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Nostalgie 29
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Ganzhinterseher
2020-11-29 18:32:46 UTC
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Seit Cantor operieren die Mathematiker aber mit unendlichen Ketten; von ihm haben wir gelernt, außer dem Schluß von n auf n + 1 den von {n} auf ω, resp. von {a_n} auf {a_ω} anzuwenden, und hierin besteht eine außerordentliche Bereicherung der logischen Methoden. Allerdings ist zu beachten, daß, wenn eine unendliche Kette vorliegt, die denselben Schluß von jedem n auf das folgende n + 1 auszudehnen gestattet, die Möglichkeit des Schlusses von {n} auf ω sich keineswegs von selbst versteht, sondern jedesmal besonderer Untersuchung bedarf.
Fußnote: Der Nachweis der Zulässigkeit dieses Schlusses bildet bei vielen Cantorschen Sätzen den Hauptgegenstand des Beweises.
[A. Schönflies: "Über die logischen Paradoxien der Mengenlehre", Jahresbericht DMV 15 (1906) 19-25]

Wie macht er das nur? Aha, hier in diesem dicken Buche steht es ja verzeichnet:

Klar ist zunächst, daß auf diese Weise allen Intervallen der Reihe (3) bestimmte Punkte der Reihe (5) zugeordnet werden [...] und es erfährt daher der aus unsrer Regel resultierende Zuordnungsprozeß keinen Stillstand. {{Das ist das Kennzeichen des Unendlichen!}} [...] Denken wir uns, es seien nach unsrer Regel die n ersten Zuordnungen ausgeführt [...] Von den übrig gebliebenen Punkten unsrer Reihe (5) wird nun einer die unterste Stelle in dieser Reihe einnehmen oder, was dasselbe heißt, den kleinsten Index haben, [...] {{und dann kommt's:}} Folglich müssen nach unsrer Regel alle Glieder unsrer Reihe (5) bei der Vergebung schließlich an die Reihe kommen, und es ist daher die Reihe (5) vollständig in der Reihe (6) enthalten.
[G. Cantor, "GESAMMELTE ABHANDLUNGEN MATHEMATISCHEN UND PHILOSOPHISCHEN INHALTS Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor - Dedekind", Herausgegeben von Ernst Zermelo, Springer, Berlin (1932) p. 239]

Hat der alte Hexenmeister
Sich doch einmal wegbegeben!
Und nun sollen seine Geister
Auch nach meinem Willen leben.
(Goethe)

Dasselbe Verfahren wenden wir nun auf den binären Baum an. Die Regeln zum Spiel: "Wir erobern den binären Baum" findet man beschrieben in
https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf, S. 287.
Denken wir uns die Knoten des binären Baums nummeriert, und es seien die n ersten Knoten erobert. Von den übrig gebliebenen Knoten wird nun einer die unterste Stelle in dieser Nummerierung einnehmen oder, was dasselbe heißt, den kleinsten Index haben. Der wird nun erobert. [usw.] Folglich müssen nach unsrer Regel alle Knoten unsres Baums bei der Vergebung schließlich an die Reihe kommen, und es ist daher der Baum vollständig erobert --- natürlich auch alle Pfade, denn zu den bereits eroberten Pfaden kann nur dann ein weiterer Pfad gedacht werden, wenn mindestens 1 Knoten noch unerobert ist. Das ist aber nicht der Fall.

Gruß, WM
Jens Kallup
2020-11-30 00:21:56 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Der wird nun erobert. [usw.] Folglich müssen nach unsrer Regel alle Knoten unsres Baums bei der Vergebung schließlich an die Reihe kommen, und es ist daher der Baum vollständig erobert --- natürlich auch alle Pfade, denn zu den bereits eroberten Pfaden kann nur dann ein weiterer Pfad gedacht werden, wenn mindestens 1 Knoten noch unerobert ist. Das ist aber nicht der Fall.
Und der Baum knicke um, weil dessen Übergewicht auf der Rechten
zu viel Schlagseite bekommt.
Also sollen wir nicht vom Rechten Weg abkommen?
Ich bin da anderer Meinung.
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Jens

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