Discussion:
Erwartungswerte für sortierte Ergebnisse?
(zu alt für eine Antwort)
Valerian
2018-06-28 06:52:07 UTC
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Ich betrachte zunächst ein Zufallsexperiment, in dem eine faire Münze n-mal geworfen wird, und ich mich für die Anzahl der Kopf-Ergebnisse (k) interessiere.

Modellieren kann man das per Programm zum Beispiel, indem man prüft, wie viele 1-Bits in einer n-Bit-Zufallszahl enthalten sind. Die Wahrscheinlichkeit für die Antwort k ist (n über k)/2^n, denn es gibt n über k Möglichkeiten, k von n Bits zu setzen, und es gibt 2^n mit n Bit darstellbare natürliche Zahlen (mit 0).

Damit lässt sich auch ein Erwartungswert für k bestimmen, es überrascht nicht, dass der bei n/2 landet (man erwartet also, dass im Mittel etwa die Hälfte aller Münzwürfe Kopf zeigen).

So weit, so gut. Jetzt betrachte ich allerdings nicht nur ein einziges Experiment dieser Art, sondern eine Folge von r unabhängigen Experimenten, und, was wichtig ist, ich sortiere die Ergebnisse k1..kr nach Größe. k1 ist also die geringste Anzahl an Kopf-Würfen, die in meinen r Versuchen aufgetreten ist, und kr die höchste.

Ich wünsche mir nun die Erwartungswerte für die ki (i aus 1..r). Per Simulation kann man die natürlich experimentell näherungsweise bestimmen, da ich die Werte aber für unterschiedliche (nicht im Voraus bekannte) n benötige, suche ich nach einer rechnerischen Lösung.

Mir ist dazu allerdings bislang kein Ansatz eingefallen, wie ich diese Wahrscheinlichkeiten modellieren kann; wie könnte ich etwas wie "dies ist das siebtbeste (oder welches i auch immer) aufgetretene Ergebnis" als Wahrscheinlichkeitsterm ausdrücken?

Für jeden Vorschlag dankbar,

Valerian K.
a***@gmail.com
2018-06-28 12:15:25 UTC
Permalink
Post by Valerian
Ich betrachte zunächst ein Zufallsexperiment, in dem eine faire Münze n-mal geworfen wird, und ich mich für die Anzahl der Kopf-Ergebnisse (k) interessiere.
Modellieren kann man das per Programm zum Beispiel, indem man prüft, wie viele 1-Bits in einer n-Bit-Zufallszahl enthalten sind. Die Wahrscheinlichkeit für die Antwort k ist (n über k)/2^n, denn es gibt n über k Möglichkeiten, k von n Bits zu setzen, und es gibt 2^n mit n Bit darstellbare natürliche Zahlen (mit 0).
Damit lässt sich auch ein Erwartungswert für k bestimmen, es überrascht nicht, dass der bei n/2 landet (man erwartet also, dass im Mittel etwa die Hälfte aller Münzwürfe Kopf zeigen).
So weit, so gut. Jetzt betrachte ich allerdings nicht nur ein einziges Experiment dieser Art, sondern eine Folge von r unabhängigen Experimenten, und, was wichtig ist, ich sortiere die Ergebnisse k1..kr nach Größe. k1 ist also die geringste Anzahl an Kopf-Würfen, die in meinen r Versuchen aufgetreten ist, und kr die höchste.
Ich wünsche mir nun die Erwartungswerte für die ki (i aus 1..r). Per Simulation kann man die natürlich experimentell näherungsweise bestimmen, da ich die Werte aber für unterschiedliche (nicht im Voraus bekannte) n benötige, suche ich nach einer rechnerischen Lösung.
Mir ist dazu allerdings bislang kein Ansatz eingefallen, wie ich diese Wahrscheinlichkeiten modellieren kann; wie könnte ich etwas wie "dies ist das siebtbeste (oder welches i auch immer) aufgetretene Ergebnis" als Wahrscheinlichkeitsterm ausdrücken?
Für jeden Vorschlag dankbar,
Valerian K.
Hallo Valerian,

das Stichwort dazu heißt "Ordnungsstatistiken".
Wenn du die Verteilung eines Einzelereignisses kennst, kannst du damit bestimmen, wie die Verteilung des maximalen, minimalen bzw. k-größten Elementes von n gezogenen aussieht. (Details können allerdings kompliziert werden.)
https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsstatistik

LG
Alfred

LG
Alfred

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