Ganzhinterseher
2020-12-03 18:33:09 UTC
Wir fragen zweitens, ob es Mengen gibt, die sich selbst als Element enthalten. Dies ist unmöglich. Jeder Versuch, eine Menge dieser Art zu bilden oder vorzustellen, muß scheitern. Es genügt in dieser Hinsicht, auf die im Mengenbegriff steckenden Grundeigenschaften hinzuweisen. Als solche sind anzuführen:
1. Die Menge ist verschieden von jeder ihrer Teilmengen, insbesondere von jedem ihrer Elemente.
2. Wenn irgendwelche Elemente zu einer Menge zusammengefaßt werden, so bleiben sie sozusagen begrifflich invariant.
Die Menge repräsentiert daher einen neuen Begriff, der zu den einzelnen Begriffen, die die Menge konstituieren, noch hinzukommt. Deshalb kann es Mengen, die sich selbst als Element enthalten, nicht geben.
Die Russelsche Menge M aller Mengen m, die sich selbst nicht als Element enthalten, ist daher nichts anderes, als die „Menge aller Mengen“.
[A. Schönflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht DMV 15 (1906) 19-25]
Die Menge aller nicht roten Zipfelmützen ist selbst keine Zipfelmütze und gewiss keine rote Zipfelmütze. Ist sie Element von sich selbst? Hier spielt die Interpretation eine Rolle. Ist "nicht (rote Zipfelmütze)" gemeint? Oder ist "(nicht rote) Zipfelmütze" gemeint? Die Menge "von allem, außer rotbezipfelten Mützen" enthält sich selbst. Das ist jedoch lediglich ein Problem der Logik, kein Problem des Transfiniten, das hier ja gar nicht vorkommt, denn obiges "alles" ist endlich, weil überhaupt alles endlich ist. Und daraus ergibt sich bereits die Lösung.
Die Menge aller denkbaren Gedanken ist selbst ein denkbarer Gedanke: Er erhöht die Anzahl der Elemente der Menge aller denkbaren Gedanken, wenn dieser Gedankenmenge das nächste Mal gedacht wird. (Wohltemporierte Mathematik, wie man sie schon aus ZFC kennt.)
Die Menge {{{...{{{1}}}...}}} würde sich selbst enthalten, wenn sie aktual unendlich viele Klammern besäße, wenn man bis ω zählen könnte, wenn man die Summe 1/2n bis 1 addieren könnte. Allein man kann es nicht.
Die Welt ist endlich. [Clemens, der Ire, in Thomas Mann: "Der Erwählte", Fischer, Frankfurt (1975) p. 199 (weiter oben)]
Gruß, WM
1. Die Menge ist verschieden von jeder ihrer Teilmengen, insbesondere von jedem ihrer Elemente.
2. Wenn irgendwelche Elemente zu einer Menge zusammengefaßt werden, so bleiben sie sozusagen begrifflich invariant.
Die Menge repräsentiert daher einen neuen Begriff, der zu den einzelnen Begriffen, die die Menge konstituieren, noch hinzukommt. Deshalb kann es Mengen, die sich selbst als Element enthalten, nicht geben.
Die Russelsche Menge M aller Mengen m, die sich selbst nicht als Element enthalten, ist daher nichts anderes, als die „Menge aller Mengen“.
[A. Schönflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht DMV 15 (1906) 19-25]
Die Menge aller nicht roten Zipfelmützen ist selbst keine Zipfelmütze und gewiss keine rote Zipfelmütze. Ist sie Element von sich selbst? Hier spielt die Interpretation eine Rolle. Ist "nicht (rote Zipfelmütze)" gemeint? Oder ist "(nicht rote) Zipfelmütze" gemeint? Die Menge "von allem, außer rotbezipfelten Mützen" enthält sich selbst. Das ist jedoch lediglich ein Problem der Logik, kein Problem des Transfiniten, das hier ja gar nicht vorkommt, denn obiges "alles" ist endlich, weil überhaupt alles endlich ist. Und daraus ergibt sich bereits die Lösung.
Die Menge aller denkbaren Gedanken ist selbst ein denkbarer Gedanke: Er erhöht die Anzahl der Elemente der Menge aller denkbaren Gedanken, wenn dieser Gedankenmenge das nächste Mal gedacht wird. (Wohltemporierte Mathematik, wie man sie schon aus ZFC kennt.)
Die Menge {{{...{{{1}}}...}}} würde sich selbst enthalten, wenn sie aktual unendlich viele Klammern besäße, wenn man bis ω zählen könnte, wenn man die Summe 1/2n bis 1 addieren könnte. Allein man kann es nicht.
Die Welt ist endlich. [Clemens, der Ire, in Thomas Mann: "Der Erwählte", Fischer, Frankfurt (1975) p. 199 (weiter oben)]
Gruß, WM