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Strategie für ein Würfelspiel gesucht
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Alfred Heiligenbrunner
2018-09-23 19:45:38 UTC
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Hallo,

bei einem Betriebsausflug haben wir folgendes Spiel gespielt.

Ein Spieler erhält einen Würfel.
Sein Ziel ist, ein oder mehrmals zu würfeln und eine möglichst hohe
Augensumme zu erreichen.
Er kann also z.B. fünfmal würfeln und erhält die Summe der fünf Würfe
als Punktezahl.
Wenn er allerdings eine 1 würfelt, dann verliert er alle Punkte und darf
nicht mehr weiter würfeln. Seine Punktezahl ist dann also 0.
Der Spieler kann nach jedem Wurf entscheiden, ob er noch ein weiteres
Mal würfelt oder aufhört.

Kurz:
Der Spieler würfelt so lange mit einem Würfel, bis entweder
a) er entscheidet, aufzuhören oder
b) der Würfel eine 1 zeigt.
Im Fall a) erhält er als Punktezahl die Summe seiner Würfe.
Im Fall b) erhält er als Punktezahl 0.

Frage 1:
Wie erhält man eine im Durchschnitt möglichst hohe Punktezahl?

Frage 2:
Sollte man die Strategie abhängig von der Anzahl der Würfe machen oder
eher solange würfeln, bis eine bestimmte Augensumme erreicht ist?

Danke,
Alfred
Detlef Müller
2018-09-24 17:33:34 UTC
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Hallo, Alfred,
Post by Alfred Heiligenbrunner
Hallo,
bei einem Betriebsausflug haben wir folgendes Spiel gespielt.
[...]
Post by Alfred Heiligenbrunner
Der Spieler würfelt so lange mit einem Würfel, bis entweder
a) er entscheidet, aufzuhören oder
b) der Würfel eine 1 zeigt.
Im Fall a) erhält er als Punktezahl die Summe seiner Würfe.
Im Fall b) erhält er als Punktezahl 0.
Wie erhält man eine im Durchschnitt möglichst hohe Punktezahl?
Ich würde, wenn ich N Punkte habe würfeln, solange der Erwartungswert
meines Punktekontos nach dem Wurf höher ist als N.
Post by Alfred Heiligenbrunner
Sollte man die Strategie abhängig von der Anzahl der Würfe machen oder
eher solange würfeln, bis eine bestimmte Augensumme erreicht ist?
Was soll der Sinn sein, nicht zu würfeln, wenn zu erwarten ist, mit
dem Würfeln mit mehr Punkten heraus zu kommen als ohne (egal, der
wievielte Wurf es ist)?
Zumindest, wenn der Würfel fair ist (Stichwort "Laplace Experiment"),
sollte der Ausgang nichts mit den vorherigen Ergebnissen zu tun
haben.

Wenn ich also N Punkte habe, habe ich nach dem Würfeln:

0 Punkte mit W. 1/6
N+2 Punkte mit W. 1/6
N+3 Punkte mit W. 1/6
N+4 Punkte mit W. 1/6
N+5 Punkte mit W. 1/6
N+6 Punkte mit W. 1/6

Die Ergebnisse, mit den Wahrscheinlichkeiten gemittelt, ergeben

5/6 * N + 20/6

Das Kriterium zum Weitermachen wäre also

5/6 * N + 20/6 > N

also

20/6 > N/6 bzw. N<20.

sobald also N >= 20 ist, sollte man demnach aufhören.

Bei Simulationen mit 10.000.000 Spielen lag der
Mittlere "Ertrag" bei etwa 8,141 und lag unter
der Strategie, bei 20 noch weiter zu würfeln (8,152).

In einem zweiten Versuch war "die Welt wieder in Ordnung",
mit 8.146 (N<20) zu 8.137 (N<21) ...

Angesichts der 10.000.000 Spiele scheint da eine starke
Streuung vorzuliegen.

Simpel nach 6 Versuchen aufhören kam auf 8.03.
Wenn man nicht zu oft ausgelacht werden will, weil man
"überreizt" hat, ist das ja auch noch in Ordnung.

Da man kaum 10 Millionen Spiele machen wird (sondern eher eine
ein bis zweistellige Anzahl), dürfte der Unterschied im
"statistischen Rauschen" verschwinden.

Gruß,
Detlef
Post by Alfred Heiligenbrunner
Danke,
Alfred
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de
a***@gmail.com
2018-09-25 06:09:18 UTC
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Post by Detlef Müller
Hallo, Alfred,
Post by Alfred Heiligenbrunner
Hallo,
bei einem Betriebsausflug haben wir folgendes Spiel gespielt.
[...]
Post by Alfred Heiligenbrunner
Der Spieler würfelt so lange mit einem Würfel, bis entweder
a) er entscheidet, aufzuhören oder
b) der Würfel eine 1 zeigt.
Im Fall a) erhält er als Punktezahl die Summe seiner Würfe.
Im Fall b) erhält er als Punktezahl 0.
Wie erhält man eine im Durchschnitt möglichst hohe Punktezahl?
Ich würde, wenn ich N Punkte habe würfeln, solange der Erwartungswert
meines Punktekontos nach dem Wurf höher ist als N.
Post by Alfred Heiligenbrunner
Sollte man die Strategie abhängig von der Anzahl der Würfe machen oder
eher solange würfeln, bis eine bestimmte Augensumme erreicht ist?
Was soll der Sinn sein, nicht zu würfeln, wenn zu erwarten ist, mit
dem Würfeln mit mehr Punkten heraus zu kommen als ohne (egal, der
wievielte Wurf es ist)?
Danke für deinen Hinweis.
Ich hatte leider vergessen zu erwähnen, dass das Spiel immer 2 Spieler gegeneinander gespielt haben. Derjenige, der die höchste Punktezahl erreicht hat, hat gewonnen.
Wenn nun der erste Spieler schon zu Beginn zweimal 6 gewürfelt hat, soll er dann noch weitere Würfe riskieren?
Darauf bezieht sich Frage 2.
Post by Detlef Müller
Simpel nach 6 Versuchen aufhören kam auf 8.03.
Das ist inzwischen auch mein Ergebnis.
Wenn man nach 5 Versuchen (Würfen) aufhört, erhält man ebenfalls denselben Erwartungswert 8.03.
Alle anderen Anzahlen von Würfen ergeben einen geringeren Erwartungswert.

LG
Alfred
Martin Vaeth
2018-09-25 07:12:11 UTC
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Post by a***@gmail.com
Post by Detlef Müller
Was soll der Sinn sein, nicht zu würfeln, wenn zu erwarten ist, mit
dem Würfeln mit mehr Punkten heraus zu kommen als ohne (egal, der
wievielte Wurf es ist)?
Danke für deinen Hinweis.
Ich hatte leider vergessen zu erwähnen, dass das Spiel immer 2 Spieler
gegeneinander gespielt haben.
Daraus geht nicht hervor, ob einer der Spieler zusätzliche Informationen
über bereits erzielte (Teil-)Ergebnisse des anderen Spielers hat.
Ohne Zusatzinformationen (also z.B. falls nicht *während* eines Spiels
abgewechselt wird gilt dies für den ersten Spieler, der "vorlegen" muss),
ist in jedem Fall die Aussage von Detelef für die Strategie die richtige:
Würfle solange weiter, bis der Erwartungswert für den folgenden Wurf kleiner
(oder ev. gleich) ist als ohne den Wurf.
Falls man die Anzahl der Würfe nicht zu Beginn festlegen muss, sollte
man dabei natürlich für jeden Wurf die Information ausnutzen, die man
bis dato hat: Die vorliegende Würfelzahl, denn die nimmt ja Einfluss auf
den Erwartungswert für den nächsten Wurf.
Post by a***@gmail.com
Darauf bezieht sich Frage 2.
Insofern ist die Antwort auf die Frage 2 positiv, denn nur diese
benutzt ja die einzige Information, die man hat. Um zu ermitteln,
wann man aufhören sollte, mache ich folgende Rechnung auf:
Hat man insgesamt bereits k Augen erwürfelt, ist der Erwartungswert
im Falle des Nichtwürfelns natürlich N=k und im Falle des Würfelns
W=1/6\sum_{i=2}^6(k+i)=(5k+20)/6.
Die Ungleichung W<N ist folglich äquivalent zu 20<(6-5)k, also zu k>20.
Analog ist W>N äquivalent zu k<20.

Die Taktik sollte also sein: Falls die Summe kleiner als 20 ist, würfle
nochmals, falls die Summe größer als 20 ist, höre auf.
Im Falle der Summe 20 ist es im Mittel egal, ob man würfelt oder nicht.
Post by a***@gmail.com
Wenn man nach 5 Versuchen (Würfen) aufhört, erhält man ebenfalls
denselben Erwartungswert 8.03.
Alle anderen Anzahlen von Würfen ergeben einen geringeren
Erwartungswert.
Das ist eben nur für den Fall, dass man die Anzahl der Würfe zu
Beginn des Spiels festlegen muss: Zu diesem Zeitpunkt hat man
die Zusatzinformation noch nicht, so dass man in vielen
Fällen eben trotz ungünstiger Prognose für den nächsten Wurf
noch einen (oder gar mehrere) weitere Würfe machen muss und
damit den Gesamterwartungswert deutlich nach unten schraubt.

a***@gmail.com
2018-09-25 05:55:17 UTC
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Post by Alfred Heiligenbrunner
Der Spieler würfelt so lange mit einem Würfel, bis entweder
a) er entscheidet, aufzuhören oder
b) der Würfel eine 1 zeigt.
Im Fall a) erhält er als Punktezahl die Summe seiner Würfe.
Im Fall b) erhält er als Punktezahl 0.
Wie erhält man eine im Durchschnitt möglichst hohe Punktezahl?
Ich hatte leider vergessen zu erwähnen, dass das Spiel immer 2 Spieler gegeneinander gespielt haben. Derjenige, der die höchste Punktezahl erreicht hat, hat gewonnen.
Wenn nun der erste Spieler schon zu Beginn zweimal 6 gewürfelt hat, soll er dann noch weitere Würfe riskieren?
Darauf bezieht sich die folgende Frage.
Post by Alfred Heiligenbrunner
Sollte man die Strategie abhängig von der Anzahl der Würfe machen oder
eher solange würfeln, bis eine bestimmte Augensumme erreicht ist?
LG
Alfred
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