, WM
Me
2020-07-19 18:08:49 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir
über ihre Eigenschaften sprechen.
"Ein Beispiel einer nicht berechenbaren Zahl ist die Haltezahl. Die Haltezahl sei definiert als diejenige Binärzahl zwischen 0 und 1, deren i-te Stelle nach dem Komma angibt, ob eine Turingmaschine mit Gödelnummer i für die Eingabe i terminiert (1) oder nicht (0). Die Haltezahl ist nicht berechenbar, denn das Halteproblem ist unentscheidbar."

https://de.wikipedia.org/wiki/Berechenbare_Zahl
Ganzhinterseher
2020-07-20 07:33:23 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir
über ihre Eigenschaften sprechen.
"Ein Beispiel einer nicht berechenbaren Zahl ist die Haltezahl.
Aber Du definierst sie in wenigen Zeilen. Also gehört sie zur abzählbaren Menge der definierbaren Zahlen.

Dagegen gibt es unendlich viele undefinierbare Zahlen.

Aber das wird niemand verstehen, der Symmetrie auf der Zahlenachse nicht versteht.

Gruß, WM
Hagen Schwaß
2020-07-20 21:57:54 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Gib eine unendliche Folge ohne endlichen Algorithmus an. Dann können wir
über ihre Eigenschaften sprechen.
"Ein Beispiel einer nicht berechenbaren Zahl ist die Haltezahl.
Aber Du definierst sie in wenigen Zeilen. Also gehört sie zur abzählbaren Menge der definierbaren Zahlen.
Dagegen gibt es unendlich viele undefinierbare Zahlen.
Ein Brot ist auch eine nichtberechenbare Zahl.
Me
2020-07-19 18:01:30 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Aber es folgt nicht aus der Ziffernfolge, gegen welchen Grenzwert
[die Reihe] konvergiert.
Doch das "folgt" aus der Ziffernfolge, oder vielmehr, ist durch sie "determiniert".
Post by Ganzhinterseher
Den muss man vorher kennen,
Nein, eine Ziffernfolge bestimmt eine Zahl, ohne dass man diese "kennen" müsste. :-)

Kleiner Tipp: Es seien die 3 Zahlen a_1, a_2, a_3 e {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} gegeben. Dann ist durch a_1/10 + a_2/100 + a_3/1000 eine reelle Zahl gegeben, die durch die 3 Zahlen a_1, a_2, a_3 "eindeutig bestimmt" ist. Dem ist so, ohne dass man a_1, a_2, a_3 oder a_1/10 + a_2/100 + a_3/1000 "(vorher) kennen" müsste.
Post by Ganzhinterseher
und zwar aus einem endlichen Algorithmus.
Quark.

Hinweis: "Als berechenbare Zahl wird eine reelle Zahl bezeichnet, wenn es eine Berechnungsvorschrift gibt, die Approximationen zu jeder vorgegebenen Genauigkeit liefern kann. Insbesondere gibt es nicht-berechenbare Zahlen."

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Berechenbare_Zahl
Ganzhinterseher
2020-07-14 13:33:31 UTC
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung.
Natuerlich gibt es die,
wo denn?
Post by Juergen Ilse
auch wenn man sie nie komplett wird aufschreiben
koennen, weil sie unendlich viele Ziffern enthaelt, und keines Menschen
Lebenszeit jemls ausreichen wuerde
Damit hat es nichts zu tun. Der Grund ist einfacher: Per Definition kann man nicht fertig werden. Denn für jede Ziffer gilt: Es folgen noch unendlich viele.
Post by Juergen Ilse
Das
aendert aber nichts daran, dass diese unendliche Dezimalendarstellung
existiert. Wenn IHRE Phantasie nicht ausreicht, um das zu begreifen,
Mathematik hat mit beweisen zu tn, nicht mit phantasieren.

∀n ∈ ℕ: Mit der Ziffer d_n ist man nicht fertig.
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Bis zu jeder Ziffer ist das eine rational Zahl.
Ja, aber damit ist (egal wie viele Ziffern man bereits ufgefuehrt hat) die
Dezimalendrstellung noch nicht vollstaendig, man kann aber eine weitere
Ziffer der (existierenden) kompletten Dezimalendarstellung hinzufuegen und
damit naeher herankommen ...
Man kann dem Zahenwert näherkommen, aber fertig werden kann man nicht. Warum nimmst Du solche einfach beweisbaren Tatsachen nicht einfach zur Kenntnis, anstazz von Phantasie zu schwätzen?
Post by Juergen Ilse
IHRE saudaemliche Ansicht, eine Zahl sei nur
dann wirklich "definiert", wenn man es schafft, ihre komplette Dezimaldar-
stellung aufzuschreiben, ist so fern ab jeglicher Mathematik wie es nur
sein kann.
Richtig. Nur ist das nicht meine Ansicht. Es gibt viele Möglichkeiten, eine Zahl zu definieren. Es gibt keine Möglichkeit, eine irrationale Zahl durch Ziffern zu definieren. Das ist nicht nur meine Ansicht, sondern das ist beweisbar. Deshalb gibt es keine komplette Dezimaldarstellung irrationaler (und auch anderer) Zahlen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-14 14:15:38 UTC
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Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Es gibt keine komplette Dezimaldarstellung.
Natuerlich gibt es die,
wo denn?
In der Mathematik.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
auch wenn man sie nie komplett wird aufschreiben
koennen, weil sie unendlich viele Ziffern enthaelt, und keines Menschen
Lebenszeit jemls ausreichen wuerde
Damit hat es nichts zu tun. Der Grund ist einfacher: Per Definition kann man nicht fertig werden. Denn für jede Ziffer gilt: Es folgen noch unendlich viele.
SIE haben eine voellig falsche Vorstellung davon, was eine "Definition" in
der Mathematik eigentlich ist ...
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Das
aendert aber nichts daran, dass diese unendliche Dezimalendarstellung
existiert. Wenn IHRE Phantasie nicht ausreicht, um das zu begreifen,
Mathematik hat mit beweisen zu tn, nicht mit phantasieren.
Stimmt. Und deswegen ist der von IHNEN verbreiete Bloedsinn auch keine
Mathematik, die Existenz einer Dezimalendarstellung jeder reellen Zahl
aber schon (wobei es fuer manche Zahlen auch mehr als eine Dezimalendar-
stellung gibt, so ist z.B. 0,99999 ... (null komma neun periode) gleich 1.
Fuer die 1 gibt es also 2 unterschiedliche Dezimalendarstellungen ...
Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ: Mit der Ziffer d_n ist man nicht fertig.
Ich frage am besten gar nicht erst nach, was dieser Unsinn bedeuten soll ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Alfred Flaßhaar
2020-07-14 14:23:12 UTC
Antworten
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
(...)

Warum beschränkt ihr euch auf die Dezimaldarstellung reeller Zahlen? Ich
finde Kettenbrüche interessanter.
Juergen Ilse
2020-07-15 00:40:04 UTC
Antworten
Permalink
Hallo,
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Warum beschränkt ihr euch auf die Dezimaldarstellung reeller Zahlen?
Weil Herr "vonganzhintengarnixversteher" sich auf die "exsitenz einer
Dezimalendarstellung" als Kriterium fuer seine "Definierbarkeit von
Zahlen" eingeschossen hat. Und er ist einfach intellejtuell zubeschraenkt,
um einzusehen, dass *JEDE* reelle Zahl (mindestens) eine Dezimalendar-
stellung besitzt ...
Post by Alfred Flaßhaar
Ich finde Kettenbrüche interessanter.
Stimmt, aber WM ist ja schon mit der einfachen Dezimalendarstellung
intellektuell voellig ueberfordert ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-15 11:19:09 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Warum beschränkt ihr euch auf die Dezimaldarstellung reeller Zahlen?
Weil Herr "vonganzhintengarnixversteher" sich auf die "exsitenz einer
Dezimalendarstellung" als Kriterium fuer seine "Definierbarkeit von
Zahlen" eingeschossen hat.
Falsch. Keine Irrationalzahl ist durch eine Dezimaldarstellung definierbar.
Post by Juergen Ilse
um einzusehen, dass *JEDE* reelle Zahl (mindestens) eine Dezimalendar-
stellung besitzt ...
pi ist definiert, besitzt aber keine Zifferndarstellung.

Gruß, WM
Ralf Bader
2020-07-10 18:17:44 UTC
Antworten
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Nein.

Zunächst einmal sollte inzwischen klar sein, daß man Mückenheimschen
Zitaten nicht unbesehen glauben darf. Und wenn man sich den
Schoenfliesschen Aufsatz beschafft, was trotz des von Mückenheim
eingebauten Hindernisses in Form eines nicht funktionierenden Links
prinzipiell möglich ist, so kann man darin lesen:

OK, könnte man jetzt hier, wenn das kein pdf vom Typ Bildersammlung
wäre. Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.

Mückenheim beweist also wieder einmal, daß er zum sinnverstehenden Lesen
zu blöde ist, und die Frage, wer recht habe, ist eine dumme.
Ganzhinterseher
2020-07-10 18:34:47 UTC
Antworten
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Post by Ralf Bader
Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Richtige Induktion ist schon unendlich. Da brauchts nicht Transfinites.
Post by Ralf Bader
Mückenheim beweist also wieder einmal, daß
die Aussagen von Mathematikern, auch bei wörtlicher Wiedergabe, von verlogenen Matheologen immer noch bekrittelt werden können.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-11 15:40:34 UTC
Antworten
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Ralf Bader
Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Richtige Induktion ist schon unendlich. Da brauchts nicht Transfinites.
Die uebliche vollstaendige Induktion liefert fuer *jede* (endliche)
natuerliche Zahl eine *endliche* Folge von Schlussfolgerungen, die die
bewiesene Aussage fuer diese natuerliche Zahl beweist. Da alle natuer-
lichen Zahlen endlich sind (auch wenn es unendlich viele davon gibt),
ist damit fuer *jede* natuerliche Zahl eine endliche Folge von Schluessen
bewiesen, die die Induktionsbehauptung fuer diese natuerliche Zahl beweist.
Damnit ist die Induktionsaussage fuer alle (und damit unendlich viele)
natuerliche Zahlen bewiesen,obwohl man an keiner Stelle eine unendliche
Folge von Schlussfolgerungen benutzen musste.

Aber Herr Mueckenheim ist ja bereits mit der trivialen Vorstellung ueber-
fordert, dass es unendlich viele verschiedene endliche natuerliche Zahlen
geben koennte ... Diese Unfaehigkeit ist ja der Grund fuer sein saudaem-
liches herumkaspern mit so unsinnigen Thesen wie der von "undefierbaren
Zahlen".

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-11 16:13:44 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Aber Herr Mueckenheim ist ja bereits mit der trivialen Vorstellung ueber-
fordert, dass es unendlich viele verschiedene endliche natuerliche Zahlen
geben koennte
Im Gegenteil, ich kann beweisen, dass nicht mehr natürliche Zahlen existieren können, als natürliche Zahlen abzählen können.

(1)
(2, 1)
(3, 2, 1)
(4, 3, 2, 1)
(5, 4, 3, 2, 1)
...

In der ersten Spalte stehen von 1 bis n genau so viele Zahlen wie in der n-ten Zeile. Das gilt für alle natürlichen Zahlen n. Mehr können es nicht werden. Also kein aleph_0.

"Unendlich viele endliche" beschreibt potentielle Unendlichkeit.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-07-11 16:17:49 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Da alle natuer-
lichen Zahlen endlich sind (auch wenn es unendlich viele davon gibt),
Das gilt für die potentiell unendliche Folge.
Wenn Du aber mit "unendlich viele" aleph_0 meinst, das ∀n ∈ ℕ: aleph_0 > n erfüllt, dann müssen mindestens zwei natürliche Zahlen gleich sein.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-11 16:52:18 UTC
Antworten
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Da alle natuer-
lichen Zahlen endlich sind (auch wenn es unendlich viele davon gibt),
Das gilt für die potentiell unendliche Folge.
Nein, es gilt fuer die *MENGE* der natuerlichen Zahlen, und Mengen sind erst
einmal (bevor man explizit eine Ordnung darauf definiert hat) *ungeordnet*
und damit erst einmal *KEINE* Folgen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-07-11 17:14:05 UTC
Antworten
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und Mengen sind erst einmal (bevor man explizit eine Ordnung darauf definiert
hat) *ungeordnet* und damit erst einmal *KEINE* Folgen.
Sie sind im allgemeinen auch dann keine Folgen, wenn man eine Ordnung "auf ihnen" definiert hat. Hinweis: Folgen sind Abbildungen von IN in bzw. auf eine gewisse Menge; also im Kontext der Mengenlehre in der Regel unendliche Mengen von (bestimmten) geordneten Paaren: {(1,a_1), (2,a_2), (3,a_2), ...}.

Davon mal abgesehen, welche Folge würde wohl die geordnete Menge

{1 < 2 < 3 < ... < 0}

"repräsentieren" (können)? (Hier ist also speziell An e IN\{0}: n < 0, während < auf IN\{0} wie die gewöhnlich kleiner-Relation auf IN definiert ist.)

Auch Intervalle [a,b] c IR, a < b, (mit der gewöhnlichen auf IR definierten <-Ordnung) lassen sich wohl eher schlecht als Folgen "auffassen". :-P

Aber das nur am Rande. (Ich habe es nur erwähnt, weil Mückenheim gerne den Unsinn verbreitet, dass "Folgen" das selbe wären, wie "geordnete Mengen". (Auch daran kann man erkennen, dass er offenbar noch nie in modernes/aktuelles Lehrbuch der Mengenlehre gelesen hat.)
Juergen Ilse
2020-07-11 18:08:06 UTC
Antworten
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Hallo,
Post by Me
Davon mal abgesehen, welche Folge würde wohl die geordnete Menge
{1 < 2 < 3 < ... < 0}
"repräsentieren" (können)?
Danke fuer die Ergaenzung. Ja, mir war klar, dass eine Menge mit einer darauf
definierten Ordnung nicht zwingend eine Folge repraesentiert. Ich wollte das
an der Stelle nicht so weit auswalzen ...
Post by Me
Aber das nur am Rande. (Ich habe es nur erwähnt, weil Mückenheim gerne den Unsinn verbreitet, dass "Folgen" das selbe wären, wie "geordnete Mengen".
Ja, ich weiss, dass das nicht so ist. Deshalb nochmal danke fuer deine
Ergaenzung.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Me
2020-07-11 23:49:47 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Post by Me
Davon mal abgesehen, welche Folge würde wohl die geordnete Menge
{1 < 2 < 3 < ... < 0}
"repräsentieren" (können)?
Danke fuer die Ergaenzung. Ja, mir war klar, dass eine Menge mit einer darauf
definierten Ordnung nicht zwingend eine Folge repraesentiert. Ich wollte das
an der Stelle nicht so weit auswalzen ...
Schon klar. Mückenheim hat aber in sci.math einen Thread losgetreten und am Leben erhalten, indem er (von Anfang an) nicht sauber zwischen geordneten Mengen und Folgen unterschieden hat. Als das schließlich (von seinen Diskussionspartnern) klar und deutlich herausgearbeitet worden war (nach gefühlten 1000 Postings), blieb ihm nur noch der Rückzug auf die Behauptung, dass (manche) Folgen geordnete Mengen wären.
Dass diese Behauptung im Kontext der heutigen/modernen Mengenlehre schlicht und einfach FALSCH ist, ficht einen Mückenheim natürlich nicht an. (Immerhin kam danach dieser Thread dann aber auch einmal zu einem Ende.)

Es ist schade, dass (hier in dieser NG) kaum mehr über mathematische Fragen/Themen diskutiert wird. Das Medium Usenet hat sich wohl wirklich überlebt.

(Immerhin habe ich auf meine Frage neulich doch einige hilfreiche Antworten erhalten, die es mir letztlich ermöglicht haben, das "Problem" - eine Aufgabe aus einem Lehrbuch - zu lösen.)
Ganzhinterseher
2020-07-12 14:27:29 UTC
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Post by Me
Aber das nur am Rande. (Ich habe es nur erwähnt, weil Mückenheim gerne den Unsinn verbreitet, dass "Folgen" das selbe wären, wie "geordnete Mengen".
Alle Folgen ohne Wiederholungsterme sind geordnete Mengen.

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-07-12 22:00:08 UTC
Antworten
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Aber das nur am Rande. (Ich habe es nur erwähnt, weil Mückenheim gerne den Unsinn verbreitet, dass "Folgen" das selbe wären, wie "geordnete Mengen".
Alle Folgen ohne Wiederholungsterme sind geordnete Mengen.
Das ist nicht korrekt, aber selbst wenn es korrekt waere, were das Gegenteil
noch lange nicht richtig ... Es gibt einen erheblichen Unterschied zwischen
Mengen und Folgen, und das selbst dann, wenn man bei der Menge noch eine
Ordnungsrelation hinzufuegt. Eine Folge ist keine Menge sondern eine Ab-
bildung der natuerlichen Zahlen auf eine andere Menge.

Eine Menge ist selbst dann, wenn man noch eine Ordnungsrelation hinzufuegt,
noch keine Abbildung der natuerlichen Zahlen auf diese Menge.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-07-13 13:07:25 UTC
Antworten
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Aber das nur am Rande. (Ich habe es nur erwähnt, weil Mückenheim gerne den Unsinn verbreitet, dass "Folgen" das selbe wären, wie "geordnete Mengen".
Alle Folgen ohne Wiederholungsterme sind geordnete Mengen.
Das ist nicht korrekt,
Laut Cantor ist es korrekt. Wenn ein paar hirnarme Erbsenzähler das Gegenteil behaupten, ist das belanglos. Merke: Es ist besser Perlen zu streuen als Erbsen zu zählen.
Post by Juergen Ilse
aber selbst wenn es korrekt waere, were das Gegenteil
noch lange nicht richtig ...
Du meinst die Umkehrung? Ja, die ist wie meistens nicht richtig.

Aber Cantors Behauptung ist richtig: Hier siehst Du die Terme einer Folge

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ...

und gleichzeitig die Elemente einer geordneten Menge.

Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-07-12 14:25:37 UTC
Antworten
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Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Da alle natuer-
lichen Zahlen endlich sind (auch wenn es unendlich viele davon gibt),
Das gilt für die potentiell unendliche Folge.
Nein, es gilt fuer die *MENGE* der natuerlichen Zahlen, und Mengen sind erst
einmal (bevor man explizit eine Ordnung darauf definiert hat) *ungeordnet*
Die natürlichen Zahlen bilden eine Folge. Die Mengenlehre kam erst viel später und wird auch viel früher wieder gehen, da sie nur auf Dummheit und Betrug aufgebaut ist.

Cantor's diagonal proof engages us in an endless, potentially infinite and quite senseless paradoxical "game of two honest tricksters". [A.A. Zenkin: "Logic of actual infinity and G. Cantor's diagonal proof of the uncountability of the continuum", Review of Modern Logic 9 (2004) p. 28]

Cantor's 'paradise' as well as all modern axiomatic set theory {{AST}} is based on the (self-contradictory) concept of actual infinity. Cantor emphasized plainly and constantly that all transfinite objects of his set theory are based on the actual infinity. Modern AST-people try to persuade us to believe that the AST does not use actual infinity. It is an intentional and blatant lie, since if infinite sets,  {{the real numbers of the unit interval}} and , are potential, then the uncountability of the continuum becomes unprovable, but without the notorious uncountability of continuum the modern AST as a whole transforms into a long twaddle about nothing and really is a pathological incident in history of mathematics from which future generations will be horrified. [A. Zenkin, letter to D. Zeilberger (20 Dec 2005)]

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-07-12 16:33:10 UTC
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Hallo,

ich verstehe es einfach nicht, warum von anderen Lehrbüchern
zitiert wird, wohlgleich aber manche Leute der Meinung sind,
dass sie ein Allheilmittel gefunden haben, oder Lücken, oder
Falsche Aussagen gefunden zu Haben, ohne dabei selbst einen
Beweis gebracht zu Haben, das der Buchschreiber doch etwas
mißverständlichen Text produziert hat.

Es kann ja sein, das die Einen oder Anderen wegweisenden
Sätze und Behauptungen im Laufe der Zeit doch etwas an ihrer
Richtigkeit verloren haben oder zumindest von damaligen Wissen
Neues Wissen hinzu fügen bzw. zu aktualisieren.

Jens
Me
2020-07-10 19:38:33 UTC
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Post by Ralf Bader
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Nein.
Zunächst einmal sollte inzwischen klar sein, daß man Mückenheimschen
Zitaten nicht unbesehen glauben darf. Und wenn man sich den
Schoenfliesschen Aufsatz beschafft, was trotz des von Mückenheim
eingebauten Hindernisses in Form eines nicht funktionierenden Links
OK, könnte man jetzt hier, wenn das kein pdf vom Typ Bildersammlung
wäre. Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Alles klar, danke für den Hinweis. Ich bleibe aber bei meiner Aussage, dass Schoenflies' Behauptung "wörtlich genommen" falsch ist. Wenn er etwas anderes MEINTE als er SAGTE, ist das etwas anderes. Aber wie schon angedeutet, kann man ohnehin nur schwer etwas zu "unendlichen Schlussketten" etc. sagen, wenn noch nicht einmal klar ist welches "logisches System" hier (1906) "angenommen werden muss". (Nochmal der Hinweis: "The logical systems within which Frege, Schröder, Russell, Zermelo and other early mathematical logicians worked were all higher-order. [...] Proofs were sometimes allowed to be infinite and infinitely long expressions were allowed in the languages that were used.")

Ganz unter uns: Das Schöne an der "Induktion" (gleich ob transfinit oder nicht) ist doch, dass GERADE NICHT mit "unendlichen Schlussketten" "operiert" werden muss. :-P

Solltest Du in Bezug auf diese Frage(n) eine andere Auffassung vertreten, so soll es mir Recht sein - wir brauchen das angesichts des nichtigen Anlasses hier wirklich nicht weiter zu vertiefen.
Post by Ralf Bader
Mückenheim beweist also wieder einmal, daß er zum sinnverstehenden Lesen
zu blöde ist, und die Frage, wer recht habe, ist eine dumme.
Da sind wir durchaus einer Meinung.

Fest steht jedenfalls, dass in der _modernen axiomaschen Mengenlehre_ formale BEWEISE aus ENDLICH VIELEN (endlich langen) Aussagen bestehen (üblicherweise im Rahmen der FOPL mi oder ohne Identität).

Insofern ist Mückenheims Frage nicht nur dumm, sondern auch irrelevant.
Ganzhinterseher
2020-07-10 19:50:48 UTC
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Post by Me
Post by Ralf Bader
Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Ganz unter uns: Das Schöne an der "Induktion" (gleich ob transfinit oder nicht) ist doch, dass GERADE NICHT mit "unendlichen Schlussketten" "operiert" werden muss.
Jedenfalls hat das nicht mit Cantor angefangen. Induktion ist genau so endlich oder unendlich wie transfinite Induktion: Schoenflies sagt aber: "Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten;"

Deswegen ist Bader nicht nur persönlich ungehobelt, was verzeihlich ist, sondern leider auch dumm, was unverzeihlich ist.

Gruß, WM
Mostowski Collapse
2020-07-10 22:22:49 UTC
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Ihr Theologischer Unsinn hat schon einmal Mathematik
ausgelöscht. Mit den Römischen Christen hat auch die
Griechische Mathematik aufgehört.

Es sieht ziemlich leer aus hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Roman_mathematics

Das einzige was die Römer gut konnten, war Erbsen zählen:

Roman abacus
https://en.wikipedia.org/wiki/Roman_abacus
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ralf Bader
Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Ganz unter uns: Das Schöne an der "Induktion" (gleich ob transfinit oder nicht) ist doch, dass GERADE NICHT mit "unendlichen Schlussketten" "operiert" werden muss.
Jedenfalls hat das nicht mit Cantor angefangen. Induktion ist genau so endlich oder unendlich wie transfinite Induktion: Schoenflies sagt aber: "Seit Cantor aber operieren die Mathematiker mit unendlichen Ketten;"
Deswegen ist Bader nicht nur persönlich ungehobelt, was verzeihlich ist, sondern leider auch dumm, was unverzeihlich ist.
Gruß, WM
Ganzhinterseher
2020-07-11 16:23:25 UTC
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Post by Mostowski Collapse
Ihr Theologischer Unsinn hat schon einmal Mathematik
ausgelöscht. Mit den Römischen Christen hat auch die
Griechische Mathematik aufgehört.
Und dann nochmal mit der Cantorschen Mengenlehre.

Gesetzmäßigkeit der ganzen Zahlen eine viel stärkere zu sein scheint
als die der Sinnenwelt. Und daß es sich so verhält, hat einen
einzigen, sehr einfachen Grund, nämlich diesen, daß die ganzen Zahlen
sowohl getrennt wie auch in ihrer actual unendlichen Totalität als
ewige Ideen in intellectu Divino im höchsten Grade der Realität
existiren. Ich habe einen dem Ihrigen ähnlichen Gedanken im Jahre 1869
in meiner Habilitationsschrift „De transformatione formarum
ternariarum quadraticarum (Halis Saxonum typis Hendeliis)
ausgesprochen. Von den drei Thesen, welche ich bei dieser Gelegenheit
öffentlich vertheidigte, heißt die dritte wörtlich wie folgt: „Numeros
integros simili modo atque corpora coelestia totum quoddam legibus et
relationibus compositum efficere."
Viel später habe ich gesehen, daß im wesentlichen derselbe Gedanke
vom heil. Augustin in dem Werke De civitate Dei, lib. XII, cap. 19
(contra eos, qui dicunt ea, quae infinita sunt, nec Dei posse scientia
comprehendi) vorkommt. Ich habe dieses ganze Capitel aus dem
wundervollen Werke des heil. Kirchenvaters in einer Note meiner
Schrift „Zur Lehre vom Transfiniten", Halle 1890, pag. 42 abgedruckt.
[Cantor an Hermite, 30. 11. 1895]

Gruß, WM
Me
2020-07-10 21:59:44 UTC
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Post by Me
Post by Ralf Bader
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Die Logiker haben bisher nur mit solchen Ketten operiert, die aus
einer endlichen Zahl von Schlüssen bestehen. Seit Cantor aber
"Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", 1906]
Zweifelsohne ist diese Behauptung _wörtlich genommen_ falsch.
Nein.
Zunächst einmal sollte inzwischen klar sein, daß man Mückenheimschen
Zitaten nicht unbesehen glauben darf. Und wenn man sich den
Schoenfliesschen Aufsatz beschafft, was trotz des von Mückenheim
eingebauten Hindernisses in Form eines nicht funktionierenden Links
OK, könnte man jetzt hier, wenn das kein pdf vom Typ Bildersammlung
wäre. Jedenfalls bezieht sich Schoenflies da auf Induktionsbeweise, und
seine unendlichen Ketten sind Beweise mit transfiniter Induktion.
Alles klar, danke für den Hinweis. Ich bleibe aber bei meiner Aussage, dass
Schoenflies' Behauptung "wörtlich genommen" falsch ist. Wenn er etwas anderes
MEINTE als er SAGTE, ist das etwas anderes.
Nachtragen möchte ich noch, dass ich damit keinesfalls ausschließen will, dass Schoenflies seine Aussage genau so gemeint hat, wie Du es erklärt hast, Ralf.

Mückenheims Frage, wer Recht habe, ist aber so oder so dumm bzw. aus heutiger Sicht reichlich irrelevant.

Auch wenn man ihm es schon des Öfteren gesagt hat, scheint er immer noch nicht begriffen zu haben, dass die Mengenlehre heute in einem ganz anderen "Rahmen" betrieben wird als "seinerzeit" z. B. von Cantor (und/oder Dedekind), aber auch noch von Schoenflies.

Die Lektüre eines einschlägigen modernen Lehrbuchs könnte da hilfreich sein, z. B. "Einführung in die Mengenlehre" von Heinz-Dieter Ebbinghaus.
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