Discussion:
Einladung zum Projekt "Umkehrfunktionen in geschlossenen Ausdrücken"
(zu alt für eine Antwort)
IV
2018-04-29 12:41:03 UTC
Permalink
Hallo,

Liouville und Ritt haben die Klasse der Elementaren Funktionen
(https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_function) definiert und
beschrieben als "The elementary functions are understood here to be those
which are obtained in a finite number of steps by performing algebraic
operations and taking exponentials and logarithms". Man kann das auch über
einen Differentialkörper beschreiben.

Der Artikel Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
gibt einen Struktursatz dafür, wie eine bijektive elementare Funktion
aufgebaut sein muß, wenn ihre Umkehrfunktion ebenfalls eine elementare
Funktion ist. Meiner Einschätzung nach läßt sich dieser Satz auch auf lokale
Umkehrfunktionen und auf die Auflösbarkeit von Gleichungen durch Umformung
durch Anwenden elementarer Funktionen anwenden.

Liouville stellt die Elementaren Funktionen als verallgemeinerte Komposition
(https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition#Multivariate_functions)
einer endlichen Anzahl von exp, ln und/oder (expliziten oder impliziten)
algebraischen Funktionen dar. Ich sehe Potential in dieser Methode von
Liouville, Funktionenklassen systematisch aufzubauen und diese dadurch
allgemein handhabbar zu machen. Deshalb möchte ich, daß folgende
Funktionenklasse entsprechend behandelt und auf die Möglichkeit von
Umkehrfunktionen in dieser Funktionenklasse untersucht wird. Dieses
Entscheidbarkeitsproblem der Existenz von Umkehrfunktionen aus einer
gegebenen Funktionenklasse wäre dann auf demselben Entwicklungsstand wie
Liouvilles Entscheidbarkeitsproblem der Existenz von Integralen aus einer
gegebenen Funktionenklasse ("Integration in finite terms"), der ja
bekanntlich in Liouvilles Satz
(https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra))
mündet.
Standardfunktionenbasierte Funktionen: Funktionenklassen, die aus der
Funktionenklasse der Elementaren Funktionen (dem Körper der Elementaren
Funktionen, dem Differentialkörper der Elementaren Funktionen) durch
Adjunktion weiterer benannter Funktionen (Standardfunktionen, z. B.
Spezielle Funktionen) und/oder durch Ersatz von exp und/oder ln durch andere
benannte Funktionen entsteht.

Leider bin ich kein Mathematiker, sondern ein mit Funktionentheorie nicht
vertrauter Naturwissenschaftler mit wissenschaftlich-technischem Fachgebiet
und computerwissenschaftlich-informatischer Spezialisierung. Deshalb bin ich
auf Eure Mithilfe angewiesen und lade Euch hiermit erneut dazu ein. Deshalb
ist das Ganze sehr mühevoll und zweitaufwendig für mich.

(Es gibt Gründe, warum jemand im Internet ein Pseudonym benutzt, z. B.
braucht der Arbeitgeber nicht unbedingt wissen, was man in seiner Freizeit
so tut.)

Wäre das Einrichten einer gemeinsamen Plattform unter www.sharelatex.com
eine Option?
H0Iger SchuIz
2018-04-30 12:50:40 UTC
Permalink
Post by IV
Der Artikel Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
gibt einen Struktursatz dafür, wie eine bijektive elementare Funktion
aufgebaut sein muß, wenn ihre Umkehrfunktion ebenfalls eine elementare
Funktion ist.
Die Formulierung finde ich etwas unglücklich. Die Darstellung als
Komposition bzw. als Funktionsterm ist nicht eindeutig. Somit sagt dann
Ritts Satz eben nur, dass es eine Darstellung in einer speziellen Form
gibt. "muss aufgebaut sein" ist dann vielleicht eine zu strenge
Formulierung.

Entsprechend eingeschränkt ist die Anwendung des Satzes auf die
Ermittlung der Umkehrbarkeit. Wenn man z.B. weiß, dass es keine
Darstellung in jener Form gibt, ist die Funktion nicht umkehrbar. Dass
sie womöglich nicht in dieser Form vorliegt, besagt noch nichts.
Post by IV
Meiner Einschätzung nach läßt sich dieser Satz auch auf lokale
Umkehrfunktionen und auf die Auflösbarkeit von Gleichungen durch Umformung
durch Anwenden elementarer Funktionen anwenden.
Gibt es dazu mal ein Beispiel?

[...]
Post by IV
Existenz von Umkehrfunktionen aus einer
gegebenen Funktionenklasse wäre dann auf demselben Entwicklungsstand wie
Liouvilles Entscheidbarkeitsproblem der Existenz von Integralen
[...]

Das ist nicht leicht einzusehen. Integrierbarkeit und Umkehrbarkeit
erscheinen mir doch als recht unterschiedliche Fragen. Welcher Nexus
soll da hilfreich sein?
Post by IV
Standardfunktionenbasierte Funktionen: Funktionenklassen, die aus der
Funktionenklasse der Elementaren Funktionen (dem Körper der Elementaren
Funktionen, dem Differentialkörper der Elementaren Funktionen) durch
Adjunktion weiterer benannter Funktionen (Standardfunktionen, z. B.
Spezielle Funktionen) und/oder durch Ersatz von exp und/oder ln durch andere
benannte Funktionen entsteht.
Hier wird keine Funktionenklasse angegeben, sondern nur eine triviale
Idee, wie man eine Funktionsklasse aufbauen könnte. Dass man diese
Klasse wie die Klasse der elementaren Funktionen behandeln könne, setzte
voraus, dass die Beweise von Ritt, Liouville et. al. sich im
Wesentlichen auf die Kompositionsstruktur der Funktionen stützen, die
Eigenschaften der "Bausteine", also exp und ln, aber unbeachtlich sind.
Ist das so? Ich kenne diese Beweise nicht.

Aber auch hier könnte ich mir vorstellen, dass man zunächst eine
(einfache) Fuktionenklasse exemplarisch betrachtet, bevor man sich der
Fragen stellt, ob die Beweistechniken immer anwendbar sind. Eventuell
könnte man zunächst eine weitere Funktion als Baustein hinzunehmen und
sich dann erstmal überlegen, wie ein Analogon zu Ritts Satz zu
formulieren wäre und was sich am Beweis tut.
Post by IV
Deshalb bin ich
auf Eure Mithilfe angewiesen und lade Euch hiermit erneut dazu ein. Deshalb
ist das Ganze sehr mühevoll und zweitaufwendig für mich.
Was macht es denn mühevoll und zeitaufwendig? Die Mithilfe oder die
Einladung?

hs
IV
2018-04-30 17:28:39 UTC
Permalink
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Der Artikel Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
gibt einen Struktursatz dafür, wie eine bijektive elementare Funktion
aufgebaut sein muß, wenn ihre Umkehrfunktion ebenfalls eine elementare
Funktion ist.
Meiner Einschätzung nach läßt sich dieser Satz auch auf lokale
Umkehrfunktionen und auf die Auflösbarkeit von Gleichungen durch
Umformung durch Anwenden elementarer Funktionen anwenden.
Gibt es dazu mal ein Beispiel?
All das soll betrachtet werden wenn der Beweis von Ritts Satz verifiziert
worden ist.
Durch Einschränkung des Definitionsbereichs oder durch Auswahl einzelner
Funktionszweige dürften sich bijektive elementare Funktionen definieren
lassen.
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Deshalb möchte ich, daß folgende Funktionenklasse entsprechend behandelt
und auf die Möglichkeit von Umkehrfunktionen in dieser Funktionenklasse
untersucht wird. Dieses Entscheidbarkeitsproblem der Existenz von
Umkehrfunktionen aus einer gegebenen Funktionenklasse wäre dann auf
demselben Entwicklungsstand wie Liouvilles Entscheidbarkeitsproblem der
Existenz von Integralen aus einer gegebenen Funktionenklasse
("Integration in finite terms"), das ja
bekanntlich in Liouvilles Satz
(https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra))
mündet.
Post by H0Iger SchuIz
Das ist nicht leicht einzusehen. Integrierbarkeit und Umkehrbarkeit
erscheinen mir doch als recht unterschiedliche Fragen. Welcher Nexus soll
da hilfreich sein?
Der Satz von Liouville (
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra) )
ist ein Struktur- und Entscheidbarkeitssatz (IV) für die unbestimmte
Integration in Funktionenklassen, die als bestimmte Körper
(Differentialkörper) erzeugt werden können.
Der Satz von Ritt (Ritt 1925) ist ein Struktur- und Entscheidbarkeitssatz
(IV) für die Umkehrbarkeit in der Funktionenklasse "Elementare Funktionen".
Diese läßt sich ebenfalls als bestimmter Körper erzeugen. Meine Aussage "auf
demselben Entwicklungsstand" bezieht sich darauf, daß auch Ritts Satz von
der Funktionenklasse "Elementare Funktionen" erweitert werden kann auf
allgemeinere Funktionenklassen die sich als bestimmte Körper
(Umkehrfunktionenkörper? (IV)) erzeugen lassen. Vermutlich lassen sich
Ritt-analoge Körper (IV) auch wie elementare und Liouvillesche Körpern mit
weiteren und mit anderen Funktionen als exp und ln erzeugen.
Post by H0Iger SchuIz
Aber auch hier könnte ich mir vorstellen, dass man zunächst eine
(einfache) Fuktionenklasse exemplarisch betrachtet, bevor man sich der
Fragen stellt, ob die Beweistechniken immer anwendbar sind. Eventuell
könnte man zunächst eine weitere Funktion als Baustein hinzunehmen und
sich dann erstmal überlegen, wie ein Analogon zu Ritts Satz zu formulieren
wäre und was sich am Beweis tut.
All das soll betrachtet werden wenn der Beweis von Ritts Satz verifiziert
worden ist.
Meine zentrale Erkenntnis aus Liouvilles Ansatz ist, daß eventuell alle(?)
durch einen geschlossenen Funktionsterm darstellbaren Funktionen
(closed-form functions) eine solche Darstellung haben könnten.
H0Iger SchuIz
2018-05-01 09:57:24 UTC
Permalink
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Post by IV
Der Artikel Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9/
gibt einen Struktursatz dafür, wie eine bijektive elementare Funktion
aufgebaut sein muß, wenn ihre Umkehrfunktion ebenfalls eine elementare
Funktion ist.
Meiner Einschätzung nach läßt sich dieser Satz auch auf lokale
Umkehrfunktionen und auf die Auflösbarkeit von Gleichungen durch
Umformung durch Anwenden elementarer Funktionen anwenden.
Gibt es dazu mal ein Beispiel?
Hier hätte wohl ein simples "Nein" gereicht.
Post by IV
All das soll betrachtet werden wenn der Beweis von Ritts Satz verifiziert
worden ist.
Hm, jener Satz wurde vor knapp 100 Jahren veröffentlicht. Sollte damals
der peer review so schlampig gewesen sein, dass man diesem Satz nicht
mehr trauen kann?
Post by IV
Durch Einschränkung des Definitionsbereichs oder durch Auswahl einzelner
Funktionszweige dürften sich bijektive elementare Funktionen definieren
lassen.
Aha. Ich hätte so etwas ja mal an einem Beispiel durchgespielt.
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Das ist nicht leicht einzusehen. Integrierbarkeit und Umkehrbarkeit
erscheinen mir doch als recht unterschiedliche Fragen. Welcher Nexus soll
da hilfreich sein?
Offensichtlich gibt es da keinen.
Post by IV
Der Satz von Liouville (
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(differential_algebra) )
ist ein Struktur- und Entscheidbarkeitssatz (IV)
Was ist denn ein Struktur- und Entscheidbarkeitsatz der vierten Art?
Post by IV
Post by H0Iger SchuIz
Aber auch hier könnte ich mir vorstellen, dass man zunächst eine
(einfache) Fuktionenklasse exemplarisch betrachtet, bevor man sich der
Fragen stellt, ob die Beweistechniken immer anwendbar sind. Eventuell
könnte man zunächst eine weitere Funktion als Baustein hinzunehmen und
sich dann erstmal überlegen, wie ein Analogon zu Ritts Satz zu formulieren
wäre und was sich am Beweis tut.
All das soll betrachtet werden wenn der Beweis von Ritts Satz verifiziert
worden ist.
S.o.
Post by IV
Meine zentrale Erkenntnis aus Liouvilles Ansatz ist, daß eventuell alle(?)
durch einen geschlossenen Funktionsterm darstellbaren Funktionen
(closed-form functions) eine solche Darstellung haben könnten.
Ich weiß nicht, was hier mir Liouvilles Ansatz gemeint sein könnte.
Falls damit aber die Angaben von Funktionsmengen vermöge Komposition
gemeint sein sollte, könnte das ein Holzweg sein. Die Komposition ist
womöglich nur ein technisches Hilfsmittel zur Definition. Die Annahme,
dass sich dadurch schon die Funktionen in der betrachteten Menge
vollständig beschrieben lassen, kann ich nicht nachvollziehen. Die
Implikation, Liouville, Ritt und Co. hätten die Art und die
Eigenschaften der zur Komposition herangezogen Funktionen in ihren
Beweisen gar nicht beachtet, erscheint mir nicht unmittelbar einsichtig.

Um einzuschätzen, welche Eigenschaften welcher Funktionen denn nun
verwendet werden und wo man davon abstrahieren kann und nur die
"Struktur" betrachtet, muss man schon recht tief in die Beweise
eintauchen. Das habe ich nicht getan und habe es auch nicht vor.
Insofern kann ich auch nur spekulieren.

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