Discussion:
Wieder mal: Ziehen ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge in der gezogen wurde...
(zu alt für eine Antwort)
e***@web.de
2020-10-14 18:46:29 UTC
Permalink
Hallo,

ich stehe gerade auf dem Schlauch und möchte mich vergewissern:

Aus den natürlichen Zahlen von 1 bis 49 sollen Zusammenstellungen
von sechs verschiedenen Zahlen gezogen werden. (Ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden.)

Es sind also (49 über 6) verschiedene Zusammenstellungen an
Zahlen, die dabei erhalten werden können.

Um diese sechs Zahlen zu ziehen wird folgendes Verfahren
angewandt:

Aus den 49! möglichen Permutationen, die man mit den Zahlen
von 1 bis 49 bilden kann, wird eine Permutation zufällig
ausgewählt mittels eines Verfahrens, bei dem für alle
Permutationen das Ausgewähltwerden gleich wahrscheinlich
ist.

Die ersten sechs Elemente der zufällig ausgewählten
Permutation bilden die Menge der gezogenen sechs Zahlen.

Meine Frage ist:

Ist bei diesem Verfahren für alle (49 über 6) verschiedenen
möglichen Zusammenstellungen gleich wahrscheinlich, dass
sie gezogen werden?

(Falls ja, könnte man zB einen Fisher-Yates-Shuffle über 49
Elemente durchführen und abbrechen sobald man sechs Elemente
hat.)

Mit bestem Dank und freundlichem Gruß

Ulrich
Ulrich Diez
2020-10-14 19:09:25 UTC
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Ich hatte meine Frage wohl etwas seltsam formuliert und
versuche es mit Umformulieren:

------------------------------------------------------------------------

Hallo,

ich stehe gerade auf dem Schlauch und möchte mich vergewissern:

Aus den natürlichen Zahlen von 1 bis 49 soll eine Zusammenstellung
an sechs verschiedenen Zahlen gezogen werden. (Ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden.)

Für diese Zusammenstellung gibt es also (49 über 6) verschiedene
Möglichkeiten.

Um diese sechs Zahlen zu ziehen wird folgendes Verfahren
angewandt:

Aus den 49! möglichen Permutationen, die man mit den Zahlen
von 1 bis 49 bilden kann, wird eine Permutation zufällig
ausgewählt mittels eines Verfahrens, bei dem für alle
Permutationen das Ausgewähltwerden gleich wahrscheinlich
ist.

Die ersten sechs Elemente der zufällig ausgewählten
Permutation bilden die Zusammenstellung der gezogenen
sechs Zahlen.

Meine Frage ist:

Ist bei diesem Verfahren für alle (49 über 6) verschiedenen
Möglichkeiten gleich wahrscheinlich, dass sie sich in der
gezogenen Zusammenstellung realisieren?

(Falls ja, könnte man zB einen Fisher-Yates-Shuffle über 49
Elemente durchführen und abbrechen sobald man sechs Elemente
hat.)

Mit bestem Dank und freundlichem Gruß

Ulrich
Stephan Gerlach
2020-10-14 23:36:33 UTC
Permalink
Post by e***@web.de
Hallo,
Aus den natürlichen Zahlen von 1 bis 49 sollen Zusammenstellungen
von sechs verschiedenen Zahlen gezogen werden. (Ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge, in der die Zahlen gezogen werden.)
Es sind also (49 über 6) verschiedene Zusammenstellungen an
Zahlen, die dabei erhalten werden können.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß man eine dieser Zusammenstellungen
(häufig "Kombination" genannt) zufällig wählt, beträgt

P(bestimmte Kombination) = 1/(49 über 6)

Wobei das Auswählen hier üblicherweise erfolgt nach dem Schema
"wähle 6-mal eine Zahl, die danach nicht nochmal gewählt werden kann,
und interessiere dich am Ende nicht für die Reihenfolge, in der die
Zahlen gezogen wurden".

D.h. es kann als 6-stufiger Zufallsversuch aufgefaßt werden.
Post by e***@web.de
Um diese sechs Zahlen zu ziehen wird folgendes Verfahren
Aus den 49! möglichen Permutationen, die man mit den Zahlen
von 1 bis 49 bilden kann, wird eine Permutation zufällig
ausgewählt mittels eines Verfahrens, bei dem für alle
Permutationen das Ausgewähltwerden gleich wahrscheinlich
ist.
Die ersten sechs Elemente der zufällig ausgewählten
Permutation bilden die Menge der gezogenen sechs Zahlen.
Ist bei diesem Verfahren für alle (49 über 6) verschiedenen
möglichen Zusammenstellungen gleich wahrscheinlich, dass
sie gezogen werden?
Du änderst ja nur das Auswahlverfahren; die Anzahl der Möglichkeiten
bleibt aber trotzdem gleich; ebenso gibt es überhaupt keinen Grund,
warum eine Kombination gegenüber einer anderen "bevorzugt" wird;
insofern: Ja.

Man kann es (JFTR) dennoch bezugnehmend auf deine Auswahl-Methode
"beweisen":

Wir wollen für eine bestimmte Kombination, z.b.
(1, 13, 14, 25, 31, 36)
die Wahrscheinlichkeit berechnen, daß diese mit der "neuen" Methode
gezogen wird.

Dazu benutzen wir LAPLACE gemäß

P(eine bestimmte Kombination)
= (Anzahl aller günstigen Fälle)/(Anzahl aller möglichen Fälle)

Die "möglichen Fälle" sind hier alle Permutationen der 49 Zahlen, das
sind 49! Stück.

Wieviele davon sind günstig?
Die ersten 6 Zahlen der Permutation stehen bereits fest, die aber
untereinander getauscht werden können, z.B. könnte da statt
(1, 13, 14, 25, 31, 36)
auch
(14, 13, 25, 1, 36, 31)
stehen. Dafür gibt es 6! Möglichkeiten.
Die letzten 43 Zahlen der Permutation stehen aber auch fest; das sind
alle Zahlen außer 1, 13, 14, 25, 31, 36. Für diese 43 Zahlen gibt es 43!
Möglichkeiten. In Kombination gibt es 6!*43! günstige Fälle.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist
P(1,13,14,25,31,36) = 6!*43! / 49!

Bei genauer Betrachtung stellt sich "überraschendeweise" heraus, daß das
ebenfalls 1/(49 über 6) ist.
--
Post by e***@web.de
Eigentlich sollte Brain 1.0 laufen.
gut, dann werde ich mir das morgen mal besorgen...
(...Dialog aus m.p.d.g.w.a.)
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