Discussion:
Gleichungsdefekt
(zu alt für eine Antwort)
Alfred Flaßhaar
2020-07-01 12:46:07 UTC
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Hallo,

aus der Funktionalanalysis ist ja bekannt, daß etliche
(Operator)-Gleichungen als Minimumaufgabe behandelt werden können. Aus
Spaß am numerischen Spielen frage ich nun, ob die Gleichung des Großen
Satzes von Fermat ebenso untersucht werden könnte. In der Literatur wird
zwar beschrieben, wie gewaltig viele Fehlversuche eines Beweises für
diesen Satz erfolgten, bis er nach 350 Jahren geglückt ist, aber im
Sinne meiner Frage fand ich nichts. Gefragt wird also:

Sei n>=3 eine feste natürliche Zahl. Gibt es zu jedem eps>0 (eps ist p.
d. Gleichungsdefekt) ein natürliches Zahlentripel (x,y,z), daß
abs(x^n+y^n-z^n)<=eps ist?

Sei {eps(n)}>0, n=1, 2, 3, ...,eine streng monotone Nullfolge. Gibt es
eine Folge natürlicher Zahlentripel/Gitterpunkte des R^n (x_n,y_n,z_n),
für die {abs(x^n+y^n-z^n)}<=eps(n), für n=1, 2, 3, ... gilt und damit
die Fermat`sche Gleichung für wachsendes n "immer besser" erfüllt wird?

Meine Fragen muten sicherlich seltsam an, mich interessieren sie aber.
Und ich kann mich an eine Funktionalanalysis-Vorlesung vor langer Zeit
erinnern, worin über Gleichungen/Optimierungsaufgaben und
Minimumaufgaben auf Gitterpunkten im R^n vorgetragen wurde, was mich
später aber nicht weiter interessierte.


Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
h***@gmail.com
2020-07-01 15:11:46 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Hallo,
aus der Funktionalanalysis ist ja bekannt, daß etliche
(Operator)-Gleichungen als Minimumaufgabe behandelt werden können. Aus
Spaß am numerischen Spielen frage ich nun, ob die Gleichung des Großen
Satzes von Fermat ebenso untersucht werden könnte. In der Literatur wird
zwar beschrieben, wie gewaltig viele Fehlversuche eines Beweises für
diesen Satz erfolgten, bis er nach 350 Jahren geglückt ist, aber im
Sei n>=3 eine feste natürliche Zahl. Gibt es zu jedem eps>0 (eps ist p.
d. Gleichungsdefekt) ein natürliches Zahlentripel (x,y,z), daß
abs(x^n+y^n-z^n)<=eps ist?
Sei {eps(n)}>0, n=1, 2, 3, ...,eine streng monotone Nullfolge. Gibt es
eine Folge natürlicher Zahlentripel/Gitterpunkte des R^n (x_n,y_n,z_n),
für die {abs(x^n+y^n-z^n)}<=eps(n), für n=1, 2, 3, ... gilt und damit
die Fermat`sche Gleichung für wachsendes n "immer besser" erfüllt wird?
??? Was sind "natürliche Zahlentripel/Gitterpunkte"? Für natürliche Zahlen x,y,z,n ist offensichtlich abs(x^n+y^n-z^n) eine natürliche Zahl, also entweder gleich null oder grösser als 1. Dazu braucht man keine Nullfolge von eps(k).
Post by Alfred Flaßhaar
Meine Fragen muten sicherlich seltsam an, mich interessieren sie aber.
Und ich kann mich an eine Funktionalanalysis-Vorlesung vor langer Zeit
erinnern, worin über Gleichungen/Optimierungsaufgaben und
Minimumaufgaben auf Gitterpunkten im R^n vorgetragen wurde, was mich
später aber nicht weiter interessierte.
Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
Alfred Flaßhaar
2020-07-01 15:55:41 UTC
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(...)
Post by h***@gmail.com
??? Was sind "natürliche Zahlentripel/Gitterpunkte"? Für natürliche Zahlen x,y,z,n ist offensichtlich abs(x^n+y^n-z^n) eine natürliche Zahl, also entweder gleich null oder grösser als 1. Dazu braucht man keine Nullfolge von eps(k).
ok, hast Recht. Dann nun konkreter:
Gibt es zu jedem eps ein delta(eps), daß für natürliche Tripel (x,y,z)
gilt abs((x+delta)^n+(y+delta)^n-(z+delta)^n))<=eps ?
Die zweite Frage ist entsprechend umzuformulieren.
Alfred Flaßhaar
2020-07-02 12:57:52 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Post by h***@gmail.com
??? Was sind "natürliche Zahlentripel/Gitterpunkte"? Für natürliche
Zahlen x,y,z,n ist offensichtlich abs(x^n+y^n-z^n) eine natürliche
Zahl, also entweder gleich null oder grösser als 1. Dazu braucht man
keine Nullfolge von eps(k).
Gibt es zu jedem eps ein delta(eps), daß für natürliche Tripel (x,y,z)
gilt abs((x+delta)^n+(y+delta)^n-(z+delta)^n))<=eps  ?
Die zweite Frage ist entsprechend umzuformulieren.
p.s.

Zur Erläuterung:

Mich interessiert allgemein, ob es Verfahren gibt, die eine gegebene
Zielfunktion auf einer Teilmenge der Gitterpunkte z. B. des R^3 (Punkte
mit ganzzahligen Koordinaten) ohne brute force zum Minimum mit/ohne
Nebenbedingungen führen. Und dann frage ich weiterhin nach Verfahren,
die diophantische Gleichungen derart "näherungsweise" im Reellen lösen,
daß bei vorgegebenem kleinen Gleichungsdefekt die "reelle" Lösung auch
vorgebbar nahe der exakten ist.
Die Fermat-Gleichung sollte nur zur Illustration dienen, was ja wohl
schief ging.

это всё.
h***@gmail.com
2020-07-02 13:15:46 UTC
Permalink
Post by Alfred Flaßhaar
Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Post by h***@gmail.com
??? Was sind "natürliche Zahlentripel/Gitterpunkte"? Für natürliche
Zahlen x,y,z,n ist offensichtlich abs(x^n+y^n-z^n) eine natürliche
Zahl, also entweder gleich null oder grösser als 1. Dazu braucht man
keine Nullfolge von eps(k).
Gibt es zu jedem eps ein delta(eps), daß für natürliche Tripel (x,y,z)
gilt abs((x+delta)^n+(y+delta)^n-(z+delta)^n))<=eps  ?
Die zweite Frage ist entsprechend umzuformulieren.
p.s.
Mich interessiert allgemein, ob es Verfahren gibt, die eine gegebene
Zielfunktion auf einer Teilmenge der Gitterpunkte z. B. des R^3 (Punkte
mit ganzzahligen Koordinaten) ohne brute force zum Minimum mit/ohne
Nebenbedingungen führen. Und dann frage ich weiterhin nach Verfahren,
die diophantische Gleichungen derart "näherungsweise" im Reellen lösen,
daß bei vorgegebenem kleinen Gleichungsdefekt die "reelle" Lösung auch
vorgebbar nahe der exakten ist.
Diskrete Optimierung is NP-hard. Also würde so etwas nur gelingen (im Allgemeinen) falls P=NP.
Wolfgang Rave
2020-07-03 06:12:25 UTC
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Post by Alfred Flaßhaar
Gibt es zu jedem eps ein delta(eps), daß für natürliche Tripel (x,y,z)
gilt abs((x+delta)^n+(y+delta)^n-(z+delta)^n))<=eps ?
Die zweite Frage ist entsprechend umzuformulieren.
Mir scheint, Alfred sucht "Near misses" für Fermat's Last Theorem. Da gibts diverses im Netz (google, wikipedia, Wolfram etc). Ich hab grad keine Zeit und muß los, deshalb nur die kurze Notiz hier.

Aber ne hübsche Frage!

Grüße, Wolfgang.

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